Стохастические уравнения записывают, чтобы описать динамику некоторой реальной системы. Если соответствующие уравнения адекватны, то вопрос о единственности их решений обычно отходит на второй план. Тем не менее, он рано или поздно встаёт перед исследователем и является достаточно важным. Мы рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения, а затем перейдём к их стохастическому аналогу. Однако сначала вспомним некоторые утверждения из анализа.
Мы называем функцию непрерывной в точке , если пределы при стремлении к ней слева и справа существуют и равны друг другу. Так, непрерывна во всех точках, кроме . Разность называется разрывом функции. Для в он равен бесконечности.
Непрерывная на интервале функция непрерывна в каждой его точке. В этом случае она имеет ограниченные значения и всегда существует такое конечное , что
|
(5.23)
|
Это неравенство, например, не выполняется для функций , на интервале .
Разрывная функция может как удовлетворять этому неравенству (если имеет конечный разрыв), так и не удовлетворять (для бесконечного разрыва). Непрерывная функция, не обращаясь в бесконечность на конечном интервале, всегда ему удовлетворяет. Другое эквивалентное свойство — непрерывная функция на интервале всегда имеет конечное минимальное и максимальное значения.
Теорема Ролля утверждает, что, если и в интервале производная непрерывна, то всегда существует такая точка : , в которой . Интуитивно это понятно. Если функция не постоянная и , то внутри она всегда достигнет минимума или максимума, в которых производная обратится в ноль (левый рисунок):
Важно существование на конечной производной. Например, для (рисунок справа) выполняется . Однако нигде в интервале в ноль не обращается.
Формула конечных приращений Лагранжа непосредственно следует из теоремы Ролля. Если , то для всегда можно подобрать такое , что:
Поэтому по теореме Ролля существует такое , что , и, следовательно:
|
(5.24)
|
Естественно, такая точка может быть и не одна, и мы знаем о ней только то, что она находится где-то внутри отрезка .
Лемма Гронуолла - Беллмана: если для констант , на справедливо первое неравенство (5.25), то тогда выполняется и второе:
|
(5.25)
|
Для доказательства введём функцию:
где мы взяли производную от и воспользовались первым неравенством (5.25). Неравенство, которому удовлетворяет , похоже на неоднородное линейное дифференциальное уравнение. Поступая аналогично этому случаю и вводя функцию , имеем:
Интегрируя его от до и учитывая, что и , получаем:
Дифференцируя последнее неравенство , мы приходим к (5.25). В частном случае имеем такую форму леммы:
|
(5.26)
|
Поэтому, если и она удовлетворяет первому неравенству (5.26), то это означает, что функция равна нулю: .
Рассмотрим теперь обыкновенное дифференциальное уравнение:
|
(5.27)
|
Для него справедлива теорема о существовании и единственности:
Если в открытой области на плоскости функция непрерывна и имеет непрерывную производную по , то через любую точку проходит одно и только одно решение (5.27).
Если производная непрерывна, то в соответствии с (5.23) она ограничена: , и по формуле конечных приращений (5.24) мы имеем неравенство Липшица:
|
(5.28)
|
Оно является непосредственным следствием непрерывности .
Докажем единственность решения (5.27), представив его в форме интегрального уравнения:
Пусть на интервале существуют два решения и с одинаковым начальным условием . Запишем их в интегральной форме и вычтем:
Так как сумма модулей всегда больше модуля суммы, имеем:
где во втором неравенстве мы воспользовались условием Липшица (5.28). В соответствии с леммой Гронуолла - Беллмана (5.26), из этого неравенства следует, что , и, следовательно, решения совпадают.
Подобное доказательство "от противного" типично для многих "неконструктивных" рассуждений в математике. Заметим, что мы доказали, что, если производная по непрерывна, то решение единственно. Для разрывной производной может появиться более одного решения.
Большинство уравнений имеют единственное решение. Однако бывают и исключения. Рассмотрим пример:
|
(5.29)
|
Если начальное условие , то формально решение имеет вид . Однако несложно проверить, что следующая функция также является решением (5.29) и удовлетворяет начальным условиям :
где — произвольное число. Причина неоднозначности - в нарушении условия Липшица (бесконечность производной в ). В реальном Мире, если некоторая система описывается (5.29), то она не сдвинется из начального состояния , если "решает" уравнение итерациями. Спустя произвольный момент времени может произойти внешнее воздействие (флуктуация), которое "столкнёт" итерационный процесс с нулевой отметки. Это и приведёт к неоднозначному решению ( C).
Кроме неоднозначности, с решениями уравнений может произойти ещё одна неприятность. Рассмотрим следующую задачу:
Через конечное время от начального момента решение обращается в бесконечность. Подобная ситуация называется "взрывом решения". За редкими исключениями подобные модели не соответствуют реальным системам или являются лишь их грубым приближением.
С начальным условием дифференциального уравнения связана одна тонкость. Не любая функция со значением удовлетворяет хоть какому-то дифференциальному уравнению первого порядка. Так, в производной по времени функции никакими заменами и выбором не удастся одновременно избавиться и от , и от . Подставляя в уравнение решение , мы должны так его преобразовать, чтобы константы , , являющиеся "внешними" к уравнению начальными условиями, сократились.
Перейдём теперь к стохастическим дифференциальным уравнениям. Так как мы работаем со случайными процессами, различные реализации траектории могут отличаться сколь угодно сильно. Говоря о единственности решения, мы подразумеваем единственность плотности вероятности , которая влечёт за собой единственность среднего значения, волатильности, автоковариационной функции и т.д.
Докажем, что для уравнения
решение будет единственным, если производные по сноса и волатильности непрерывны. Непрерывность означает, что производные ограничены (нигде не обращаются в бесконечность):
Поэтому в силу формулы Лагранжа каждая из них удовлетворяет неравенству Липшица:
|
(5.30)
|
Будем действовать так же, как и в детерминированном случае. Перейдём к интегральному уравнению:
Пусть существуют две разные случайные функции и с одинаковым начальным условием , которые удовлетворяют этому уравнению. Найдём дисперсию их разности:
где , - разности сноса или волатильности, вычисленные для каждого решения.
Для двух - мерных векторов и скалярное произведение всегда меньше, чем произведение их длин (косинус угла между ними меньше единицы). Поэтому справедливо неравенство Коши - Буняковского:
Если все , имеем такой вариант этого неравенства:
В нашем случае , поэтому:
Для первого интеграла (точнее, его интегральной суммы) снова применим неравенство Коши-Буняковского c . Среднее значение квадрата стохастического интеграла по можно записать через среднее от обычного интеграла по времени (5.13), поэтому:
Воспользуемся теперь неравенствами Липшица (5.30), возведя их в квадрат. В результате:
где . Среднее разности решений — это обычная функция времени, поэтому, применяя лемму Гронуолла — Беллмана (5.26), приходим к выводу, что .
Среднее является интегралом с положительной плотностью вероятности. Величина также положительна. Интеграл от положительной функции может быть равен нулю, только когда она равна нулю. В результате мы приходим к выводу, что , и решение единственно.
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения