Время и расстояние в равноускоренной системе

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Равноускоренная система отсчета << Оглавление >> Неинерциальные координаты и время

Разберёмся, почему ускорение второго корабля оказалось меньше. Траектории обоих кораблей известны, поэтому можно записать показания часов каждого из них в момент времени :

Заметим, что время , прошедшее на первом корабле, и на втором сравнивается с различными часами, синхронизированными в системе . Запишем координту второго корабля через его собственное время:

Пусть второй (правый) корабль посылает "сигнал точного времени" в направлении первого корабля. Он уходит в момент времени и приходит к первому кораблю в момент , проходя с единичной скоростью () в системе расстояние , или . Запишем это уравнение во временах каждого корабля:

Выражая гиперболические функции через экспоненты, получаем линейную связь времён и "радиолокационного расстояния" :

(4.7)

Сигналы, отправленные через равные промежутки времени, по часам второго корабля будут также приходить через равные промежутки, однако с другим интервалом:

Частота принятого сигнала от удалённого наблюдателя равноускоренной системы тем больше, чем дальше по ходу движения находится источник сигнала.

Таким образом, если расстояние между наблюдателями в неинерциальной системе отсчета остаётся неизменным, то время у них течёт различным образом. Чем дальше по направлению ускорения находятся часы, тем быстрее на них идёт время.



Наблюдатели в ускоренной системе отсчёта чувствуют себя точно так же, как и мы на Земле, находясь в однородном поле силы тяжести. В частности, все объекты, "выпущенные из рук", независимо от их массы приобретают ускорение .

Equvalentnost.png

Если, следуя Эйнштейну, считать, что равноускоренная система неотличима от однородного гравитационного поля, то полученная формула для частот должна выполняться и в земных условиях. В частности, приёмник, расположенный ниже источника эталонного излучения , должен получать сигнал с большей частотой , где , а — высота источника над приёмником, и восстановлена константа "". Это соотношение с хорошей точностью подтвердилось в эксперименте Паунда и Ребки (1960 г.). Их установка имела высоту , что соответствовало относительному изменению частоты , которое удалось измерить при помощи эффекта Мёссбауэра.

Слагаемое в формуле (4.7) — это время распространения света при передаче сигнала по часам первого корабля. Действительно, в (4.4) мы определили . Время движения "туда и обратно" светового импульса может быть принято первым кораблём за удвоенное расстояние до второго корабля. С учётом времени на прохождение этого расстояния, наблюдатели могут сравнить показания своих часов и :

(4.8)

В результате событие, произошедшее на втором корабле в момент , наблюдатель на первом может считать одновременным моменту его часов , так как информация о нём достигнет первого корабля через время, равное расстоянию .

Напомним, что расстояние между кораблями до старта равнялось . Как только появилось ускорение, пространство стало неизотропным и расстояние до второго корабля уменьшилось, и в дальнейшем уже не менялось. На самом деле, скачок расстояния наблюдатели обнаружат после старта, спустя некоторое время, необходимое для проведения его радиолокационного измерения. В момент отключения двигателей неинерциальная система отсчёта превращается в инерциальную, и пространство снова становится изотропным. Расстояние между кораблями увеличится с величины до значения .

Радиолокационный метод, проведенный наблюдателем на первом корабле привёл к расстоянию между кораблями равному . Посмотрим, что получится, если такое же измерение проведёт наблюдатель на втором корабле. Запишем процесс посылки и получения сигнала обратно с точки зрения системы :

Nonin radlocback.png

Из этих двух уравнений следует:

где во втором равенстве учтён явный вид функции (4.1). Переходя ко времени второго корабля , имеем:

Записав гиперболические функции через экспоненты, из этого уравнения несложно получить значение длительности прохождения сигнала в обе стороны:

(4.9)

Таким образом, второй наблюдатель получит в большее расстояние, чем первый. Если повторить расчёт по посылке периодических сигналов (стр.\pageref{acsel_ref_sys_times}), но теперь от первого корабля ко второму, то получится соотношение:

(4.10)

В результате второй корабль от первого будет получать сигналы с меньшей частотой

Таким образом, мы не только не можем говорить о едином времени в неинерциальной системе, но и координаты (расстояния от начала отсчёта) являются величинами, измеряемыми конкретными наблюдателями. Например, в (4.8) получается в результате радиолокационных измерений наблюдателя на первом корабле, а в (4.9) для наблюдателя на втором. Они не совпадают. Это и понятно. В радиолокационном методе используются часы. Если время для различных наблюдателей в неинерциальной системе течёт по-разному, то и результаты радиолокации будут различными.


В процессе движения, расстояние между кораблями в неинерциальной системе отчёта выдерживается неизменным при помощи радиолокационного метода. Для неподвижных наблюдателей в системе , расстояние между кораблями уменьшается. С точки зрения стандартного сокращения Лоренца в этом нет ни чего удивительного, так как скорость кораблей всё время растёт.

Представим "линейку", соединяющую оба корабля. Её длина в системе равна:

Наблюдатель системы , находящийся на первом корабле, считает, что длина линейки (расстояние между кораблями) равна

(4.11)

Если ввести скорость первого корабля относительно неподвижной инерциальной системы отсчёта и соответствующий этой скорости фактор Лоренца:

то выражение для длины можно переписать следующим образом:

где приближённое равенство записано в первом приближении по собственному ускорению . Для этого, экспонента раскладывается в ряд , и для корня используется разложение .

Таким образом, если собственное ускорение мало, то зависимость длины стержня совпадает с лоренцевским сокращением для двух инерциальных систем отсчёта. В общем же случае, сокращение линейки отличается от лоренцевского.

Подчеркнём, что значение неинерциальные наблюдатели получают в результате радиолокационного измерения, а не реальным прикладыванием линейки, при помощи которой они измеряют скорости в своей непосредственной окрестности. В соответствии с (4.11) оно отличается от начального расстояния между кораблями и различно для наблюдателя не первом и втором кораблях. Выше, в качестве собственной длины линейки, было выбрано радиолокационное расстояние, измеренное наблюдателем на первом корабле.



Приведём численный пример. Будем считать, что , время измеряется в годах, а расстояние — в световых годах (). Пусть оба корабля эскадры, разогнавшись до скорости относительно системы , отключают двигатели и начинают двигаться равномерно. Так как темп хода часов на каждом корабле различный, различным будет и время набора требуемой скорости. Пусть первый корабль по часам системы разгоняется в течение одного года , достигая скорости По собственным часам корабля время ускоренного движения составляет года. Второй корабль, находящийся при старте на расстоянии одного светового года , достигнет этой же скорости (по часам системы ) в раза позже [см. (4.6)]:

что соответствует его собственному времени , равному:

Таким образом, по собственным часам второго корабля на разгон уходит в два раза больше времени, чем на первом.

Для экипажа первого корабля часы на втором корабле идут быстрее в раз (4.8). Поэтому в корабли достигнут одинаковой скорости одновременно (в указанном ранее смысле). В то же время, для наблюдателей в события отключения двигателей неодновременные и отстоят друг от друга во времени на один год. В течение разгона часы второго корабля уходят вперёд по сравнению с часами первого корабля. После отключения двигателей система превращается в инерциальную, и темп хода всех часов становится одинаковым. Однако экипаж флагманского корабля оказывается старше в раз. В результате корабли вынуждены по-новому синхронизировать свои часы.

Расстояние между кораблями для наблюдателей в после отключения двигателей второго корабля в момент времени перестаёт изменяться и становится равным:

Второе слагаемое в квадратных скобках — это расстояние, которое пролетел первый корабль с постоянной скоростью после отключения двигателя. Таким образом, дистанция между кораблями () уменьшилась по сравнению с той, которая была (), когда они стояли на космодромах. Это итоговое сокращение, при любом парамере , в точности соответствует лоренцевскому сжатию линейки.



Подведём некоторые итоги. Мы выбрали устройство часов в неинерциальной системе отсчёта (НИСО) таким образом, чтобы скорость свободных частиц в плоскости, перпендикулярной ускорению была постоянной. Затем предположили, что ход таких часов с точки зрения наблюдателей в "неподвижной" инерциальной системе отсчёта (ИСО) замедляется так же, как и в сопутствующей ИСО, которая движется с той же скоростью, что и НИСО. Собственно неинерциальной системой отсчёта мы назвали совокупность наблюдателей, расстояние между которыми, измеряемое при помощи световых сигналов (радиолокации), неизменно по их часам. Однако для наблюдателей в ИСО такая НИСО уже не выглядит жёсткой и все её точки вдоль направления движения имеют различные скорости.

Обмен наблюдателями световыми сигналами приводит к выводу, что время в различных точках НИСО течёт различным образом. Аналогично, расстояние между двумя наблюдателями в НИСО хотя и постоянно, но имеет различное значение для каждого из них.

Мы не использовали свойств скорости световых сигналов в НИСО. Однако, расстояние, полученное а результате радиолокационного измерения, считалось неизменным. Поэтому фактически предполагалось постоянство скорости света в НИСО (но не обязательно её изотропность) вдоль оси . В дальнейшем мы примем более сильное допущение:
Скорость светового сигнала в неинерциальной системе отсчёта остаётся постоянной вдоль траектории его движения.
Разберёмся с физическими предпосылками этого допущения. В любой момент времени можно представить, что рядом с некоторым наблюдателем в НИСО с той же скоростью движется инерциальный наблюдатель. Для него фундаментальная скорость (скорость света) постоянна во всех направлениях и является максимально возможной скоростью движения любого объекта. Находясь рядом, инерциальный и неинерциальный наблюдатели имеют одинаковую скорость и темп хода времени. Они без труда могут согласовать свои единицы измерения. Спустя некоторое время скорость неинерциального наблюдателя изменится и рядом с ним может оказаться другой инерциальный наблюдатель. Если у первого и второго инерциальных наблюдателей единицы измерений были согласованы, то они окажутся согласованными между неинерциальным наблюдателем и вторым инерциальным. Это утверждение основано на определении темпа замедления времени в НИСО, неизменности линеек в перпендикулярном к ускорению напралению. Поэтому измерения скорости света в эти два последовательные момента времени окажутся одинаковыми по величине и направлению.



Равноускоренная система отсчета << Оглавление >> Неинерциальные координаты и время

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии