Граничные условия

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Решение уравнения Фоккера-Планка << Оглавление >> Вероятность достижения границы

При логарифмическом блуждании (2.24), линейная зависимость сноса и волатильности от приводит к тому, что решение положительно . Однако не всегда возможно ограничить диапазон значений решения в рамках только уравнений. Чаще задаются внешние к уравнению граничные условия. Они могут быть различных типов.

Отражающие граничные условия изменяют знак приращения при достижении границы. Например, броуновская частица, на которую действует сила тяжести, будет постепенно опускаться вниз. Однако сосуд, в котором она находится, ограничен снизу дном. При его достижении частица отразится и продолжит блуждание в соответствии с уравнением. Так как сила тяжести (снос) продолжает действовать, частица будет постоянно возвращаться и отражаться от граничной поверхности. В результате со временем установится некоторое стационарное распределение вероятностей координат и скорости броуновской частицы.

Поглощающие граничные условия предполагают прекращение процесса при достижении границы. Если — координата частицы, то на поглощающей границе она удаляется из пространства. Поэтому полная вероятность нахождения в пространстве должна со временем уменьшаться. Наиболее естественная интерпретация подобной ситуации состоит в блуждании в области большого числа частиц, концентрация которых пропорциональна плотности вероятности. По мере достижения частицами границ они удаляются, и общая концентрация падает.

Периодические граничные условия накладывают, когда при достижении некоторой границы происходит перемещение на другую границу , откуда процесс продолжает развиваться в соответствии со стохастическим уравнением. Примером периодических граничных условий будет блуждание броуновской частицы внутри кольца, заполненного водой. В этом случае угловая координата , задающая её положение, обладает свойством периодичности, так как значения и эквивалентны.

Решение стохастических дифференциальных уравнений при наличии граничных условий обычно удаётся получить только численным образом. Для этого моделируется процесс блуждания, в котором при достижении границы проводится локальное изменение в соответствии с граничными условиями. По большому числу реализаций подобных выборочных процессов можно вычислить средние значения интересующих нас величин или плотность условной вероятности.

Более удобным инструментом изучения поведения системы в таких ситуациях является уравнение Фоккера - Планка (4.10), для плотности вероятности :

Перепишем его в следующем виде:

(4.15)

Функция называется потоком вероятности. Пусть эволюция происходит в границах . При этом одна или обе границы могут находиться на бесконечности. Проинтегрируем (4.15) по :

(4.16)

Изменение вероятности нахождения в области определяется значениями на границах области. Уравнение (4.15) является законом сохранения в дифференциальной форме, а (4.16) — в интегральной. Ситуация эквивалентна любому закону сохранения. Так, сохранение заряда в "объёме" происходит, если суммарный ток на границе отсутствует (сколько вошло зарядов за единицу времени, столько же и вышло).

Для плотности вероятности более естественна аналогия с концентрацией частиц в единичном объёме . Если общее число частиц равно , и вероятность нахождения в той или иной точке пространства равна , то концентрация частиц равна . В этом случае ток вероятности представляет собой физический перенос частиц и определяется их скоростью в данной точке и концентрацией .

В трёхмерном пространстве дифференциальный и интегральный законы сохранения числа частиц имеют вид:

где , — скорость частиц, а - дивергенция. Вектор элементарной поверхности направлен перпендикулярно из объёма , который окружает поверхность , наружу. Поэтому ток, направленный из объёма, приводит к уменьшению числа частиц, а вовнутрь — к увеличению.

Для отражающих или периодических границ полная вероятность нахождения в интервале не изменяется:

При достижении периодической границы объект переносится в , так что токи на границах одинаковые и не равны нулю. При этом плотность вероятности на границах должна совпадать, так как фактически это одна точка пространства (для блуждания внутри кольца это очевидно). В случае отражающих границ токи в точности нулевые. Символически это представлено на рисунках ниже:

Borders.png

При отражающих граничных условиях ток, отражаясь, образует прямое и встречное направления, поэтому суммарный поток на границе равен нулю. Поглощающая граница характеризуется нулевым значением вероятности , так как частица в этой точке "исчезает" из пространства.

Таким образом, для трёх типов границ используются следующие граничные условия ():

Отражающая или поглощающая границы могут быть в единственном виде или сосуществовать одновременно (например, слева — отражающая граница, а справа — поглощающая). Если граница одна, то обычно предполагается выполнение поглощающего граничного условия на бесконечности . Периодические границы по своему смыслу должны присутствовать одновременно.

Естественно, можно использовать и более затейливые границы. Например, полупрозрачная граница, на которой с некоторой вероятностью происходит отражение частицы или прохождение её через границу. Понятно, что подобных полупрозрачных границ в пространстве может быть несколько. Однако в большинстве задач достаточно перечисленных выше границ трёх типов.

Уравнение Фоккера-Планка для одной и той же системы с различными граничными условиями приводит к качественно отличающимся решениям. Рассмотрим два простых примера.

Для наглядности будем считать, что — координата частицы, которая испытывает постоянный снос, смещаясь в среднем влево (ось направлена слева направо):

Пусть в существует отражающая граница. В этом случае возможно стационарное решение уравнения Фоккера - Планка. Каким бы ни было начальное значение координаты , частица рано или поздно достигнет границы и отразится от неё. Однако снос будет всё время возвращать её обратно. В результате установится стационарное состояние. При этом вероятность нахождения частицы в пространстве должна уменьшаться по мере удаления от границы. Найдём её явный вид, решив стационарное уравнение Фоккера - Планка с :

Нормировочный множитель находим, интегрируя от нуля до бесконечности. В данном случае ток равен нулю не только на отражающей границе, но и во всём пространстве. В противном случае не получилось бы стационарного решения.

Рассмотрим ту же систему, но с двумя периодическими границами . В этом случае (4.15) имеем:

Мы снова интересуемся стационарным решением, поэтому — это константа интегрирования по уравнения Фоккера-Планка с . Граничные условия для потока вероятности выполняются автоматически, так как . Периодические граничные условия для плотности вероятности выполняются только при . В результате равна константе , значение которой находится из условия нормировки. Поэтому, .

Смысл этого решения легко понять. При отрицательном сносе частица постепенно дрейфует к левой границе . При её достижении она переносится на правую границу , и процесс повторяется. Понятно, что со временем установится однородное распределение вероятностей. Аналогично, при блуждании броуновской частицы внутри кольца вероятность её нахождения в той или иной точке пространства постепенно станет постоянной. Напомню, что в открытом пространстве вероятность расплывается и стационарного режима у системы быть не может.



Решение уравнения Фоккера-Планка << Оглавление >> Вероятность достижения границы

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения