Закон Кулона

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Парадоксы Белла и Эренфеста << Оглавление (Глава 5) >> Поле равномерно двигающегося заряда

Мир вещественных тел, непосредственно воспринимаемый чувствами, очень привычен для нашего повседневного опыта. Поэтому для возникновения понятия "поля" потребовались длительная эволюция и достаточно высокий уровень физической абстракции. Простейший способ введения поля состоит в "отрывании" параметров пробного тела от параметров объекта, оказывающего на него силовое воздействие. Известно, что неподвижный заряд действует на небольшой пробный заряд силой Кулона:

Заряды могут быть как положительными, так и отрицательными. Сила взаимодействия зависит от их произведения. Следовательно, заряды одинакового знака отталкиваются, а противоположного — притягиваются. Введём электрическое поле следующим образом:

(EQN)

Напряжённость электрического поля, т.е. значение векторной функции , зависит от расстояния и заряда , но не зависит от значения пробного заряда . Такое отделение источника силы от объекта воздействия является очень удобным, однако достаточно формальным. В дальнейшем, когда мы учтём конечность скорости распространения электромагнитного взаимодействия, поле окажется реально существующим физическим объектом. Обратим внимание, что электрическое поле мы обозначаем той же буквой, что и энергию. Чтобы не было путаницы, в этой главе будем обозначать энергию движения частицы, как .

Закон Кулона с хорошей степенью точности справедлив как на очень малых расстояниях, так и на достаточно больших. Тем не менее, с физической точки зрения соответствующее ему электрическое поле не является хорошо определённой величиной. Если объект, имеющий заряд — точечный, то при получается бесконечное значение поля и, следовательно, силы воздействия на пробный заряд . Попробуем временно устранить эту проблему, модифицируя закон Кулона при помощи малой константы :

(EQN)

При мы возвращаемся к исходному выражению, однако при получается конечное значение напряжённости при . Подобное устранение сингулярности (бесконечности) называется регуляризацией.

Найдём дивергенцию электрического поля, умножив его на оператор набла. Дивергенция радиус вектора и градиент его длины равны (см. стр. \pageref{math_nabla_r_3}):

Поэтому, вычисляя дивергенцию поля () как производную произведения, получаем:

где введена следующая скалярная функция:

Delta.png

При уменьшении значения параметра функция получается всё более высокой и узкой (см. рисунок). Множитель выделен для того, чтобы интеграл от по всему пространству был равен единице:

Вычисление интеграла проводится в сферических координатах. Интегрирование по телесному углу даёт , и сделана замена . Значение интеграла остаётся единичным при , хотя функция в этом пределе становится разрывной:

Функция с такими свойствами называется трёхмерной функцией Дирака (см. также стр. \pageref{m_dirac}). Её удобно использовать для описания точечных зарядов, когда заряд сосредоточен в сколь угодно малом объёме. В этом случае дивергенция электрического поля равна нулю везде, кроме точки , где она обращается в бесконечность. Заметим, что если бы мы формально вычислили для закона Кулона (), то получился бы ноль при любом значении . Поэтому дифференцирование сингулярных функций требует определённой аккуратности.

При помощи функции Дирака закон Кулона можно записать в форме дифференциального уравнения:

Воспользовавшись теоремой Гаусса (стр. \pageref{m_nabla}) и интегрируя по замкнутой поверхности, окружающей заряд , мы получаем интегральную версию этого же уравнения:

(EQN)
Экспериментальным фактом является принцип суперпозиции:
поле, создаваемое несколькими зарядами, равно векторной сумме напряжённостей поля от каждого заряда.
Поэтому закон Кулона в дифференциальной форме может быть записан в следующем виде, который называют законом Гаусса:
(EQN)

где функция называется плотностью заряда

Она выражается через значения зарядов , находящихся в точках пространства . Интегральный закон Кулона () остаётся неизменным, однако , входящий в правую часть, имеет смысл суммарного заряда в объёме, окружённом поверхностью .

Интеграл по объёму от функции даёт суммарный заряд, находящийся в этом объёме. Пусть точечные заряды расположены очень близко, так что имеет смысл говорить о непрерывном распределении заряда. Тогда его плотность определяется при помощи предела:

где суммируются все заряды, попавшие в объём , окружающий точку пространства . На практике математический предел не вычисляется, а берётся малый объём , и плотность считается равной отношению заряда, который содержится в объёме, к величине этого объёма. Такая процедура "сглаживания" суммы сингулярных функций Дирака приводит к тому, что плотность заряда в ряде случаев оказывается гладкой ("обычной") функцией координат.

Напряжённость поля принято изображать в виде стрелок, направление которых совпадает с вектором , а их количество, проходящее через единицу поверхности, пропорционально модулю напряжённости .

Если есть симметрия в распределении заряда, при помощи уравнения () иногда можно легко находить напряжённость электрического поля. Рассмотрим, например, однородный шар радиуса , плотность заряда внутри которого постоянна. Выделенных направлений нет, поэтому в силу сферической симметрии "стрелки" электрического поля выглядят так, как это показано на рисунке ниже, и напряжённость равна:

E sphere.png

Действительно, окружим шар сферой радиуса , имеющей площадь . Так как вектор параллелен вектору напряжённости и на сфере её модуль постоянен, имеем:

т.е. вне шара выполняется закон Кулона. Если же , то заряд внутри сферы равен произведению объёма на плотность:

Проверьте ( H), что поле, создаваемое бесконечной тонкой однородно заряженной нитью с зарядом на единицу длины , равно:

E cylinder.png

где — составляющая радиус-вектора, перпендикулярная к нити (см. рисунок), а — единичный вектор, направленный вдоль нити. Стоит вычислить , проведя регуляризацию выражения. Заметим, что выделенных направлений вдоль нити нет. Поэтому ещё одна симметричная конфигурация поля, когда вектор касателен цилиндру, окружающему нить (поперёк направления нити), не является подходящей. Нет оснований "закрутить" поле в одну или в другую сторону.

Вторая операция, которая может быть проделана с векторной функцией при помощи оператора набла, — это ротор. Для любого сферически симметричного поля ротор равен нулю. Действительно, так как:

то для ротора сферически симметричного поля получаем:

Поэтому как для закона Кулона, так и для его регуляризованного выражения () ротор будет равен нулю. В силу принципа суперпозиции это справедливо для любого статического распределения заряда. Поэтому уравнения электростатики имеют вид:

(EQN)

Последнее уравнение, выражающее центральный характер кулоновского поля для точечного заряда, выполняется автоматически, если:

(EQN)

где — скалярная функция, называемая потенциалом. Действительно: Подстановка вектора напряжённости, выраженного через потенциал, в уравнение для дивергенции (закон Гаусса), даёт уравнение Пуассона с оператором Лапласа :

(EQN)

Кулоновский потенциал поля точечного заряда равен

что проверяется вычислением его градиента () и сравнением с ().

Потенциал и напряжённость можно представить в интегральном виде, просуммировав кулоновские поля от зарядов малых объёмов:

Puasson sol0.png

Значения напряжённости поля и потенциал вычисляются в точке пространства ("жирный" — это вектор, а не координата !). Интегрирование проводится по радиус-вектору , пробегающему все заряды в каждом элементарном объёме . Если плотность равна сумме дельта-функций Дирака, мы возвращаемся к сумме полей, создаваемых точечными зарядами (принцип суперпозиции).

При движении в кулоновском поле, создаваемом точечным зарядом , сохраняется полная энергия пробного заряда :

где . Действительно (см. также стр. \pageref{sec_force}):

Поэтому потенциал можно интерпретировать, как потенциальную энергию пробного единичного заряда:

При помощи теоремы Стокса равенство нулю ротора электрического поля можно записать в интегральном виде:
E rotor.png

где интегрирование проводится по замкнутому контуру . Сила, действующая на заряд , равна , а скалярное произведение силы на вектор смещения в пространстве — это работа, совершаемая для перемещения заряда в поле. Поэтому подобный интегральный закон выражает равенство нулю работы перемещения заряда по замкнутому контуру. Если контур незамкнутый, то работа:

равна разнице потенциалов в начальной и конечной точках (изменению потенциальной энергии) и поэтому не зависит от формы пути.

Так как электрическое поле является градиентом от потенциала (с обратным знаком), то оно всегда перпендикулярно поверхности постоянного потенциала (стр.\pageref{m_nabla}). Такие поверхности называются эквипотенциальными. Перемещение заряда вдоль эквипотенциальной поверхности происходит перпендикулярно вектору силы и не меняет энергии заряда. Например, для центрально-симметричного электрического поля, создаваемого точечным зарядом или заряженным шаром, эквипотенциальные поверхности являются сферами, окружающими центр симметрии.


Парадоксы Белла и Эренфеста << Оглавление (Глава 5) >> Поле равномерно двигающегося заряда

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии