Инерциальные системы отсчёта

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Неподвижные наблюдатели << Оглавление (Глава 1) >> Преобразования Лоренца

Перейдём теперь к наблюдателям в различных инерциальных системах отсчёта. Для простоты будем говорить о двух таких системах, обозначая одну буквой , а вторую . Нас интересует связь между значениями координаты и момента времени некоторого события, наблюдаемого из каждой системы отсчета. Рассматривая одномерный случай, обозначим координату и время события для наблюдателей в как , а для наблюдателей в , соответственно, как . Связь означает существование некоторой функциональной зависимости:

(1.1)

Заметим, что наличие такой связи является аксиомой теории. Если угодно — Аксиомой Познаваемости Мира. Результаты наблюдений, проведенные в различных системах, должны быть между собой как-то связаны. Предполагается, что функции и зависят от относительной скорости систем . Вообще говоря, в эту связь могла бы попасть, например, температура каждого из наблюдателей, однако в кинематике мы считаем, что для полного описания некоторого события достаточно измерения его координаты и момента времени, а единственный параметр, отличающий инерциальные системы, — это их относительная скорость.

Чтобы сравнение результатов измерений имело смысл, наблюдатели в разных системах отсчета, как и в одной, должны согласовать свои единицы длины и времени.

Начнем снова с единиц скорости. Представители двух систем отсчета могут договориться считать одинаковой их относительную скорость . Если оси систем направлены в одну сторону, то для наблюдателя в (см. левый рисунок) скорость системы будет равна , а для наблюдателя в скорость , соответственно, (правый рисунок):

Unit y.png

Подчеркнем, что это не постулат, а именно способ согласования единиц скорости. Хотя в нём заложена идея об эквивалентности всех инерциальных систем отсчета.

Для согласования единиц длины наблюдатели могут разместить свои линейки перпендикулярно движению (вдоль оси ) и совместить их друг с другом. Образно говоря, это означает, что наблюдатель, например, системы , пролетая мимо "забора", расположенного в системе , проводит на нём две линии, параллельные оси , высотою в один метр, оставляя тем самым информацию о своей единице длины. Вместо забора можно, конечно, использовать две летящие параллельно оси частицы. Кратчайшее расстояние между их траекториями в обеих системах может быть принято за единичное.

Согласовав перпендикулярные к движению единицы длины, наблюдатели могут считать, что между ними согласованы и любые линейки. Их уверенность основана на изотропности пространства в каждой системе отсчета и возможности "медленного" поворота линеек без их деформации.

Имея согласованные единицы скорости и длины, наблюдатели тем самым согласовывают и единицы времени. Начало отсчета времени можно привязать к некоторому событию, например, совпадению начал систем , считая, что в этот момент :

Сформулируем теперь важное свойство функций и . Если разрешить уравнения (1.1) относительно и , мы получим обратную связь (от штрихованных величин к нештрихованным). При этом функции должны оказаться теми же самыми, а скорость — изменить знак:

Это достаточно сильное требование, и оно имеет глубокий смысл. Исходные преобразования (1.1) можно интерпретировать с позиции наблюдателя в системе . Он измеряет координаты и время некоторого события и при помощи преобразований "выясняет", каковы значения измерений того же события в системе , движущейся относительно него со скоростью . Обратные преобразования решают эту же задачу, но с позиции наблюдателя в . Однако, в силу сонаправленности осей и , для него скорость системы будет равна "". Поэтому штрихованные и нештрихованные величины меняются местами и совершается замена . Во всём остальном функциональная форма преобразований должна быть эквивалентной. Это является отражением принципа относительности (тождественности всех инерциальных систем отсчета).

Примером преобразований между двумя инерциальными системами служат преобразования Галилея. В классической механике мы предполагаем, что время имеет одинаковый темп хода для всех наблюдателей . Пусть две системы отсчета расположены так, что их оси параллельны друг другу, и в момент времени начала систем совпадают. Тогда координаты и время некоторого события, наблюдаемого из каждой системы, связаны между собой следующим образом:



Galileo.png
(1.2)
Естественно, Галилей не записывал подобных преобразований. Они появились значительно позже. Однако ему принадлежит формулировка принципа относительности, изложенная в книге "Диалоги о двух главнейших системах мира — птоломеевой и коперниковой" (1632 г.). Мы приведем её с некоторыми сокращениями:
Уединитесь с кем-либо из друзей в просторное помещение под палубой какого-нибудь корабля, запаситесь мухами, бабочками и другими подобными мелкими летающими насекомыми; подвесьте, далее, наверху ведерко, из которого вода будет падать капля за каплей в другой сосуд с узким горлышком, подставленный внизу. Пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте прилежно, как мелкие летающие животные с одной и той же скоростью движутся во все стороны помещения; все падающие капли попадут в подставленный сосуд, и вам, бросая какой-нибудь предмет, не придется бросать его с большей силой в одну сторону, чем в другую, если расстояния будут одни и те же. Заставьте теперь корабль двигаться с любой скоростью, и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту и другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно.

Часто говорят, что принцип относительности Галилея сформулирован только для механических систем, тогда как Эйнштейн распространил его на все физические явления. Это не совсем верно. Как мы видим, Галилей считал, что в инерциальных системах отсчета одинаковым образом протекают все явления, даже биологические . Он не разделял физику на механику и прочие явления. Для него, по всей видимости, не было даже физики. Он просто размышлял о природе Мира.

Преобразования Галилея обладают групповыми свойствами. Это означает, что существует единичное преобразование, обратное, и композиция преобразований снова является преобразованием.

Единичное преобразование соответствует . В этом случае и , т.е. две системы отсчета совпадают.

Обратное преобразование несложно записать, обратив уравнения (1.2):

В результате, как и должно быть, получаются те же преобразования Галилея, но с заменой .

Композиция преобразований означает следующее. Рассмотрим три инерциальные системы отсчета , и . Пусть движется относительно со скоростью , а относительно со скоростью . Понятно, что в этом случае третья система движется относительно первой с некоторой скоростью :

Lorenz.png

Преобразования Галилея между парами систем будут иметь вид:

Все эти соотношения, в силу равноправия систем отсчета, имеют одинаковый вид, различаясь лишь значением относительной скорости.

Подставляя первую систему во вторую и сравнивая с третьей, несложно убедиться, что скорость не произвольна, а связана с и :

Это простое правило сложения скоростей вытекает из преобразований Галилея. Его можно также получить, рассматривая только две системы и некоторый объект, летящий относительно них. В нашем случае в качестве такого объекта выступала третья система отсчета.

Групповые аксиомы являются очень сильными требованиями и при нескольких дополнительных предположениях позволяют найти явный вид функций и в достаточно общем случае. Этим мы сейчас и займемся.


Литература

  • Галилео Галилей Диалог о двух главнейших системах мира - птоломеевой и коперниковой, перевод А.И.Долгова, Москва 1948

Неподвижные наблюдатели << Оглавление (Глава 1) >> Преобразования Лоренца

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии