Еще немного определений

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Группа перестановок << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Представления групп

Рассмотрим подгруппу группы . Возьмём некоторый элемент , не принадлежащий , и образуем новое множество элементов:

которое называется левым смежным классом подгруппы (аналогично определяются правые смежные классы , совпадающие с левыми для инвариантной подгруппы ). Все элементы класса различны (если , умножив на , получим ) и ни один его элемент не принадлежит (если , то , что противоречит условию ). Поэтому — это множество имеющее столько же элементов, что и у подгруппы , и не пересекающееся с ней.

Это свойство можно использовать для разбиения группы на смежные классы (подмножества). Действительно, если объединение и не даёт ещё всех элементов , возьмём не принадлежащий ни , ни , и образуем третье множество . Его элементы, также как и элементы не принадлежат . Более того, они не принадлежат и (если бы , то , и это противоречит тому, что не принадлежит , т.к. ). В результате, при помощи подгруппы порядка , возникает разбиение группы , на непересекающихся смежных классов (используют знак плюс, вместо объединения ):

где . Число называется индексом подгруппы в группе . Порядок группы оказывается равным , и порядок подгруппы является его делителем. Поэтому справедлива теорема Лагранжа:
\it Порядок любой подгруппы конечной группы является одним из делителей порядка группы .
Например, подгруппы , группы имеют порядки 3 и 2. Эти числа являются делителями порядка группы равного 6. Для группы можно сделать следующее разложение на классы:

Из теоремы Лагранжа следует, что группы, порядок которых является простым числом, не могут иметь несобственных подгрупп.

Подчеркнём, что смежные классы не являются группами, так как, например, единичный элемент находится только в исходной порождающей подгруппе . Однако, как мы сейчас увидим, каждый класс, построенный по инвариантной подгруппе является элементом некоторой группы!

Аналогично "произведению" элемента группы на множество, можно определить операцию умножения двух множеств и , как множество состоящее из всех упорядоченных произведений: . Результаты некоторых произведений могут совпадать, поэтому размерность этого множества будет меньше чем . В частности — это произведение всех элементов подгруппы, которые снова принадлежат этой подгруппе: . В силу ассоциативности .

Произведение смежных классов построенных по инвариантной подгруппе обладает групповыми свойствами. Например, в силу , инвариантная подгруппа является "единичным" элементом:

Т.е. попарное произведение всех элементов инвариантной группы и её левого смежного класса снова приводит к этому же смежному классу. Аналогично попарные произведения двух смежных классов приводят к смежному классу построенному по элементу : Наконец, произведение смежных классов по обратным элементам дает единичный класс: .

Таким образом, если в группе порядка имеется инвариантная подгруппа порядка , то смежных классов являются элементами т.н. фактор-группы :

Инвариантная подгруппа играет в роль единичного элемента.

Рассмотрим инвариантную подгруппу группы . Возьмём любой элемент не находящийся в подгруппе, например :

Эти два множества обладают групповой таблицей умножения . Так:

где после перемножения множеств, при помощи таблицы оставлены только неповторяющиеся элементы, составляющие класс . Аналогично , и т.д. Инвариантная подгруппа имеет порядок 3, и есть только один смежный класс, поэтому порядок фактор-группы равен 2=6/3. Её таблица умножения совпадает с .

Элемент называется сопряжённым к элементу , если существует такой , что:

В группе элементы и сопряжены, так как Сопряженность элементов напоминает определение сопряжения подгруппы (стр.\,\pageref{sym_inv_gr_def}), но относится не к множеству элементов, а к одному (точнее двум, связанным сопряжением).

Сопряженность элементов обладает транзитивностью: если сопряжен , а сопряжен к , то и , сопряжены:

Понятно, что если сопряжен , то и сопряжён .

Это свойство называется симметричностью. Аналогично, справедлива рефлексивность, т.е. элемент сопряжён сам себе. В этом случае .

Обозначим факт сопряженности следующим образом: и назовем его отношением эквивалентности. Свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности сопряженных элементов будут иметь вид:

Этими же свойствами обладает и равенство элементов . Однако, если равенство означает полное совпадение и , то эквивалентность относительно сопряжения объявляет "похожими" некоторые группы элементов.

Так, группы и разбиваются на следующие классы эквивалентности (или классы сопряженных элементов):

Важным свойством класса эквивалентности к сопряжению является то, что все элементы данного класса имеют одинаковый порядок:

Единичный элемент любой группы образует "класс эквивалентности" состоящий только из него самого. В абелевой группе все элементы коммутируют друг с другом и сопряженным к элементу будет он сам. Поэтому, также как и единичный элемент, каждый элемент абелевой группы образует класс сопряженности состоящий из этого одного элемента.

Элемент является самосопряженным элементом, если для любого сопряжение снова даёт :

Другими словами, самосопряженный элемент коммутирует (перестановочен) с любым элементом группы. Это свойство не стоит путать с определением инвариантной подгруппы , в котором, вообще говоря слева и справа стоят разные элементы из подмножества H.

Множество всех самосопряженных элементов образует абелеву подгруппу , которую называют центром. Одновременно центр является инвариантной подгруппой (но не наоборот!). В группе центр тривиален: , а в нетривиальным центром является . Так как , то это группа .

В любой абелевой группе каждый элемент является самосопряжённым, и вся такая группа является центром. Самосопряженный элемент образует класс эквивалентности из единственного элемента - самого себя.

Нормализатором элемента называют множество всех элементов группы , которые коммутируют с . Нормализатор самосопряженного элемента совпадает со всей группой.

Элементы каждого нормализатора обладают групповыми свойствами. Поэтому нормализатор элемента является подгруппой группы . Её порядок равен , где — индекс в разложении Лагранжа:

Справедлива теорема:
Число элементов сопряженных к равно индексу в разложении Лагранжа по нормализатору .
Действительно, чтобы построить класс эквивалентности к надо перебрать все элементы , отобрав неповторяющиеся значения . Пусть сначала пробегает элементы первого смежного класса . Тогда . Для имеем (так как не входит в и с не коммутирует). Так, для каждого из сопряженных классов получим различных эквивалентных элементов.

В группе есть 4 нормализатора:

Разложение Лагранжа этой группы имеет вид

поэтому в классе эквивалентности к есть 3 элемента (это ).

Изоморфизм — это взаимооднозначная функция связывающая два элемента множества , и сохраняющая групповое умножение:

(EQN)

Обратимость функции означает, что её упорядоченная область значений является некоторой перестановкой области определений. Другими словами, две конечные группы изоморфны, если они эквивалентны с точностью до переобозначения своих элементов. Поэтому изоморфизм абстрактных групп называется также автоморфизмом (изоморфизм группы "самой в себя").

Sym tbl09.png

Что бы обнаружить автоморфизм, можно начать с поиска элемента порядка 1. В таблице он единственен . Аналогично, в : , поэтому . Выбор соответствия для остальных элементов в данном случае — произволен.

Рассматривая для группы все различные функции проводящие подобные перестановки, мы приходим к группе автоморфизмов обозначаемой . Элементами этой группы являются функции, а умножением — композиция функций , выполняющих последовательные автоморфизмы. Единичным преобразованием является . Обратным — обратная функция . Для умножения двух элементов , и двух последовательных автоморфизмов и (см. ()):

Внутренним автоморфизмом называют автоморфизм возникающий при применении операции сопряжения:

Абелевы группы являются самосопряжёнными, поэтому сопряжение не создаёт внутренних автоморфизмов (кроме тривиального единичного , для любого ). Для группы можно, например, так переставить элементы:

Внутренние автоморфизмы вида являются подгруппой группы всех автоморфизмов .

Введем еще одно понятие. Пусть на множествах и заданы групповые функции умножения. Прямым произведением двух множеств и называют множество всех упорядоченных пар . Определим на этом множестве новую группу, при помощи закона умножения:

Так как таблицы умножения и известны, нам становится известной и таблица для группы на . Подобный метод создания новых групп особенно интересен в обратную сторону, когда выясняется, что некоторую группу можно представить в виде прямого произведения двух других меньших групп, свойства которых исследовать проще.

Найдём прямое произведение группы саму на себя:

Sym tbl10.png

Получившаяся группа из 4-х элементов (порядок равен 4) может быть записана следующим образом: .

Пусть - единичный элемент группы . Тогда множество элементов , ,..., образуют инвариантную подгруппу группы . Эта подгруппа изоморфна группе (\,H).

Если две инвариантные подгруппы и группы пересекаются только на единичный элемент, и произведение множеств приводит к множеству , то группа изоморфна прямому произведению :

Это утверждение стоит попробовать доказать (\,H), доказав сперва, что если две инвариантные подгруппы не имеют общих элементов (кроме единичного), то их элементы коммутируют друг с другом (\,H).

\hrule

В теории групп существует множество определений, которые необходимо выучить, каждый раз испытывая удивление тому, что 4 простые аксиомы порождают такое разнообразие алгебраических структур. Напомним наиболее важные термины:

группа, порядок группы и элемента, абелева группа, подгруппа, сопряженная и инвариантная подгруппы, простая и полупростая группы, изоморфизм, гомоморфизм, ядро, смежный класс, фактор-группа, класс эквивалентности, самосопряженный элемент, центр, нормализатор, группа автоморфизмов, прямое произведение.


Группа перестановок << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Представления групп

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии