Дипольное излучение

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Потенциалы поля << Оглавление (Глава 5) >> Немного комплексных чисел


В разделе были получены выражения для электрического и магнитного полей на больших расстояниях от зарядов и токов в статическом случае. Проведём аналогичные вычисления в ситуации, когда токи, положение зарядов, а следовательно, и напряжённость электромагнитного поля меняются со временем.

Пусть расстояние от точки наблюдения полей до компактной системы зарядов равно . Тогда любые изменения, происходящие с этими зарядами, будут наблюдаться в прошлом, отдалённом от текущего момента на время , где — фундаментальная скорость. На самом деле, всё в этом мире мы наблюдаем в прошлом. Любые сигналы распространяются со скоростью, равной или меньшей фундаментальной. Чем дальше от нас объект, тем более отдалённое его прошлое мы видим. То, что происходит с Солнцем, мы узнаём только через 8 минут, а соседнюю галактику Андромеды мы видим такой, какой она была 2.5 миллиона лет назад.

Запишем решение уравнений Максвелла для скалярного потенциала (), стр.\pageref{retarded_potential_phi}:

опустив часть решения свободных уравнений, не связанную с зарядами . Разложим в ряд расстояние от элементарного объёма до точки наблюдения (см. также стр.\pageref{sec_em_moments}):

где . Разложим также плотность заряда в ряд Тейлора по :

где — время в прошлом от текущего момента , в котором наблюдатель, расположенный в , "видит" систему зарядов. Точка над — частная производная по времени. Аналогично разложим в ряд знаменатель под интегралом:

ограничившись порядком малости .

Перемножая эти два ряда с точностью до , получаем:

где введены суммарный заряд и дипольный момент системы зарядов:

Первое слагаемое является кулоновским потенциалом. Если система зарядов замкнута, то её заряд постоянен и кулоновский член не зависит от времени и эффекта запаздывания. Дальше для простоты будем рассматривать случай . Второе и третье слагаемые в разложении потенциала определяются дипольным моментом и скоростью его изменения. При этом второе слагаемое совпадает с выражением, полученным в электростатике \S (за исключением эффекта запаздывания). Дипольный момент даже замкнутой системы зарядов (в отличие от полного заряда) является функцией времени. На расстоянии он должен браться в момент времени . Третье слагаемое на больших расстояниях убывает существенно медленнее, чем второе. Поэтому именно оно описывает излучаемую электромагнитную волну. Такое излучение называется дипольным электрическим излучением.

В силу уравнения непрерывности (), стр.\pageref{elec_q_save}, производную по времени от дипольного момента можно переписать следующим образом:

где действует на и последнее равенство получается в результате интегрирования по частям. Действительно, запишем -ю компоненту производной дипольного момента:

(интеграл от полной дивергенции равен нулю в силу теоремы Гаусса, т.к. на поверхности объёма токов нет).

Напомним, что при рассмотрении стационарных задач в магнитостатике мы считали, что пространственный интеграл от плотности тока равен нулю (в стационарном случае ограниченный ток должен быть замкнутым). Если токи зависят от времени, это не так. Например, поле может создавать одиночный заряд, движущийся с переменной скоростью. В этом случае и интеграл от тока равен .

Аналогично записывается разложение интеграла (), стр.\pageref{retarded_potential_A} для векторного потенциала. Мы ограничимся только ведущим приближением:

Как и в случае с третьим слагаемым в разложении скалярного потенциала, это выражение называется электрическим дипольным излучением.

Найдём электромагнитное поле на больших расстояниях, взяв для скалярного потенциала третье слагаемое (, ):

Будем пренебрегать членами порядка по сравнению с линейно убывающими по . Поэтому при взятии ротора от можно вынести за знак наблы, так как её действие на этот множитель даст вклад порядка . При дифференцировании по координатам дипольного момента необходимо учесть, что , поэтому:

где, как и раньше, — единичный вектор в направлении точки наблюдения. Следовательно, магнитное поле равно:

Аналогично вычисляется электрическое поле:

Таким образом, в приближении электрического дипольного излучения:

Заметим, что электрическое и магнитное поля оказались перпендикулярными. Дальнейшие члены разложения скалярного потенциала приводят к поправкам к этим выражениям, называемым квадрупольным (и далее мультипольным) излучением. Следующие члены разложения векторного потенциала дают т.н. магнитно-дипольное излучение, зависящее от вторых производных магнитного момента . Подобный ряд можно строить сколь угодно длинным, получая всё более точное приближение к интегральному представлению запаздывающих потенциалов.

Плотность импульса электромагнитного поля дипольного излучения равна:

где учтено, что . В силу закона сохранения электромагнитной энергии (), стр. \pageref{energy_E}, убывание энергии в объёме связано с её потоком через поверхность. Интеграл от по этой поверхности равен "уходу" энергии за единицу времени.

Интенсивность излучения в направлении телесного угла определяется, как поток энергии, проходящий в единицу времени через элемент поверхности сферы радиуса :

Введя угол между и единичным вектором , интенсивность в телесном угле можно записать следующим образом:

Интенсивность излучения максимальна в направлении, перпендикулярном второй производной по времени от дипольного момента ().

Проинтегрируем интенсивность излучения по всему телесному углу ():

В результате получается полная интенсивность излучения (суммарная энергия, теряемая системой зарядов в единицу времени):

(EQN)

Наличие второй производной у дипольного момента означает, что излучение возникает, когда заряды движутся ускоренно. Например, для одиночного заряда и , где — ускорение заряда в момент времени .

Выше разложение запаздывающих потенциалов производилось в предположении . Однако при вычислении напряжённостей поля возникают производные по времени. Поэтому подобное разложение также предполагает относительную малость скоростей и ускорений зарядов.

В качестве примера рассмотрим диполь, который периодически изменяется со временем с частотой :

Таким диполем может выступать заряженная частица, испытывающая периодические колебания вдоль постоянного вектора . Вторую производную дипольного момента необходимо вычислить при . Поэтому:

Соответственно, электрическое и магнитное поля равны:

Если поля наблюдаются на линии, перпендикулярной вектору , то и электрическое поле параллельно . Направления полей приведены ниже на рисунке:

Dipol rad.png

В окрестности рассматриваемой линии электромагнитное поле похоже на плоскую волну, амплитуда которой постепенно убывает с удалением от её источника.

Полная энергия излучения через сферу радиуса равняется:

где — длина диполя (амплитуда колебания заряда). Эта энергия периодически изменяется с частотой . Её среднее значение по периоду изменения равно:

Энергия излучения быстро растёт с ростом частоты колебаний диполя. Однако необходимо помнить, что дипольное приближение справедливо только при малых скоростях зарядов. Поэтому приведенные выше соотношения справедливы только при

В качестве второго примера рассмотрим электрон, движущийся вокруг протона по окружности радиуса (неквантовая модель атома). Заряд электрона отрицательный , а у протона — положительный . Свяжем начало системы отсчёта с протоном. Так как его масса в 1836 раз больше, чем у электрона, будем считать его неподвижным. Дипольный момент равен и направлен от электрона к протону. Пусть скорость движения невелика, так что можно воспользоваться нерелятивистской динамикой. Запишем уравнения движения и энергию электрона (без учёта энергии покоя ):

Если движение происходит по окружности, то ускорение по модулю равно и направлено к центру (к протону). Поэтому:

Полное излучение энергии в единицу времени равно:

Эта величина равна (потеря энергии электрона за время ). Относительное изменение энергии будет равно:

где в последнем выражении восстановлена скорость света в результате подстановок , . Введём т.н. классический радиус электрона и возьмём типичный радиус атома (боровский радиус)

где — безразмерная постоянная тонкой структуры. Тогда относительное изменение энергии электрона имеет вид:

Энергия электрона уменьшится в два раза всего за секунды. Потребовалось создать квантовую теорию, чтобы, в том числе, объяснить устойчивость атомов. Заметим, что относительная скорость электрона равна постоянной тонкой структуры . Поэтому за секунды электрон совершит примерно оборотов вокруг протона.


Потенциалы поля << Оглавление (Глава 5) >> Немного комплексных чисел

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии