Аберрация

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Фотографирование объектов << Оглавление (Глава 2) >> Звёздное небо


Аберрация аналогична эффекту Доплера, однако при этом "искажается" не частота излучения источника, а его видимое положение. Как и эффект Доплера, аберрация имеет классическую составляющую и поправки, связанные с релятивистскими эффектами. Впервые аберрация была обнаружена как изменение положения звёзд при движении Земли по орбите вокруг Солнца. Поэтому начнём мы именно с этого примера.

Пусть неподвижный относительно Солнца наблюдатель видит в направлении от плоскости орбиты Земли так же неподвижную звезду (в астрономии этот угол называется склонением). Другой наблюдатель на Земле движется относительно первого со скоростью (рисунок слева):

Aberation.png

Когда наблюдатели окажутся в одной точке, землянин увидит звезду под углом (второй рисунок). Для землянина звезда движется ему навстречу со скоростью , поэтому она видна из положения , которое занимала некоторое время назад. Это время необходимо свету, чтобы пройти гипотенузу треугольника (). "Истинное" положение звезды соответствует точке . Неподвижный относительно звезды наблюдатель также видит её в прошлом, но всё время в одном направлении (под углом ). Разложение гипотенузы по катетам позволяет связать между собой углы:

где учтено, что для неподвижного относительно звезды наблюдателя , и, в силу лоренцевского сокращения, расстояние по горизонтали до звезды с точки зрения землянина сокращается , а . Учитывая, что , можно записать:

(2.12)

Рассмотренные в предыдущем разделе искажения формы двигающихся объектов, по сути, также являлись проявлением аберрации.



К аберрации можно также прийти от правила сложения скоростей. В данном случае объектом, двигающимся со скоростью относительно системы и c относительно , является световой сигнал, распространяющийся от источника к наблюдателям:

Aberation1.png

Из рисунка следует, что проекции скорости света равны и . Аналогично со штрихами для двигающегося наблюдателя , так как модуль скорости света в обоих системах одинаков. Подставляя эти компоненты в закон сложения скоростей, получим:

(2.13)

Эти формулы являются обратным к найденными выше. Как обычно, обратные преобразования получаются при замене или прямыми алгебраическими вычислениями.

Разница в углах наблюдения источника для неподвижного и двигающегося наблюдателей может быть выражена через синус разности углов :

При малых скоростях можно написать приближённое соотношение:

Так как , следовательно угол мал, и в силу , имеем . Разность в наблюдениях максимальна, когда угол , т.е. источник находится над головой неподвижного наблюдателя. В этом случае, в первом приближении по , отклонение от вертикали для двигающегося наблюдателя составит .

В обыденной жизни мы наблюдаем эффект аберрации, когда замечаем, что звук быстро летящего самолёта в воздухе отстаёт от его истинного положения (которое, в данном случае, практически совпадает с видимым).



Получим теперь формулу аберрации, справедливую для произвольного направления скорости и положения объекта. Для этого запишем преобразования Лоренца в векторном виде. Пусть система двигается со скоростью относительно инерциальной системы :

Lorenz 3D.png

Хотя рисунок выполнен в двумерии, сейчас мы считаем, что движение происходит в трёхмерном пространстве. На правом рисунке представлено разложение радиус вектора по двум векторам и . Первый из них направлен вдоль скорости , а второй ей перпендикулярен:

Длина вектора определяется проекцией на единичный вектор вдоль направления скорости . Он же задаёт направление . Далее, — длина вектора относительной скорости.

Подобное разложение позволяет записать преобразования Лоренца для каждой компоненты:

где . Действительно, направлен вдоль и играет роль в обычных преобразованиях Лоренца. Аналогично перпендикулярен скорости и играет роль . Учитывая, что , заменяя на , несложно записать преобразования в виде:

(2.14)

Их эквивалентная форма может быть представлена при помощи векторного произведения:

(2.15)

где учтено тождество двойного векторного произведения, справедливое для любых трёх векторов: . Обратные преобразования получаются, как обычно, заменой .



При помощи (2.14) можно получить связь скоростей некоторого объекта и , измеренные наблюдателями в каждой системе отсчёта:

Из этого соотношения совсем несложно найти выражение для аберрации. Предположим, что единичные векторы и являются направлениями на источник света с точки зрения каждого наблюдателя. Соответственно, световой сигнал распространяется к наблюдателю, т.е. против этих векторов: и , поэтому:

(2.16)

Например, когда нас интересует угол между направлением на объект и вектором скорости, можно записать , и аналогично для штрихованного угла. Умножая правую и левую часть на , и учитывая, что для любого вектора справедливо , несложно получить соотношение для косинусов (2.12).

Косинус угла между направлениями на источник в обоих системах равен:

где приближенное равенство записано для малых скоростей, когда можно считать, что . Если скорость мала, то мал и угол аберрации. Учитывая разложение косинуса , получаем:

Аберрация отсутствует, если источник находится на прямой движения системы отсчёта, и максимальна, если и перпендикулярны. В этом случае угол и направлен от вертикали в сторону движения.

Для малых скоростей в формуле для аберрации (2.15) можно отбросить двойное векторное произведение (порядок ) и, раскладывая в ряд знаменатель, в линейном по приближении, получить:

(2.17)

Во втором равенстве снова использована формула двойного векторного произведения. В качестве упражнения имеет смысл проверить, что эта приближённая формула с точностью до первого порядка по приводит к единичной длине штрихованного вектора .



Земля вращается вокруг Солнца по эллипсу. На самом деле эксцентриситет (сплюснутость) земной орбиты не велик. Минимальное и максимальное расстояния от Солнца отличаются друг от друга всего на 3\%, поэтому, для упрощения вычислений будем считать орбиту Земли круговой с радиусом км. Это расстояние также называется одной астрономической единицей (а.е.). Пока забудем об аберрации. Даже в её отсутствие, из-за обращения Земли вокруг Солнца близкие к нам звёзды испытывают видимое перемещение на небесной сфере, т.н. годовой параллакс. В простейшем случае, если звезда находится "над Солнцем", с точки зрения Земли она описывает окружность (левый рисунок):

Parallax.png

Парсек — это расстояние, с которого средний радиус орбиты Земли виден под углом равным одной секунде. На рисунке пропорции сильно искажены. На самом деле , и, следовательно, . Одна угловая секунда составляет 1/3600 часть градуса, поэтому:

Слово парсек происходит от объединения слов параллакс и секунда. Расстояние в один парсек свет преодолевает в течении 3.26 года. Расстояние до ближайшей звёздной системы Альфа-Центавра составляет 1.3 пк. Измерение параллаксов при помощи орбитальных телескопов позволяет охватить расстояния до 500 пк.

Для описания параллакса произвольно ориентированной звезды введём единичный вектор в её направлении с точки зрения "наблюдателя на Солнце" и для земного наблюдателя. Для радиус-векторов каждого наблюдателя справедливо соотношение , где — радиус-вектор, направленный от Солнца к Земле. Считая, что , аналогично эффекту Доплера (стр. \pageref{dopler_dt}), можно записать:

где вектор параллакса. Поэтому:

где знаменатель разложен по малым .

Воспользовавшись тождеством , связь единичных векторов в направлении звезды с Солнца и Земли можно записать при помощи векторного произведения:

(2.18)

В сферической системе координат с углами (см. выше центральный рисунок) на поверхности сферы можно ввести два ортогональных единичных вектора , , перпендикулярных к :

где , , и т.д. Несложно проверить, что , кроме этого, вектора , направлены в сторону малого изменения угловых координат.

Земля вращается вокруг Солнца по окружности, поэтому компоненты параллакса равны , где время измеряется в годах. Проекции вектора на оси сферической системы координат имеют значения:

Таким образом, на поверхности небесной сферы звезда описывает эллипс с полуосями и . При (звезда над Солнцем) получается окружность с радиусом, равным параллаксу.

До сих пор земная система отсчёта была неподвижна. Подставляя в приближённое соотношение для аберрации (2.16) связь (2.17) и пренебрегая членами порядка , можно записать:

Скорость движения Земли по круговой орбите перпендикулярна и составляет 30 км/c или в долях скорости света. Если радиус-вектор , то скорость . Стоит проверить, что при этом большая полуось эллипса равна .

Параллакс даже для ближайшей звёзды равен , т.е. в 27 раз меньше безразмерной скорости. Поэтому движение звёзд в течении года по эллипсу в результате аберрации — эффект более заметный, чем параллакс. Тем не менее измерение параллакса является наиболее надёжным способом определения расстояния до ближайших звёзд.


Фотографирование объектов << Оглавление (Глава 2) >> Звёздное небо

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии