Аксиоматика Эйнштейна

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Сложение скоростей << Оглавление (Глава 1) >> Принцип параметрической неполноты

Обсуждение логических основ теории относительности будет неполным без рассмотрения традиционного подхода, восходящего к Эйнштейну. Сам Эйнштейн в 1905 г. в статье "К электродинамике движущихся тел" сформулировал свои постулаты следующим образом \cite{Einstrudu}:

1. Законы, по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того, к которой из двух координатных систем, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, эти изменения состояния относятся. 2. Каждый луч света движется в "покоящейся" системе координат с определенной скоростью независимо от того, испускается ли он покоящимся или движущимся телом.
Второй постулат часто понимают не совсем верно. Поэтому приведём пояснения самого Эйнштейна, которые он сделал в 1921 г. в лекциях "Сущность теории относительности":
...можно считать установленным, что свет, как это вытекает из уравнений Максвелла - Лоренца, распространяется в пустоте со скоростью , по крайней мере, в определенной инерциальной системе координат . В согласии со специальным принципом относительности мы должны считать, что этот принцип справедлив также и в любой другой инерциальной системе.

Сам по себе второй постулат является достаточно "безобидным". Эфирные теории как раз предполагали наличие такой покоящейся системы (ruhenden Koordinatensystem, по Эйнштейну). При этом проводилась аналогия с распространением звука в воздухе. Если наблюдатель неподвижен относительно воздуха, то скорость звука для него постоянна и не зависит от скорости источника звука. Существенным является выделенность системы отсчёта, связанной со средой. В любой другой системе скорость звука будет иной и зависит от направления его распространения звука.

Поэтому предполагалось существование некоторой среды (эфира), в которой распространяется свет (электромагнитные волны). Считалось, что уравнения Максвелла относятся к системе отсчёта, неподвижной относительно этой среды. Соответственно, значение скорости света, следовавшее из уравнений Максвелла, относилось к неподвижной системе отсчёта.

Таким образом, ключевым в аксиоматике Эйнштейна является объединение второго постулата и принципа относительности. Это приводит к совершенно новому и очень сильному утверждению:
Скорость света одинакова во всех системах отсчёта.
То есть независимо от того, каким образом световой импульс был создан, измерение его скорости различными наблюдателями (движущимися относительно друг друга) будет приводить к одному и тому же значению. Этот постулат противоречит "классической интуиции", воспитанной на галилеевом законе сложения скоростей. Тем не менее, он верен и, как мы видели выше, следует из значительно более естественных исходных положений, если отказаться от аксиомы абсолютности времени.

Объединение двух постулатов фактически означало отказ от эфира, как некой среды, в которой распространяется свет. Действительно, принцип относительности имеет смысл только для "пустого пространства", в котором нельзя установить выделенность той или иной инерциальной системы отсчёта. При движении в воздухе или эфире бессмысленно говорить о равноправии систем отсчёта. Особенно, когда основными объектами теории оказываются световые импульсы, распространяющиеся в этой среде.

Заметим, что в рамках аксиоматики Эйнштейна в принципе можно говорить не о скорости света, а о существовании максимально возможной скорости любых объектов в природе. Если эту скорость обозначить через "" и считать, что эта фундаментальная константа едина для всех равноправных инерциальных систем отсчёта, то мы придём к "постулату постоянства" в его сильной формулировке.

До Эйнштейна и Лоренц, и Пуанкаре получали преобразования между системами отсчёта из соображений инвариантности уравнений Максвелла. Историческая важность работы Эйнштейна 1905 г. состояла в том, что он ограничился только одним фактом, следующим из электромагнитной теории: существуют электромагнитные волны, распространяющиеся со скоростью света. В этом смысле его построения были более общими. Когда мы говорим о фундаментальной константе максимальной скорости вместо скорости света, наши построения становятся ещё более общими. Мы не привязываемся к теории конкретного взаимодействия или конкретному агенту, движущемуся в точности с фундаментальной скоростью. Хотя, конечно, предполагается, что такой агент должен быть. Заметим, что в приведенном ранее способе вывода преобразований Лоренца такой агент не требовался. Он мог даже не существовать в принципе, если бы в мире не было безмассовых частиц.

Рассмотрим теперь вывод преобразований Лоренца, основанный на сильной версии постулата о постоянстве скорости света. Будем, следуя Эйнштейну, предполагать линейность преобразований, исходя из "свойства однородности, которое мы приписываем пространству и времени". Эйнштейн для согласования единиц длины между двумя системами отсчёта предполагает, что копия неподвижной жёсткой линейки системы разгоняется до скорости , становясь эталоном длины в системе . Заметим, что абсолютно жёстких линеек не бывает, и при ускорении они могут деформироваться. Проблема несколько упрощается, если линейка при разгоне располагается перпендикулярно вектору ускорения и все её точки одновременно получают одинаковое ускорение. После достижения необходимой скорости ускорение становится нулевым. В силу изотропности пространства в инерциальной системе отсчёта линейка может быть повёрнута вдоль любого направления.

Тем не менее, Эйнштейн предполагает, что координаты и осей, которые перпендикулярны скорости, могут быть отличными:

где — некоторая чётная (в силу изотропии) функция скорости. Так как наблюдатели равноправны, такое же соотношение должно быть справедливым и для обратного преобразования, поэтому:

Так как при должно быть , мы приходим к выводу о том, что , следовательно, координаты, перпендикулярные относительной скорости систем отсчёта, не изменяются.

Запишем линейные преобразования Лоренца в следующем виде:

где , — неизвестные функции скорости. Как и раньше, считаем, что начало системы (точка ) движется по траектории , а начало системы , соответственно, по траектории . В начальный момент времени начала систем отсчёта совпадают.

Предположим, что в момент , например, в точке , происходит вспышка света. Сферическая световая волна в каждой системе отсчёта будет иметь уравнения:

В силу постулата постоянства скорости света радиусы обеих световых сфер (точнее, окружностей) увеличиваются с одинаковой скоростью .

Подставим в уравнение световой сферы системы линейные преобразования координат и времени. Возводя их в квадрат, находим:

Чтобы получилось уравнение сферы в системе , перекрёстные члены должны сократиться. Поэтому:

Собирая слагаемые при , и , имеем:

Учитывая уравнение световой сферы в системе , приходим к следующему соотношению для функции :

Так как при нулевой относительной скорости , при извлечении корня необходимо выбрать знак плюс. В результате получаются искомые преобразования Лоренца:

где мы добавили преобразования для второй перпендикулярной к направлению движения оси . Рассуждения для неё совершенно аналогичны оси .

Заметим, что при выводе преобразований Лоренца был принципиален учёт по крайней мере двух пространственных измерений. Если бы вместо световой сферы (или, как выше, окружности) мы рассмотрели движение светового импульса только вдоль оси , удалось бы найти функцию , но не . Естественно, теория относительности может быть развита и для одномерного пространства. Однако в этом случае постулата постоянства скорости света самого по себе недостаточно. Необходимо использовать, в соответствии с принципом относительности, групповые соображения, подобно тому, как это было сделано в разделе "Преобразования Лоренца". В частности, для координат , записывается обратное преобразование и после подстановки в него прямого получается вид функции . Однако вместо композиции преобразований для трёх систем отсчёта, которое дало нам в разделе 1.3 функцию , можно использовать постулат постоянства скорости света во всех инерциальных системах отсчёта.


Сложение скоростей << Оглавление (Глава 1) >> Принцип параметрической неполноты

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии