Законы сохранения

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Электромагнитные волны << Оглавление (Глава 5) >> Потенциалы поля


Закон сохранения заряда (стр.\pageref{elec_q_save}) — не единственный закон сохранения, который содержат в себе уравнения Максвелла. Введём следующие величины:

(EQN)

Вычислим производную от по времени, заменив затем производные полей при помощи уравнений Максвелла и  :

С другой стороны, вычисляя дивергенцию вектора как производную произведения, имеем:

Подставляя это выражение в производную по времени от , получаем уравнение, которое называют теоремой Пойнтинга:

(EQN)

Для выяснения его физического смысла запишем интегральную форму этого уравнения, проинтегрировав по произвольному объёму:

где в правой части мы воспользовались теоремой Гаусса. Рассмотрим точечные заряды, находящихся в точках внутри объёма:

где - скорости зарядов . В результате интеграл от :

сводится к сумме скоростей зарядов, умноженных на напряжённость электрического поля в точке, где они находятся.

Запишем силу Лоренца, которая действует на каждый заряд:

Так как магнитная составляющая силы перпендикулярна скорости, произведение на силу определяется только электрическим полем, и производная энергии движения заряда по времени равна:

В результате интегральная версия закона сохранения () имеет вид:

(EQN)

Если заряды сосредоточены в некоторой области пространства и поля на бесконечности равны нулю, то при интегрировании по всему пространству правая часть (поверхностный интеграл) будет равна нулю, и

Это уравнение может быть интерпретировано, как закон сохранения энергии, в котором первое слагаемое является энергией электромагнитного поля, а второе — суммарной кинетической энергией заряженных частиц. Величину естественно назвать плотностью энергии электромагнитного поля. Если область интегрирования конечна, то поверхностный интеграл от в общем случае отличен от нуля. Его можно, аналогично закону сохранения заряда, считать потоком энергии электромагнитного поля, уходящей из объёма (или, наоборот, туда попадающей). Соответственно, — это плотность потока. Она также называется вектором Умова-Пойнтинга или плотностью импульса электромагнитного поля.

Заметим, что до сих пор мы различали заряды, создающие поле и пробные заряды, которые в этом поле движутся под воздействием силы Лоренца, не искажая значения полей. При интерпретации закона сохранения мы объединили эти два вида зарядов, считая, что заряды, входящие в виде и в уравнения Максвелла, одновременно подвержены силе Лоренца со стороны полей, создаваемых всеми зарядами. Иначе говоря, поле, создаваемое данным зарядом, может действовать на этот же заряд. Как мы увидим следующей главе, такое "самодействие" приводит к определённым трудностям.

Найдём ещё один закон сохранения. Для этого вычислим частную производную импульса поля:

где снова подставлены производные полей из уравнений Максвелла. Воспользуемся следующим тождеством, проверяемым раскрытием двойного векторного произведения ( H):

Во втором слагаемом в правой части индексом помечено, какие векторы участвуют в скалярном произведении (по сумма от 1 до 3). Такое же выражение получится и для магнитного поля. Объединение первых двух слагаемых из каждого тождества приведёт к выражению , где:

называется тензором потока импульса, а — символ Кронекера. Используя оставшиеся уравнения Максвелла и , получаем:

(EQN)

При интегрировании по всему объёму слагаемое с превращается в поверхностный интеграл и обращается в ноль (если поля на бесконечности нулевые). Рассматривая, как и выше, для плотности заряда и тока сумму дельта-функций точечных частиц, приходим к уравнению (индекс нумерует частицы, а не компоненты векторов):

Под знаком суммы находится сила Лоренца. Если мы снова "разрешаем" полям воздействовать на заряды, которые эти поля создают, то вместо силы Лоренца можно записать производную импульса каждой частицы по времени. В результате получается следующий закон сохранения:

(EQN)

Он имеет естественную интерпретацию сохранения суммарного импульса поля и зарядов, которые в нём находятся.

Третий закон, который мы рассмотрим, связан с сохранением момента импульса. Умножим уравнение () векторно на радиус-вектор. В слагаемом этот вектор можно внести под оператор набла. Действительно, записывая при помощи символа Леви-Чевиты в индексном виде векторное произведение, имеем:

Последнее слагаемое равно нулю, так как , и свёртка с символом Кронекера даёт . Тензор является симметричным, а — антисимметричным. Их свёртка будет равна нулю (стр.\pageref{m_antisym_sym}). Таким образом, можно записать следующий дифференциальный закон сохранения:

При интегрировании по всему объёму второе слагаемое выражается через поверхностный интеграл от . Если поля на бесконечности убывают быстрее, чем , этот интеграл равен нулю. Переходя, как и выше, к системе точечных заряженных частиц, получаем следующий закон сохранения

(EQN)

Первый член является моментом импульса электромагнитного поля, а второй — суммарным моментом импульса системы заряженных частиц.

Таким образом, электромагнитное поле может переносить энергию, импульс и момент импульса, меняя соответствующие механические характеристики заряженных частиц. Естественно, такое же влияние существует и в обратную сторону.

Во всех трёх законах сохранения присутствуют полевые вклады и вклады от зарядов. По смыслу получения этих законов заряды не являются "пробными", так как плотности заряда и тока взяты из правых частей уравнений Максвелла. Это те заряды, которые поля создают. Полевые части дают, например, величину потери энергии, импульса и момента импульса зарядом при излучении им электромагнитной волны. Если же мы хотим получить воздействие внешнего поля на пробный заряд, необходимо добавлять к внешнему полю поле самого заряда, иначе он не "появится" в законе сохранения. Игнорирование этого факта приводит к ошибочному выводу о сохранении энергии зарядов в электростатическом поле или отсутствии давления электромагнитной волны на заряд, движущийся в поле такой волны.

Рассмотрим в качестве примера случай статического расположения зарядов. Ранее, чтобы ввести понятие поля, мы отличали заряд, создающий силу (поле), от пробного заряда, на который эта сила действует. В реальности все заряды равноправны, и подобный метод является идеализацией, справедливой, когда "пробный" заряд много меньше зарядов, "создающих" поле.

Если заряды одного порядка, то они равноправно взаимодействуют друг с другом при помощи силы Кулона. Например, чтобы сблизить два положительных заряда, необходимо приложить усилие (затратить энергию). Эта энергия окажется "запасённой" в этой системе. Если заряды "отпустить", они разлетятся, и энергия перейдёт в энергию их движения.

Зафиксируем все заряды, кроме одного ("-того"). Тогда его движение во внешнем поле характеризуется потенциальной энергией (стр.\pageref{varphi_is_energy}), где — положение заряда, а — потенциал, создаваемый остальными зарядами. Это та энергия, которую необходимо затратить, чтобы переместить заряд из бесконечности в точку . Пусть в пространстве уже находится заряд . Приблизим к нему и "зафиксируем" оба заряда. Затем к ним добавим , и т.д. Энергия, затрачиваемая на формирование всей системы зарядов, будет равна:

где . Несложно видеть, что в сумме (первое равенство) перебираются по одному разу все возможные пары зарядов: (1,2); ; , и т.д. Это в компактном виде записано в виде последней суммы. Символ означает, что суммирование ведётся по двум индексам за исключением их совпадающих значений. В такой сумме пары будут дублироваться [т.е. встречается (1,2) и (2,1)], поэтому поставлен множитель 1/2.

Найдём эту же энергию, интегрируя выражение для плотности (). Так как магнитного поля нет, в статическом случае , поэтому суммарная энергия поля равна:

где выполнено интегрирование по частям (в предположении, что поля на бесконечности по теореме Гаусса достаточно быстро убывают и интеграл от равен нулю) и подставлено уравнение Максвелла .

Записывая для точечных зарядов плотность , получим:

Заметим, что на самом деле суммирование должно производиться по всем , а не только в случае, когда . Действительно, в выражение для входит общий потенциал, создаваемый всеми зарядами, в т.ч. и -тым зарядом. Поэтому выше мы поставили не знак равенства, а стрелочку. В результате такого перехода мы отбросили бесконечные (но постоянные, т.е. не зависящие от положения зарядов) члены самодействия типа , т.к. энергия всегда определена с точностью до константы. Тем не менее, не очень хорошо, что эта константа получилась бесконечной. Проблему самодействия и подобных бесконечностей мы подробно рассмотрим в следующей главе.

Аналогично электростатической энергии можно вычислить энергию постоянных токов в магнитостатике:

где использовано тождество (дивергенция даёт по теореме Гаусса поверхностный интеграл, равный нулю на бесконечности для убывающих полей). В последнем равенстве подставлено уравнение Максвелла магнитостатики. Учитывая решение для векторного потенциала (), стр.\pageref{A_stat}, энергию можно переписать в следующем виде:

Если постоянные токи текут в наборе из тонких замкнутых проводников (), то энергию можно также представить в следующем виде:

где применена теорема Стокса и — поток магнитного поля через поверхность, натянутую на -й замкнутый проводник с током. В частности, энергия одного замкнутого проводника равна .

Рассмотрим теперь плоскую электромагнитную волну (стр. \pageref{sec_waves}), распространяющуюся вдоль единичного вектора :

Плотность энергии и импульса такой волны равны:

где подставлено и учтено, что . Заметим, что между плотностями энергии и импульса волны выполняется стандартная связь для энергии и импульса частицы, движущейся со скоростью света:

Если волна падает на поверхность, то эта поверхность испытывает световое давление, возникающее в результате поглощения (или отражения) поверхностью импульса поля. Экспериментально световое давление было впервые измерено П. Н. Лебедевым в 1899 г. Оно очень маленькое. Так, интенсивность солнечного света на поверхности Земли составляет около 1000 Вт/м. Сила равна отношению изменения импульса за время , поэтому световое давление на зеркало (полное отражение) площадью составляет (восстановлена скорость света ):

Такое же давление окажет стальная гирька массой 7 миллиграммов, если её удастся "раскатать" в пластину размером метр на метр.

Момент импульса волны (независимо от её поляризации) не направлен вдоль волнового вектора. Действительно, так как вектор параллелен , векторное произведение будет перпендикулярно . Плотность момента импульса циркулирует по окружностям в плоскостях, перпендикулярных . Если вычислить полный момент, проинтегрировав плотность по цилиндру с осью вдоль , то получится ноль. Этот факт называют проблемой момента импульса плоской волны. Проблема состоит в том, что для поляризованной по кругу волны обычно ожидают получить отличный от нуля момент импульса. Например, на квантовом уровне такая волна является потоком поляризованных фотонов, каждый из которых несёт спин . Одно из возможных решений этой проблемы состоит в переходе от плоской волны к более реалистичным ограниченным пучкам, интенсивность поля которых постепенно снижается при удалении от линии распространения. Пример расчёта момента импульса поля такого пучка будет дан несколько позже (стр.\pageref{light_beam}).

В связи с законами сохранения сделаем несколько замечаний. Простейший подход к решению электродинамических задач выглядит следующим образом. Предполагается, что есть некоторые заданные заряды и токи, которые создают поле (его находят, решая уравнения Максвелла). Кроме этого, существуют пробные заряды, которые в этом поле движутся под воздействием силы Лоренца. Их движение не изменяет внешнего поля, а сами заряды не излучают. Несмотря на искусственность подобного алгоритма, он позволяет точно решить многие задачи и оказывается неплохим первым приближением к реальности.

При получении законов сохранения был рассмотрен несколько более общий подход, в котором заряды одновременно создавали поле и были подвержены его воздействию. В совместных законах сохранения поля и зарядов часть энергии (импульса или момента импульса) поля передаётся зарядам. Само поле при этом должно терять энергию. При решении задачи о поведении пробного заряда, например, в поле электромагнитной волны этого не происходит. Внешнее для него поле остаётся без изменений и не теряет энергию, которая "передаётся" заряду. Поэтому на пробный заряд световая волна не оказывает давления, точнее, закон сохранения импульса поля + заряда в этом случае неприменим.

Законы сохранения можно применять, когда нет разделения на пробные заряды и внешнее поле. Пусть электромагнитная волна поглощается пластинкой из некоторого материала. Как и "положено" для законов сохранения, можно не рассматривать детали взаимодействия волны и пластинки, подсчитав величины, входящие в (), (), () до и после взаимодействия. На микроуровне процесс поглощения электромагнитной волны связан с тем, что заряды пластинки испытывают воздействие со стороны волны и начинают излучать. Это излучение "гасит" исходную волну, в результате чего происходит её поглощение. В этом случае в законе сохранения "после взаимодействия" должны стоять напряжённости не падающей волны, а суммарного поля, возникающего в результате сложения поля исходной волны и вторичных волн от зарядов пластины.

Заметим также, что в каждом законе сохранения присутствуют поверхностные члены или дивергенции в дифференциальной форме. Сохраняющую величину мы получаем, когда отбрасываем эти члены при интегрировании по всему пространству. Однако подобное действие не даёт нам ответа на вопрос, как по пространству распределена, например, энергия поля. С этим вопросом тесно связана проблема неоднозначности выбора плотностей сохраняющихся величин. Мы вернёмся к этим вопросам в следующей главе.


Электромагнитные волны << Оглавление (Глава 5) >> Потенциалы поля

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии