Вращающаяся система отсчёта

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Преобразования координат << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Нежёсткая равноускоренная система отсчёта

Рассмотрим космический корабль, вращающийся по окружности радиуса с угловой скоростью относительно лабораторной системы отсчета . Скорость корабля равна . Поэтому интервал времени , измеренный по часам на корабле, связан с интервалом времени по часам лабораторной системы в соответствии со стандартной релятивистской формулой:

(EQN)

Пусть наблюдатель на корабле посылает два световых сигнала, распространяющихся вдоль окружности в противоположных направлениях. Движение света по окружности можно реализовать при помощи набора зеркал, равномерно расставленных вдоль окружности и вращающихся с той же угловой скоростью . Эквивалентно для этого можно использовать кольцевой световод. Найдем времена распространения каждого сигнала в лабораторной системе отсчета . Сигнал, движущийся в направлении вращения корабля возвращается к кораблю через время . Он проходит расстояние , увеличенное на дугу , вдоль которой сместился корабль в течении времени . Второй световой сигнал, движущийся на встречу кораблю проходит за время меньшее расстояние:

Nonint rot3.png

Разность этих времен будет равна:

Соответственно, по часам корабля () разница времен имеет вид:

(EQN)

Этот эффект обнаружил в 1913 Жорж Саньяк при помощи вращающегося кольцевого интерферометра. При этом измерялась не разница времен, а интерференция сигналов, связанная с относительным сдвигом фаз световых волн. Точность этого эксперимента позволила измерить только ведущее приближение к формуле (), где — площадь, ограниченная траекторией движения сигналов.

Рассмотрим теперь два космических корабля, вращающихся с одинаковой угловой скоростью по орбите радиуса . Будем считать, что угловое расстояние между ними в лабораторной системе равно . Относительно этой системы время на кораблях одинаковым образом замедляется и показания их часов равны:

(EQN)

где — это время первого корабля, а — второго корабля, находящегося по ходу вращения относительно первого. Время лабораторной системы в обоих формулах относится к различным синхронизированным часам, расположенным вдоль траектории движения кораблей. Синхронизация часов на кораблях требует проведения определённых измерений, задающих параметр . Понятно, что является функцией угла. Если он отсчитывается от первого корабля, то .

Пусть наблюдатель на первом корабле для измерения расстояния ко второму кораблю использует радиолокацию. По-прежнему пока будем считать, что световой сигнал движется по окружности. В лабораторной системе он испускается в момент времени и достигает второго корабля в момент времени . За время этот корабль смещается вдоль окружности на угол . Поэтому свет проходит угловое расстояние Затем сигнал отражается и возвращается к первому кораблю в момент времени . Этот обратный сигнал проходит меньшее угловое расстояние :

Nonint rot4.png

Складывая и вычитая последние две формулы, имеем:

(EQN)

Аналогичные соотношение получатся, если такой же радиолокационный эксперимент проведёт наблюдатель на втором корабле. Однако при этом во всех формулах необходимо произвести замену . Такая же замена возникает, если первый корабль проводит измерение расстояния по более длинному пути (против вращения).

Чтобы перейти к временам на кораблях необходимо воспользоваться соотношениями ():

(EQN)

где — радиолокационное расстояние между кораблями. Обратим внимание, что оно больше на лоренцевский фактор ( — линейная скорость кораблей), чем длина дуги между кораблями в лабораторной системе. Этот результат не зависит от того, наблюдатель какого корабля проводит измерение расстояния (оно не меняется при замене ).

Найдем функцию . Возможны различные способы синхронизации часов на кораблях. Рассмотрим сначала следующий вариант. Пусть в центре орбиты происходит вспышка света. В лабораторной системе она достигнет каждого корабля одновременно. Кажется естественным в этот момент выбрать начало отсчета времени на кораблях. Однако, это не так. В силу относительности одновременности, информация о вспышке достигнет кораблей неодновременно. Действительно, устремим к бесконечности, а к нулю так, чтобы скорость оставалась меньше единицы. В этом случае корабли будут двигаться практически по прямой. Если угловое расстояние между ними мало, связанная с кораблями система не отличается от сопутствующей к ним инерциальной системы отсчета (ИСО), движущейся относительно лабораторной со скоростью . В этой системе информация о вспышке попадет на второй корабль позже, чем на первый (см.\,стр.\,\pageref{delta_lorenz1}).

Другой, более физичный способ (с точки зрения сопутствующей ИСО), состоит в таком выборе , чтобы

или:

(EQN)

Тогда времена распространения сигнала туда и обратно, измеренные при помощи двух часов, будут равны друг другу:

Такая эффективная скорость света равна единице и не зависит от направления распространения. Прилагательное "эффективная" применено, чтобы подчеркнуть, что для измерения скорости в одну сторону используются двое часов, находящихся у различных наблюдателей.

Независимо от выбора функции , темп течения времени на обоих кораблях совпадает. Действительно, пусть первый корабль посылает на второй корабль сигналы с периодом . Из () следует, что . Поэтому интервал времени между сигналами, принимаемыми на втором корабле, будет иметь такое же значение . Аналогична ситуация при посылке периодических сигналов со второго корабля. Для источника света и датчика расположенных на вращающемся кольце не будет регистрироваться изменения частоты сигнала, так как они неподвижны друг относительно друга (напомним, впрочем, что в жесткой равноускоренной системе эффект изменения частоты возникает даже для относительно неподвижных приборов).

Таким образом, в результате выбора (), мы получаем достаточно ожидаемые физические результаты. Однако, не всё так просто и не смотря на одинаковый темп хода часов
глобальная синхронизация времени на всех часах, вращающихся по окружности невозможна.
Функция в () линейно зависит от угла . Точки и соответствуют одному и тому же кораблю (первому). Попытка синхронизировать часы сами с собой при помощи посылки сигнала вдоль всей окружности приведет к , хотя на первом корабле, по определению, выбрано . В частности, если первый корабль проводит синхронизацию со вторым кораблём по более длинному пути , то
(EQN)

и необходимо выбирать другое значение начального отсчета времени . При этом процедура синхронизации симметрична и если её проводит наблюдатель на втором корабле, посылая сигнал по кратчайшему пути к первому кораблю, он снова получит (). В результате, наблюдатель на первом корабле, может однозначным образом синхронизовать свои часы со всеми кораблями, находящимися от него не далее чем на . Такую процедуру все эти корабли могут выполнить последовательно друг с другом. Однако, когда такая "цепочка синхронизаций" доберется до корабля, удаленного более чем на , прямая синхронизация с ним первого корабля по кратчайшему пути выявит рассинхронизацию часов.

Такая особенность вращающейся системы отсчета выглядит очень необычно. Однако, эта "необычность" не намного более странная, чем остальные "привычные" релятивистские эффекты, такие как относительность одновременности или замедление темпа течения времени.

До сих пор мы рассматривали подмножество точек вращающейся системы равноудаленных от центра. Пусть теперь два космических корабля в лабораторной системе вращаются с одинаковой угловой скоростью , но при этом находятся на различных расстояниях и от центра. Их скорости равны и , поэтому связь корабельных часов с часами лабораторной системы имеет вид:

(EQN)

Проанализируем радиолокационный эксперимент, который проводит наблюдатель на первом корабле с радиусом орбиты . Теперь будем рассматривать прямолинейное (в лабораторной системе) распространение светового сигнала.

Nonint rot1.png

За время движения сигнала в одну сторону, второй корабль смещается на угловое расстояние . Поэтому длина пути сигнала находится по теореме косинусов с углом , где — угол между прямыми, проведенными из центра по направлению к кораблям. После отражения сигнала, он движется на встречу первому кораблю и для вычисления длины траектории возвращения сигнала за время в теореме косинусов необходимо взять угол . В результате квадраты расстояний, пройденных светом, связаны с квадратами времён его движения туда и обратно следующим образом:

(EQN)

Запишем решения этих трансцендентных уравнений относительно времён в следующем виде:

где — функция угловой скорости , а также радиусов , и угла , зависимость от которых будем опускать.

Исключая и переходя ко времени первого корабля (), имеем:

(EQN)

Правая часть не зависит от времени. Поэтому радиолокационный эксперимент приведет наблюдателя к выводу, что расстояние между кораблями неизменно. Таким образом, совокупность наблюдателей, вращающихся вокруг центра с постоянной угловой скоростью относительно образуют жесткую неинерциальную систему отсчета .

Формула радиолокационного расстояния () упрощается для находящихся рядом кораблей. Заменим угол на бесконечно малый и положим , . Раскладывая в () косинус и решая квадратное уравнение, несложно получить:

Выражение для аналогично за исключением замены на . Поэтому квадрат радиолокационного расстояния между двумя бесконечно близкими точками вращающейся системы отсчета равен:

(EQN)

Это выражение отличается знаменателем во втором слагаемом от евклидового расстояния в полярных координатах . Поэтому геометрия трёхмерного пространства, основанная на радиолокационном определении длины, отличается от евклидовой. Так, длина окружности радиуса с центром на оси вращения (, ) равняется , что больше, чем евклидово значение . Более подробный анализ такой неевклидовости мы проведем в главе .

Если расстояния кораблей от центра различны, то они испытывают различное замедление своих часов. Если второй корабль шлет сигнал в момент времени , то на первом он будет получен в момент :

Если эти сигналы посылаются с периодом , то принимаются они на первом корабле с периодом:

Наблюдатели могут провести синхронизацию часов, однако в дальнейшем соотношение нарушится.


Преобразования координат << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Нежёсткая равноускоренная система отсчёта

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии