http://synset.com/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=WikiSysop&feedformat=atomsynset - Вклад участника [ru]2024-03-29T08:55:51ZВклад участникаMediaWiki 1.31.15http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%88%D1%83%D0%BC&diff=5406Электронный шум2020-06-08T05:25:44Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Дрожание земной оси]] << <br />
! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Хищники и их жертвы]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
В электротехнических приборах всегда присутствует шум. Если в отсутствие музыки увеличить громкость усилителя, то будет слышно характерное шипение. Величина шума связана с температурой, в которой находится система, и была экспериментально исследована в 1928 г. Джонсоном и теоретически объяснена в этом же году Найквистом.<br />
<br />
Основными характеристиками процессов, происходящих в электрической цепи, являются напряжение (разница потенциалов) <math>\textstyle U</math> между двумя точками и проходящий по ней ток <math>\textstyle I</math>. Ток равен величине заряда частиц, пересекающих сечение провода за единицу времени: <math>\textstyle I=dQ/dt</math>.<br />
<br />
Большинство электротехнических устройств состоят из трёх элементарных деталей &mdash; резистора, конденсатора и индуктивности: <br />
<br />
<center>[[File:electrotech.png]]</center><br />
<br />
''Резистором'' является любой проводник, "затрудняющий" прохождение по нему зарядов так, что справедлив закон Ома: <math>\textstyle U=R\cdot I</math>, где <math>\textstyle R</math> &mdash; константа, называемая ''сопротивлением''.<br />
<br />
''Конденсатором'' может выступать тело, способное накапливать заряд. Например, две параллельные металлические пластины, содержащие заряды противоположного знака. Конденсатор характеризуется ''ёмкостью'' <math>\textstyle C</math>, зависящей от его материала и формы. Чем больше накоплено заряда, тем выше разница потенциалов пластин конденсатора: <math>\textstyle U=Q/C</math>. При зарядке конденсатор внутри себя увеличивает энергию <math>\textstyle E=Q^2/2C</math> электрического поля.<br />
<br />
''Индуктивность'' реагирует на изменение тока. Для неё справедлив закон Ома в виде: <math>\textstyle U=L\,dI/dt</math>. Индуктивность накапливает энергию магнитного поля, равную <math>\textstyle E=LI^2/2</math>.<br />
<br />
Рассмотрим последовательное соединение этих трех элементов. <br />
<br />
<center>[[File:electrotechRLC.png]]</center><br />
<br />
В отсутствие внешнего источника суммарное падение напряжения на всех элементах <math>\textstyle U_R+U_C+U_L</math> должно быть равно нулю (замкнутая цепь). Однако в силу тепловых флуктуаций это не так. Обозначим колебания напряжения через <math>\textstyle \delta U</math>.<br />
<br />
Считая их винеровскими с постоянной волатильностью и учитывая определение тока, можно записать систему стохастических уравнений в следующем виде:<br />
<br />
:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} dQ = I\, dt\\ dI = - (\alpha Q + 2 \beta I) \, dt + \sigma \delta W, \end{array} \right.</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \alpha=1/LC</math>, <math>\textstyle \beta=R/2L</math> и <math>\textstyle \delta U = L \sigma \delta W</math>. Наша задача состоит в нахождении величины амплитуды шума <math>\textstyle \sigma</math>. В его отсутствие (<math>\textstyle \sigma=0</math>) систему можно привести к единственному уравнению второго порядка:<br />
<br />
:<center><math>\frac{d^2 Q}{d t^2} + 2\beta \frac{d Q}{d t} + \alpha Q = 0.</math></center><br />
<br />
Это уравнение гармонического осциллятора, испытывающего трение. Вообще аналогия с механикой достаточно тесная. Заряд <math>\textstyle Q</math> и ток <math>\textstyle I</math> являются динамическими переменными системы. Заряд аналогичен координате осциллятора, а ток &mdash; импульсу. От них также зависит энергия, накапливаемая конденсатором и индуктивностью. Из уравнений движения следует:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> E(Q, I)=\frac{LI^2}{2}+\frac{Q^2}{2C}\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\frac{dE}{dt}=-R I^2. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.6)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Уменьшение энергии происходит из-за тепловых потерь на резисторе, равных <math>\textstyle R I^2</math>. Если сопротивления нет, то энергия сохраняется и происходят незатухающие колебания. При этом энергия периодически переходит из электрической в конденсаторе ("потенциальная") в магнитную ("кинетическая") на индуктивности, и обратно.<br />
<br />
Стохастические уравнения линейны, поэтому решения для средних значений тока и заряда совпадают с детерминированными. В нашем случае матрица системы <math>\textstyle \mathbf{A}</math> и её собственные значения имеют вид:<br />
<br />
:<center><math>\mathbf{A}= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\alpha & -2\beta \\ \end{pmatrix} \;\;\;\;\;\;\;a_{1,2}=-\beta \pm i \omega,</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \omega=\sqrt{\alpha-\beta^2}</math>. Мы предполагаем, что сопротивление невелико и <math>\textstyle 4L/C>R^2</math>. По стандартному алгоритму (стр. \pageref{sys_line_n_eigen}) несложно найти:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \begin{array}{l} \overline{Q}(t) = \bigl[Q_0 \cos\omega t + (\;I_0\;+\beta Q_0)/\omega) \sin \omega t\bigr] \, e^{-\beta t}\\ \overline{I}(t)\, = \bigl[\,I_0 \;\cos\omega t - (\beta I_0+\alpha Q_0)/\omega) \sin \omega t\bigr] \, e^{-\beta t}. \end{array} </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.7)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Возможно, более быстрый путь &mdash; это решение уравнения второго порядка в виде <math>\textstyle Q(t)=(A\cos \omega t+B\sin \omega t)e^{-\beta t}</math> и определение констант при помощи начальных условий <math>\textstyle Q_0=Q(0)</math>, <math>\textstyle I_0=\dot{Q}(0)</math>.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Если некоторая система имеет температуру <math>\textstyle T</math>, можно воспользоваться распределением Гиббса (стр. \pageref{distribution_gibbs}) и записать плотность вероятности для динамических переменных в следующем виде:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> P(I,Q) = P_0\, e^{-E(I,Q)/kT}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.8)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Она удовлетворяет стационарному уравнению Фоккера-Планка:<br />
<br />
:<center><math>\frac{\partial (a_i P)}{\partial x_i} - \frac{1}{2}\,\frac{\partial^2 }{\partial x_i\partial x_j}\Bigl[B_{ik} B_{jk} P\Bigr] = 0.</math></center><br />
<br />
В данном случае <math>\textstyle x_\alpha=\{Q, I\}</math> и<br />
<br />
:<center><math>a_\alpha = \{ I, \;\;-\alpha Q - 2\beta I\},\;\;\;\;\; B_{ij} = \sigma\cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; \mathbf{B}\cdot \mathbf{B}^T = \sigma^2\cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}.</math></center><br />
<br />
Поэтому:<br />
<br />
:<center><math>I\,\frac{\partial P}{\partial Q} - \alpha \,Q\,\frac{\partial P}{\partial I} - 2\beta \,\frac{\partial (I P)}{\partial I} - \frac{\sigma^2}{2}\,\frac{\partial^2 P}{\partial I^2} = 0.</math></center><br />
<br />
Подставляя (7.8) и учитывая (7.6), после простых вычислений находим связь между волатильностью и температурой:<br />
<br />
:<center><math>(L\sigma)^2=2\, kT\,R.</math></center><br />
<br />
Таким образом, флуктуации напряжения являются винеровским шумом с дисперсией, пропорциональной температуре и сопротивлению:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \delta U = \sqrt{2\,kT\,R} \cdot \delta W\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\left\langle \delta U^2\right\rangle =2\,kT\,R\, dt. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.9)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Дисперсию заряда и тока в устоявшемся режиме (<math>\textstyle t\to\infty</math>) можно найти из уравнения для дисперсии (6.29), (см. [[Линейные многомерные модели]]). Положив <math>\textstyle \dot\mathbf{D}=0</math>, имеем:<br />
<br />
:<center><math>\mathbf{A}\cdot \mathbf{D} + \mathbf{D}\cdot \mathbf{A}^T + \,\mathbf{B}\cdot \mathbf{B}^T = 0,</math></center><br />
<br />
откуда:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{D} = \frac{\sigma^2}{4\alpha\beta} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \alpha \\ \end{pmatrix}= kT \begin{pmatrix} C & 0\\ 0 & 1/L \\ \end{pmatrix}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.10)'''</div><br />
|}<br />
<br />
что согласуется с вероятностью (7.8) и <math>\textstyle n-</math>мерным гауссовым распределением. Заметим, что <math>\textstyle \left\langle Q^2\right\rangle =kTC</math>, <math>\textstyle \left\langle I^2\right\rangle =kT/L</math>, поэтому в среднем энергия между конденсатором и индуктивностью распределена поровну. В качестве упражнений предлагается найти матрицу дисперсий при произвольном <math>\textstyle t</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H), а также ковариацию и спектральную функцию в стационарном режиме (<math>\textstyle \lessdot</math> H).<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Тепловые флуктуации тока возникают на резисторе и в отсутствие колебательного контура. Для отдельного электрона с зарядом <math>\textstyle q</math> справедливо уравнение движения:<br />
<br />
:<center><math>m \frac{dv}{dt} = -\gamma v - q\mathcal E.</math></center><br />
<br />
На электрон действуют две силы &mdash; сопротивление со стороны кристаллической решётки (трение) и электрическая сила в поле <math>\textstyle \mathcal E</math>. Если в проводнике длиной <math>\textstyle l</math> поле однородно <math>\textstyle U=l \mathcal E</math>, то в устоявшемся режиме (<math>\textstyle \dot v</math>=0) из уравнения движения следует <math>\textstyle v=-q\mathcal E/\gamma=-qU/l\gamma</math>. Пусть <math>\textstyle n</math> &mdash; концентрация электронов. За время <math>\textstyle \Delta t</math> сечение сопротивления площадью <math>\textstyle S</math> пересекает <math>\textstyle (qn)\,S\Delta x</math> зарядов. Для электрона <math>\textstyle q<0</math>, поэтому ток равен:<br />
<br />
:<center><math>I = \frac{dQ}{dt} = -\frac{q n S \Delta x }{\Delta t} = - n q v S =\frac{q^2 n S}{\gamma l}\cdot U.</math></center><br />
<br />
Следовательно, по закону Ома <math>\textstyle R=U/I</math> сопротивление равно:<br />
<br />
:<center><math>R=\frac{\gamma l}{q^2 n S}.</math></center><br />
<br />
Когда внешних полей нет, но есть электрическое стохастическое воздействие со стороны тепловых колебаний других зарядов, имеем следующее стохастическое уравнение движения:<br />
<br />
:<center><math>dv = -\frac{\gamma}{m} \,v \,dt - \sigma\,\delta W,</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \delta \mathcal E= (\sigma m/q)\delta W</math> &mdash; флуктуации электрического поля. Аналогично броуновскому движению находим стационарное значение квадрата скорости: <math>\textstyle \left\langle v^2\right\rangle =m\sigma^2/2\gamma</math>. Кинетическая энергия <math>\textstyle m\left\langle v^2\right\rangle /2</math> равна <math>\textstyle kT/2</math> (одна степень свободы), поэтому <math>\textstyle \sigma^2=2kT \gamma /m^2</math>.<br />
<br />
Если в проводнике <math>\textstyle N=n S l</math> электронов, то среднее расстояние между ними <math>\textstyle l/N</math> и флуктуации разности потенциалов <math>\textstyle \delta U_i = (l/N)\delta \mathcal E</math>. Их сумма равна разности потенциалов на резисторе. Так как <math>\textstyle \delta W=\varepsilon \sqrt{dt}</math>, <math>\textstyle N=n S l</math>, получаем:<br />
<br />
:<center><math>\delta U = \frac{l}{N}\sum^N_{i=1} \mathcal \delta \mathcal E_i = \frac{l}{N}\,\frac{\sigma m}{q} \sum^N_{i=1} \varepsilon_i \sqrt{dt} = \frac{l}{N}\,\frac{\sigma m}{q} \,(\sqrt{N} \,\varepsilon)\,\sqrt{dt} = \sqrt{2kT R} \;\delta W,</math></center><br />
<br />
и, следовательно, снова приходим к соотношению Найквиста (7.9).<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Дрожание земной оси]] << <br />
! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Хищники и их жертвы]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%88%D1%83%D0%BC&diff=5405Электронный шум2020-06-08T05:25:06Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Дрожание земной оси]] << <br />
! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Хищники и их жертвы]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
В электротехнических приборах всегда присутствует шум. Если в отсутствие музыки увеличить громкость усилителя, то будет слышно характерное шипение. Величина шума связана с температурой, в которой находится система, и была экспериментально исследована в 1928 г. Джонсоном и теоретически объяснена в этом же году Найквистом.<br />
<br />
Основными характеристиками процессов, происходящих в электрической цепи, являются напряжение (разница потенциалов) <math>\textstyle U</math> между двумя точками и проходящий по ней ток <math>\textstyle I</math>. Ток равен величине заряда частиц, пересекающих сечение провода за единицу времени: <math>\textstyle I=dQ/dt</math>.<br />
<br />
Большинство электротехнических устройств состоят из трёх элементарных деталей &mdash; резистора, конденсатора и индуктивности: <br />
<br />
<center>[[File:electrotech.png]]</center><br />
<br />
''Резистором'' является любой проводник, "затрудняющий" прохождение по нему зарядов так, что справедлив закон Ома: <math>\textstyle U=R\cdot I</math>, где <math>\textstyle R</math> &mdash; константа, называемая ''сопротивлением''.<br />
<br />
''Конденсатором'' может выступать тело, способное накапливать заряд. Например, две параллельные металлические пластины, содержащие заряды противоположного знака. Конденсатор характеризуется ''ёмкостью'' <math>\textstyle C</math>, зависящей от его материала и формы. Чем больше накоплено заряда, тем выше разница потенциалов пластин конденсатора: <math>\textstyle U=Q/C</math>. При зарядке конденсатор внутри себя увеличивает энергию <math>\textstyle E=Q^2/2C</math> электрического поля.<br />
<br />
''Индуктивность'' реагируюет на изменение тока. Для неё справедлив закон Ома в виде: <math>\textstyle U=L\,dI/dt</math>. Индуктивность накапливает энергию магнитного поля, равную <math>\textstyle E=LI^2/2</math>.<br />
<br />
Рассмотрим последовательное соединение этих трех элементов. <br />
<br />
<center>[[File:electrotechRLC.png]]</center><br />
<br />
В отсутствие внешнего источника суммарное падение напряжения на всех элементах <math>\textstyle U_R+U_C+U_L</math> должно быть равно нулю (замкнутая цепь). Однако в силу тепловых флуктуаций это не так. Обозначим колебания напряжения через <math>\textstyle \delta U</math>.<br />
<br />
Считая их винеровскими с постоянной волатильностью и учитывая определение тока, можно записать систему стохастических уравнений в следующем виде:<br />
<br />
:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} dQ = I\, dt\\ dI = - (\alpha Q + 2 \beta I) \, dt + \sigma \delta W, \end{array} \right.</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \alpha=1/LC</math>, <math>\textstyle \beta=R/2L</math> и <math>\textstyle \delta U = L \sigma \delta W</math>. Наша задача состоит в нахождении величины амплитуды шума <math>\textstyle \sigma</math>. В его отсутствие (<math>\textstyle \sigma=0</math>) систему можно привести к единственному уравнению второго порядка:<br />
<br />
:<center><math>\frac{d^2 Q}{d t^2} + 2\beta \frac{d Q}{d t} + \alpha Q = 0.</math></center><br />
<br />
Это уравнение гармонического осциллятора, испытывающего трение. Вообще аналогия с механикой достаточно тесная. Заряд <math>\textstyle Q</math> и ток <math>\textstyle I</math> являются динамическими переменными системы. Заряд аналогичен координате осциллятора, а ток &mdash; импульсу. От них также зависит энергия, накапливаемая конденсатором и индуктивностью. Из уравнений движения следует:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> E(Q, I)=\frac{LI^2}{2}+\frac{Q^2}{2C}\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\frac{dE}{dt}=-R I^2. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.6)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Уменьшение энергии происходит из-за тепловых потерь на резисторе, равных <math>\textstyle R I^2</math>. Если сопротивления нет, то энергия сохраняется и происходят незатухающие колебания. При этом энергия периодически переходит из электрической в конденсаторе ("потенциальная") в магнитную ("кинетическая") на индуктивности, и обратно.<br />
<br />
Стохастические уравнения линейны, поэтому решения для средних значений тока и заряда совпадают с детерминированными. В нашем случае матрица системы <math>\textstyle \mathbf{A}</math> и её собственные значения имеют вид:<br />
<br />
:<center><math>\mathbf{A}= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\alpha & -2\beta \\ \end{pmatrix} \;\;\;\;\;\;\;a_{1,2}=-\beta \pm i \omega,</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \omega=\sqrt{\alpha-\beta^2}</math>. Мы предполагаем, что сопротивление невелико и <math>\textstyle 4L/C>R^2</math>. По стандартному алгоритму (стр. \pageref{sys_line_n_eigen}) несложно найти:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \begin{array}{l} \overline{Q}(t) = \bigl[Q_0 \cos\omega t + (\;I_0\;+\beta Q_0)/\omega) \sin \omega t\bigr] \, e^{-\beta t}\\ \overline{I}(t)\, = \bigl[\,I_0 \;\cos\omega t - (\beta I_0+\alpha Q_0)/\omega) \sin \omega t\bigr] \, e^{-\beta t}. \end{array} </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.7)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Возможно, более быстрый путь &mdash; это решение уравнения второго порядка в виде <math>\textstyle Q(t)=(A\cos \omega t+B\sin \omega t)e^{-\beta t}</math> и определение констант при помощи начальных условий <math>\textstyle Q_0=Q(0)</math>, <math>\textstyle I_0=\dot{Q}(0)</math>.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Если некоторая система имеет температуру <math>\textstyle T</math>, можно воспользоваться распределением Гиббса (стр. \pageref{distribution_gibbs}) и записать плотность вероятности для динамических переменных в следующем виде:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> P(I,Q) = P_0\, e^{-E(I,Q)/kT}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.8)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Она удовлетворяет стационарному уравнению Фоккера-Планка:<br />
<br />
:<center><math>\frac{\partial (a_i P)}{\partial x_i} - \frac{1}{2}\,\frac{\partial^2 }{\partial x_i\partial x_j}\Bigl[B_{ik} B_{jk} P\Bigr] = 0.</math></center><br />
<br />
В данном случае <math>\textstyle x_\alpha=\{Q, I\}</math> и<br />
<br />
:<center><math>a_\alpha = \{ I, \;\;-\alpha Q - 2\beta I\},\;\;\;\;\; B_{ij} = \sigma\cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; \mathbf{B}\cdot \mathbf{B}^T = \sigma^2\cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}.</math></center><br />
<br />
Поэтому:<br />
<br />
:<center><math>I\,\frac{\partial P}{\partial Q} - \alpha \,Q\,\frac{\partial P}{\partial I} - 2\beta \,\frac{\partial (I P)}{\partial I} - \frac{\sigma^2}{2}\,\frac{\partial^2 P}{\partial I^2} = 0.</math></center><br />
<br />
Подставляя (7.8) и учитывая (7.6), после простых вычислений находим связь между волатильностью и температурой:<br />
<br />
:<center><math>(L\sigma)^2=2\, kT\,R.</math></center><br />
<br />
Таким образом, флуктуации напряжения являются винеровским шумом с дисперсией, пропорциональной температуре и сопротивлению:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \delta U = \sqrt{2\,kT\,R} \cdot \delta W\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\left\langle \delta U^2\right\rangle =2\,kT\,R\, dt. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.9)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Дисперсию заряда и тока в устоявшемся режиме (<math>\textstyle t\to\infty</math>) можно найти из уравнения для дисперсии (6.29), (см. [[Линейные многомерные модели]]). Положив <math>\textstyle \dot\mathbf{D}=0</math>, имеем:<br />
<br />
:<center><math>\mathbf{A}\cdot \mathbf{D} + \mathbf{D}\cdot \mathbf{A}^T + \,\mathbf{B}\cdot \mathbf{B}^T = 0,</math></center><br />
<br />
откуда:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{D} = \frac{\sigma^2}{4\alpha\beta} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \alpha \\ \end{pmatrix}= kT \begin{pmatrix} C & 0\\ 0 & 1/L \\ \end{pmatrix}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.10)'''</div><br />
|}<br />
<br />
что согласуется с вероятностью (7.8) и <math>\textstyle n-</math>мерным гауссовым распределением. Заметим, что <math>\textstyle \left\langle Q^2\right\rangle =kTC</math>, <math>\textstyle \left\langle I^2\right\rangle =kT/L</math>, поэтому в среднем энергия между конденсатором и индуктивностью распределена поровну. В качестве упражнений предлагается найти матрицу дисперсий при произвольном <math>\textstyle t</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H), а также ковариацию и спектральную функцию в стационарном режиме (<math>\textstyle \lessdot</math> H).<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Тепловые флуктуации тока возникают на резисторе и в отсутствие колебательного контура. Для отдельного электрона с зарядом <math>\textstyle q</math> справедливо уравнение движения:<br />
<br />
:<center><math>m \frac{dv}{dt} = -\gamma v - q\mathcal E.</math></center><br />
<br />
На электрон действуют две силы &mdash; сопротивление со стороны кристаллической решётки (трение) и электрическая сила в поле <math>\textstyle \mathcal E</math>. Если в проводнике длиной <math>\textstyle l</math> поле однородно <math>\textstyle U=l \mathcal E</math>, то в устоявшемся режиме (<math>\textstyle \dot v</math>=0) из уравнения движения следует <math>\textstyle v=-q\mathcal E/\gamma=-qU/l\gamma</math>. Пусть <math>\textstyle n</math> &mdash; концентрация электронов. За время <math>\textstyle \Delta t</math> сечение сопротивления площадью <math>\textstyle S</math> пересекает <math>\textstyle (qn)\,S\Delta x</math> зарядов. Для электрона <math>\textstyle q<0</math>, поэтому ток равен:<br />
<br />
:<center><math>I = \frac{dQ}{dt} = -\frac{q n S \Delta x }{\Delta t} = - n q v S =\frac{q^2 n S}{\gamma l}\cdot U.</math></center><br />
<br />
Следовательно, по закону Ома <math>\textstyle R=U/I</math> сопротивление равно:<br />
<br />
:<center><math>R=\frac{\gamma l}{q^2 n S}.</math></center><br />
<br />
Когда внешних полей нет, но есть электрическое стохастическое воздействие со стороны тепловых колебаний других зарядов, имеем следующее стохастическое уравнение движения:<br />
<br />
:<center><math>dv = -\frac{\gamma}{m} \,v \,dt - \sigma\,\delta W,</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \delta \mathcal E= (\sigma m/q)\delta W</math> &mdash; флуктуации электрического поля. Аналогично броуновскому движению находим стационарное значение квадрата скорости: <math>\textstyle \left\langle v^2\right\rangle =m\sigma^2/2\gamma</math>. Кинетическая энергия <math>\textstyle m\left\langle v^2\right\rangle /2</math> равна <math>\textstyle kT/2</math> (одна степень свободы), поэтому <math>\textstyle \sigma^2=2kT \gamma /m^2</math>.<br />
<br />
Если в проводнике <math>\textstyle N=n S l</math> электронов, то среднее расстояние между ними <math>\textstyle l/N</math> и флуктуации разности потенциалов <math>\textstyle \delta U_i = (l/N)\delta \mathcal E</math>. Их сумма равна разности потенциалов на резисторе. Так как <math>\textstyle \delta W=\varepsilon \sqrt{dt}</math>, <math>\textstyle N=n S l</math>, получаем:<br />
<br />
:<center><math>\delta U = \frac{l}{N}\sum^N_{i=1} \mathcal \delta \mathcal E_i = \frac{l}{N}\,\frac{\sigma m}{q} \sum^N_{i=1} \varepsilon_i \sqrt{dt} = \frac{l}{N}\,\frac{\sigma m}{q} \,(\sqrt{N} \,\varepsilon)\,\sqrt{dt} = \sqrt{2kT R} \;\delta W,</math></center><br />
<br />
и, следовательно, снова приходим к соотношению Найквиста (7.9).<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Дрожание земной оси]] << <br />
! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Хищники и их жертвы]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B5%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F_%D0%A2%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%81%D0%B0&diff=5404Прецессия Томаса2017-07-28T07:35:59Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" style="background-color:#FEDBCA; text-align: center;" <br />
| <span style="color:red">Внимание!</span><br> Это старая версия сайта. <br>Вход на новую находится на стартовой странице [http://synset.com/ "http://synset.com"].<br> Там можно найти новые материалы и последние версии книг.<br />
|}<br />
<br />
<br />
<center>'''Прецессия Томаса'''</center><br />
<br />
<center>'''Как она выглядит на самом деле.'''</center><br />
<br />
<center>''С.С. Степанов''</center><br />
<br />
Для ссылок: Прецессия Томаса для спина и стержня / С.С. Степанов / / Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 2/2012. - Т.43, No.1.<br />
<br />
<blockquote> <br />
В работе получены дифференциальные уравнения, описывающие поворот стержня и прецессию собственного момента импульса гироскопа, движущихся по криволинейной траектории. Рассмотрены различные примеры такого движения. Полученные уравнения отличаются от известной формулы Томаса, если интерпретировать её как поворот неинерциальной системы отсчёта относительно лабораторной системы. Связано это с тем, что координатные оси движущейся системы отсчёта, в общем случае, неортогональны для неподвижных наблюдателей. При изменении скорости их ориентация изменяется не только в результате вигнеровского вращения, но и в силу лоренцевского сокращения длины. В работе выполнен совместный учёт этих эффектов.<br />
Показано, что векторы, связанные с различными физическими величинами, изменяются различным <br />
образом при движении неинерциальной системы отсчёта. В частном случае равномерного движения по окружности,<br />
частота прецессии, как и длина векторов, периодически изменяется со временем.<br />
Однако оказывается, что в среднем, значение частоты прецессии совпадает с частотой Томаса.<br />
</blockquote><br />
<br />
Версия для печати: [http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf pdf], презентация [http://synset.com/pdf/thomas/thomas_pres.pdf pdf]<br />
<br />
* [[Прецессия Томаса/Введение|Введение]]<br />
* [[Прецессия Томаса/Преобразования Лоренца|Преобразования Лоренца]]<br />
* [[Прецессия Томаса/Лоренцевское сокращение|Лоренцевское сокращение]]<br />
* [[Прецессия Томаса/Уравнение для стержня|Уравнение для стержня]]<br />
* [[Прецессия Томаса/Неинерциальные системы отсчёта|Неинерциальные системы отсчёта]]<br />
* [[Прецессия Томаса/Движение по окружности стержня|Движение по окружности стержня]]<br />
* [[Прецессия Томаса/Момент импульса и спин|Момент импульса и спин]]<br />
* [[Прецессия Томаса/Прецессия спина и момента импульса|Прецессия спина и момента импульса]]<br />
* [[Прецессия Томаса/Движение гироскопа по окружности|Движение гироскопа по окружности]]<br />
* [[Прецессия Томаса/Движение спина во внешнем поле|Движение спина во внешнем поле]]<br />
* [[Прецессия Томаса/Заключение|Заключение]]<br />
* [[Прецессия Томаса/Приложение A. Вигнеровское вращение|Приложение A: Вигнеровское вращение]]<br />
* [[Прецессия Томаса/Приложение B. Вигнеровское вращение для стержня|Приложение B: Вигнеровское вращение для стержня]]<br />
* [[Прецессия Томаса/Литература|Литература]]<br />
<br />
20 Января 2011</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%98%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B8_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D1%83%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C&diff=5403Истинность и доказуемость2017-07-28T07:35:38Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" style="background-color:#FEDBCA; text-align: center;" <br />
| <span style="color:red">Внимание!</span><br> Это старая версия сайта. <br>Вход на новую находится на стартовой странице [http://synset.com/ "http://synset.com"].<br> Там можно найти новые материалы и последние версии книг.<br />
|}<br />
<br />
<br />
При определённом размышлении, некоторые вещи и идеи, в силу<br />
привычности кажущиеся очевидными, таковыми на самом деле не являются.<br />
Осознание этого не только исключительно интересно,<br />
но и даёт импульс для дальнейших размышлений.<br />
<br />
Мы сконцентрируемся на таких фундаментальных<br />
понятиях математики, как доказательство, алгоритм и множество.<br />
Будет проанализирован мощный, но требующий осторожности<br />
метод рассуждения от противного.<br />
При помощи простого высокоуровневого варианта машины Тьюринга<br />
мы обсудим некоторые понятия теории алгоритмов.<br />
После этого переберёмся в канторовский рай и совершим небольшую,<br />
но достаточно критическую экскурсию по теории множеств.<br />
В заключение мы обсудим теорему Гёделя о неполноте математики,<br />
понятие истины, и связанные с ними проблемы построения<br />
искусственного интеллекта.<br />
<br />
Необходимо предупредить, что ряд утверждений, приведенных<br />
в этой главе, не разделяется многими математиками,<br />
поэтому к ним необходимо относится предельно критично.<br />
Однако, именно в этом и состоит цель -- пробудить,<br />
иногда, возможно в провокационной форме,<br />
два самых важных свойства -- умение удивляться и сомневаться.<br />
<br />
Перед чтением стоит просмотреть [[Советы|совет]] по настройке браузера для более комфортного просмотра формул.<br />
<br />
Версия для печати: ([http://synset.com/pdf/truth.pdf pdf]).<br />
<br />
С уважением, Сергей Степанов<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Математика, от мамонтов до наших дней]]<br />
<br />
[[Доказательство от противного]]<br />
<br />
[[Формальные доказательства]]<br />
<br />
[[Вычислимые функции и их алгоритмы]]<br />
<br />
[[Немного программирования]]<br />
<br />
[[Проблемы остановки и тождественности]]<br />
<br />
[[Перечислимые и разрешимые множества]]<br />
<br />
[[Существуют ли несчетные множества?]]<br />
<br />
[[Формулы арифметики их номера]]<br />
<br />
[[Теорема Гёделя о неполноте]]<br />
<br />
[[Что такое истина?]]<br />
<br />
[[Интуиция искусственного разума]]</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B8%D1%80&diff=5402Стохастический мир2017-07-28T07:35:03Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" style="background-color:#FEDBCA; text-align: center;" <br />
| <span style="color:red">Внимание!</span><br> Это старая версия сайта. <br>Вход на новую находится на стартовой странице [http://synset.com/ "http://synset.com"].<br> Там можно найти новые материалы и последние версии книг.<br />
|}<br />
<br />
<br />
<blockquote><br />
Эти материалы являются сокращённой электронной версией книги "Стохастический мир". После конвертации из LaTex появились неизбежные артефакты, которые будут постепенно устраняться. Об ошибках или опечатках, найденных в последней версии [http://synset.com/pdf/ito.pdf pdf-файла] '''убедительная просьба''' сообщать, например, в закладке "обсуждение" вверху на этой странице или почтой math[[File:dog.png]]synset.com. Вы этим очень поможете в улучшении книги. Приветствуются также комментарии общего плана: что понравилось, а что нет.<br />
Для чтения книги в web-браузере стоит прочитать [[Советы|совет]] по настройке браузера для более комфортного просмотра формул.<br />
</blockquote><br />
<blockquote><br />
'''Версия для печати:''' ([http://synset.com/pdf/ito.pdf pdf])<br />
</blockquote><br />
<blockquote><br />
С уважением, Степанов Сергей Сергеевич.<br />
</blockquote><br />
<br />
----<br />
<br />
== Случайные события ==<br />
<br />
[[Стохастические уравнения]]<br />
<br />
[[Случайные величины]]<br />
<br />
[[Нормальное распределение]]<br />
<br />
[[Совместная и условная вероятность]]<br />
<br />
[[Вероятностные свойства языка]]<br />
<br />
[[Вероятности состояния рынка]]<br />
<br />
[[Стохастическая зависимость]]<br />
<br />
[[Линейная зависимость]]<br />
<br />
[[Характеристическая функция]]<br />
<br />
[[Многомерное распределение Гаусса]]<br />
<br />
[[Модель аддитивного блуждания]]<br />
<br />
[[Случайные процессы]]<br />
<br />
[[Мартингалы]]<br />
<br />
== Стохастические уравнения ==<br />
<br />
[[Уравнения Ито]]<br />
<br />
[[Почему Ито]]<br />
<br />
[[Лемма Ито]]<br />
<br />
[[Точные решения уравнения Ито]]<br />
<br />
[[Простые стохастические модели]]<br />
<br />
[[Представление стохастических решений]]<br />
<br />
[[Автокорреляция и спектр]]<br />
<br />
[[Порождающий процесс Винера]]<br />
<br />
== Средние значения стохастических процессов ==<br />
<br />
[[Динамическое уравнение для средних]]<br />
<br />
[[Процесс Феллера]]<br />
<br />
[[Логистическое уравнение]]<br />
<br />
[[Степенные ряды для средних]]<br />
<br />
[[Квазидетерминированное приближение]]<br />
<br />
== Вероятности стохастических процессов ==<br />
<br />
[[Марковские плотности вероятности]]<br />
<br />
[[Уравнение для плотности вероятности]]<br />
<br />
[[Решение уравнения Фоккера-Планка]]<br />
<br />
[[Граничные условия]]<br />
<br />
[[Вероятность достижения границы]]<br />
<br />
[[Разложение вероятности по базису]]<br />
<br />
[[Уравнение для x]]<br />
<br />
== Стохастические интегралы ==<br />
<br />
[[Площадь под траекторией Винера]]<br />
<br />
[[Интегралы Ито]]<br />
<br />
[[Квадратичный функционал]]<br />
<br />
[[Интегрирование стохастических уравнений]]<br />
<br />
[[Единственность решений]]<br />
<br />
[[Метод последовательных приближений]]<br />
<br />
== Системы уравнений ==<br />
<br />
[[Скоррелированные блуждания]]<br />
<br />
[[Системы стохастических уравнений]]<br />
<br />
[[Уравнение стохастического осциллятора]]<br />
<br />
[[Линейные многомерные модели]]<br />
<br />
[[Многомерие помогает одномерию]]<br />
<br />
[[Некоторые точные решения]]<br />
<br />
[[Как решать стохастические задачи?]]<br />
<br />
== Стохастическая природа ==<br />
<br />
[[Теория броуновского движения]]<br />
<br />
[[Стохастический осциллятор]]<br />
<br />
[[Дрожание земной оси]]<br />
<br />
[[Электронный шум]]<br />
<br />
[[Хищники и их жертвы]]<br />
<br />
== Стохастическое общество ==<br />
<br />
[[Финансовые рынки]]<br />
<br />
[[Эмпирические закономерности]]<br />
<br />
[[Диверсификация]]<br />
<br />
[[Портфель на всю жизнь]]<br />
<br />
[[Опционы]]<br />
<br />
[[Формула Блэка-Шоулза]]<br />
<br />
[[Кривая доходности]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<center><br />
'''Краткое содержание'''<br />
</center><br />
<br />
'''Случайные события'''<br />
<br />
Абсолютно детерминированных событий и процессов не бывает.<br />
Вселенная разговаривает с нами на языке теории вероятностей.<br />
Предполагается, что Читатель хорошо знаком с ней,<br />
поэтому напоминаются только факты, необходимые для дальнейшего изучения предмета.<br />
<br />
Первый раздел является вводным, он подводит к необходимости<br />
использования стохастических дифференциальных уравнений при исследовании различных систем.<br />
Затем обсуждается понятие плотности вероятностей, позволяющей вычислять<br />
наблюдаемые в среднем величины.<br />
Гауссова вероятность лежит в основе шума, воздействующего на детерминированную динамику.<br />
Стохастическая связь между случайными величинами и, наоборот, их независимость<br />
важны при обнаружении закономерностей между различными<br />
объектами и их характеристиками.<br />
Ключевым разделом главы является ''Модель аддитивного блуждания''. Именно обобщение этой<br />
простой модели приведёт нас в следующей главе к стохастическим дифференциальным уравнениям.<br />
Последний раздел ''Мартингалы и бесплатный сыр'' содержит ряд формальных определений,<br />
которые при желании можно опустить.<br />
<br />
'''Стохастические уравнения'''<br />
<br />
Эта глава является ключевой. В ней вводится основной математический объект<br />
нашего интереса -- стохастические дифференциальные уравнения.<br />
Мы будем использовать максимально неформальный, интуитивный путь, считая,<br />
что получение конкретных практических результатов важнее,<br />
чем математически строгое их обоснование.<br />
<br />
Стохастические уравнения представляют собой достаточно естественный непрерывный по времени<br />
предел дискретных случайных процессов, рассмотренных в предыдущей главе.<br />
Даже решая непрерывное уравнение, мы будем постоянно возвращаться<br />
к его дискретному аналогу, как для получения общих аналитических<br />
результатов, так и для численного моделирования.<br />
Исключительно важным результатом главы является лемма Ито, при помощи которой<br />
мы научимся находить точные решения уравнений в некоторых простых, но важных<br />
для практических приложений задачах.<br />
Затем обсуждаются способы вычисления автокорреляционной функции случайного процесса<br />
и его спектральные свойства.<br />
В заключение мы затронем тему систем уравнений, к которой более последовательно<br />
вернёмся в шестой главе.<br />
<br />
'''Средние значения'''<br />
<br />
Дифференциальное уравнение для случайной функции x(t) - это лишь один из возможных<br />
языков описания стохастического процесса.<br />
В ситуации, когда система эволюционирует со временем, средние значения также изменяются<br />
и подчиняются определённым дифференциальным уравнениям.<br />
Фактически, их решение является наиболее прямым способом получения практически полезных результатов.<br />
<br />
Мы начнём эту главу с вывода динамического уравнения для средних.<br />
С его помощью будет получено простое выражение для плотности вероятности<br />
в ситуации, когда система имеет стационарный режим.<br />
Затем мы подробно проанализируем две стохастические задачи:<br />
уравнение Феллера и логистическое уравнение.<br />
В заключение будут рассмотрены метод разложения средних величин в степенной ряд по времени<br />
и квазидетерминированное приближение.<br />
<br />
'''Вероятности'''<br />
<br />
Ещё одним способом получения информации о поведении стохастического<br />
процесса является решение уравнений для условной плотности вероятности <br />
которым посвящена эта глава.<br />
<br />
На простых примерах будут продемонстрированы методы решения подобных уравнений.<br />
Затем мы рассмотрим вопрос о граничных условиях, которые наиболее естественным образом<br />
учитываются при помощи уравнения Фоккера-Планка.<br />
Будет вычислено среднее время достижения границы и построен<br />
простой метод решения уравнения Фоккера-Планка при наличии граничных условий.<br />
Решения уравнений x(t) мы часто записываем при помощи гауссовой случайной переменной.<br />
<br />
'''Стохастические интегралы'''<br />
<br />
Как и в обычном анализе, если определено стохастическое дифференцирование,<br />
то естественно ввести и стохастическое интегрирование.<br />
Соответствующая техника даст нам ещё один инструмент получения<br />
соотношений для иногда достаточно общих случайных процессов.<br />
Это очень красивый раздел стохастической математики,<br />
который к тому же активно используется в учебной и научной литературе.<br />
<br />
В дифференциальных уравнениях присутствуют два бесконечно малых<br />
изменения -- снос, пропорциональный dt, и волатильность шума.<br />
Соответственно, возможно два вида интегралов.<br />
В первом разделе мы рассмотрим стохастические<br />
интегралы по dt, изучим их основные свойства и найдём представление некоторых интегралов<br />
через обычные случайные величины.<br />
Во втором разделе рассматривается интеграл Ито по <math>\delta W</math>.<br />
Далее будут получены условия, при которых решение<br />
стохастического дифференциального уравнения единственно,<br />
и рассмотрен итерационный метод построения этого решения.<br />
<br />
'''Системы уравнений'''<br />
<br />
Одномерные стохастические уравнения позволяют описывать только сравнительно простые системы.<br />
Даже для обычного физического осциллятора необходимо решать систему из двух уравнений первого порядка.<br />
Реальность в общем случае -- многомерна. Она даёт нам множество примеров достаточно сложных,<br />
но исключительно интересных случайных процессов.<br />
<br />
<br />
Как и в одномерном случае, мы начнём с дискретных процессов, обобщение которых на непрерывный<br />
случай приведёт нас к системе стохастических дифференциальных уравнений.<br />
Фактически, эта глава повторяет большинство результатов предыдущих глав.<br />
Для тех, кто уверенно владеет тензорной и матричной алгеброй, соответствующие обобщения<br />
служат лишь способом повторения уже известного материала.<br />
После вывода основных многомерных уравнений будут рассмотрены решения<br />
некоторых задач.<br />
<br />
'''Стохастическая природа'''<br />
<br />
В этой главе приведены примеры природных систем,<br />
которые естественным образом описываются при помощи стохастических дифференциальных уравнений.<br />
Эти системы охватывают широкий спектр приложений от физики до биологии, однако не требуют<br />
глубоких познаний в соответствующих областях.<br />
Большинство разделов не связаны друг с другом и могут быть прочитаны в любом<br />
порядке, независимо друг от друга.<br />
Первое стохастическое дифференциальное уравнение в 1908 году записал Поль Ланжевен (Paul Langevin).<br />
Именно с него начинается эта глава.<br />
<br />
'''Стохастическое общество'''<br />
<br />
В этой главе собраны некоторые примеры применения стохастических методов к<br />
финансовым рынкам и экономике. Волатильный характер цен и экономических<br />
индикаторов приводит к тому, что динамика соответствующих систем является существенно стохастической,<br />
и член <math>\delta W</math> в уравнениях Ито играет ведущую роль.<br />
<br />
Сначала мы сделаем небольшой экскурс в финансовые рынки и эмпирические свойства цен финансовых инструментов.<br />
Затем рассмотрим теорию диверсификации и бета - коэффициенты.<br />
Стохастические методы оказываются очень полезными при изучении сложных финансовых инструментов.<br />
Примером такого инструмента является опцион. Мы рассмотрим основные его свойства и<br />
двумя различными способами выведем формулу Блэка-Шоулза.<br />
После этого будет рассмотрена простая однофакторная модель кривой доходности.</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B8%D1%80&diff=5401Релятивистский мир2017-07-28T07:34:44Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" style="background-color:#FEDBCA; text-align: center;" <br />
| <span style="color:red">Внимание!</span><br> Это старая версия сайта. <br>Вход на новую находится на стартовой странице [http://synset.com/ "http://synset.com"].<br> Там можно найти новые материалы и последние версии книг.<br />
|}<br />
<br />
<br />
<blockquote><br />
Эта книга посвящена специальной теории относительности, гравитации и космологии. Она находится в процессе создания. Поэтому замечания, предложения более, чем уместны. Желательно их присылать на phys[[File:dog.png]]synset.com, или оставлять на закладке "Обсуждение". Стоит [[Советы|прочитать совет]] по настройке браузера для более комфортного просмотра формул.<br />
<br />
С уважением, Степанов Сергей Сергеевич.<br />
</blockquote><br />
<br />
----<br />
<br />
=== [[Релятивистское введение]] ===<br />
<br />
=== Логические основы (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_01.pdf Глава 1]) ===<br />
<br />
[[Неподвижные наблюдатели]]<br />
<br />
[[Инерциальные системы отсчёта]]<br />
<br />
[[Преобразования Лоренца]]<br />
<br />
[[Скорость|Сложение скоростей]]<br />
<br />
[[Аксиоматика Эйнштейна]]<br />
<br />
[[Принцип параметрической неполноты]]<br />
<br />
[[Масса|Инертная масса]]<br />
<br />
[[Релятивистские законы сохранения]]<br />
<br />
[[За границей известного]]<br />
<br />
[[Немного истории]]<br />
<br />
[[Теория и эксперимент]]<br />
<br />
[[Пространство и Время Ньютона]]<br />
<br />
=== Кинематика (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_02.pdf Глава 2]) ===<br />
<br />
[[Время]]<br />
<br />
[[Парадокс близнецов]]<br />
<br />
[[Сказка о стволовых клетках]]<br />
<br />
[[Эффект Доплера]]<br />
<br />
[[Размер и форма объектов]]<br />
<br />
[[Фотографирование объектов]]<br />
<br />
[[Аберрация]]<br />
<br />
[[Звёздное небо]]<br />
<br />
[[Ускоренное движение]]<br />
<br />
[[Прецессия ускоренного стрежня]]<br />
<br />
[[Четырёхмерное пространство-время]]<br />
<br />
[[Ковариантная формулировка]]<br />
<br />
[[Матричные преобразования]]<br />
<br />
=== Энергия и импульс (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf Глава 3]) ===<br />
<br />
[[Энергия, импульс, сила и масса]]<br />
<br />
[[Кинетическая энергия]]<br />
<br />
[[Распады и столкновения]]<br />
<br />
[[Космические полёты]]<br />
<br />
[[Сила]]<br />
<br />
[[Решения динамических уравнений]]<br />
<br />
[[Ковариантная динамика]]<br />
<br />
[[Инварианты s, t и u]]<br />
<br />
[[Диаграммы Далица и Мандельстама]]<br />
<br />
[[Антисимметричные тензоры]]<br />
<br />
[[Момент импульса и спин]]<br />
<br />
[[Ускоренное движение гироскопа]]<br />
<br />
[[Нелокальность законов сохранения]]<br />
<br />
=== Неинерциальные системы отсчёта (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) ===<br />
<br />
[[Равноускоренная система отсчёта]]<br />
<br />
[[Преобразования координат]]<br />
<br />
[[Вращающаяся система отсчёта]]<br />
<br />
[[Нежёсткая равноускоренная система отсчёта]]<br />
<br />
[[Произвольные неинерциальные системы]]<br />
<br />
[[Физические длина и время]]<br />
<br />
[[Жёсткие системы отсчёта]]<br />
<br />
[[Жёсткость, время и геометрия]]<br />
<br />
[[Движение частиц и света]]<br />
<br />
[[Динамика в неинерциальной системе]]<br />
<br />
[[Парадоксы остановки и близнецов]]<br />
<br />
[[Парадоксы Белла и Эренфеста]]<br />
<br />
=== Закон Кулона (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf Глава 5]) === <br />
<br />
[[Закон Кулона|Электростатика]]<br />
<br />
[[Поле равномерно двигающегося заряда]]<br />
<br />
[[Уравнения Максвелла]]<br />
<br />
[[Магнитостатика]]<br />
<br />
[[Дипольный и магнитный моменты]]<br />
<br />
[[Преобразования Лоренца для полей]]<br />
<br />
[[Электромагнитные волны]]<br />
<br />
[[Законы сохранения]]<br />
<br />
[[Потенциалы поля]]<br />
<br />
[[Дипольное излучение]]<br />
<br />
[[Немного комплексных чисел]]<br />
<br />
[[Произвольно движущийся заряд]]<br />
<br />
=== Теория симметрии (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf Глава 6]) === <br />
<br />
[[Что такое симметрия?]]<br />
<br />
[[Примеры и определения]]<br />
<br />
[[Группа перестановок]]<br />
<br />
[[Еще немного определений]]<br />
<br />
[[Представления групп]]<br />
<br />
[[Линейные преобразования]]<br />
<br />
[[Группы O(3) и SO(3)]]<br />
<br />
[[Группа SU(2)]]<br />
<br />
[[Группа Лоренца]]<br />
<br />
[[Группа Пуанкаре]]<br />
<br />
[[Нелинейные преобразования]]<br />
<br />
[[Эрлангенская программа]]<br />
<br />
=== Теория поля (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf Глава 7]) ===<br />
<br />
[[Ковариантная электродинамика]]<br />
<br />
[[Лагранжев подход]]<br />
<br />
[[Тензор энергии-импульса]]<br />
<br />
[[Теорема Нётер]]<br />
<br />
[[Применения теоремы Нётер]]<br />
<br />
[[Неоднозначность и ковариантность]]<br />
<br />
[[Спин]]<br />
<br />
[[Электромагнитная масса]]<br />
<br />
[[Взаимодействие зарядов без поля]]<br />
<br />
[[Самодействие электрона]]<br />
<br />
[[Нелинейная электродинамика]]<br />
<br />
[[Солитоны]]<br />
<br />
=== Спиноры (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8]) ===<br />
<br />
[[Кватернионы]]<br />
<br />
[[Вращение]]<br />
<br />
[[Преобразования Лоренца с кватернионами]]<br />
<br />
[[Прецессия Томаса и вигнеровское вращение]]<br />
<br />
[[Кватернионы и 4-векторы]]<br />
<br />
[[Кватернионная электродинамика]]<br />
<br />
[[Движение в электромагнитном поле]]<br />
<br />
[[Ковариантный формализм]]<br />
<br />
[[Спиноры]]<br />
<br />
[[Спиноры и 4-тензоры]]<br />
<br />
[[Спиноры и уравнения Максвелла]]<br />
<br />
[[Лагранжев подход для спиноров]]<br />
<br />
=== Биспиноры (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9]) ===<br />
<br />
[[Уравнение Дирака]]<br />
<br />
[[Алгебра матриц Дирака]]<br />
<br />
[[Преобразование биспинора]]<br />
<br />
[[Лагранжев формализм]]<br />
<br />
[[Тензор спиральности]]<br />
<br />
[[Импульсное пространство]]<br />
<br />
[[Нейтрино]]<br />
<br />
[[Калибровочные теории]]<br />
<br />
[[Основы квантовой теории]]<br />
<br />
[[Кванты поля]]<br />
<br />
[[Грассмановы переменные]]<br />
<br />
[[PTC - симметрии]]<br />
<br />
=== Релятивистские среды (Глава 10) ===<br />
<br />
=== Геометрия (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) ===<br />
<br />
[[Ковариантные уравнения]]<br />
<br />
[[Геодезическая]]<br />
<br />
[[Динамика в неинерциальных системах]]<br />
<br />
[[Электродинамика в неинерциальных системах отсчёта]]<br />
<br />
[[Кривизна пространства]]<br />
<br />
[[Тензор кривизны]]<br />
<br />
[[Геометрия неинерциальных систем]]<br />
<br />
[[Немного алгебры]]<br />
<br />
[[Внешнее дифференцирование]]<br />
<br />
[[Дуальные формы и интегралы]]<br />
<br />
[[Формы в физике и геометрии]]<br />
<br />
[[Многообразие]]<br />
<br />
=== Мир постоянной кривизны (Глава 12) ===<br />
<br />
== Приложения ==<br />
<br />
[[Мир элементарных частиц]]<br />
<br />
== Краткое содержание ==<br />
<br />
В первой части лекций "Релятивистский мир" рассмотрена специальная теория относительности (СТО).<br />
В отличие от традиционного изложения мы не используем второй постулат Эйнштейна.<br />
То, что скорость света - это инвариантная и максимально возможная скорость распространения взаимодействий является следствием специальной теории относительности, а не её исходным постулатом.<br />
[[Преобразования Лоренца|Преобразования Лоренца]] (преобразование Лоренца) могут быть получены без использования второго постулата Эйнштейна. На основании этого декларируется [[Принцип параметрической неполноты]],<br />
согласно которому фундаментальные физические константы, такие как скорость света, постоянная Планка<br />
возникают в физических теориях в силу того, что специальная теория относительности (СТО)и квантовая механика в своей<br />
аксиоматической формулировке содержат меньше постулатов (аксиом), чем классическая механика.<br />
Уменьшение аксиоматической информации и приводит к появлению фундаментальных физических констант<br />
не определяемых аксиомами теории. <br />
<br />
В первой главе рассматриваются логические основы теории относительности. Мы подробно обсудим измерительные процедуры, которые необходимо выполнить различным наблюдателям для согласования единиц измерения длины и времени, и приведём "правильный" вывод [[преобразований Лоренца|преобразования Лоренца]]. Кроме этого, будут проанализированы законы сохранения энергии и импульса и получено их релятивистское обобщение.<br />
<br />
Во второй главе рассмотрены основные кинематические эффекты теории относительности, подробно разобран известный [[парадокс близнецов]] и даны основы ковариантной формулировки теории.<br />
<br />
Третья глава посвящена динамике. Основываясь лишь на законе сохранения энергии-импульса, можно достаточно много сказать о характере взаимодействия частиц, даже не зная точного вида этого взаимодействия. Мы обсудим понятие силы, момента импульса и классического спина. Рассматриваются различные примеры релятивистской динамики. Кроме того, будет продолжено изучение ковариантного формализма.<br />
<br />
В четвертой главе мы рассмотрим с позиции теории относительности вопросы электромагнитного взаимодействия. При помощи только закона Кулона и преобразований Лоренца будут получены уравнения Максвелла и изучены важные вопросы, связанные с их релятивистской интерпретацией.<br />
<br />
В пятой главе собраны различные математические вопросы. Мы изучим кватернионную технику, упрощающую вычисление композиции преобразований Лоренца, и проанализируем неевклидову структуру пространства скоростей в теории относительности. Кроме этого, будут введены лагранжев формализм и основы теории групп.<br />
<br />
Шестая глава посвящена неинерциальным системам отсчёта (НИСО). Вопреки распространённому мнению, такие системы могут быть проанализированы без привлечения теории гравитации Эйнштейна. Мы рассмотрим физические явления, происходящие в НИСО, и разовьём математический аппарат, позволяющий их описывать в произвольных координатах.<br />
<br />
В тексте книги разбросаны небольшие задачи, помеченные стилизованным глазом: (<math>\textstyle \lessdot</math> H<math>\textstyle _i</math>), где <math>\textstyle i</math> &mdash; номер решения в приложении "''Помощь''". Кроме того, встречаются ссылки вида (<math>\textstyle \lessdot</math> C<math>\textstyle _i</math>), которые имеет смысл просматривать в том случае, если в процессе чтения возникли вопросы. Возможно, ответ будет найден в приложении "''Примечания''" под номером <math>\textstyle i</math>.<br />
<br />
Определённую пользу от книги могут получить читатели с различным уровнем владения математическим аппаратом. Во всех случаях, когда результат мог быть получен элементарными методами, именно они и использовались. Однако некоторые вопросы требуют более абстрактных математических конструкций. Подобные разделы отмечены звёздочкой (одной или двумя), и на первом этапе их можно опустить, вернувшись к ним в дальнейшем.<br />
<br />
Книга "''Релятивистский мир''" состоит из 2-х частей. В первой рассматриваются вопросы, относящиеся обычно к так называемой специальной теории относительности. Вторая часть книги посвящена теории гравитации и космологии.<br />
<br />
<br />
Ключевые слова: '''Преобразования Лоренца''', '''Преобразование Лоренца''', '''Вывод преобразований Лоренца''', <br />
'''Специальная теория относительности''', '''Теория Эйнштейна''', '''Релятивистское замедление времени''', '''Парадокс близнецов''', '''Сокращение длины''', '''Уравнения Максвелла'''.<br />
<br />
----<br />
Приведенные в книге фотографии взяты с wikipedia.org, при наличие пометки публичности их источников.<br />
----<br />
<br />
Материалы лекций могут быть использованы в некоммерческих и public information целях<br />
на условиях лицензии GNU Free Documentation License (версии 1.2 или более поздней). <br />
При использовании необходима ссылка на источник: <br />
[http://synset.com/ru/Релятивистский_мир http://synset.com/ru/Релятивистский_мир]</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5,_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B5_%D0%B8_%D1%84%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%B0%D1%85&diff=5400Разное о математике, физике и финансах2017-07-28T07:34:23Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" style="background-color:#FEDBCA; text-align: center;" <br />
| <span style="color:red">Внимание!</span><br> Это старая версия сайта. <br>Вход на новую находится на стартовой странице [http://synset.com/ "http://synset.com"].<br> Там можно найти новые материалы и последние версии книг.<br />
|}<br />
<br />
<br />
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="right"<br />
|+'''Последние обновления'''<br />
|-<br />
| 02-06-13<br />
| 4-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf "Неинерциальные системы"]<br />
|-<br />
| 26-11-12<br />
| 8-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf "Спиноры"]<br />
|-<br />
| 04-10-12<br />
| 7-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf "Теория поля"]<br />
|-<br />
| 12-07-12<br />
| 6-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf "Симметрия"]<br />
|}<br />
<br />
== Математика ==<br />
<br />
'''[[Стохастический мир]]''' - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения ([http://synset.com/pdf/ito.pdf pdf]) ISBN 978-3-319-00070-1 Springer; 2013 <br />
<br />
'''[http://synset.com/pdf/steps_vec.pdf Векторы, тензоры и формы. Инструкция для физиков]''' - краткий учебник и задачи с разобранными решениями<br />
<br />
[[Истинность и доказуемость]] - о конструктивной математике, Канторе и Гёделе<br />
([http://synset.com/pdf/truth.pdf pdf])<br />
<br />
[[Парадокс двух конвертов]] - подробное рассмотрение известной задачи из теории вероятности ([http://synset.com/pdf/envelopes.pdf pdf])<br />
<br />
[http://synset.com/pdf/finance_02.pdf Математика вероятностей] - 2-я глава из книги "Математика финансовых рынков" ([http://synset.com/pdf/finance_02.pdf pdf])<br />
<br />
== Физика ==<br />
[[Файл:emc2.png|right]]<br />
<br />
'''[[Релятивистский мир]]''' - лекции по теории относительности, гравитации и космологии <br />
[http://synset.com/pdf/relworld_01.pdf 1]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_02.pdf 2]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf 3]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf 4]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf 5]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf 6]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf 7]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf 8]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf 9]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf 11]<br />
<br />
"Являются ли жесткие неинерциальные системы отсчёта жесткими?" ([http://synset.com/pdf/rigid2013.pdf rus])<br />
<br />
100 лет без 2-го постулата Эйнштейна ([http://synset.com/pdf/100.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/100_en.pdf eng])<br />
<br />
[[Прецессия Томаса]] - новый взгляд на старую проблему ([http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf rus]) ЭЧАЯ - 2/2012. - Т.43, No.1<br />
<br />
Оказывает ли свет давление на пробный заряд? ([http://synset.com/pdf/ciw.pdf rus]) <br />
<br />
[[История теории относительности]] - обзор и некоторые редкие статьи<br />
<br />
Обработка последних данных по сверхновым ([http://synset.com/pdf/sna.pdf pdf])<br />
<br />
== Экономика и Финансы ==<br />
<br />
[[Финансовые рынки|Математика финансовых рынков]]<br />
<br />
Основы экономики <br />
<br />
[[Пластичность волатильности]] ([http://synset.com/pdf/volatility.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/volatility_en.pdf eng])<br />
<br />
== Искусственный интеллект ==<br />
<br />
[[Сможет ли человек мыслить?]] - футуристические прогнозы за чашкой кофе<br />
<br />
[[Интуиция искусственного разума]] - как реализовать математическую интуицию. Пока больше вопросов<br />
<br />
[[Алгоритм команды Днепр]] - простой алгоритм для компьютерного футбола<br />
<br />
[http://synset.com/p/rps/rps.php ИИ против человека] - камень, ножницы, бумага :)<br />
<br />
[[Flash]] - простые шаблоны ActionScript для Flash8<br />
<br />
[[Pascal]] - программирование от начинающих для начинающих<br />
<br />
[[Mathematica]] - шпаргалка по пакету Mathematica<br />
<br />
== Разное ==<br />
<br />
[http://synset.com/blog/0909/index.html Трекинг в Гималаях]<br />
<br />
[[ru:Заглавная_страница]]<br />
[[en:Main_Page]]</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5,_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B5_%D0%B8_%D1%84%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%B0%D1%85&diff=5399Разное о математике, физике и финансах2017-07-28T07:33:48Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" style="background-color:#FEDBCA; text-align: center;" <br />
| <span style="color:red">Внимание!</span> Это старая версия сайта. <br>Вход на новую находится на стартовой странице [http://synset.com/ "http://synset.com"].<br> Там можно найти новые материалы и последние версии книг.<br />
|}<br />
<br />
<br />
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="right"<br />
|+'''Последние обновления'''<br />
|-<br />
| 02-06-13<br />
| 4-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf "Неинерциальные системы"]<br />
|-<br />
| 26-11-12<br />
| 8-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf "Спиноры"]<br />
|-<br />
| 04-10-12<br />
| 7-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf "Теория поля"]<br />
|-<br />
| 12-07-12<br />
| 6-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf "Симметрия"]<br />
|}<br />
<br />
== Математика ==<br />
<br />
'''[[Стохастический мир]]''' - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения ([http://synset.com/pdf/ito.pdf pdf]) ISBN 978-3-319-00070-1 Springer; 2013 <br />
<br />
'''[http://synset.com/pdf/steps_vec.pdf Векторы, тензоры и формы. Инструкция для физиков]''' - краткий учебник и задачи с разобранными решениями<br />
<br />
[[Истинность и доказуемость]] - о конструктивной математике, Канторе и Гёделе<br />
([http://synset.com/pdf/truth.pdf pdf])<br />
<br />
[[Парадокс двух конвертов]] - подробное рассмотрение известной задачи из теории вероятности ([http://synset.com/pdf/envelopes.pdf pdf])<br />
<br />
[http://synset.com/pdf/finance_02.pdf Математика вероятностей] - 2-я глава из книги "Математика финансовых рынков" ([http://synset.com/pdf/finance_02.pdf pdf])<br />
<br />
== Физика ==<br />
[[Файл:emc2.png|right]]<br />
<br />
'''[[Релятивистский мир]]''' - лекции по теории относительности, гравитации и космологии <br />
[http://synset.com/pdf/relworld_01.pdf 1]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_02.pdf 2]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf 3]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf 4]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf 5]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf 6]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf 7]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf 8]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf 9]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf 11]<br />
<br />
"Являются ли жесткие неинерциальные системы отсчёта жесткими?" ([http://synset.com/pdf/rigid2013.pdf rus])<br />
<br />
100 лет без 2-го постулата Эйнштейна ([http://synset.com/pdf/100.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/100_en.pdf eng])<br />
<br />
[[Прецессия Томаса]] - новый взгляд на старую проблему ([http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf rus]) ЭЧАЯ - 2/2012. - Т.43, No.1<br />
<br />
Оказывает ли свет давление на пробный заряд? ([http://synset.com/pdf/ciw.pdf rus]) <br />
<br />
[[История теории относительности]] - обзор и некоторые редкие статьи<br />
<br />
Обработка последних данных по сверхновым ([http://synset.com/pdf/sna.pdf pdf])<br />
<br />
== Экономика и Финансы ==<br />
<br />
[[Финансовые рынки|Математика финансовых рынков]]<br />
<br />
Основы экономики <br />
<br />
[[Пластичность волатильности]] ([http://synset.com/pdf/volatility.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/volatility_en.pdf eng])<br />
<br />
== Искусственный интеллект ==<br />
<br />
[[Сможет ли человек мыслить?]] - футуристические прогнозы за чашкой кофе<br />
<br />
[[Интуиция искусственного разума]] - как реализовать математическую интуицию. Пока больше вопросов<br />
<br />
[[Алгоритм команды Днепр]] - простой алгоритм для компьютерного футбола<br />
<br />
[http://synset.com/p/rps/rps.php ИИ против человека] - камень, ножницы, бумага :)<br />
<br />
[[Flash]] - простые шаблоны ActionScript для Flash8<br />
<br />
[[Pascal]] - программирование от начинающих для начинающих<br />
<br />
[[Mathematica]] - шпаргалка по пакету Mathematica<br />
<br />
== Разное ==<br />
<br />
[http://synset.com/blog/0909/index.html Трекинг в Гималаях]<br />
<br />
[[ru:Заглавная_страница]]<br />
[[en:Main_Page]]</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5,_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B5_%D0%B8_%D1%84%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%B0%D1%85&diff=5398Разное о математике, физике и финансах2017-07-28T07:33:23Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" style="background-color:#FEDBCA; text-align: right;" <br />
| <span style="color:red">Внимание!</span> Это старая версия сайта. <br>Вход на новую находится на стартовой странице [http://synset.com/ "http://synset.com"].<br> Там можно найти новые материалы и последние версии книг.<br />
|}<br />
<br />
<br />
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="right"<br />
|+'''Последние обновления'''<br />
|-<br />
| 02-06-13<br />
| 4-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf "Неинерциальные системы"]<br />
|-<br />
| 26-11-12<br />
| 8-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf "Спиноры"]<br />
|-<br />
| 04-10-12<br />
| 7-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf "Теория поля"]<br />
|-<br />
| 12-07-12<br />
| 6-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf "Симметрия"]<br />
|}<br />
<br />
== Математика ==<br />
<br />
'''[[Стохастический мир]]''' - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения ([http://synset.com/pdf/ito.pdf pdf]) ISBN 978-3-319-00070-1 Springer; 2013 <br />
<br />
'''[http://synset.com/pdf/steps_vec.pdf Векторы, тензоры и формы. Инструкция для физиков]''' - краткий учебник и задачи с разобранными решениями<br />
<br />
[[Истинность и доказуемость]] - о конструктивной математике, Канторе и Гёделе<br />
([http://synset.com/pdf/truth.pdf pdf])<br />
<br />
[[Парадокс двух конвертов]] - подробное рассмотрение известной задачи из теории вероятности ([http://synset.com/pdf/envelopes.pdf pdf])<br />
<br />
[http://synset.com/pdf/finance_02.pdf Математика вероятностей] - 2-я глава из книги "Математика финансовых рынков" ([http://synset.com/pdf/finance_02.pdf pdf])<br />
<br />
== Физика ==<br />
[[Файл:emc2.png|right]]<br />
<br />
'''[[Релятивистский мир]]''' - лекции по теории относительности, гравитации и космологии <br />
[http://synset.com/pdf/relworld_01.pdf 1]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_02.pdf 2]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf 3]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf 4]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf 5]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf 6]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf 7]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf 8]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf 9]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf 11]<br />
<br />
"Являются ли жесткие неинерциальные системы отсчёта жесткими?" ([http://synset.com/pdf/rigid2013.pdf rus])<br />
<br />
100 лет без 2-го постулата Эйнштейна ([http://synset.com/pdf/100.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/100_en.pdf eng])<br />
<br />
[[Прецессия Томаса]] - новый взгляд на старую проблему ([http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf rus]) ЭЧАЯ - 2/2012. - Т.43, No.1<br />
<br />
Оказывает ли свет давление на пробный заряд? ([http://synset.com/pdf/ciw.pdf rus]) <br />
<br />
[[История теории относительности]] - обзор и некоторые редкие статьи<br />
<br />
Обработка последних данных по сверхновым ([http://synset.com/pdf/sna.pdf pdf])<br />
<br />
== Экономика и Финансы ==<br />
<br />
[[Финансовые рынки|Математика финансовых рынков]]<br />
<br />
Основы экономики <br />
<br />
[[Пластичность волатильности]] ([http://synset.com/pdf/volatility.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/volatility_en.pdf eng])<br />
<br />
== Искусственный интеллект ==<br />
<br />
[[Сможет ли человек мыслить?]] - футуристические прогнозы за чашкой кофе<br />
<br />
[[Интуиция искусственного разума]] - как реализовать математическую интуицию. Пока больше вопросов<br />
<br />
[[Алгоритм команды Днепр]] - простой алгоритм для компьютерного футбола<br />
<br />
[http://synset.com/p/rps/rps.php ИИ против человека] - камень, ножницы, бумага :)<br />
<br />
[[Flash]] - простые шаблоны ActionScript для Flash8<br />
<br />
[[Pascal]] - программирование от начинающих для начинающих<br />
<br />
[[Mathematica]] - шпаргалка по пакету Mathematica<br />
<br />
== Разное ==<br />
<br />
[http://synset.com/blog/0909/index.html Трекинг в Гималаях]<br />
<br />
[[ru:Заглавная_страница]]<br />
[[en:Main_Page]]</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5,_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B5_%D0%B8_%D1%84%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%B0%D1%85&diff=5397Разное о математике, физике и финансах2017-07-28T07:30:34Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" style="background-color:#FEDBCA;" <br />
| Внимание! Это старая версия сайта. <br>Вход на новую находится на стартовой странице [http://synset.com/ "http://synset.com"].<br> Там можно найти новые материалы и последние версии книг.<br />
|}<br />
<br />
<br />
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="right"<br />
|+'''Последние обновления'''<br />
|-<br />
| 02-06-13<br />
| 4-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf "Неинерциальные системы"]<br />
|-<br />
| 26-11-12<br />
| 8-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf "Спиноры"]<br />
|-<br />
| 04-10-12<br />
| 7-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf "Теория поля"]<br />
|-<br />
| 12-07-12<br />
| 6-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf "Симметрия"]<br />
|}<br />
<br />
== Математика ==<br />
<br />
'''[[Стохастический мир]]''' - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения ([http://synset.com/pdf/ito.pdf pdf]) ISBN 978-3-319-00070-1 Springer; 2013 <br />
<br />
'''[http://synset.com/pdf/steps_vec.pdf Векторы, тензоры и формы. Инструкция для физиков]''' - краткий учебник и задачи с разобранными решениями<br />
<br />
[[Истинность и доказуемость]] - о конструктивной математике, Канторе и Гёделе<br />
([http://synset.com/pdf/truth.pdf pdf])<br />
<br />
[[Парадокс двух конвертов]] - подробное рассмотрение известной задачи из теории вероятности ([http://synset.com/pdf/envelopes.pdf pdf])<br />
<br />
[http://synset.com/pdf/finance_02.pdf Математика вероятностей] - 2-я глава из книги "Математика финансовых рынков" ([http://synset.com/pdf/finance_02.pdf pdf])<br />
<br />
== Физика ==<br />
[[Файл:emc2.png|right]]<br />
<br />
'''[[Релятивистский мир]]''' - лекции по теории относительности, гравитации и космологии <br />
[http://synset.com/pdf/relworld_01.pdf 1]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_02.pdf 2]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf 3]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf 4]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf 5]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf 6]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf 7]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf 8]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf 9]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf 11]<br />
<br />
"Являются ли жесткие неинерциальные системы отсчёта жесткими?" ([http://synset.com/pdf/rigid2013.pdf rus])<br />
<br />
100 лет без 2-го постулата Эйнштейна ([http://synset.com/pdf/100.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/100_en.pdf eng])<br />
<br />
[[Прецессия Томаса]] - новый взгляд на старую проблему ([http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf rus]) ЭЧАЯ - 2/2012. - Т.43, No.1<br />
<br />
Оказывает ли свет давление на пробный заряд? ([http://synset.com/pdf/ciw.pdf rus]) <br />
<br />
[[История теории относительности]] - обзор и некоторые редкие статьи<br />
<br />
Обработка последних данных по сверхновым ([http://synset.com/pdf/sna.pdf pdf])<br />
<br />
== Экономика и Финансы ==<br />
<br />
[[Финансовые рынки|Математика финансовых рынков]]<br />
<br />
Основы экономики <br />
<br />
[[Пластичность волатильности]] ([http://synset.com/pdf/volatility.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/volatility_en.pdf eng])<br />
<br />
== Искусственный интеллект ==<br />
<br />
[[Сможет ли человек мыслить?]] - футуристические прогнозы за чашкой кофе<br />
<br />
[[Интуиция искусственного разума]] - как реализовать математическую интуицию. Пока больше вопросов<br />
<br />
[[Алгоритм команды Днепр]] - простой алгоритм для компьютерного футбола<br />
<br />
[http://synset.com/p/rps/rps.php ИИ против человека] - камень, ножницы, бумага :)<br />
<br />
[[Flash]] - простые шаблоны ActionScript для Flash8<br />
<br />
[[Pascal]] - программирование от начинающих для начинающих<br />
<br />
[[Mathematica]] - шпаргалка по пакету Mathematica<br />
<br />
== Разное ==<br />
<br />
[http://synset.com/blog/0909/index.html Трекинг в Гималаях]<br />
<br />
[[ru:Заглавная_страница]]<br />
[[en:Main_Page]]</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5,_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B5_%D0%B8_%D1%84%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%B0%D1%85&diff=5396Разное о математике, физике и финансах2017-07-28T07:29:33Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" style="background-color:#FEDBCA;" <br />
| Внимание! Эта старая версия сайта. Вход на новую находится на стартовой странице [http://synset.com/ "http://synset.com"]. Там можно найти различные новые материалы и последние версии книг.<br />
|}<br />
<br />
<br />
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="right"<br />
|+'''Последние обновления'''<br />
|-<br />
| 02-06-13<br />
| 4-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf "Неинерциальные системы"]<br />
|-<br />
| 26-11-12<br />
| 8-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf "Спиноры"]<br />
|-<br />
| 04-10-12<br />
| 7-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf "Теория поля"]<br />
|-<br />
| 12-07-12<br />
| 6-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf "Симметрия"]<br />
|}<br />
<br />
== Математика ==<br />
<br />
'''[[Стохастический мир]]''' - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения ([http://synset.com/pdf/ito.pdf pdf]) ISBN 978-3-319-00070-1 Springer; 2013 <br />
<br />
'''[http://synset.com/pdf/steps_vec.pdf Векторы, тензоры и формы. Инструкция для физиков]''' - краткий учебник и задачи с разобранными решениями<br />
<br />
[[Истинность и доказуемость]] - о конструктивной математике, Канторе и Гёделе<br />
([http://synset.com/pdf/truth.pdf pdf])<br />
<br />
[[Парадокс двух конвертов]] - подробное рассмотрение известной задачи из теории вероятности ([http://synset.com/pdf/envelopes.pdf pdf])<br />
<br />
[http://synset.com/pdf/finance_02.pdf Математика вероятностей] - 2-я глава из книги "Математика финансовых рынков" ([http://synset.com/pdf/finance_02.pdf pdf])<br />
<br />
== Физика ==<br />
[[Файл:emc2.png|right]]<br />
<br />
'''[[Релятивистский мир]]''' - лекции по теории относительности, гравитации и космологии <br />
[http://synset.com/pdf/relworld_01.pdf 1]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_02.pdf 2]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf 3]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf 4]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf 5]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf 6]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf 7]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf 8]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf 9]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf 11]<br />
<br />
"Являются ли жесткие неинерциальные системы отсчёта жесткими?" ([http://synset.com/pdf/rigid2013.pdf rus])<br />
<br />
100 лет без 2-го постулата Эйнштейна ([http://synset.com/pdf/100.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/100_en.pdf eng])<br />
<br />
[[Прецессия Томаса]] - новый взгляд на старую проблему ([http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf rus]) ЭЧАЯ - 2/2012. - Т.43, No.1<br />
<br />
Оказывает ли свет давление на пробный заряд? ([http://synset.com/pdf/ciw.pdf rus]) <br />
<br />
[[История теории относительности]] - обзор и некоторые редкие статьи<br />
<br />
Обработка последних данных по сверхновым ([http://synset.com/pdf/sna.pdf pdf])<br />
<br />
== Экономика и Финансы ==<br />
<br />
[[Финансовые рынки|Математика финансовых рынков]]<br />
<br />
Основы экономики <br />
<br />
[[Пластичность волатильности]] ([http://synset.com/pdf/volatility.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/volatility_en.pdf eng])<br />
<br />
== Искусственный интеллект ==<br />
<br />
[[Сможет ли человек мыслить?]] - футуристические прогнозы за чашкой кофе<br />
<br />
[[Интуиция искусственного разума]] - как реализовать математическую интуицию. Пока больше вопросов<br />
<br />
[[Алгоритм команды Днепр]] - простой алгоритм для компьютерного футбола<br />
<br />
[http://synset.com/p/rps/rps.php ИИ против человека] - камень, ножницы, бумага :)<br />
<br />
[[Flash]] - простые шаблоны ActionScript для Flash8<br />
<br />
[[Pascal]] - программирование от начинающих для начинающих<br />
<br />
[[Mathematica]] - шпаргалка по пакету Mathematica<br />
<br />
== Разное ==<br />
<br />
[http://synset.com/blog/0909/index.html Трекинг в Гималаях]<br />
<br />
[[ru:Заглавная_страница]]<br />
[[en:Main_Page]]</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5,_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B5_%D0%B8_%D1%84%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%B0%D1%85&diff=5395Разное о математике, физике и финансах2017-07-28T07:28:25Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" background-color="gold" color="blue"<br />
| Внимание! Эта старая версия сайта. Вход на новую находится на стартовой странице [http://synset.com/ "http://synset.com"]. Там можно найти различные новые материалы и последние версии книг.<br />
|}<br />
<br />
<br />
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="right"<br />
|+'''Последние обновления'''<br />
|-<br />
| 02-06-13<br />
| 4-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf "Неинерциальные системы"]<br />
|-<br />
| 26-11-12<br />
| 8-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf "Спиноры"]<br />
|-<br />
| 04-10-12<br />
| 7-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf "Теория поля"]<br />
|-<br />
| 12-07-12<br />
| 6-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf "Симметрия"]<br />
|}<br />
<br />
== Математика ==<br />
<br />
'''[[Стохастический мир]]''' - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения ([http://synset.com/pdf/ito.pdf pdf]) ISBN 978-3-319-00070-1 Springer; 2013 <br />
<br />
'''[http://synset.com/pdf/steps_vec.pdf Векторы, тензоры и формы. Инструкция для физиков]''' - краткий учебник и задачи с разобранными решениями<br />
<br />
[[Истинность и доказуемость]] - о конструктивной математике, Канторе и Гёделе<br />
([http://synset.com/pdf/truth.pdf pdf])<br />
<br />
[[Парадокс двух конвертов]] - подробное рассмотрение известной задачи из теории вероятности ([http://synset.com/pdf/envelopes.pdf pdf])<br />
<br />
[http://synset.com/pdf/finance_02.pdf Математика вероятностей] - 2-я глава из книги "Математика финансовых рынков" ([http://synset.com/pdf/finance_02.pdf pdf])<br />
<br />
== Физика ==<br />
[[Файл:emc2.png|right]]<br />
<br />
'''[[Релятивистский мир]]''' - лекции по теории относительности, гравитации и космологии <br />
[http://synset.com/pdf/relworld_01.pdf 1]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_02.pdf 2]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf 3]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf 4]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf 5]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf 6]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf 7]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf 8]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf 9]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf 11]<br />
<br />
"Являются ли жесткие неинерциальные системы отсчёта жесткими?" ([http://synset.com/pdf/rigid2013.pdf rus])<br />
<br />
100 лет без 2-го постулата Эйнштейна ([http://synset.com/pdf/100.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/100_en.pdf eng])<br />
<br />
[[Прецессия Томаса]] - новый взгляд на старую проблему ([http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf rus]) ЭЧАЯ - 2/2012. - Т.43, No.1<br />
<br />
Оказывает ли свет давление на пробный заряд? ([http://synset.com/pdf/ciw.pdf rus]) <br />
<br />
[[История теории относительности]] - обзор и некоторые редкие статьи<br />
<br />
Обработка последних данных по сверхновым ([http://synset.com/pdf/sna.pdf pdf])<br />
<br />
== Экономика и Финансы ==<br />
<br />
[[Финансовые рынки|Математика финансовых рынков]]<br />
<br />
Основы экономики <br />
<br />
[[Пластичность волатильности]] ([http://synset.com/pdf/volatility.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/volatility_en.pdf eng])<br />
<br />
== Искусственный интеллект ==<br />
<br />
[[Сможет ли человек мыслить?]] - футуристические прогнозы за чашкой кофе<br />
<br />
[[Интуиция искусственного разума]] - как реализовать математическую интуицию. Пока больше вопросов<br />
<br />
[[Алгоритм команды Днепр]] - простой алгоритм для компьютерного футбола<br />
<br />
[http://synset.com/p/rps/rps.php ИИ против человека] - камень, ножницы, бумага :)<br />
<br />
[[Flash]] - простые шаблоны ActionScript для Flash8<br />
<br />
[[Pascal]] - программирование от начинающих для начинающих<br />
<br />
[[Mathematica]] - шпаргалка по пакету Mathematica<br />
<br />
== Разное ==<br />
<br />
[http://synset.com/blog/0909/index.html Трекинг в Гималаях]<br />
<br />
[[ru:Заглавная_страница]]<br />
[[en:Main_Page]]</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5,_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B5_%D0%B8_%D1%84%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%B0%D1%85&diff=5394Разное о математике, физике и финансах2017-07-28T07:26:54Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="right"<br />
| Внимание! Эта старая версия сайта. Вход на новую находится на стартовой странице [http://synset.com/ "http://synset.com"]. Там можно найти различные новые материалы и последние версии книг.<br />
|}<br />
<br />
<br />
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="right"<br />
|+'''Последние обновления'''<br />
|-<br />
| 02-06-13<br />
| 4-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf "Неинерциальные системы"]<br />
|-<br />
| 26-11-12<br />
| 8-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf "Спиноры"]<br />
|-<br />
| 04-10-12<br />
| 7-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf "Теория поля"]<br />
|-<br />
| 12-07-12<br />
| 6-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf "Симметрия"]<br />
|}<br />
<br />
== Математика ==<br />
<br />
'''[[Стохастический мир]]''' - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения ([http://synset.com/pdf/ito.pdf pdf]) ISBN 978-3-319-00070-1 Springer; 2013 <br />
<br />
'''[http://synset.com/pdf/steps_vec.pdf Векторы, тензоры и формы. Инструкция для физиков]''' - краткий учебник и задачи с разобранными решениями<br />
<br />
[[Истинность и доказуемость]] - о конструктивной математике, Канторе и Гёделе<br />
([http://synset.com/pdf/truth.pdf pdf])<br />
<br />
[[Парадокс двух конвертов]] - подробное рассмотрение известной задачи из теории вероятности ([http://synset.com/pdf/envelopes.pdf pdf])<br />
<br />
[http://synset.com/pdf/finance_02.pdf Математика вероятностей] - 2-я глава из книги "Математика финансовых рынков" ([http://synset.com/pdf/finance_02.pdf pdf])<br />
<br />
== Физика ==<br />
[[Файл:emc2.png|right]]<br />
<br />
'''[[Релятивистский мир]]''' - лекции по теории относительности, гравитации и космологии <br />
[http://synset.com/pdf/relworld_01.pdf 1]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_02.pdf 2]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf 3]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf 4]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf 5]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf 6]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf 7]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf 8]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf 9]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf 11]<br />
<br />
"Являются ли жесткие неинерциальные системы отсчёта жесткими?" ([http://synset.com/pdf/rigid2013.pdf rus])<br />
<br />
100 лет без 2-го постулата Эйнштейна ([http://synset.com/pdf/100.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/100_en.pdf eng])<br />
<br />
[[Прецессия Томаса]] - новый взгляд на старую проблему ([http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf rus]) ЭЧАЯ - 2/2012. - Т.43, No.1<br />
<br />
Оказывает ли свет давление на пробный заряд? ([http://synset.com/pdf/ciw.pdf rus]) <br />
<br />
[[История теории относительности]] - обзор и некоторые редкие статьи<br />
<br />
Обработка последних данных по сверхновым ([http://synset.com/pdf/sna.pdf pdf])<br />
<br />
== Экономика и Финансы ==<br />
<br />
[[Финансовые рынки|Математика финансовых рынков]]<br />
<br />
Основы экономики <br />
<br />
[[Пластичность волатильности]] ([http://synset.com/pdf/volatility.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/volatility_en.pdf eng])<br />
<br />
== Искусственный интеллект ==<br />
<br />
[[Сможет ли человек мыслить?]] - футуристические прогнозы за чашкой кофе<br />
<br />
[[Интуиция искусственного разума]] - как реализовать математическую интуицию. Пока больше вопросов<br />
<br />
[[Алгоритм команды Днепр]] - простой алгоритм для компьютерного футбола<br />
<br />
[http://synset.com/p/rps/rps.php ИИ против человека] - камень, ножницы, бумага :)<br />
<br />
[[Flash]] - простые шаблоны ActionScript для Flash8<br />
<br />
[[Pascal]] - программирование от начинающих для начинающих<br />
<br />
[[Mathematica]] - шпаргалка по пакету Mathematica<br />
<br />
== Разное ==<br />
<br />
[http://synset.com/blog/0909/index.html Трекинг в Гималаях]<br />
<br />
[[ru:Заглавная_страница]]<br />
[[en:Main_Page]]</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D0%B5&diff=5387Многообразие2013-09-01T09:31:11Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Формы в физике и геометрии << ! width="40%"|Оглавление…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Формы в физике и геометрии]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Ковариантные уравнения]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Формы в физике и геометрии]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Ковариантные уравнения]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%8B_%D0%B2_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B5_%D0%B8_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8&diff=5386Формы в физике и геометрии2013-09-01T09:30:30Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Дуальные формы и интегралы << ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Дуальные формы и интегралы]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Многообразие]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Дуальные формы и интегралы]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Многообразие]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%94%D1%83%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%8B_%D0%B8_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8B&diff=5385Дуальные формы и интегралы2013-09-01T09:29:41Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Внешнее дифференцирование << ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Внешнее дифференцирование]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Формы в физике и геометрии]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Внешнее дифференцирование]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Формы в физике и геометрии]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%92%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D0%B5%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5&diff=5384Внешнее дифференцирование2013-09-01T09:28:55Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Немного алгебры << ! width="40%"|Оглавление (Последня…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Немного алгебры]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Дуальные формы и интегралы]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Немного алгебры]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Дуальные формы и интегралы]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B&diff=5383Немного алгебры2013-09-01T09:28:14Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Геометрия неинерциальных систем << ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглав…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Геометрия неинерциальных систем]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Внешнее дифференцирование]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Геометрия неинерциальных систем]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Внешнее дифференцирование]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC&diff=5382Геометрия неинерциальных систем2013-09-01T09:27:32Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Тензор кривизны << ! width="40%"|Оглавление (Последня…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Тензор кривизны]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Немного алгебры]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Тензор кривизны]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Немного алгебры]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D1%8B&diff=5381Тензор кривизны2013-09-01T09:26:49Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Кривизна пространства << ! width="40%"|Оглавление (По…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Кривизна пространства]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Геометрия неинерциальных систем]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Кривизна пространства]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Геометрия неинерциальных систем]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&diff=5380Кривизна пространства2013-09-01T09:26:01Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Электродинамика в неинерциальных системах отсчёта << ! width="40%"|[[Реляти…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Электродинамика в неинерциальных системах отсчёта]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Тензор кривизны]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Электродинамика в неинерциальных системах отсчёта]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Тензор кривизны]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%B2_%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%85_%D0%BE%D1%82%D1%81%D1%87%D1%91%D1%82%D0%B0&diff=5379Электродинамика в неинерциальных системах отсчёта2013-09-01T09:25:16Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Динамика в неинерциальных системах << ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Ог…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Динамика в неинерциальных системах]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Кривизна пространства]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Динамика в неинерциальных системах]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Кривизна пространства]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%B2_%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%85&diff=5378Динамика в неинерциальных системах2013-09-01T09:24:28Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Геодезическая << ! width="40%"|Оглавление (Последняя …»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Геодезическая]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Электродинамика в неинерциальных системах отсчёта]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Геодезическая]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Электродинамика в неинерциальных системах отсчёта]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F&diff=5377Геодезическая2013-09-01T09:23:19Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Ковариантные уравнения << ! width="40%"|Оглавление (П…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Ковариантные уравнения]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Динамика в неинерциальных системах]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Ковариантные уравнения]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Динамика в неинерциальных системах]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=5376Ковариантные уравнения2013-09-01T09:22:23Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|PTC - симметрии << ! width="40%"|Оглавление (Последняя в…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[PTC - симметрии]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Геодезическая]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[PTC - симметрии]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Геодезическая]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B8%D1%80&diff=5375Релятивистский мир2013-09-01T09:19:12Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div><blockquote><br />
Эта книга посвящена специальной теории относительности, гравитации и космологии. Она находится в процессе создания. Поэтому замечания, предложения более, чем уместны. Желательно их присылать на phys[[File:dog.png]]synset.com, или оставлять на закладке "Обсуждение". Стоит [[Советы|прочитать совет]] по настройке браузера для более комфортного просмотра формул.<br />
<br />
С уважением, Степанов Сергей Сергеевич.<br />
</blockquote><br />
<br />
----<br />
<br />
=== [[Релятивистское введение]] ===<br />
<br />
=== Логические основы (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_01.pdf Глава 1]) ===<br />
<br />
[[Неподвижные наблюдатели]]<br />
<br />
[[Инерциальные системы отсчёта]]<br />
<br />
[[Преобразования Лоренца]]<br />
<br />
[[Скорость|Сложение скоростей]]<br />
<br />
[[Аксиоматика Эйнштейна]]<br />
<br />
[[Принцип параметрической неполноты]]<br />
<br />
[[Масса|Инертная масса]]<br />
<br />
[[Релятивистские законы сохранения]]<br />
<br />
[[За границей известного]]<br />
<br />
[[Немного истории]]<br />
<br />
[[Теория и эксперимент]]<br />
<br />
[[Пространство и Время Ньютона]]<br />
<br />
=== Кинематика (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_02.pdf Глава 2]) ===<br />
<br />
[[Время]]<br />
<br />
[[Парадокс близнецов]]<br />
<br />
[[Сказка о стволовых клетках]]<br />
<br />
[[Эффект Доплера]]<br />
<br />
[[Размер и форма объектов]]<br />
<br />
[[Фотографирование объектов]]<br />
<br />
[[Аберрация]]<br />
<br />
[[Звёздное небо]]<br />
<br />
[[Ускоренное движение]]<br />
<br />
[[Прецессия ускоренного стрежня]]<br />
<br />
[[Четырёхмерное пространство-время]]<br />
<br />
[[Ковариантная формулировка]]<br />
<br />
[[Матричные преобразования]]<br />
<br />
=== Энергия и импульс (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf Глава 3]) ===<br />
<br />
[[Энергия, импульс, сила и масса]]<br />
<br />
[[Кинетическая энергия]]<br />
<br />
[[Распады и столкновения]]<br />
<br />
[[Космические полёты]]<br />
<br />
[[Сила]]<br />
<br />
[[Решения динамических уравнений]]<br />
<br />
[[Ковариантная динамика]]<br />
<br />
[[Инварианты s, t и u]]<br />
<br />
[[Диаграммы Далица и Мандельстама]]<br />
<br />
[[Антисимметричные тензоры]]<br />
<br />
[[Момент импульса и спин]]<br />
<br />
[[Ускоренное движение гироскопа]]<br />
<br />
[[Нелокальность законов сохранения]]<br />
<br />
=== Неинерциальные системы отсчёта (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) ===<br />
<br />
[[Равноускоренная система отсчёта]]<br />
<br />
[[Преобразования координат]]<br />
<br />
[[Вращающаяся система отсчёта]]<br />
<br />
[[Нежёсткая равноускоренная система отсчёта]]<br />
<br />
[[Произвольные неинерциальные системы]]<br />
<br />
[[Физические длина и время]]<br />
<br />
[[Жёсткие системы отсчёта]]<br />
<br />
[[Жёсткость, время и геометрия]]<br />
<br />
[[Движение частиц и света]]<br />
<br />
[[Динамика в неинерциальной системе]]<br />
<br />
[[Парадоксы остановки и близнецов]]<br />
<br />
[[Парадоксы Белла и Эренфеста]]<br />
<br />
=== Закон Кулона (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf Глава 5]) === <br />
<br />
[[Закон Кулона|Электростатика]]<br />
<br />
[[Поле равномерно двигающегося заряда]]<br />
<br />
[[Уравнения Максвелла]]<br />
<br />
[[Магнитостатика]]<br />
<br />
[[Дипольный и магнитный моменты]]<br />
<br />
[[Преобразования Лоренца для полей]]<br />
<br />
[[Электромагнитные волны]]<br />
<br />
[[Законы сохранения]]<br />
<br />
[[Потенциалы поля]]<br />
<br />
[[Дипольное излучение]]<br />
<br />
[[Немного комплексных чисел]]<br />
<br />
[[Произвольно движущийся заряд]]<br />
<br />
=== Теория симметрии (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf Глава 6]) === <br />
<br />
[[Что такое симметрия?]]<br />
<br />
[[Примеры и определения]]<br />
<br />
[[Группа перестановок]]<br />
<br />
[[Еще немного определений]]<br />
<br />
[[Представления групп]]<br />
<br />
[[Линейные преобразования]]<br />
<br />
[[Группы O(3) и SO(3)]]<br />
<br />
[[Группа SU(2)]]<br />
<br />
[[Группа Лоренца]]<br />
<br />
[[Группа Пуанкаре]]<br />
<br />
[[Нелинейные преобразования]]<br />
<br />
[[Эрлангенская программа]]<br />
<br />
=== Теория поля (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf Глава 7]) ===<br />
<br />
[[Ковариантная электродинамика]]<br />
<br />
[[Лагранжев подход]]<br />
<br />
[[Тензор энергии-импульса]]<br />
<br />
[[Теорема Нётер]]<br />
<br />
[[Применения теоремы Нётер]]<br />
<br />
[[Неоднозначность и ковариантность]]<br />
<br />
[[Спин]]<br />
<br />
[[Электромагнитная масса]]<br />
<br />
[[Взаимодействие зарядов без поля]]<br />
<br />
[[Самодействие электрона]]<br />
<br />
[[Нелинейная электродинамика]]<br />
<br />
[[Солитоны]]<br />
<br />
=== Спиноры (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8]) ===<br />
<br />
[[Кватернионы]]<br />
<br />
[[Вращение]]<br />
<br />
[[Преобразования Лоренца с кватернионами]]<br />
<br />
[[Прецессия Томаса и вигнеровское вращение]]<br />
<br />
[[Кватернионы и 4-векторы]]<br />
<br />
[[Кватернионная электродинамика]]<br />
<br />
[[Движение в электромагнитном поле]]<br />
<br />
[[Ковариантный формализм]]<br />
<br />
[[Спиноры]]<br />
<br />
[[Спиноры и 4-тензоры]]<br />
<br />
[[Спиноры и уравнения Максвелла]]<br />
<br />
[[Лагранжев подход для спиноров]]<br />
<br />
=== Биспиноры (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9]) ===<br />
<br />
[[Уравнение Дирака]]<br />
<br />
[[Алгебра матриц Дирака]]<br />
<br />
[[Преобразование биспинора]]<br />
<br />
[[Лагранжев формализм]]<br />
<br />
[[Тензор спиральности]]<br />
<br />
[[Импульсное пространство]]<br />
<br />
[[Нейтрино]]<br />
<br />
[[Калибровочные теории]]<br />
<br />
[[Основы квантовой теории]]<br />
<br />
[[Кванты поля]]<br />
<br />
[[Грассмановы переменные]]<br />
<br />
[[PTC - симметрии]]<br />
<br />
=== Релятивистские среды (Глава 10) ===<br />
<br />
=== Геометрия (pdf-версия: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) ===<br />
<br />
[[Ковариантные уравнения]]<br />
<br />
[[Геодезическая]]<br />
<br />
[[Динамика в неинерциальных системах]]<br />
<br />
[[Электродинамика в неинерциальных системах отсчёта]]<br />
<br />
[[Кривизна пространства]]<br />
<br />
[[Тензор кривизны]]<br />
<br />
[[Геометрия неинерциальных систем]]<br />
<br />
[[Немного алгебры]]<br />
<br />
[[Внешнее дифференцирование]]<br />
<br />
[[Дуальные формы и интегралы]]<br />
<br />
[[Формы в физике и геометрии]]<br />
<br />
[[Многообразие]]<br />
<br />
=== Мир постоянной кривизны (Глава 12) ===<br />
<br />
== Приложения ==<br />
<br />
[[Мир элементарных частиц]]<br />
<br />
== Краткое содержание ==<br />
<br />
В первой части лекций "Релятивистский мир" рассмотрена специальная теория относительности (СТО).<br />
В отличие от традиционного изложения мы не используем второй постулат Эйнштейна.<br />
То, что скорость света - это инвариантная и максимально возможная скорость распространения взаимодействий является следствием специальной теории относительности, а не её исходным постулатом.<br />
[[Преобразования Лоренца|Преобразования Лоренца]] (преобразование Лоренца) могут быть получены без использования второго постулата Эйнштейна. На основании этого декларируется [[Принцип параметрической неполноты]],<br />
согласно которому фундаментальные физические константы, такие как скорость света, постоянная Планка<br />
возникают в физических теориях в силу того, что специальная теория относительности (СТО)и квантовая механика в своей<br />
аксиоматической формулировке содержат меньше постулатов (аксиом), чем классическая механика.<br />
Уменьшение аксиоматической информации и приводит к появлению фундаментальных физических констант<br />
не определяемых аксиомами теории. <br />
<br />
В первой главе рассматриваются логические основы теории относительности. Мы подробно обсудим измерительные процедуры, которые необходимо выполнить различным наблюдателям для согласования единиц измерения длины и времени, и приведём "правильный" вывод [[преобразований Лоренца|преобразования Лоренца]]. Кроме этого, будут проанализированы законы сохранения энергии и импульса и получено их релятивистское обобщение.<br />
<br />
Во второй главе рассмотрены основные кинематические эффекты теории относительности, подробно разобран известный [[парадокс близнецов]] и даны основы ковариантной формулировки теории.<br />
<br />
Третья глава посвящена динамике. Основываясь лишь на законе сохранения энергии-импульса, можно достаточно много сказать о характере взаимодействия частиц, даже не зная точного вида этого взаимодействия. Мы обсудим понятие силы, момента импульса и классического спина. Рассматриваются различные примеры релятивистской динамики. Кроме того, будет продолжено изучение ковариантного формализма.<br />
<br />
В четвертой главе мы рассмотрим с позиции теории относительности вопросы электромагнитного взаимодействия. При помощи только закона Кулона и преобразований Лоренца будут получены уравнения Максвелла и изучены важные вопросы, связанные с их релятивистской интерпретацией.<br />
<br />
В пятой главе собраны различные математические вопросы. Мы изучим кватернионную технику, упрощающую вычисление композиции преобразований Лоренца, и проанализируем неевклидову структуру пространства скоростей в теории относительности. Кроме этого, будут введены лагранжев формализм и основы теории групп.<br />
<br />
Шестая глава посвящена неинерциальным системам отсчёта (НИСО). Вопреки распространённому мнению, такие системы могут быть проанализированы без привлечения теории гравитации Эйнштейна. Мы рассмотрим физические явления, происходящие в НИСО, и разовьём математический аппарат, позволяющий их описывать в произвольных координатах.<br />
<br />
В тексте книги разбросаны небольшие задачи, помеченные стилизованным глазом: (<math>\textstyle \lessdot</math> H<math>\textstyle _i</math>), где <math>\textstyle i</math> &mdash; номер решения в приложении "''Помощь''". Кроме того, встречаются ссылки вида (<math>\textstyle \lessdot</math> C<math>\textstyle _i</math>), которые имеет смысл просматривать в том случае, если в процессе чтения возникли вопросы. Возможно, ответ будет найден в приложении "''Примечания''" под номером <math>\textstyle i</math>.<br />
<br />
Определённую пользу от книги могут получить читатели с различным уровнем владения математическим аппаратом. Во всех случаях, когда результат мог быть получен элементарными методами, именно они и использовались. Однако некоторые вопросы требуют более абстрактных математических конструкций. Подобные разделы отмечены звёздочкой (одной или двумя), и на первом этапе их можно опустить, вернувшись к ним в дальнейшем.<br />
<br />
Книга "''Релятивистский мир''" состоит из 2-х частей. В первой рассматриваются вопросы, относящиеся обычно к так называемой специальной теории относительности. Вторая часть книги посвящена теории гравитации и космологии.<br />
<br />
<br />
Ключевые слова: '''Преобразования Лоренца''', '''Преобразование Лоренца''', '''Вывод преобразований Лоренца''', <br />
'''Специальная теория относительности''', '''Теория Эйнштейна''', '''Релятивистское замедление времени''', '''Парадокс близнецов''', '''Сокращение длины''', '''Уравнения Максвелла'''.<br />
<br />
----<br />
Приведенные в книге фотографии взяты с wikipedia.org, при наличие пометки публичности их источников.<br />
----<br />
<br />
Материалы лекций могут быть использованы в некоммерческих и public information целях<br />
на условиях лицензии GNU Free Documentation License (версии 1.2 или более поздней). <br />
При использовании необходима ссылка на источник: <br />
[http://synset.com/ru/Релятивистский_мир http://synset.com/ru/Релятивистский_мир]</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5,_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B5_%D0%B8_%D1%84%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%B0%D1%85&diff=5374Разное о математике, физике и финансах2013-09-01T09:14:16Z<p>WikiSysop: /* Физика */</p>
<hr />
<div>{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="right"<br />
|+'''Последние обновления'''<br />
|-<br />
| 02-06-13<br />
| 4-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf "Неинерциальные системы"]<br />
|-<br />
| 26-11-12<br />
| 8-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf "Спиноры"]<br />
|-<br />
| 04-10-12<br />
| 7-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf "Теория поля"]<br />
|-<br />
| 12-07-12<br />
| 6-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf "Симметрия"]<br />
|}<br />
<br />
== Математика ==<br />
<br />
'''[[Стохастический мир]]''' - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения ([http://synset.com/pdf/ito.pdf pdf]) ISBN 978-3-319-00070-1 Springer; 2013 <br />
<br />
'''[http://synset.com/pdf/steps_vec.pdf Векторы, тензоры и формы. Инструкция для физиков]''' - краткий учебник и задачи с разобранными решениями<br />
<br />
[[Истинность и доказуемость]] - о конструктивной математике, Канторе и Гёделе<br />
([http://synset.com/pdf/truth.pdf pdf])<br />
<br />
[[Парадокс двух конвертов]] - подробное рассмотрение известной задачи из теории вероятности ([http://synset.com/pdf/envelopes.pdf pdf])<br />
<br />
[http://synset.com/pdf/finance_02.pdf Математика вероятностей] - 2-я глава из книги "Математика финансовых рынков" ([http://synset.com/pdf/finance_02.pdf pdf])<br />
<br />
== Физика ==<br />
[[Файл:emc2.png|right]]<br />
<br />
'''[[Релятивистский мир]]''' - лекции по теории относительности, гравитации и космологии <br />
[http://synset.com/pdf/relworld_01.pdf 1]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_02.pdf 2]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf 3]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf 4]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf 5]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf 6]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf 7]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf 8]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf 9]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf 11]<br />
<br />
"Являются ли жесткие неинерциальные системы отсчёта жесткими?" ([http://synset.com/pdf/rigid2013.pdf rus])<br />
<br />
100 лет без 2-го постулата Эйнштейна ([http://synset.com/pdf/100.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/100_en.pdf eng])<br />
<br />
[[Прецессия Томаса]] - новый взгляд на старую проблему ([http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf rus]) ЭЧАЯ - 2/2012. - Т.43, No.1<br />
<br />
Оказывает ли свет давление на пробный заряд? ([http://synset.com/pdf/ciw.pdf rus]) <br />
<br />
[[История теории относительности]] - обзор и некоторые редкие статьи<br />
<br />
Обработка последних данных по сверхновым ([http://synset.com/pdf/sna.pdf pdf])<br />
<br />
== Экономика и Финансы ==<br />
<br />
[[Финансовые рынки|Математика финансовых рынков]]<br />
<br />
Основы экономики <br />
<br />
[[Пластичность волатильности]] ([http://synset.com/pdf/volatility.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/volatility_en.pdf eng])<br />
<br />
== Искусственный интеллект ==<br />
<br />
[[Сможет ли человек мыслить?]] - футуристические прогнозы за чашкой кофе<br />
<br />
[[Интуиция искусственного разума]] - как реализовать математическую интуицию. Пока больше вопросов<br />
<br />
[[Алгоритм команды Днепр]] - простой алгоритм для компьютерного футбола<br />
<br />
[http://synset.com/p/rps/rps.php ИИ против человека] - камень, ножницы, бумага :)<br />
<br />
[[Flash]] - простые шаблоны ActionScript для Flash8<br />
<br />
[[Pascal]] - программирование от начинающих для начинающих<br />
<br />
[[Mathematica]] - шпаргалка по пакету Mathematica<br />
<br />
== Разное ==<br />
<br />
[http://synset.com/blog/0909/index.html Трекинг в Гималаях]<br />
<br />
[[ru:Заглавная_страница]]<br />
[[en:Main_Page]]</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9B%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B0&diff=5370Обсуждение:Группа Лоренца2013-08-08T14:32:39Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>А сумма <math>\ j_{1} + j_{2}</math> максимальных собственных значений операторов <math>\ \mathbf K_{3}, \mathbf J_{3}</math> может быть наблюдаемой? Я имею в виду, что, окромя того, что она показывает природу преобразующейся величины (как скаляра, 4-вектора и т.д.), может ли она быть наблюдаемой как спин (умноженная на постоянную Планка)?<br />
<br />
Точнее, такой вопрос. Можно ли составить такой эрмитов оператор (как неприводимое представление генератора вращений), чтобы его собственное значение равнялось <math>\ j_{1} + j_{2}</math>? Ведь <math>\ j_{1} + j_{2}</math> соответствуют неприводимому представлению <math>\ \hat {\mathbf K}_{k} + \hat {\mathbf J}_{k} = \hat {\mathbf R}_{k}</math>. [[Участник:Maxim|Maxim]] 22:18, 31 июля 2013 (UTC).<br />
::А, ну, я и ответил на свой вопрос. [:)]. Хоть группа Лоренца неунитарна, что связано с некомпактностью подгруппы лоренцевских бустов, но она может представлять поля, так как для них не обязательно иметь положительно определенную лоренц-инвариантную норму (в отличие от частиц, которые описываются волновой функцией и плотность вероятности для которых задается квадратом модуля амплитуды функции), а унитарность представления связана с сохранением нормы. Однако сумма <math>\ j_{1} + j_{2}</math> является максимальным числом неприводимого представления <math>\ \hat {\mathbf K}_{k} + \hat {\mathbf J}_{k}</math>, которое совпадает с неприводимым представление генератора вращений, а следовательно, наблюдаема и соответствует квантовому спину поля.<br />
: Ok :) [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 14:32, 8 августа 2013 (UTC)</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&diff=5368Обсуждение:Представления групп2013-08-04T17:07:38Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>== Не очень понятно завершение доказательства теоремы Машке ==<br />
<br />
''Умножая обе стороны этого равенства слева и справа на <math>\textstyle \mathbf{S}^{-1}</math>, получаем условие унитарности: <br />
<center><math>\mathbf{1} = \mathbf{S}^{-1} \mathbf{T}^+(g_i)\mathbf{S}^2\mathbf{T}(g_i)\mathbf{S}^{-1}= \bigl[\mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{S}^{-1}\bigr]^+ \, \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{S}^{-1},</math></center>''<br />
<br />
Мы показали, что <math>\bigl[\mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{S}^{-1}\bigr]</math> - унитарна, но откуда следует, что унитарна <math>\mathbf{T}</math> (не даст ли произведение двух эрмитовых матриц, унитарную) ?<br />
<br />
Или это получается из того, что раз матрица <math>\bigl[\mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{S}^{-1}\bigr]</math> - унитарна, то и матрицы составляющие её произведение также унитарны?<br />
<br />
Здесь видимо используется следующее:<br />
<br />
''Если задано некоторое представление размерности <math>\textstyle n</math> (матрицы <math>\textstyle n</math>x<math>\textstyle n</math>), то при помощи некоторой ''несингулярной'' матрицы <math>\textstyle \mathbf{S}</math> (<math>\textstyle \det\mathbf{S}\neq 0</math>) той же размерности всегда можно построить другое представление:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{T}'(g)=\mathbf{S}\,\mathbf{T}(g)\,\mathbf{S}^{-1}. </math><br />
|}<br />
''<br />
<br />
откуда: <math> 1 = \mathbf{T}'^+\mathbf{T}' </math> <br />
Это верно ?<br />
<br />
: Спасибо за вопросы. Там, действительно, не совсем ясно написано. Вы правы, имеется ввиду следующее. Пусть <math>\mathbf{T}(g)</math> является неунитарным представлением. При помощи матрицы <math>\mathbf{S}</math> можно всегда перейти к другому представлению в котором матрицами будут <math>\mathbf{S}\mathbf{T}(g)\mathbf{S}^{-1}</math>. При доказательстве теоремы мы подбираем такую матрицу <math>\mathbf{S}</math>, чтобы <math>\mathbf{S}\mathbf{T}(g)\mathbf{S}^{-1}</math> оказалось унитарным. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 19:52, 2 июня 2013 (UTC)<br />
<br />
<br />
--[[Участник:Stanislav81|Сухопаров Станислав]] 21:08, 3 июня 2013 (UTC)''(Чтобы не забыть, спрошу)'' Пытаясь разобраться с доказательством леммы Шура, там есть момент когда изменение базиса сохраняет собственные значения матрицы, и переход к другому базису выглядит очень похоже на <math> \mathbf{T}'(g)=\mathbf{S}\,\mathbf{T}(g)\,\mathbf{S}^{-1}. </math> за исключением того, что переход выглядит вот так <math>\mathbf{T}'(g)=\mathbf{S}^{-1}\,\mathbf{T}(g)\,\mathbf{S}.</math>, то отсюда можно утверждать что раз в некотором базисе матрица <math>\bigl[\mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{S}^{-1}\bigr]</math> - унитарна, то и сама <math>\mathbf{T}</math> также унитарна. <br />
<br />
А представление <math>\bigl[\mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{S}^{-1}\bigr]</math>, есть представление в некотором другом базисе линейного пространства.<br />
<br />
И тут появляется вопрос к этому:<br />
<br />
''Если задано некоторое представление размерности <math>\textstyle n</math> (матрицы <math>\textstyle n</math>x<math>\textstyle n</math>), то при помощи некоторой ''несингулярной'' матрицы <math>\textstyle \mathbf{S}</math> (<math>\textstyle \det\mathbf{S}\neq 0</math>) той же размерности всегда можно построить другое представление:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{T}'(g)=\mathbf{S}\,\mathbf{T}(g)\,\mathbf{S}^{-1}. </math><br />
|}<br />
'' <br />
<br />
Не есть ли это представление в другом базисе, к которому мы перешли с помощью матрицы <math>\textstyle \mathbf{S}</math>, может так и написать, чтобы было понятно откуда это взялось ? <br />
<br />
--[[Участник:Stanislav81|Сухопаров Станислав]] 21:01, 3 июня 2013 (UTC)<br />
<br />
: Я честно говоря, не совсем понял о какой матрице <math>\textstyle \mathbf{S}</math> идёт речь. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 20:00, 6 июня 2013 (UTC)<br />
<br />
__<br />
<br />
Я не совсем понимаю, откуда для матриц 2x2 представления группы <math>\ \mathbf D_{3}</math> получаются таким значения для следов элементов, как 2, -1 и т.д. [[Участник:Maxim|Maxim]] 12:38, 2 августа 2013 (UTC).<br />
: След 2 имеет единичная матрица 2x2 <math>\mathbf{T}(e)</math>, след -1 у матриц <math>\mathbf{T}(a)</math> и <math>\mathbf{T}(a^2)</math> (см. матрицы вращений 3x3 у которых надо отбросить последнюю колонку и строчку). У остальных матриц след нулевой. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 17:07, 4 августа 2013 (UTC)</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5,_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B5_%D0%B8_%D1%84%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%B0%D1%85&diff=5361Разное о математике, физике и финансах2013-07-25T09:59:18Z<p>WikiSysop: /* Физика */</p>
<hr />
<div>{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="right"<br />
|+'''Последние обновления'''<br />
|-<br />
| 02-06-13<br />
| 4-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf "Неинерциальные системы"]<br />
|-<br />
| 26-11-12<br />
| 8-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf "Спиноры"]<br />
|-<br />
| 04-10-12<br />
| 7-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf "Теория поля"]<br />
|-<br />
| 12-07-12<br />
| 6-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf "Симметрия"]<br />
|}<br />
<br />
== Математика ==<br />
<br />
'''[[Стохастический мир]]''' - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения ([http://synset.com/pdf/ito.pdf pdf]) ISBN 978-3-319-00070-1 Springer; 2013 <br />
<br />
'''[http://synset.com/pdf/steps_vec.pdf Векторы, тензоры и формы. Инструкция для физиков]''' - краткий учебник и задачи с разобранными решениями<br />
<br />
[[Истинность и доказуемость]] - о конструктивной математике, Канторе и Гёделе<br />
([http://synset.com/pdf/truth.pdf pdf])<br />
<br />
[[Парадокс двух конвертов]] - подробное рассмотрение известной задачи из теории вероятности ([http://synset.com/pdf/envelopes.pdf pdf])<br />
<br />
[http://synset.com/pdf/finance_02.pdf Математика вероятностей] - 2-я глава из книги "Математика финансовых рынков" ([http://synset.com/pdf/finance_02.pdf pdf])<br />
<br />
== Физика ==<br />
[[Файл:emc2.png|right]]<br />
<br />
'''[[Релятивистский мир]]''' - лекции по теории относительности, гравитации и космологии <br />
[http://synset.com/pdf/relworld_01.pdf 1]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_02.pdf 2]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf 3]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf 4]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf 5]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf 6]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf 7]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf 8]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf 9]<br />
<br />
"Являются ли жесткие неинерциальные системы отсчёта жесткими?" ([http://synset.com/pdf/rigid2013.pdf rus])<br />
<br />
100 лет без 2-го постулата Эйнштейна ([http://synset.com/pdf/100.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/100_en.pdf eng])<br />
<br />
[[Прецессия Томаса]] - новый взгляд на старую проблему ([http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf rus]) ЭЧАЯ - 2/2012. - Т.43, No.1<br />
<br />
Оказывает ли свет давление на пробный заряд? ([http://synset.com/pdf/ciw.pdf rus]) <br />
<br />
[[История теории относительности]] - обзор и некоторые редкие статьи<br />
<br />
Обработка последних данных по сверхновым ([http://synset.com/pdf/sna.pdf pdf])<br />
<br />
== Экономика и Финансы ==<br />
<br />
[[Финансовые рынки|Математика финансовых рынков]]<br />
<br />
Основы экономики <br />
<br />
[[Пластичность волатильности]] ([http://synset.com/pdf/volatility.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/volatility_en.pdf eng])<br />
<br />
== Искусственный интеллект ==<br />
<br />
[[Сможет ли человек мыслить?]] - футуристические прогнозы за чашкой кофе<br />
<br />
[[Интуиция искусственного разума]] - как реализовать математическую интуицию. Пока больше вопросов<br />
<br />
[[Алгоритм команды Днепр]] - простой алгоритм для компьютерного футбола<br />
<br />
[http://synset.com/p/rps/rps.php ИИ против человека] - камень, ножницы, бумага :)<br />
<br />
[[Flash]] - простые шаблоны ActionScript для Flash8<br />
<br />
[[Pascal]] - программирование от начинающих для начинающих<br />
<br />
[[Mathematica]] - шпаргалка по пакету Mathematica<br />
<br />
== Разное ==<br />
<br />
[http://synset.com/blog/0909/index.html Трекинг в Гималаях]<br />
<br />
[[ru:Заглавная_страница]]<br />
[[en:Main_Page]]</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9F%D1%83%D0%B0%D0%BD%D0%BA%D0%B0%D1%80%D0%B5&diff=5354Обсуждение:Группа Пуанкаре2013-07-22T17:35:43Z<p>WikiSysop: /* Классический и квантовый спин частиц */</p>
<hr />
<div>==Классический и квантовый спин частиц==<br />
1. А как понимать слова о том, что система частиц, обладающих спином, не имеет операторы импульса и момента, соответствующие матрицам 4*4? С чем это связано? С квантовым спином?<br />
: Нет. Там идёт речь о том, что в представлении группы Пуанкаре с матрицами 4x4 оператор <math>\hat{W}</math> будет равен нулю (т.к. в этом представлении <math>\hat{J}_{\alpha\beta}=x_\alpha\hat{P}_\beta-x_\beta\hat{P}_\alpha</math>, поэтому <math>\hat{W}^\nu = \frac{1}{2}\,\varepsilon^{\nu\alpha\beta\gamma}\,\hat{J}_{\alpha\beta}\,\hat{P}_\gamma.<br />
=0</math>). Однако, алгебра (коммутаторы) более общее понятие, по сравнению с представлением генераторов. Поэтому, возможны представления в которых <math>\hat{W}^\nu \neq 0</math>. Они соответствуют спину, например системы частиц или фундаментальной точечной квантовой частице со спином. Впрочем, стоит помнить, что это именно соответствие а не тождественность. Группа Пуанкаре сама по себе не является ещё квантовой механикой. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 17:35, 22 июля 2013 (UTC)<br />
<br />
2. Если в классическом случае для одной частицы ее 3-вектор спина равен нулю, то как ввести спин частицы в квантовой механике, исходя из оператора спина? Рассмотреть вначале произвольное число частиц, а после этого сказать, что одна частица обладает собственным моментом, не связанным с ее движением?<br />
: Не все квантовые понятия имеют свои классические аналоги. Классический спин (как суммарный орбитальный момент системы частиц) имеет четкий квантовый аналог. В тоже время спин точечной частицы, например, электрона не имеет, хотя бы потому, что <math>\hbar/2</math> равен нулю при <math>\hbar\to 0</math>. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 17:35, 22 июля 2013 (UTC)</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81%D0%B0_%D0%B8_%D1%81%D0%BF%D0%B8%D0%BD&diff=5353Обсуждение:Момент импульса и спин2013-07-22T17:04:43Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>Почему суммарный момент <math>\ \mathbf L</math> системы частиц не равен <math>\ [\mathbf R \times \mathbf P]</math>? Имеется в виду сумма орбитальных моментов частиц в системе центра масс, которая вместе с моментом, связанным с движением системы как целого, входят в полный момент? Но в таком случае этот оператор собственного момента импульса не связан со спином до введения аксиомы о спине точечной частицы. Потому аналогия собственного момента со спиновым для всей системы не совсем точна: оператор собственного момента, о котором идет речь в статье, не включает спиновый момент, в то время как под спиновым моментом системы в квантовой механике подразумевается сумма чисто спинового и орбитального моментов каждой частицы системы. [[Участник:Maxim|Maxim]] 15:54, 21 июля 2013 (UTC).<br />
: Потому, что по определению суммарный момент - это сумма моментов каждой частицы, т.е. <math>\sum [\mathbf r \times \mathbf p]</math> и он не равен эффективному моменту движения центра масс <math>\ [\mathbf R \times \mathbf P]</math>. Об операторах и квантовой механике здесь речь не идёт. Это чисто классические (релятивистские) понятия. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 17:04, 22 июля 2013 (UTC)</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Stick.png&diff=5347Файл:Stick.png2013-07-16T13:04:43Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div></div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D1%8B_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F&diff=5333Обсуждение:Кванты поля2013-07-12T12:15:26Z<p>WikiSysop: /* Вопрос про роль операторов амплитуд для дираковского поля */</p>
<hr />
<div>==Бесконечная константа в выражении для оператора энергии==<br />
А почему бесконечная константа в выражении для энергии в случае поля, взаимодействующего с веществом, вызывает проблемы? [[Участник:Maxim|Maxim]] 17:18, 7 июля 2013 (UTC).<br />
: Хм. Так получается... Добавляется сингулярность закона Кулона... Бесконечности там лезут из каждой дырки. Но с ними научились бороться, засовывая их в массу и заряд. По крайней мере, в т.н. перенормируемых теориях, которыми являются все известные взаимодействия.<br />
==Вопрос про роль операторов амплитуд для дираковского поля==<br />
И еще такой вопрос: в случае с получением (классического) выражения для энергии-импульса спинорного поля проходило слежение за порядком сомножителей (<math>\ a^{*}_{s}(\mathbf p )a_{s}(\mathbf p )</math>, а не наоборот). Это сделано лишь ввиду рассмотрения квантования в этом разделе, а в реальности ведь нет никакой разницы, в каком порядке множители стоят (ведь они есть скалярами, если я правильно понимаю)? [[Участник:Maxim|Maxim]] 08:56, 8 июля 2013 (UTC).<br />
: Не совсем скаляры. Даже в неквантовой теории это грасмановы переменные (см. соответствующий раздел).<br />
<br />
И еще один. В подразделе про квантование спинорного поля сказано, что при выборе коммутационных соотношений, аналогичных соотношениям для скалярного поля, "...Античастицы будут иметь положительный заряд и отрицательную энергию...". А почему нельзя назвать оператором рождения античастицы не <math>\ \hat {b}^{+}</math>, а <math>\ \hat {b}</math>? Конечно, выражение для энергии не станет однозначно знакоположительным, но можно было бы наложить ограничения на разность <math>\ \hat {a}^{+}\hat {a} - \hat {b}\hat {b}^{+}</math>, если это, вообще говоря, возможно.<br />
: Именно, чтобы добиться положительно определённой энергии и знакопеременного заряда. <br />
<br />
А как показать то, что именно <math>\ \hat {b}^{+}</math> является оператором рождения при использовании коммутационных соотношений? Можно было бы показать это как-то при помощи действия оператором числа частиц на одночастичное состояние (со "старыми" коммутационными соотношениями, как это было проделано для случая скалярного действительного поля), но я не могу использовать соотношение<br />
<br />
<math>\ | E_{\mathbf k }\rangle = \hat {b}^{+}|\rangle</math>,<br />
<br />
поскольку оно берет "корни" из постулата о положительности энергии, а если оператор <math>\ \hat {b}^{+}</math> действует так, что энергия уменьшается, потому его действие на нулевое состояние, согласно постулату, дает ноль. Как решить эту проблему? Может быть, поможет простое рассмотрение лишь отрицательных значений энергии поля (допустим, рассматривается только античастичное поле)? Тогда можно ограничить энергию нулем сверху, и провести доказательство аналогично случаю с положительными энергиями. Подойдет ли такое доказательство?<br />
[[Участник:Maxim|Maxim]] 17:14, 8 июля 2013 (UTC).<br />
<br />
Можно также доказать от "противного", допустив, что <math>\ \hat {b}</math> является оператором рождения, и подействовав на одночастичное состояние оператором числа частиц. [[Участник:Maxim|Maxim]] 12:41, 9 июля 2013 (UTC).<br />
: Мы устанавливаем коммутационные соотношения на стр. 619 и дальше рассуждаем аналогично скалярному полю. Это и даёт нам смысл операторов рождения и уничтожения. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 12:15, 12 июля 2013 (UTC)<br />
<br />
==Оператор числа частиц и мотивировка в его выборе==<br />
А в чем состоит мотивация выбора оператором числа частиц именно интеграл <math>\ \int \hat {a}^{+}(\mathbf p )\hat {a}(\mathbf p )d^{3}\mathbf p</math>? В виде коммутационного соотношения (дельта-функция дает намек на интеграл) и в том, что выполняется соотношение <math>\ \hat {N}| \mathbf p \rangle = | \mathbf p \rangle</math>, и т.д.? [[Участник:Maxim|Maxim]] 19:40, 8 июля 2013 (UTC).<br />
: Да, именно, чтобы получились правильные собственные значения. Одна частица с энергией E, две частицы и т.д. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 20:16, 8 июля 2013 (UTC)<br />
<br />
Еще какая-то проблема появилась для оператора числа частиц в случае со спинорным полем. Изначально он определялся как <math>\ \hat {N} = \hat {Q}</math> (с точностью до множителя). Но после учета антикоммутационных соотношений для него получается выражение<br />
<br />
<math>\ \hat {N} = \int (\hat {a}^{+ }_{s}(\mathbf p )\hat {a}_{s}(\mathbf p ) - \hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {b}_{s}(\mathbf p ))d^{3}\mathbf p </math>,<br />
<br />
и рождение античастицы с положительной энергией приводит к уменьшению числа частиц. Где ошибка? [[Участник:Maxim|Maxim]] 20:14, 9 июля 2013 (UTC).<br />
: Нет, нет. его сразу надо определять как<br />
:::<math>\ \hat {N} = \int (\hat {a}^{+ }_{s}(\mathbf p )\hat {a}_{s}(\mathbf p ) + \hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {b}_{s}(\mathbf p ))d^{3}\mathbf p </math>,<br />
: что мы делаем, после того, как установили смысл операторов в случае энергии и заряда. Минус одной частицы, конечно, быть не должно. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 12:11, 12 июля 2013 (UTC)</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D1%8B_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F&diff=5332Обсуждение:Кванты поля2013-07-12T12:11:52Z<p>WikiSysop: /* Оператор числа частиц и мотивировка в его выборе */</p>
<hr />
<div>==Бесконечная константа в выражении для оператора энергии==<br />
А почему бесконечная константа в выражении для энергии в случае поля, взаимодействующего с веществом, вызывает проблемы? [[Участник:Maxim|Maxim]] 17:18, 7 июля 2013 (UTC).<br />
: Хм. Так получается... Добавляется сингулярность закона Кулона... Бесконечности там лезут из каждой дырки. Но с ними научились бороться, засовывая их в массу и заряд. По крайней мере, в т.н. перенормируемых теориях, которыми являются все известные взаимодействия.<br />
==Вопрос про роль операторов амплитуд для дираковского поля==<br />
И еще такой вопрос: в случае с получением (классического) выражения для энергии-импульса спинорного поля проходило слежение за порядком сомножителей (<math>\ a^{*}_{s}(\mathbf p )a_{s}(\mathbf p )</math>, а не наоборот). Это сделано лишь ввиду рассмотрения квантования в этом разделе, а в реальности ведь нет никакой разницы, в каком порядке множители стоят (ведь они есть скалярами, если я правильно понимаю)? [[Участник:Maxim|Maxim]] 08:56, 8 июля 2013 (UTC).<br />
: Не совсем скаляры. Даже в неквантовой теории это грасмановы переменные (см. соответствующий раздел).<br />
<br />
И еще один. В подразделе про квантование спинорного поля сказано, что при выборе коммутационных соотношений, аналогичных соотношениям для скалярного поля, "...Античастицы будут иметь положительный заряд и отрицательную энергию...". А почему нельзя назвать оператором рождения античастицы не <math>\ \hat {b}^{+}</math>, а <math>\ \hat {b}</math>? Конечно, выражение для энергии не станет однозначно знакоположительным, но можно было бы наложить ограничения на разность <math>\ \hat {a}^{+}\hat {a} - \hat {b}\hat {b}^{+}</math>, если это, вообще говоря, возможно.<br />
: Именно, чтобы добиться положительно определённой энергии и знакопеременного заряда. <br />
<br />
А как показать то, что именно <math>\ \hat {b}^{+}</math> является оператором рождения при использовании коммутационных соотношений? Можно было бы показать это как-то при помощи действия оператором числа частиц на одночастичное состояние (со "старыми" коммутационными соотношениями, как это было проделано для случая скалярного действительного поля), но я не могу использовать соотношение<br />
<br />
<math>\ | E_{\mathbf k }\rangle = \hat {b}^{+}|\rangle</math>,<br />
<br />
поскольку оно берет "корни" из постулата о положительности энергии, а если оператор <math>\ \hat {b}^{+}</math> действует так, что энергия уменьшается, потому его действие на нулевое состояние, согласно постулату, дает ноль. Как решить эту проблему? Может быть, поможет простое рассмотрение лишь отрицательных значений энергии поля (допустим, рассматривается только античастичное поле)? Тогда можно ограничить энергию нулем сверху, и провести доказательство аналогично случаю с положительными энергиями. Подойдет ли такое доказательство?<br />
[[Участник:Maxim|Maxim]] 17:14, 8 июля 2013 (UTC).<br />
<br />
Можно также доказать от "противного", допустив, что <math>\ \hat {b}</math> является оператором рождения, и подействовав на одночастичное состояние оператором числа частиц. [[Участник:Maxim|Maxim]] 12:41, 9 июля 2013 (UTC).<br />
<br />
==Оператор числа частиц и мотивировка в его выборе==<br />
А в чем состоит мотивация выбора оператором числа частиц именно интеграл <math>\ \int \hat {a}^{+}(\mathbf p )\hat {a}(\mathbf p )d^{3}\mathbf p</math>? В виде коммутационного соотношения (дельта-функция дает намек на интеграл) и в том, что выполняется соотношение <math>\ \hat {N}| \mathbf p \rangle = | \mathbf p \rangle</math>, и т.д.? [[Участник:Maxim|Maxim]] 19:40, 8 июля 2013 (UTC).<br />
: Да, именно, чтобы получились правильные собственные значения. Одна частица с энергией E, две частицы и т.д. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 20:16, 8 июля 2013 (UTC)<br />
<br />
Еще какая-то проблема появилась для оператора числа частиц в случае со спинорным полем. Изначально он определялся как <math>\ \hat {N} = \hat {Q}</math> (с точностью до множителя). Но после учета антикоммутационных соотношений для него получается выражение<br />
<br />
<math>\ \hat {N} = \int (\hat {a}^{+ }_{s}(\mathbf p )\hat {a}_{s}(\mathbf p ) - \hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {b}_{s}(\mathbf p ))d^{3}\mathbf p </math>,<br />
<br />
и рождение античастицы с положительной энергией приводит к уменьшению числа частиц. Где ошибка? [[Участник:Maxim|Maxim]] 20:14, 9 июля 2013 (UTC).<br />
: Нет, нет. его сразу надо определять как<br />
:::<math>\ \hat {N} = \int (\hat {a}^{+ }_{s}(\mathbf p )\hat {a}_{s}(\mathbf p ) + \hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {b}_{s}(\mathbf p ))d^{3}\mathbf p </math>,<br />
: что мы делаем, после того, как установили смысл операторов в случае энергии и заряда. Минус одной частицы, конечно, быть не должно. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 12:11, 12 июля 2013 (UTC)</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D1%8B_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8&diff=5331Обсуждение:Основы квантовой теории2013-07-12T12:08:29Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>А из чего, интуитивно, следует аксиома того, что квадраты модулей коэффициентов при собственных векторах оператора для разложения произвольного вектора по базису оператора дают вероятности? [[Участник:Maxim|Maxim]] 23:57, 10 июля 2013 (UTC).<br />
: Интуитивно ни откуда. К ней подводят, анализируя, например, интерференцию электронов на щелях, блестящее изложение которой дал Фейнман в своих лекциях. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 12:07, 12 июля 2013 (UTC)</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D1%8B_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8&diff=5330Обсуждение:Основы квантовой теории2013-07-12T12:07:53Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>А из чего, интуитивно, следует аксиома того, что квадраты модулей коэффициентов при собственных векторах оператора для разложения произвольного вектора по базису оператора дают вероятности? [[Участник:Maxim|Maxim]] 23:57, 10 июля 2013 (UTC).<br />
: Интуитивно не откуда. К ней подводят, анализируя, например, интерференцию электронов на щелях, блестящее изложение которой дал Фейнман в своих лекциях. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 12:07, 12 июля 2013 (UTC)</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D1%8B_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F&diff=5314Обсуждение:Кванты поля2013-07-08T20:16:09Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>А почему бесконечная константа в выражении для энергии в случае поля, взаимодействующего с веществом, вызывает проблемы? [[Участник:Maxim|Maxim]] 17:18, 7 июля 2013 (UTC).<br />
: Хм. Так получается... Добавляется сингулярность закона Кулона... Бесконечности там лезут из каждой дырки. Но с ними научились бороться, засовывая их в массу и заряд. По крайней мере, в т.н. перенормируемых теориях, которыми являются все известные взаимодействия.<br />
<br />
И еще такой вопрос: в случае с получением (классического) выражения для энергии-импульса спинорного поля проходило слежение за порядком сомножителей (<math>\ a^{*}_{s}(\mathbf p )a_{s}(\mathbf p )</math>, а не наоборот). Это сделано лишь ввиду рассмотрения квантования в этом разделе, а в реальности ведь нет никакой разницы, в каком порядке множители стоят (ведь они есть скалярами, если я правильно понимаю). [[Участник:Maxim|Maxim]] 08:56, 8 июля 2013 (UTC).<br />
: Не совсем скаляры. Даже в неквантовой теории это грасмановы переменные (см. соответствующий раздел).<br />
<br />
И еще один. В подразделе про квантование спинорного поля сказано, что при выборе коммутационных соотношений, аналогичных соотношениям для скалярного поля, "...Античастицы будут иметь положительный заряд и отрицательную энергию...". А почему нельзя назвать оператором рождения античастицы не <math>\ \hat {b}^{+}</math>, а <math>\ \hat {b}</math>? Конечно, выражение для энергии не станет однозначно знакоположительным, но можно было бы наложить ограничения на разность <math>\ \hat {a}^{+}\hat {a} - \hat {b}\hat {b}^{+}</math>, если это, вообще говоря, возможно.<br />
: Именно, чтобы добиться положительно определённой энергии и знакопеременного заряда. <br />
<br />
Или же то, что именно <math>\ \hat {b}^{+}</math> является оператором рождения, показывает соотношение на оператор числа частиц (со "старыми" коммутационными соотношениями) <br />
<br />
<math>\ \hat {N}| E_{\mathbf k }\rangle = \hat {N}\hat {b}^{+}|\rangle = | E_{\mathbf k }\rangle </math>? <br />
<br />
[[Участник:Maxim|Maxim]] 17:14, 8 июля 2013 (UTC).<br />
<br />
А в чем состоит мотивация выбора оператором числа частиц именно интеграл <math>\ \int \hat {a}^{+}(\mathbf p )\hat {a}(\mathbf p )d^{3}\mathbf p</math>? В виде коммутационного соотношения (дельта-функция дает намек на интеграл) и в том, что выполняется соотношение <math>\ \hat {N}| \mathbf p \rangle = | \mathbf p \rangle</math>, и т.д.? [[Участник:Maxim|Maxim]] 19:40, 8 июля 2013 (UTC).<br />
: Да, именно, чтобы получились правильные собственные значения. Одна частица с энергией E, две частицы и т.д. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 20:16, 8 июля 2013 (UTC)</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&diff=5302Обсуждение:Импульсное пространство2013-07-07T09:03:58Z<p>WikiSysop: /* Спинорные волны */</p>
<hr />
<div>==Спинорные волны==<br />
А для проверки выражения <math>\ (9.79)</math> требуется подставить выражения для собственных векторов <math>\ w^{(s)}</math> в явном виде, ведь так? И верно ведь, что выражения <math>\ A_{s, \mathbf p}, B (s, \mathbf p)</math> не зависят от <math>\ x^{\mu }</math>? [[Участник:Maxim|Maxim]] 15:45, 6 июля 2013 (UTC).<br />
: Да. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 18:16, 6 июля 2013 (UTC)<br />
::У меня, почему-то, не зануляются компоненты. Для<br />
::<math>\ \hat{\gamma}_{0}\epsilon_{\mathbf p} - \hat {\gamma}_{i}p^{i} - m\hat {E} = \begin{bmatrix} \epsilon_{\mathbf p} - m & 0 & -p_{3} & -(p_{1} - p_{2}i) \\ 0 & \epsilon_{\mathbf p} - m & -(p_{1} + p_{2}i) & p_{3} \\ p_{3} & p_{1} - p_{2}i & -\epsilon_{\mathbf p} - m & 0 \\ -(p_{1} + p_{2}i) & -p_{3} & 0 & -\epsilon_{\mathbf p} - m \end{bmatrix}</math><br />
::и<br />
::<math>\ A_{1, -1, \mathbf p} = \begin{bmatrix} \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}e^{-i\frac{\varphi}{2}}c\left(\frac{\theta }{2}\right) \\ \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}e^{i\frac{\varphi}{2}}s\left(\frac{\theta }{2}\right) \\ \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}e^{-i\frac{\varphi}{2}}c\left(\frac{\theta }{2}\right) \\ \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}e^{i\frac{\varphi}{2}}s\left(\frac{\theta }{2}\right) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}e^{-i\frac{\varphi}{2}}s\left(\frac{\theta }{2}\right) \\ \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}e^{i\frac{\varphi}{2}}c\left(\frac{\theta }{2}\right) \\ \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}e^{-i\frac{\varphi}{2}}s\left(\frac{\theta }{2}\right) \\ -\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}e^{i\frac{\varphi}{2}}c\left(\frac{\theta }{2}\right) \end{bmatrix}</math><br />
::я не могу занулить, например, первую компоненту. Можете подсказать, где ошибка? [[Участник:Maxim|Maxim]] 23:24, 6 июля 2013 (UTC).<br />
<br />
<br />
<center><math>\gamma^\mu p_\mu A_{s,\mathbf{p}} = (\gamma^0 \varepsilon_p - \boldsymbol{\gamma}\mathbf{p})A_{s,\mathbf{p}} = m\,A_{s,\mathbf{p}}</math>.</center> <br />
<br />
В стандартном представлении:<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{pmatrix}<br />
\varepsilon_p &-\boldsymbol{\sigma}\mathbf{p}\\<br />
\boldsymbol{\sigma}\mathbf{p} & -\varepsilon_p\\<br />
\end{pmatrix}<br />
\begin{pmatrix}<br />
\sqrt{\varepsilon_p+m}\, w^{(s )}\\<br />
s\sqrt{\varepsilon_p-m}\, w^{(s)}\\<br />
\end{pmatrix} =<br />
\begin{pmatrix}<br />
\sqrt{\varepsilon_p+m}\,\varepsilon_p w^{(s )} - s\sqrt{\varepsilon_p-m}\,\boldsymbol{\sigma}\mathbf{p}w^{(s )}\\<br />
\sqrt{\varepsilon_p+m}\,\boldsymbol{\sigma}\mathbf{p}\, w^{(s )} - s \sqrt{\varepsilon_p-m}\, \varepsilon_p w^{(s)}\\<br />
\end{pmatrix}<br />
=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\sqrt{\varepsilon_p+m}\,\varepsilon_p w^{(s )} - \sqrt{\varepsilon_p-m}\,|\mathbf{p}|w^{(s )}\\<br />
s\sqrt{\varepsilon_p+m}\,|\mathbf{p}|\, w^{(s )} - s \sqrt{\varepsilon_p-m}\, \varepsilon_p w^{(s)}\\<br />
\end{pmatrix}<br />
</math>.</center> <br />
Далее подставляем <math>|\mathbf{p}|=\sqrt{\varepsilon_p-m}\sqrt{\varepsilon_p+m}</math> и получаем <math>m\,A_{s,\mathbf{p}}</math> [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 09:03, 7 июля 2013 (UTC)</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B0&diff=5300Обсуждение:Электромагнитная масса2013-07-06T18:21:46Z<p>WikiSysop: /* Вопросы по следующим главам */</p>
<hr />
<div>А ведь введение электромагнитной массы - чистая формальность? [[Участник:Maxim|Maxim]] 05:09, 14 ноября 2012 (UTC) .<br />
: Всё зависит от того, что называть формальностью. Вокруг заряженной частицы есть поле. Это поле обладает энергией. Поэтому для измерения скорости заряженной частицы требуется приложить большую силу, чем для незаряженной с "той же" массой. Хотя, конечно, экспериментально отделить "механическую" массу от электромагнитной нельзя. Мы не умеем отключать и включать заряд частиц, без изменения их природы. Поэтому дело это темное. :) [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 20:24, 14 ноября 2012 (UTC)<br />
::То есть, по ходу раздела вычисляется энергия и импульс зарядов, что создают поле, при помощи тензоров энергии-импульса зарядов и поля? А вначале же делается попытка найти энергию и импульс без учета тензора энергии-импульса частиц? Не совсем понимаю ту идею, что при <math>\ m_{3} = 0</math> заряд, по сути, полностью характеризуется своим полем. Можете пояснить? [[Участник:Maxim|Maxim]] 19:21, 12 февраля 2013 (UTC).<br />
::И еще непонятно, почему тензор энергии-импульса частиц, будучи введен в одном из предыдущих разделов, отличается от введенного в данном разделе. В предыдущем разделе, получается, он недоопределен?<br />
::: Идея состоит в следующем. Если мы предполагаем, что заряд как-то распределен в электроне, то должны быть силы которые его удерживают (натяжения Пуакаре). Их явный вид (а следовательно и тензор энергии-импульса) неизвестен. Поэтому мы добавляем наиболее общее ковариантное выражение и так подбираем его коэффициенты, чтобы суммарный тензор сохранялся. В этом случае (как и должно быть) не возникает проблемы электромагнитной массы. Эквивалентно, можно считать, что существует некоторая неизвестная модификация закона Кулона на малых расстояниях. <br />
::: Касательно <math>\ m_{3}</math>. Тензор энергии-импульса массивной частицы пропорционален <math>\ v^\mu v^\nu</math>. Именно от такого члена мы имеем параметр <math>\ m_{3}</math>. Поэтому его можно считать "обычной", неэлектромагнитной массой. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 10:08, 17 февраля 2013 (UTC)<br />
<br />
==По поводу интегралов==<br />
Такой вопрос: как именно в интегралах <math>\ (5.104), (5.105)</math> получились именно такие значения? К примеру, для последнего выражения я получил, направив вектор скорости по оси z в момент времени t = 0,<br />
<br />
<math>\ \int \eta^{0}\vec {\eta} f(\eta^{2})d^{3}\mathbf r = \left|\eta^{0} = \frac{vz}{c}\right| = \frac{v}{c}\int z \left(\mathbf r - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf r )\mathbf v}{c^{2}} \right)f(-r^{2} - \frac{\gamma^{2}v^{2}}{c^{2}}z^{2})d^{3}\mathbf r = \mathbf k \frac{v}{c}\int z \left( z - z \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)f(-r^{2} - \frac{\gamma^{2}v^{2}}{c^{2}}z^{2})d^{3}\mathbf r = </math><br />
<br />
<math>\ = \left|z -> \frac{z}{\gamma}, d^{3}\mathbf r -> \frac{d^{3}\mathbf r}{\gamma} \right| = \frac{\mathbf v}{c \gamma^{3}}\int \frac{z^{2}}{\gamma^{2}}f(-r^{2})d^{3}\mathbf r = \frac{4 \pi \mathbf v}{3 c \gamma^{5}}\int f(-r^{2})r^{4}dr</math>.<br />
<br />
Можете подсказать, где есть ошибки? Основное, из-за чего и расходится мой результат с результатом <math>\ (5.105)</math>, это замена <math>\ z = \frac{z'}{\gamma}</math>. [[Участник:Maxim|Maxim]] 11:27, 10 февраля 2013 (UTC).<br />
: В определении 4-вектора <math>\eta=\mathrm{x}-(\mathrm{v}\mathrm{x})\mathrm{v}</math>, 4-вектор скорости <math>\mathrm{v}</math> имеет компоненты <math>\{\gamma,~\gamma\mathbf{v}\}</math>. Поэтому <math>\eta^0=\gamma^2 (\mathbf{r}\mathbf{v})</math> при t=0 и т.д. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 09:28, 11 февраля 2013 (UTC)<br />
::Спасибо! [[Участник:Maxim|Maxim]] 21:53, 12 февраля 2013 (UTC).<br />
==Вопросы по следующим главам==<br />
Извиняюсь, что задаю вопрос не по адресу. <br />
<br />
В самом начале восьмой главы было написано, что эксперимент показывает, что некоторые частицы описываются спинорным дираковским полем. А что это за эксперименты? Связанные с античастицами? Но неужели они так однозначно показывают, что частицы описываются дираковским полем, чтобы сразу вводить уравнение Дирака? [[Участник:Maxim|Maxim]] 16:33, 17 марта 2013 (UTC).<br />
: В первую очередь полуцелым спином и ферми-статистикой. В КТП на это способны только спинорные поля. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 19:44, 21 марта 2013 (UTC)<br />
:: Спасибо.<br />
::А что это, собственно, за эксперименты? Я пытаюсь понять, каким образом уравнение Дирака было получено естественным путем, при этом отличным от исторического. [[Участник:Maxim|Maxim]] 18:58, 3 июля 2013 (UTC).<br />
::: Когда мы рассматриваем статистическую физику газа при низкой температуре, возникает два вида распределения (Бозе-Эйнштейна) и (Ферми-Дирака). Они приводят к различным соотношениям для средних (давление, теплоемкость и т.п.). А выводятся распределения из различных статистик. В частности электронный газ (например, в металлах) подчиняется ферми статистике. При этом электрон имеет полуцелый спин. Не обнаружено ферми-частиц с целым спином и наоборот. <br />
::: Путь, отличный от исторического связан с использованием спиноров. Собственно именно он и принят в книжке. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 10:01, 4 июля 2013 (UTC).<br />
:::: Я, все же, не совсем понимаю, почему именно спиноры подходят для описания фермионов, а другие объекты - нет. [[Участник:Maxim|Maxim]] 12:19, 4 июля 2013 (UTC).<br />
::::: То, что они подходят, мы выясняем из следствий теории, построив её. С математической точки зрения, существует два принципиально различных объекта, согласуемых с теорией относительности - спиноры и 4-векторы. Первые приводят к фермионам, а вторые к бозонам (имеются ввиду соответствующие им поля). [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 18:20, 6 июля 2013 (UTC) <br />
<br />
И еще: в разделе "Спиноры и 4-тензоры" было сказано, что спинор-тензор <math>\ \psi^{\mu \dot {\nu}}</math> с записью, соответствующей матричному представлению кватерниона, эквивалентен 4-вектору. Почему один индекс с точкой и чем данный спинор отличается от кватерниона? Лишь законом преобразования (хотя, по сути, для спиноров-тензоров закон преобразования совпадает)? Кватернионы есть частным случаем спиноров?<br />
: Да. Кватернионы являются частным случаем спинорного тензора. А именно тензора 2-го ранга с точкой и без. И верно, это следует из определения преобразования этих 2-х мат. объектов. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 19:44, 21 марта 2013 (UTC)<br />
:: То есть, спинор <math>\ \psi^{\mu \dot {\nu}}</math> преобразуется (в матричном виде) как<br />
:: <math>\ \Psi{'}^{\mu \dot {\nu}} = \hat {\mathbf S} \hat \Psi \hat {\mathbf S^{*}}^{T} = \hat {\mathbf S} \hat \Psi \hat {\mathbf S}^{+}</math>?<br />
::: Ну да :) [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 07:33, 26 марта 2013 (UTC)<br />
<br />
В восьмой главе есть слова о том, что операторы координаты и импульса не коммутируют друг с другом и что это является постулатом:<br />
<br />
<math>\ [\hat {x} , \hat {p}] = i\hbar</math>.<br />
<br />
В каком смысле это есть постулат?<br />
: В самом непосредственном. Это ключевое соотношение, которое делает обычные величины x и p операторами. В более общем случае, классическая скобка Пуассона заменяется на операторную с постоянной Планка. Если <math>\hbar \to 0</math> мы возвращаемся к классической механике. Подобный "постулат" можно вывести в рамках принципа параметрической неполноты. Но я сейчас не готов это обсуждать. Для этого надо написать ещё одну книжку "Квантовый мир" :). Надеюсь, это когда-нибудь произойдёт. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 11:08, 1 июля 2013 (UTC) <br />
::Ага, я понял. Спасибо!<br />
И можете, пожалуйста, пояснить, что это за такой метод рассмотрения выражения, зависящего от положительного действительного параметра, для выведения принципа неопределенности? Почему у него такая структура (параметр только при одном слагаемом, только один параметр, в чем смысл поиска минимума и т.д.)? [[Участник:Maxim|Maxim]] 00:01, 1 июля 2013 (UTC).<br />
: Это стандартный подход вывода соотношения неопределенностей. Записываем некоторое "очевидное" неравенство, зависящее от параметра и делаем его максимально строгим, путём минимизации по этому параметру. Для произвольных операторов, на самом деле, можно получить и более строгое неравенство, в котором будет находиться среднее значение от антикоммутатора этих операторов. Впрочем, для координаты и импульса оно совпадёт с неравенством Гейзенберга. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 11:08, 1 июля 2013 (UTC)<br />
<br />
А откуда в выражении, что стоит между (8.110) и (8.111), символ Кронекера? [[Участник:Maxim|Maxim]] 18:58, 3 июля 2013 (UTC).<br />
: У Вас, возможно, старая версия (я там не вижу символа Кронекера). Перекачайте её. Теперь это 9-я глава (добавилась 4-я глава "Неинерциальные системы отсчёта"). [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 10:01, 4 июля 2013 (UTC)</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B0&diff=5299Обсуждение:Электромагнитная масса2013-07-06T18:20:56Z<p>WikiSysop: /* Вопросы по следующим главам */</p>
<hr />
<div>А ведь введение электромагнитной массы - чистая формальность? [[Участник:Maxim|Maxim]] 05:09, 14 ноября 2012 (UTC) .<br />
: Всё зависит от того, что называть формальностью. Вокруг заряженной частицы есть поле. Это поле обладает энергией. Поэтому для измерения скорости заряженной частицы требуется приложить большую силу, чем для незаряженной с "той же" массой. Хотя, конечно, экспериментально отделить "механическую" массу от электромагнитной нельзя. Мы не умеем отключать и включать заряд частиц, без изменения их природы. Поэтому дело это темное. :) [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 20:24, 14 ноября 2012 (UTC)<br />
::То есть, по ходу раздела вычисляется энергия и импульс зарядов, что создают поле, при помощи тензоров энергии-импульса зарядов и поля? А вначале же делается попытка найти энергию и импульс без учета тензора энергии-импульса частиц? Не совсем понимаю ту идею, что при <math>\ m_{3} = 0</math> заряд, по сути, полностью характеризуется своим полем. Можете пояснить? [[Участник:Maxim|Maxim]] 19:21, 12 февраля 2013 (UTC).<br />
::И еще непонятно, почему тензор энергии-импульса частиц, будучи введен в одном из предыдущих разделов, отличается от введенного в данном разделе. В предыдущем разделе, получается, он недоопределен?<br />
::: Идея состоит в следующем. Если мы предполагаем, что заряд как-то распределен в электроне, то должны быть силы которые его удерживают (натяжения Пуакаре). Их явный вид (а следовательно и тензор энергии-импульса) неизвестен. Поэтому мы добавляем наиболее общее ковариантное выражение и так подбираем его коэффициенты, чтобы суммарный тензор сохранялся. В этом случае (как и должно быть) не возникает проблемы электромагнитной массы. Эквивалентно, можно считать, что существует некоторая неизвестная модификация закона Кулона на малых расстояниях. <br />
::: Касательно <math>\ m_{3}</math>. Тензор энергии-импульса массивной частицы пропорционален <math>\ v^\mu v^\nu</math>. Именно от такого члена мы имеем параметр <math>\ m_{3}</math>. Поэтому его можно считать "обычной", неэлектромагнитной массой. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 10:08, 17 февраля 2013 (UTC)<br />
<br />
==По поводу интегралов==<br />
Такой вопрос: как именно в интегралах <math>\ (5.104), (5.105)</math> получились именно такие значения? К примеру, для последнего выражения я получил, направив вектор скорости по оси z в момент времени t = 0,<br />
<br />
<math>\ \int \eta^{0}\vec {\eta} f(\eta^{2})d^{3}\mathbf r = \left|\eta^{0} = \frac{vz}{c}\right| = \frac{v}{c}\int z \left(\mathbf r - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf r )\mathbf v}{c^{2}} \right)f(-r^{2} - \frac{\gamma^{2}v^{2}}{c^{2}}z^{2})d^{3}\mathbf r = \mathbf k \frac{v}{c}\int z \left( z - z \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)f(-r^{2} - \frac{\gamma^{2}v^{2}}{c^{2}}z^{2})d^{3}\mathbf r = </math><br />
<br />
<math>\ = \left|z -> \frac{z}{\gamma}, d^{3}\mathbf r -> \frac{d^{3}\mathbf r}{\gamma} \right| = \frac{\mathbf v}{c \gamma^{3}}\int \frac{z^{2}}{\gamma^{2}}f(-r^{2})d^{3}\mathbf r = \frac{4 \pi \mathbf v}{3 c \gamma^{5}}\int f(-r^{2})r^{4}dr</math>.<br />
<br />
Можете подсказать, где есть ошибки? Основное, из-за чего и расходится мой результат с результатом <math>\ (5.105)</math>, это замена <math>\ z = \frac{z'}{\gamma}</math>. [[Участник:Maxim|Maxim]] 11:27, 10 февраля 2013 (UTC).<br />
: В определении 4-вектора <math>\eta=\mathrm{x}-(\mathrm{v}\mathrm{x})\mathrm{v}</math>, 4-вектор скорости <math>\mathrm{v}</math> имеет компоненты <math>\{\gamma,~\gamma\mathbf{v}\}</math>. Поэтому <math>\eta^0=\gamma^2 (\mathbf{r}\mathbf{v})</math> при t=0 и т.д. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 09:28, 11 февраля 2013 (UTC)<br />
::Спасибо! [[Участник:Maxim|Maxim]] 21:53, 12 февраля 2013 (UTC).<br />
==Вопросы по следующим главам==<br />
Извиняюсь, что задаю вопрос не по адресу. <br />
<br />
В самом начале восьмой главы было написано, что эксперимент показывает, что некоторые частицы описываются спинорным дираковским полем. А что это за эксперименты? Связанные с античастицами? Но неужели они так однозначно показывают, что частицы описываются дираковским полем, чтобы сразу вводить уравнение Дирака? [[Участник:Maxim|Maxim]] 16:33, 17 марта 2013 (UTC).<br />
: В первую очередь полуцелым спином и ферми-статистикой. В КТП на это способны только спинорные поля. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 19:44, 21 марта 2013 (UTC)<br />
:: Спасибо.<br />
::А что это, собственно, за эксперименты? Я пытаюсь понять, каким образом уравнение Дирака было получено естественным путем, при этом отличным от исторического. [[Участник:Maxim|Maxim]] 18:58, 3 июля 2013 (UTC).<br />
::: Когда мы рассматриваем статистическую физику газа при низкой температуре, возникает два вида распределения (Бозе-Эйнштейна) и (Ферми-Дирака). Они приводят к различным соотношениям для средних (давление, теплоемкость и т.п.). А выводятся распределения из различных статистик. В частности электронный газ (например, в металлах) подчиняется ферми статистике. При этом электрон имеет полуцелый спин. Не обнаружено ферми-частиц с целым спином и наоборот. <br />
::: Путь, отличный от исторического связан с использованием спиноров. Собственно именно он и принят в книжке. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 10:01, 4 июля 2013 (UTC).<br />
:::: Я, все же, не совсем понимаю, почему именно спиноры подходят для описания фермионов, а другие объекты - нет. [[Участник:Maxim|Maxim]] 12:19, 4 июля 2013 (UTC).<br />
:::: То, что они подходят, мы выясняем из следствий теории, построив её. С математической точки зрения, существует два принципиально различных объекта, согласуемых с теорией относительности - спиноры и 4-векторы. Первые приводят к фермионам, а вторые к бозонам. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 18:20, 6 июля 2013 (UTC) <br />
<br />
И еще: в разделе "Спиноры и 4-тензоры" было сказано, что спинор-тензор <math>\ \psi^{\mu \dot {\nu}}</math> с записью, соответствующей матричному представлению кватерниона, эквивалентен 4-вектору. Почему один индекс с точкой и чем данный спинор отличается от кватерниона? Лишь законом преобразования (хотя, по сути, для спиноров-тензоров закон преобразования совпадает)? Кватернионы есть частным случаем спиноров?<br />
: Да. Кватернионы являются частным случаем спинорного тензора. А именно тензора 2-го ранга с точкой и без. И верно, это следует из определения преобразования этих 2-х мат. объектов. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 19:44, 21 марта 2013 (UTC)<br />
:: То есть, спинор <math>\ \psi^{\mu \dot {\nu}}</math> преобразуется (в матричном виде) как<br />
:: <math>\ \Psi{'}^{\mu \dot {\nu}} = \hat {\mathbf S} \hat \Psi \hat {\mathbf S^{*}}^{T} = \hat {\mathbf S} \hat \Psi \hat {\mathbf S}^{+}</math>?<br />
::: Ну да :) [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 07:33, 26 марта 2013 (UTC)<br />
<br />
В восьмой главе есть слова о том, что операторы координаты и импульса не коммутируют друг с другом и что это является постулатом:<br />
<br />
<math>\ [\hat {x} , \hat {p}] = i\hbar</math>.<br />
<br />
В каком смысле это есть постулат?<br />
: В самом непосредственном. Это ключевое соотношение, которое делает обычные величины x и p операторами. В более общем случае, классическая скобка Пуассона заменяется на операторную с постоянной Планка. Если <math>\hbar \to 0</math> мы возвращаемся к классической механике. Подобный "постулат" можно вывести в рамках принципа параметрической неполноты. Но я сейчас не готов это обсуждать. Для этого надо написать ещё одну книжку "Квантовый мир" :). Надеюсь, это когда-нибудь произойдёт. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 11:08, 1 июля 2013 (UTC) <br />
::Ага, я понял. Спасибо!<br />
И можете, пожалуйста, пояснить, что это за такой метод рассмотрения выражения, зависящего от положительного действительного параметра, для выведения принципа неопределенности? Почему у него такая структура (параметр только при одном слагаемом, только один параметр, в чем смысл поиска минимума и т.д.)? [[Участник:Maxim|Maxim]] 00:01, 1 июля 2013 (UTC).<br />
: Это стандартный подход вывода соотношения неопределенностей. Записываем некоторое "очевидное" неравенство, зависящее от параметра и делаем его максимально строгим, путём минимизации по этому параметру. Для произвольных операторов, на самом деле, можно получить и более строгое неравенство, в котором будет находиться среднее значение от антикоммутатора этих операторов. Впрочем, для координаты и импульса оно совпадёт с неравенством Гейзенберга. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 11:08, 1 июля 2013 (UTC)<br />
<br />
А откуда в выражении, что стоит между (8.110) и (8.111), символ Кронекера? [[Участник:Maxim|Maxim]] 18:58, 3 июля 2013 (UTC).<br />
: У Вас, возможно, старая версия (я там не вижу символа Кронекера). Перекачайте её. Теперь это 9-я глава (добавилась 4-я глава "Неинерциальные системы отсчёта"). [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 10:01, 4 июля 2013 (UTC)</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&diff=5298Обсуждение:Импульсное пространство2013-07-06T18:16:13Z<p>WikiSysop: /* Спинорные волны */</p>
<hr />
<div>==Спинорные волны==<br />
А для проверки выражения <math>\ (9.79)</math> требуется подставить выражения для собственных векторов <math>\ w^{(s)}</math> в явном виде, ведь так? И верно ведь, что выражения <math>\ A_{s, \mathbf p}, B (s, \mathbf p)</math> не зависят от <math>\ x^{\mu }</math>? [[Участник:Maxim|Maxim]] 15:45, 6 июля 2013 (UTC).<br />
: Да. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 18:16, 6 июля 2013 (UTC)</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5,_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B5_%D0%B8_%D1%84%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%B0%D1%85&diff=5296Разное о математике, физике и финансах2013-07-06T15:03:31Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="right"<br />
|+'''Последние обновления'''<br />
|-<br />
| 02-06-13<br />
| 4-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf "Неинерциальные системы"]<br />
|-<br />
| 26-11-12<br />
| 8-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf "Спиноры"]<br />
|-<br />
| 04-10-12<br />
| 7-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf "Теория поля"]<br />
|-<br />
| 12-07-12<br />
| 6-я глава [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf "Симметрия"]<br />
|}<br />
<br />
== Математика ==<br />
<br />
'''[[Стохастический мир]]''' - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения ([http://synset.com/pdf/ito.pdf pdf]) ISBN 978-3-319-00070-1 Springer; 2013 <br />
<br />
'''[http://synset.com/pdf/steps_vec.pdf Векторы, тензоры и формы. Инструкция для физиков]''' - краткий учебник и задачи с разобранными решениями<br />
<br />
[[Истинность и доказуемость]] - о конструктивной математике, Канторе и Гёделе<br />
([http://synset.com/pdf/truth.pdf pdf])<br />
<br />
[[Парадокс двух конвертов]] - подробное рассмотрение известной задачи из теории вероятности ([http://synset.com/pdf/envelopes.pdf pdf])<br />
<br />
[http://synset.com/pdf/finance_02.pdf Математика вероятностей] - 2-я глава из книги "Математика финансовых рынков" ([http://synset.com/pdf/finance_02.pdf pdf])<br />
<br />
== Физика ==<br />
[[Файл:emc2.png|right]]<br />
<br />
'''[[Релятивистский мир]]''' - лекции по теории относительности, гравитации и космологии <br />
[http://synset.com/pdf/relworld_01.pdf 1]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_02.pdf 2]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf 3]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf 4]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf 5]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf 6]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf 7]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf 8]<br />
[http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf 9]<br />
<br />
"Являются ли жесткие неинерциальные системы отсчёта жесткими?" ([http://synset.com/pdf/rigid2013.pdf rus])<br />
<br />
100 лет без 2-го постулата Эйнштейна ([http://synset.com/pdf/100.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/100_en.pdf eng])<br />
<br />
[[Прецессия Томаса]] - новый взгляд на старую проблему ([http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf rus]) ЭЧАЯ - 2/2012. - Т.43, No.1<br />
<br />
Оказывает ли свет давление на пробный заряд? ([http://synset.com/pdf/ciw.pdf rus]) <br />
<br />
[[История теории относительности]] - обзор и некоторые редкие статьи<br />
<br />
Обработка последних данных по сверхновым ([http://synset.com/pdf/sna.pdf pdf])<br />
<br />
== Экономика и Финансы ==<br />
<br />
[[Финансовые рынки|Математика финансовых рынков]]<br />
<br />
Основы экономики <br />
<br />
[[Пластичность волатильности]] ([http://synset.com/pdf/volatility.pdf rus]) ([http://synset.com/pdf/volatility_en.pdf eng])<br />
<br />
== Искусственный интеллект ==<br />
<br />
[[Сможет ли человек мыслить?]] - футуристические прогнозы за чашкой кофе<br />
<br />
[[Интуиция искусственного разума]] - как реализовать математическую интуицию. Пока больше вопросов<br />
<br />
[[Алгоритм команды Днепр]] - простой алгоритм для компьютерного футбола<br />
<br />
[http://synset.com/p/rps/rps.php ИИ против человека] - камень, ножницы, бумага :)<br />
<br />
[[Flash]] - простые шаблоны ActionScript для Flash8<br />
<br />
[[Pascal]] - программирование от начинающих для начинающих<br />
<br />
[[Mathematica]] - шпаргалка по пакету Mathematica<br />
<br />
== Разное ==<br />
<br />
[http://synset.com/blog/0909/index.html Трекинг в Гималаях]<br />
<br />
[[ru:Заглавная_страница]]<br />
[[en:Main_Page]]</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81%D1%8B_%D0%91%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0_%D0%B8_%D0%AD%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%84%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0&diff=5295Парадоксы Белла и Эренфеста2013-07-04T19:58:35Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Парадоксы Белла и Эренфеста» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Парадоксы остановки и близнецов]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Закон Кулона]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> ''Парадокс Белла'' связан с нежесткой равноускоренной системой отсчёта (стр.\,\pageref{nonin_t12_intx}). Пусть между двумя кораблями натянута струна. Эти корабли начинают равноускоренно двигаться с ''одинаковой'' скоростью относительно неподвижной (лабораторной) системы <math>\textstyle S_0</math>. Длина <math>\textstyle L</math> струны в этой системе неизменна. В неинерциальной системе, связанной с кораблями, интервал между двумя событиями имеет вид (стр.\,\pageref{nonint_dsNonGostk}):<br />
<br />
:<center><math>ds^2 = dt^2 - 2\,\mathrm{sh}(at)\, dtdx - dx^2 - dy^2.</math></center><br />
<br />
Соответствующий ему элемент физической длины зависит от времени:<br />
<br />
:<center><math>\delta l^2 = \mathrm{ch}^2(at)\, dx^2 - dy^2.</math></center><br />
<br />
Если у наблюдателя в неинерциальной системе есть "жесткая" линейка, расположенная перпендикулярно ускорению, то её длина не изменяется <math>\textstyle \delta l=dy</math>. Аналогичная линейка, ориентированная вдоль ускорения, будет растягиваться со временем <math>\textstyle \delta l=\mathrm{ch}\,at)\,dx</math>. Повернув первую линейку вдоль ускорения неинерциальный наблюдатель зарегистрирует расхождение их длин. Аналогично, изменяется со временем конечное радиолокационное расстояние (), стр.\,\pageref{nonin_t12_intx}.<br />
<br />
Таким образом, в одной системе отчёта струна имеет неизменную длину, а в другой эта длина увеличивается. Возникает закономерный вопрос &mdash; порвётся ли со временем струна? Чтобы усилить необычность ситуации, представим, что траектория каждой точки струны контролируется из лабораторной системы, так, что она "бережно" ускоряется без каких либо рывков и натяжений (с точки зрения лабораторных наблюдателей). При этом, правда, в любой другой инерциальной системе отсчёта такое ''одновременное'' ускорение точек струны уже не будет выглядеть таким же "бережным" и одновременным.<br />
<br />
Вообще говоря, вопрос о разрыве струны выходит за рамки кинематики и при последовательном подходе требует построения её модели. Если струна прикреплена только к кораблям, изменения скоростей её концов (кораблей) определенным образом должны передаваться по струне, вызывая в ней некоторые напряжения.<br />
<br />
В рамках кинематики обычно предполагается что, если радиолокационное расстояние между двумя точками неизменно, то и дополнительного натяжения струны, натянутой между ними, возникать не должно (при этом, игнорируется эффект действия сил инерции, которые при небольших ускорениях невелики).<br />
<br />
Если же радиолокационное расстояние между точками растёт, то между ними должно возникать механическое напряжение. С этой точки зрения, в мысленном эксперименте Белла струна, находящаяся в нежесткой системе отсчета, должна порваться.<br />
<br />
При этом не стоит забывать, что лоренцево сжатие в инерциальных системах отсчёта &mdash; это чисто кинематический эффект. Когда измеряется длина стержня при его равномерном движении, наблюдатель, связанный со стержнем, "не согласен" с измерительной процедурой неподвижного наблюдателя (см.,\,стр.\,\pageref{sec_relativ_shape}). Поэтому говорить о том, что стержень испытывает механическое сжатие неверно. Например, пусть относительно неподвижных наблюдателей с постоянной скоростью движется стержень ориентированный перпендикулярно к направлению скорости. Если теперь этот стержень медленно повернётся, расположившись вдоль вектора скорости, то неподвижные наблюдатели "увидят" как он сожмётся. Однако, естественно, стержень, оставаясь в инерциальной системе (пространство в которой изотропно), не испытывает ни каких сил натяжения при таком сжатии. Это эффект относительности измерительных процедур в двух системах отсчёта.<br />
<br />
Несколько иная ситуация в неинерциальных системах отсчёта. При измерении радиолокационного расстояния используется свет. Это же электромагнитное поле лежит в основе внутреннего устройства материальных тел (стержней, струн). Поэтому, если радиолокационное расстояние увеличивается, то это должно сказываться и на силах действующих внутри вещества.<br />
<br />
В связи с этим "парадоксом" имеет смысл напомнить, что абсолютно твёрдое ("жесткое") тело противоречит принципам теории относительности. Жесткость понятие относительное и тел с неизменными размерами для наблюдателей в различных системах отсчёта существовать не может. Одна из причин этого в том, что любое физическое перемещение в пространстве имеет скорость всегда меньшую, чем фундаментальная скорость (равная скорости света). Предположим, что существует, например, абсолютно твёрдый стержень. Тогда, толкнув его за один конец, мы должны были бы получить мгновенную реакцию и второго конца, расположенного на некотором расстоянии от первого. Подобное возмущение от толчка должно было передаться по стержню с бесконечной скоростью. Сверхсветовые скорости "плохи", т.к. приводят к мнимому фактору <math>\textstyle \gamma=1/\sqrt{1-v^2}</math> в преобразованиях Лоренца или в выражении для. Кроме этого возникают серьезные проблемы с причинностью (см. стр.\,\pageref{prec_line_sec}).<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> ''Парадокс Эренфеста'' связан с геометрическими эффектами во вращающейся системе отсчёта. Как и многие другие "парадоксы", парадокс Эренфеста обусловлен непривычностью для нас физики больших скоростей, а не с противоречивостью теории относительности.<br />
<br />
Пусть в лабораторной системе отсчёта находится неподвижный круговой желоб, внутри которого с угловой скоростью <math>\textstyle \omega</math> быстро вращается кольцо радиуса <math>\textstyle r</math>. Наблюдатель лабораторной системы, неподвижный относительно желоба, может измерить длину <math>\textstyle \Delta L</math> сегмента вращающегося кольца, путём одновременной (по его часам) фиксации положений начала и конца сегмента. В соответствии с эффектом сокращения длины (стр.\,\pageref{sec_relativ_shape}), <math>\textstyle \Delta L</math> будет меньше, чем собственная длина сегмента <math>\textstyle \Delta l</math>: <br />
<br />
<center>[[File:erenfest1.png]]</center><br />
<br />
:<center><math>\Delta L = \Delta l\,\sqrt{1-(\omega r)^2},</math></center><br />
<br />
} где <math>\textstyle \omega r = v</math> &mdash; это линейная скорость точки кольца. Сумма длин <math>\textstyle \Delta L</math> всех сегментов кольца совпадает с длиной неподвижного желоба и равняется <math>\textstyle 2\pi r</math>. Таким образом, "собственная длина" кольца <math>\textstyle l</math> (равная сумме всех измерений <math>\textstyle \Delta l</math>) оказывается больше, чем <math>\textstyle 2\pi r</math>:<br />
<br />
:<center><math>l = \frac{2\pi r}{\sqrt{1-(\omega r)^2}}.</math></center><br />
<br />
Этот же результат получается, если проинтегрировать физическую длину (), стр.\,\pageref{nonin_phys_l_rot} по углу <math>\textstyle \phi</math> от 0 до <math>\textstyle 2\pi</math>. Эта длина равна сумме радиолокационных измерений, проведенных ''различными'' неинерциальными наблюдателями. Длину окружности может измерить и один неинерциальный наблюдатель, вычислив время движения светового сигнала по окружности. В этом случае он получит различные расстояния в зависимости от направления его движения (по часовой стрелке и против):<br />
<br />
:<center><math>l_- = 2\pi r\, \sqrt{\frac{1-\omega r}{1+\omega r}},\;\;\;\;\;\;\;\;l_+ = 2\pi r\, \sqrt{\frac{1+\omega r}{1-\omega r}},</math></center><br />
<br />
а их среднее значение будет равно <math>\textstyle l=(l_++l_-)/2</math> (см. эффект Саньяка на стр.\,\pageref{nonint_rot1}). Всё это выглядит необычным с точки зрения классической физики. Однако ничего парадоксального (=противоречивого) в этом нет. Это противоречит лишь нашей интуиции, воспитанной на классической механике.<br />
<br />
Иногда утверждают, что вращающееся кольцо (или диск) должно как-то выгибаться, чтобы согласовать такое необычное свойство своей длины с евклидовой геометрией в инерциальной системе отсчета. Конечно это не так. Траектории движения каждой точки вращающегося кольца задаются в лабораторной системе. Естественно в этой системе его длина равна <math>\textstyle 2\pi r</math> и не о каких изгибах речи идти не может. А вот то, что собственная длина кольца отличается от <math>\textstyle 2\pi r</math>, да ещё зависит от способа её измерения, связано с необычными свойствами измерительных процедур в неинерциальных системах отсчёта. Как мы увидим в главе , трёхмерное пространство в неинерциальной системе, понимаемое как совокупность бесконечно малых радиолокационных расстояний, может иметь неевклидовую геометрию. Такое пространство во вращающейся системе отсчёта имеет отрицательную кривизну.<br />
<br />
Сложнее разобраться с физикой подобного диска или кольца на этапе их раскрутки, в результате которой они достигают угловой скорости <math>\textstyle \omega</math>. Для последовательного описания таких физических систем, как и для струны в парадоксе Белла, мы должны построить соответствующую механическую модель вещества из которого сделана система. В любом случае, постепенно раскручивающийся диск, не является жестким. Связанную с ним неинерциальную систему можно получить, например, записав следующее координатное преобразование:<br />
<br />
:<center><math>T=t,\;\;\;\;\;\;\;\;\;R=r,\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi=\phi+\omega(t)\,t,</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \omega(t)</math> некоторая функция, определяющая изменение угловой скорости. Эти преобразования приводят к метрике:<br />
<br />
:<center><math>ds^2 = [1-\Omega^2(t)\, r^2] \, dt^2 - 2 r^2\,\Omega(t)\,dt\,d\phi - dr^2-r^2\, d\phi^2,</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \Omega(t)=\omega+\dot{\omega}t</math> и, как обычно, <math>\textstyle \dot{\omega}=d\omega/dt</math>. Элемент физической длины в такой неинерциальной системе отсчёта равен:<br />
<br />
:<center><math>\delta l^2=dr^2 + \frac{r^2\,d\phi^2}{1-\Omega^2(t)\,r^2}.</math></center><br />
<br />
Если <math>\textstyle \dot{\omega}\neq 0</math>, то радиолокационное расстояние вдоль любой окружности увеличивается со временем. Таким образом, во вращающемся c ускорением диске должны возникать не только натяжения за счёт сил инерции вдоль радиуса, но в поперечном направлении. Поэтому, если верны рассуждения, приведенные при обсуждении парадокса Белла, на диске должны действовать разрывные силы, действующие вдоль окружностей.<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Парадоксы остановки и близнецов]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Закон Кулона]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81%D1%8B_%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8_%D0%B8_%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B5%D1%86%D0%BE%D0%B2&diff=5294Парадоксы остановки и близнецов2013-07-04T19:58:21Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Парадоксы остановки и близнецов» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Динамика в неинерциальной системе]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Парадоксы Белла и Эренфеста]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> "''Парадокс остановки''." Во второй главе (стр.\,\pageref{bear_first}) рассматривалась эскадра космических кораблей <math>\textstyle S'_0</math>, движущихся со скоростью <math>\textstyle U_0</math> относительно инерциальной системы <math>\textstyle S_0:\,(T,\,X)</math>. В силу относительности одновременности, наблюдатели данной системы отсчёта регистрируют различное время на движущихся относительно них часах: <br />
<br />
<center>[[File:nonin_time4.png]]</center><br />
<br />
Если эскадра принимает решение остановиться, то для наблюдателей в <math>\textstyle S_0</math> одновременное торможение кораблей (происходящее в <math>\textstyle S'_0</math>) не будет выглядеть одновременным. Пусть при торможении корабли выдерживают неизменным расстояние между ними. Когда относительно <math>\textstyle S_0</math> скорость, например, центрального корабля будет нулевой, такая же скорость должна быть для ''неподвижных относительно него'' других кораблей. В результате, неодновременное (в <math>\textstyle S_0</math>) торможение странным образом оканчивается одновременной остановкой для всех, теперь неподвижных наблюдателей как в системе <math>\textstyle S</math>, так и в системе <math>\textstyle S_0</math>.<br />
<br />
Проведём расчёт торможения для двух кораблей. Пусть в момент времени <math>\textstyle T'=0</math> по часам системы <math>\textstyle S'_0:\,(T',\,X')</math> они начинают одновременно тормозить. Первый (задний) корабль имеет в <math>\textstyle S'_0</math> координату <math>\textstyle X'=0</math>, а второй (передний) &mdash; <math>\textstyle X'=X'_0</math>. Запишем преобразования Лоренца:<br />
<br />
:<center><math>T=\gamma_0\,(T'+U_0X'),\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=\gamma_0\,(X'+U_0T').</math></center><br />
<br />
Положив <math>\textstyle T'=0</math>, <math>\textstyle X'=X'_0</math>, получаем, что второй корабль в системе <math>\textstyle S_0</math> начнёт торможение в момент <math>\textstyle T=U_0\,\gamma_0\,X'_0</math>, имея координату <math>\textstyle X=\gamma_0 X'_0</math> (ниже второй рисунок). При <math>\textstyle T=0</math> (когда в <math>\textstyle S_0</math> начал тормозить первый корабль) второй корабль имеет координату <math>\textstyle X=X'_0/\gamma_0</math>:<br />
<br />
<br />
<br />
<center>[[File:bear_paradox.png]]</center><br />
<br />
Предположим, что корабли эскадры образуют жесткую равноускоренную (сейчас равнозамедленную) систему отсчёта <math>\textstyle S:\,(t,\,x)</math> с началом на первом корабле. До торможения радиолокационное расстояние между кораблями равнялось <math>\textstyle X'_0</math>. Как только появилось ускорение оно стало <math>\textstyle x_0=-\ln(1-aX'_0)/a</math>, см.\,стр.\pageref{u_acsel_l} (ускорение направлено против оси <math>\textstyle x</math>).<br />
<br />
Запишем преобразования между инерциальным и неинерциальным наблюдателями (), стр.\,\pageref{acsel_gen_xt}. При торможении, заменяем <math>\textstyle a\mapsto -a</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{llll} \displaystyle a\,X &\displaystyle =& -\mathrm{ch}(\alpha_0-at)\,e^{-ax}+\gamma_0,\\ \displaystyle a\,T &\displaystyle =& -\mathrm{sh}(\alpha_0-at)\,e^{-ax}+\gamma_0 U_0, \end{array} \right. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle \alpha_0=\mathrm{ath}\,U_0)</math>. До момента времени <math>\textstyle T=U_0\gamma_0 X'_0</math> точка (корабль) движется равномерно: <math>\textstyle X=U_0T+ X'_0/\gamma_0</math>. После этого начинается торможение. Исключая из () время <math>\textstyle t</math>, получаем выражение для траектории фиксированной точки с координатой <math>\textstyle x=x_0=-\ln(1-aX'_0)/a</math>:<br />
<br />
:<center><math>aX=\gamma_0-\sqrt{(1-aX'_0)^2+\bigl(U_0\gamma_0\,- a\,T\bigr)^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T>U_0\gamma_0 X'_0.</math></center><br />
<br />
Скорость этой точки меняется со временем следующим образом:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> U=\frac{dX}{dT} = (U_0\gamma_0 - aT)\,\bigl[(1-aX'_0)^2+\bigl(U_0\gamma_0\,- a\,T\bigr)^2\bigr]^{-1/2}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Мы видим, что ''независимо'' от положения точки <math>\textstyle X'_0</math>, её скорость окажется нулевой в момент времени <math>\textstyle T=U_0\gamma_0/a</math>. Начав неодновременное торможение с точки зрения системы <math>\textstyle S_0</math>, корабли эскадры будут двигаться с различной скоростью и в результате их остановка произойдёт одновременно. Относительность понятия жесткости системы отсчета и лежит в основе "парадокса остановки".<br />
<br />
При <math>\textstyle T=U_0\gamma_0/a</math> координаты первого (<math>\textstyle X'_0=0</math>) и второго (<math>\textstyle X'_0>0)</math> кораблей (которые остановились) в системе <math>\textstyle S_0</math> будут равны:<br />
<br />
:<center><math>X^{(I)}= \frac{\gamma_0-1}{a},\;\;\;\;\;\;\;\;\; X^{(II)}=X'_0+\frac{\gamma_0-1}{a}.</math></center><br />
<br />
Поэтому расстояние <math>\textstyle X^{(II)}-X^{(I)}</math> между кораблями в момент остановки будет в точности равно их расстоянию <math>\textstyle X'_0</math> в системе <math>\textstyle S'_0</math> перед началом торможения. Линейка, начало и конец которой образуют корабли, перед началом торможения для наблюдателей в <math>\textstyle S_0</math> выглядела сжатой в направлении движения (лоренцево сокращение). При торможении она постепенно удлиняется и в момент остановки для наблюдателей в <math>\textstyle S_0</math> лоренцево сокращение длины линейки окончательно исчезает. Аналогично, естественно, выглядит ситуация при ускорении кораблей, при котором "жёсткая" (в смысле собственной длины) линейка относительно лабораторной системы постепенно сжимается (достаточно сложным образом, см.,\,стр.\,\pageref{nonin_length}), а после отключения двигателей оказывается сжатой в <math>\textstyle \gamma</math> раз, в точном соответствии с формулой Лоренца. После остановки линейки в результате жесткого торможения, это сжатие снова исчезает.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> ''Парадокс близнецов'' был рассмотрен во второй главе (стр.\,\pageref{sec_paradox_twins}), и как мы видели, ничего парадоксального в нём нет. Более того, для понимания причины кажущегося парадокса достаточно использовать только инерциальные системы. Ключом к пониманию проблемы служит эффект относительности одновременности, который нужно учитывать вместе с эффектом замедления времени. Движущийся путешественник регистрирует замедление хода всех часов в системе отсчёта своего брата - домоседа. Однако, относительность одновременности приводит к тому, что время на этих часах, находящихся вдоль его траектории, "сдвинуто" в будущее. Поэтому, хотя часы системы домоседа идут медленнее, они всё сильнее опережают часы путешественника.<br />
<br />
Неинерциальные системы позволяют провести расчёты с точки зрения каждого брата на этапах ускоренного движения. В общем случае, в лабораторной системе отсчета часы, движущиеся со скоростью <math>\textstyle \mathbf{U}(T)</math> имеют следующее накопленное время, которое показывают часы путешественника когда с точки зрения домоседа проходит время <math>\textstyle T_0</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \tau= \int\limits^{T_0}_0 ds=\int\limits^{T_0}_0\sqrt{1-\mathbf{U}^2(T)}\, dT. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Чтобы получить время на часах домоседа в неинерциальной системе отсчёта, необходимо найти как изменяется координата <math>\textstyle x^\alpha(t)</math> домоседа в этой системе. Зная функции <math>\textstyle x^\alpha(t)</math>, можно вычислить собственное время часов домоседа:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \tau_0 = \int\limits^{t_0}_0 ds = \int\limits^{t_0}_0 \left(g_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{dt}\frac{dx^\alpha}{dt}\right)^{1/2}\, dt. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Подчеркнем, что формулы () и () дают собственное время различных часов (путешественника и домоседа, соответственно). Понятно, что после вычисления <math>\textstyle \tau</math> и <math>\textstyle \tau_0</math>, необходимо также записать связь координатных времен <math>\textstyle T_0</math> и <math>\textstyle t_0</math>.<br />
<br />
В качестве примера приведём вычисления для жёсткой равноускоренной системы отсчета. Для простоты будем считать, что путешественник, пролетая мимо домоседа со скоростью <math>\textstyle U_0</math>, синхронизирует с ним начальный отсчёт времени <math>\textstyle T=t=0</math>. Затем он начинает торможение до полной остановки в системе домоседа <math>\textstyle S_0</math>. Находясь в дальнейшем в одной инерциальной системе отсчёта, братья могут однозначным образом сравнить показания своих часов и выяснить у кого они отстали.<br />
<br />
Подставляя скорость () в соотношение () для путешественника с координатой <math>\textstyle x=x_0=X'_0=0</math>, имеем:<br />
<br />
:<center><math>\tau = \int\limits^{T_0}_0 \, \frac{dT}{\sqrt{1+ (U_0\gamma_0-aT)^2}}=\frac{1}{a}\, \left[\mathrm{ash}(U_0\gamma_0)-\mathrm{ash}(U_0\gamma_0-aT_0)\right].</math></center><br />
<br />
Остановка путешественника <math>\textstyle U(T_0)=0</math> происходит по часам домоседа при <math>\textstyle T_0=U_0\gamma_0/a</math> (см. "парадокс остановки"). К этому моменту часы путешественника показывают время <math>\textstyle \tau</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> a\tau = \mathrm{ash}(U_0\gamma_0)\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{a}\, \mathrm{sh}(a\tau) = \frac{U_0\gamma_0}{a} = T_0. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Естественно, этот результат совпадает с вычислением времени часов, ускоряющихся из состояния покоя до скорости <math>\textstyle U_0</math> (см.\,стр.\,\pageref{time_del_acsel}).<br />
<br />
Найдём теперь собственное время домоседа в неинерциальной системе. Его траектория получается из () при <math>\textstyle X=0</math>:<br />
<br />
:<center><math>\gamma_0\, e^{ax}=\mathrm{ch}(\alpha_0-at),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{dx}{dt}=-\mathrm{th}(\alpha_0-at).</math></center><br />
<br />
Поэтому интервал собственного времени домоседа равен:<br />
<br />
:<center><math>d\tau_0 = \sqrt{ e^{-2ax}\,(dt^2-dx^2) } = \frac{\gamma_0\,dt}{\mathrm{ch}^2(\alpha_0-at)}.</math></center><br />
<br />
Интегрируя его от нуля до <math>\textstyle t_0</math>, получаем:<br />
<br />
:<center><math>\tau_0=\frac{\gamma_0}{a}\,\left[\mathrm{th}(\alpha_0)-\mathrm{th}(\alpha_0-at_0)\right].</math></center><br />
<br />
Домосед останавливается относительно путешественника, когда его скорость <math>\textstyle dx/dt</math> становится равной нулю. Это происходит при <math>\textstyle t_0=\alpha_0/a</math>. В этот момент:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \tau_0 = \frac{\gamma_0\mathrm{th}(\alpha_0)}{a} = \frac{U_0\gamma_0}{a} = T_0. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Мы, естественно, снова получаем значение <math>\textstyle T_0</math>, равное времени до момента относительной неподвижности домоседа и путешественника в системе отсчёта <math>\textstyle S_0</math>.<br />
<br />
Таким образом, соотношение () справедливо с точки зрения любого наблюдателя и даёт абсолютный эффект замедления времени на движущихся с переменной скоростью часах по сравнению с неподвижными часами. Естественно, можно рассмотреть и классический вариант полёта (ускорение из состояния покоя, равномерное движение и торможение, а затем возвращение в той-же последовательности). Однако понятно, что ничего нового соответствующие вычисления в эффект не добавляют.<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Динамика в неинерциальной системе]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Парадоксы Белла и Эренфеста]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%B2_%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B5&diff=5293Динамика в неинерциальной системе2013-07-04T19:58:02Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Динамика в неинерциальной системе» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Движение частиц и света]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Парадоксы остановки и близнецов]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
Вернёмся к общему решению для траектории свободной частицы в жёсткой равноускоренной системе отсчёта (), (), стр.\,\pageref{nonint_traj_gestk_part_y}. Дифференцируя эти выражения по времени, несложно найти компоненты координатной скорости частицы:<br />
<br />
:<center><math>v_x = \frac{(1+ax)^2}{(1+ax_0)^2}\,\bigl[v_{0x}\mathrm{ch}\,at)-(1+ax_0)\,\mathrm{sh}\,at)\bigr],\;\;\;\;\;\;v_y=v_{0y}\,\frac{(1+ax)^2}{(1+ax_0)^2}.</math></center><br />
<br />
С их помощью запишем квадрат физической скорости:<br />
<br />
:<center><math>\frac{v^2_x+v^2_y}{(1+ax)^2} = 1 - \frac{(1+ax)^2}{(1+ax_0)^4}\,\left[(1+ax_0)^2 - v^2_{0x}-v^2_{0y}\right].</math></center><br />
<br />
Это соотношение можно переписать в виде:<br />
<br />
:<center><math>\frac{1+ax}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2/(1+ax)^2}} = \frac{1+ax_0}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2_{0}/(1+ax_0)^2}},</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \mathbf{v}^2=v^2_x+v^2_y</math> и аналогично для начального значения с индексом 0. В правой части равенства стоит константа, поэтому при движении частицы сохраняется (является интегралом движения) следующая величина:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> E = m\,\frac{1+ax}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2/(1+ax)^2}}=const, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
которую мы назовём ''энергией частицы''. Параметр <math>\textstyle m</math> на который умножен интеграл движения, будем считать массой частицы.<br />
<br />
В нерелятивистском пределе малых скоростей разложим корень в ряд Тейлора:<br />
<br />
:<center><math>E \approx m\,(1+ax) + \frac{m\mathbf{v^2}/2}{1+ax} \approx m + \frac{m\mathbf{v}^2}{2} + m a\,x ,</math></center><br />
<br />
где во втором приближенном равенстве мы пренебрегли в знаменателе ускорением, считая <math>\textstyle \mathbf{v}^2ax\ll 1</math>. Равноускоренная неинерциальная система отсчёта в классической механике эквивалента однородному полю тяжести с <math>\textstyle g=a</math> (направленному против оси <math>\textstyle x</math>). Поэтому член <math>\textstyle m a\,x</math> соответствует потенциальной энергии, а выражение для <math>\textstyle E</math> является полной энергией частицы (кинетическая плюс потенциальная), включая энергию покоя <math>\textstyle E_0=m</math>.<br />
<br />
Таким образом, сохраняющаяся величина () является полной энергией релятивистской частицы в неинерциальной системе отсчёта. Эта энергия эффективно учитывает силу инерции которая действует на частицу, поэтому зависит не только от её скорости, но и от положения.<br />
<br />
Умножим числитель и знаменатель в выражении для энергии на <math>\textstyle 1+ax</math>:<br />
<br />
:<center><math>E = \frac{m\,(1+ax)^2}{\sqrt{(1+ax)^2-\mathbf{v}^2}}.</math></center><br />
<br />
Так как в жесткой равноускоренной системе отсчёта в координатах Мёллера интервал вдоль траектории движения частицы равен:<br />
<br />
:<center><math>ds^2 = (1+ax)^2\, dt - dx^2 - dy^2 = \left[(1+ax)^2 - \mathbf{v}^2 \right]\, dt^2</math></center><br />
<br />
и <math>\textstyle g_{00}=(1+ax)^2</math>, энергию можно переписать виде:<br />
<br />
:<center><math>E = m g_{00} \frac{dt}{ds}.</math></center><br />
<br />
Вводя 4-вектор <math>\textstyle dx^\alpha=\{dt,\;d\mathbf{x}\}</math>, аналогично инерциальной системе отсчёта, определим 4-скорость и 4-импульс частицы:<br />
<br />
:<center><math>u^\alpha = \frac{dx^\alpha}{ds},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p^\alpha = m\, u^\alpha.</math></center><br />
<br />
При помощи метрического тензора опустим индекс вниз, определив:<br />
<br />
:<center><math>p_\alpha = g_{\alpha\beta}p^\beta.</math></center><br />
<br />
Так как <math>\textstyle ds^2=g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha dx^\beta</math>, то квадрат 4-вектора скорости равен единице, а квадрат 4-импульса, как обычно, равен квадрату инвариантной массы частицы:<br />
<br />
:<center><math>m^2 = p_\alpha p^\alpha = g_{\alpha\beta}\, p^\alpha p^\beta.</math></center><br />
<br />
Для жесткой равноускоренной системы <math>\textstyle g_{0i}=0</math> и <math>\textstyle g_{ij}=-\delta_{ij}</math>, поэтому сохраняющаяся полная энергия <math>\textstyle E</math> совпадает с нулевой компонентой <math>\textstyle p_0</math> контравариантного 4-вектора <math>\textstyle p_\alpha</math>:<br />
<br />
:<center><math>p_0 = g_{0\alpha}\,p^\alpha = g_{00}\, m\,\frac{dt}{ds} + g_{0i}\, m\,\frac{dx^i}{ds} = g_{00}\, m\,\frac{dt}{ds}.</math></center><br />
<br />
Обратим внимание, что в неинерциальных системах отсчёта, в отличие от инерциальных в лоренцевых координатах, коэффициенты метрического тензора зависят от координат. Поэтому, <math>\textstyle p_\alpha</math> является отличной от <math>\textstyle p^\alpha</math> функцией координат и в жесткой неинерциальной системе отсчёта сохраняется именно <math>\textstyle p_0=E</math>, а не <math>\textstyle p^0</math>.<br />
<br />
Так как скорость частицы под воздействием сил инерции, в общем случае, меняет своё направление, трёхмерный импульс не сохраняется. Это относится как к <math>\textstyle p_i</math>, так и к <math>\textstyle p^i</math>. Сохраняется только полная энергия.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Проведём некоторые обобщения. Определим ''квадрат физической скорости'' частицы:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \tilde{\mathbf{v}}^2 = \frac{\delta l^2}{\delta \tau^2} = \frac{\gamma_{ij}\,dx^i dx^j}{\left(\sqrt{g_{00}}\,dt + g_{0i}\,dx^i/\sqrt{g_{00}}\right)^2}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle \delta l</math> &mdash; физическая длина и <math>\textstyle \delta \tau</math> &mdash; физическое время. Деля числитель и знаменатель на <math>\textstyle dt</math>, получаем связь квадрата физической скорости (помечена тильдой) с компонентами <math>\textstyle v^i=dx^i/dt</math> координатной скорости:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \tilde{\mathbf{v}}^2 = \frac{\gamma_{ij}\,v^i v^j}{g_{00}\,(1 - \gamma_{i}\,v^i)^2}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где введено сокращение<br />
<br />
:<center><math>\gamma_i=-\frac{g_{0i}}{g_{00}}.</math></center><br />
<br />
Соответственно ''компонентами физической скорости'' (снова тильда) назовём:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \tilde{v}^i = \frac{v^i/\sqrt{g_{00}}}{1 - \gamma_{i}\,v^i}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
так, что<br />
<br />
:<center><math>\tilde{\mathbf{v}}^2=\gamma_{ij}\,\tilde{v}^i\tilde{v}^j=\tilde{v}_i\tilde{v}^i,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tilde{v}_i = \gamma_{ij}\,\tilde{v}^j.</math></center><br />
<br />
Отметим также соотношение:<br />
<br />
:<center><math>\frac{1}{1-\gamma_i v^i} = 1 + \gamma_i \tilde{v}^i\,\sqrt{g_{00}},</math></center><br />
<br />
которое получается после свёртки определения () с <math>\textstyle \gamma_i</math>.<br />
<br />
Собственное время частицы (интервал вдоль её траектории) можно записать в виде:<br />
<br />
:<center><math>ds = \left[\delta \tau^2 - \delta l^2\right]^{1/2} = \sqrt{1-\tilde{\mathbf{v}}^2}\,\delta\tau</math></center><br />
<br />
или, подставляя интервал физического времени, как:<br />
<br />
:<center><math>ds = \sqrt{1-\tilde{\mathbf{v}}^2}\,(\sqrt{g_{00}}\,dt + g_{0i}\,dx^i/\sqrt{g_{00}}) = \sqrt{1-\tilde{\mathbf{v}}^2}\; (1-\gamma_i v^i)\, \,\sqrt{g_{00}}\, dt.</math></center><br />
<br />
Поэтому компоненты вектора координатной 4-скорости <math>\textstyle u^\alpha = dx^\alpha/ds</math> равны:<br />
<br />
:<center><math>u^0 = \frac{\gamma_i \tilde{v}^i + 1/\sqrt{g_{00}}}{\sqrt{1-\tilde{\mathbf{v}}^2}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; u^\alpha = \frac{\tilde{v}^i}{\sqrt{1-\tilde{\mathbf{v}}^2}}.</math></center><br />
<br />
Подчеркнём еще раз, что <math>\textstyle \tilde{\mathbf{v}}</math> &mdash; это физическая, а не координатная скорость.<br />
<br />
Теперь мы можем определить полную энергию частицы:<br />
<br />
:<center><math>E = m\, g_{0\alpha} u^\alpha = m\, g_{00}\, (u^0-\gamma_i u^i).</math></center><br />
<br />
Подставляя компоненты 4-скорости, окончательно имеем<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> E = \frac{m\,\sqrt{g_{00}}}{\sqrt{1-\tilde{\mathbf{v}}^2}}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
В главе мы докажем, что если метрические коэффициенты <math>\textstyle g_{\alpha\beta}</math> в неинерциальной системе отсчёта не зависят от времени, то выражение () является интегралом движения. Другими словами в стационарном случае полная энергия частицы всегда сохраняется.<br />
<br />
Так, равномерно вращающаяся система отсчёта является стационарной. Продемонстрируем, что энергия частицы () в этой системе постоянна. Для интервала (стр.\,\pageref{nonin_rot_ds_Born})<br />
<br />
:<center><math>ds^2 = (1-\omega^2 r^2)\,dt^2 - 2\omega\, r^2 \, dt\,d\phi - dr^2 - r^2\, d\phi^2 - dz^2</math></center><br />
<br />
физическое время и квадрат физической длины равны:<br />
<br />
:<center><math>\delta \tau = \sqrt{1-(\omega r)^2}\, dt - \frac{\omega r^2\,d\phi}{\sqrt{1-(\omega r)^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\delta l^2 = dr^2 + \frac{r^2\,d\phi^2}{1-(\omega r)^2}.</math></center><br />
<br />
Поэтому квадрат физической длины () равен:<br />
<br />
:<center><math>\tilde{\mathbf{v}}^2 = \frac{(1-\omega^2 r^2)\,\dot{r}^2+ r^2\dot{\phi}^2}{(1-\omega^2 r^2 - \omega r^2 \dot{\phi})^2},</math></center><br />
<br />
где точка &mdash; производная по времени <math>\textstyle t</math>. Соответственно, энергия частицы равна:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> E = m\,\frac{1-\omega r^2\, (\omega +\dot{\phi})}{\sqrt{1-\dot{r}^2 - r^2\,(\omega +\dot{\phi})^2}}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Благодаря соотношениям (), стр.\,\pageref{nonin_rot_light_r1} числитель и знаменатель в выражении для энергии постоянен.<br />
<br />
Отметим простое частное решение приводящее к постоянству энергии:<br />
<br />
:<center><math>\dot{\phi}=-\omega,\;\;\;\;\;\;\;\;\dot{r}=const.</math></center><br />
<br />
В лабораторной системе отсчёта такая траектория частицы соответствует движению по прямой, проходящей через центр вращения. В координатных величинах неинерциальной системы отсчёта это движение выглядит как раскручивающая спираль.<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Движение частиц и света]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Парадоксы остановки и близнецов]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%94%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%86_%D0%B8_%D1%81%D0%B2%D0%B5%D1%82%D0%B0&diff=5292Движение частиц и света2013-07-04T19:57:46Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Движение частиц и света» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Жёсткость, время и геометрия]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Динамика в неинерциальной системе]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
Пространство в неинерциальной системе отсчёта не является одновременно изотропным и однородным, как это было в инерциальных системах. Это приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся равномерно и прямолинейно. В классической механике мы говорим, что на частицы действуют силы инерции которые искривляют их траектории. Зная метрические коэффициенты <math>\textstyle g_{\alpha\beta}</math>, можно записать дифференциальное уравнение, решением которого является траектория движения свободной частицы в неинерциальной системе отсчёта. Это уравнение мы получим в главе , а сейчас приведём несколько примеров расчёта таких траекторий элементарными методами.<br />
<br />
Рассмотрим сначала жёсткую равноускоренную систему отсчёта в координатах Мёллера. Запишем траекторию свободной частицы в лоренцевых координатах в лабораторной системе отсчёта в плоскости <math>\textstyle (X,Y)</math>:<br />
<br />
:<center><math>X=X_0 + V_{0x} T,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y=Y_0+V_{0y} T,</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle (V_{0x},\,V_{0y})</math> &mdash; постоянные компоненты скорости, а <math>\textstyle (X_0,\,Y_0)</math> &mdash; начальное положение частицы. Чтобы найти эту же траекторию в неинерциальной системе необходимо воспользоваться преобразованиями (), стр.\,\pageref{nonin_TXtx_gost}:<br />
<br />
:<center><math>aT=(1+ax)\,\mathrm{sh}(at),\;\;\;\;\;\;\;1+aX = (1+ax)\,\mathrm{ch}(at),\;\;\;\;\;Y=y.</math></center><br />
<br />
Подставляя их в траекторию, имеем:<br />
<br />
:<center><math>1+ax = \frac{1+aX_0}{\mathrm{ch}(at)-V_{0x}\,\mathrm{sh}(at)},\;\;\;\;\;\;\;a\,(y-Y_0)=V_{0y}\,\frac{(1+aX_0)\,\mathrm{sh}(at)}{\mathrm{ch}(at)-V_{0x}\,\mathrm{sh}(at)}.</math></center><br />
<br />
Осталось выразить константы <math>\textstyle X_0</math>, <math>\textstyle Y_0</math> и <math>\textstyle V_{0x}</math>, <math>\textstyle V_{0y}</math> через начальные условия. Полагая <math>\textstyle t=0</math>, имеем <math>\textstyle x_0=X_0</math> и <math>\textstyle y_0=Y_0</math>. Беря производную левой и правой части по времени при <math>\textstyle t=0</math>, получаем:<br />
<br />
:<center><math>V_{0x} = \frac{v_{0x}}{1+ax_0},\;\;\;\;\;\;\;\;\;V_{0y}=\frac{v_{0y}}{1+ax_0},</math></center><br />
<br />
где (<math>\textstyle v_{0x},\,v_{0y})</math> &mdash; начальная скорость частицы в неинерциальной системе. Подставляя эти константы в траекторию, окончательно имеем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> 1+ax = \frac{(1+ax_0)^2}{(1+ax_0)\,\mathrm{ch}(at)-v_{0x}\mathrm{sh}(at)}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> a\,(y-y_0) = \frac{v_{0y}\,(1+ax_0)\,\mathrm{sh}(at)}{(1+ax_0)\,\mathrm{ch}(at)-v_{0x}\mathrm{sh}(at)}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
что является решением поставленной задачи.<br />
<br />
Пусть в момент времени <math>\textstyle t=0</math> частица находилась в начале системы отсчета <math>\textstyle x_0=y_0=0</math> и имела составляющую скорости <math>\textstyle v_{0y}</math> вдоль оси <math>\textstyle y</math>, а <math>\textstyle v_{0x}=0</math>. В этом случае выражения для траектории упрощаются:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> x(t) = \frac{1}{a}\left[\frac{1}{\mathrm{ch}(a\,t)}-1\right],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y(t)=\frac{v_{0y}}{a}\,\mathrm{th}(at), </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
а координатные скорости будут равны:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> v_x(t)=-\frac{\mathrm{sh}(at)}{\mathrm{ch}^2(at)},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;v_y(t) = \frac{v_{0y}}{\mathrm{ch}^2(at)}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Физическое время связано с координатным как <math>\textstyle d\tau_0 = (1+ax)\, dt</math>, а физическая длина равна <math>\textstyle dl^2=dx^2+dy^2</math>. Поэтому компоненты ''физической скорости'' &mdash; это <math>\textstyle v_i/(1+ax)</math>. Вдоль оси <math>\textstyle y</math> физическая скорость нелинейно зависит от времени: <math>\textstyle v_y/(1+ax)=v_{0y}/\mathrm{ch}(at)</math>, что связано с различным ходом часов, отличающихся координатой <math>\textstyle x</math>. Физическая скорость вдоль оси <math>\textstyle x</math> со временем стремиться по модулю к единице: <math>\textstyle v_x/(1+ax)=-\mathrm{th}(at)</math>. При <math>\textstyle v_{0y}=1</math> квадрат физической скорости <math>\textstyle (v^2_{x}+v^2_{y})/(1+ax)^2</math> всё время равен единице (фундаментальной скорости "<math>\textstyle c</math>").<br />
<br />
Собственное время частицы равно:<br />
<br />
:<center><math>\tau = \int\limits^t_0 ds = \int\limits^t_0 \sqrt{(\,1+ax(t)\,)^2-v^2_x(t)-v^2_y(t)}\, dt = \frac{\sqrt{1-v^2_{0y}}}{a}\,\mathrm{th}(a\,t).</math></center><br />
<br />
За бесконечное координатное время <math>\textstyle t=\infty</math> частица уходит за горизонт событий <math>\textstyle x_0=-1/a</math> наблюдателя в начале координат. При этом собственное время самой частицы к этому "моменту" остается конечным.<br />
<br />
Наконец, траектория частицы получается после исключения времени:<br />
<br />
:<center><math>y = \frac{v_{0y}}{a}\, \sqrt{1-(1+ax)^2}</math></center><br />
<br />
и при малых <math>\textstyle ax</math> переходит в параболу (так в равноускоренной системе выглядит движение свободной частицы в классической механике). <br />
<br />
<center>[[File:nonin_acselr.png]]</center><br />
<br />
Выше на рисунке приведено несколько примеров траекторий начинающихся из точки <math>\textstyle x_0=y_0=0</math>. Рядом с линиями в скобках приведены значения компонент начальной скорости <math>\textstyle (v_{0x},\,v_{0y})</math>.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> В качестве еще одного примера, найдём траекторию свободной частицы во вращающейся системе отсчета (см.\,стр.\,\pageref{nonin_rot_transf_Born}). В лабораторной системе её траектория, проходящая в момент времени <math>\textstyle T=0</math> через точку с декартовыми координатами (<math>\textstyle X_0,\,Y_0</math>), имеет вид:<br />
<br />
:<center><math>X=X_0+V_0\cos(\alpha)\, T, \;\;\;\;\;\;\;\;\;Y=Y_0+V_0\sin(\alpha)\, T,</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \alpha</math> &mdash; угол между направлением движения и осью <math>\textstyle X</math>. Модуль вектора скорости <math>\textstyle V_0</math>, когда вместо частицы движется импульс света равен единице (<math>\textstyle V_0=c=1</math>). Запишем траекторию в полярных координатах <math>\textstyle X=R\cos\Phi</math>, <math>\textstyle Y=R\sin\Phi</math> и перейдем к криволинейным координатам вращающейся системы отсчета в плоскости <math>\textstyle Z=z=0</math>:<br />
<br />
:<center><math>T=t,\;\;\;\;\;\;R=r,\;\;\;\;\Phi = \phi + \omega t.</math></center><br />
<br />
После несложных выкладок (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H) получаем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{llll} x &= r_0\, \cos(\phi_0-\omega t) &+& V_0t \cos(\alpha-\omega t) \\ [2mm] y &= r_0\, \sin(\phi_0-\omega t) &+& V_0t \sin(\alpha-\omega t), \end{array} \right. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle r_0</math>, <math>\textstyle \phi_0</math> &mdash; начальное положение частицы в координатах неинерциальной системы и <math>\textstyle x=r\cos\phi</math>, <math>\textstyle y=r\sin\phi</math>. Отметим также выражение для изменения расстояния от центра вращения со временем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> r^2=r^2_0 + 2r_0\, V_0\,t\,\cos(\phi_0-\alpha) + V^2_0 t^2 </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
и постоянные функции скоростей (точка &mdash; производная по <math>\textstyle t</math>):<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \dot{r}^2 + r^2 (\dot{\phi}+\omega)^2 = V^2_0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;r^2\,(\dot{\phi}+\omega)=V_0 r_0\sin(\alpha-\phi_0). </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Ниже на рисунках изображены некоторые траектории света (<math>\textstyle V_0=1</math>) во вращающейся системе отсчета: <br />
<br />
<center>[[File:nonin_rot1.png]]</center><br />
<br />
На первом рисунке лучи света выходят из точки <math>\textstyle r_0=1/(2\omega)</math> в различные стороны. На втором, наоборот, лучи сходятся в этой точке. Наконец, на третьем рисунке изображены траектории обмена световыми сигналами между наблюдателями, расположенными в жирных точках с наблюдателем, находящимся на оси вращения.<br />
<br />
Качественно поведение изгиба световых траекторий можно понять, если вспомнить свойство силы инерции Кориолиса во вращающейся системе отсчета. Эта сила зависит от скорости тела и на вращающемся против часовой стрелке диске направлена перпендикулярно скорости, вправо от неё (в векторных обозначениях соответствующее ускорение имеет вид <math>\textstyle -2[\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}]</math>). Аналогично, при движении импульса света его траектория всё время изгибается вправо.<br />
<br />
Эта ключевая особенность вращающейся системы отсчета приводит к тому, что при радиолокационном измерении расстояния сигнал между наблюдателями проходит по различным путям, в зависимости от того к какому из наблюдателей он движется. Выше на третьем рисунке цветок световых лучей как раз отражает подобное несовпадение траекторий. Стрелками помечено направления движения импульсов.<br />
<br />
В отличие от вращающейся системы, в жесткой равноускоренной системе отсчета траектория света в радиолокационном эксперименте одна и та же при движении света "туда и обратно". Аналогично мяч в поле силы тяжести при игре в волейбол движется по одной параболе, не зависимо от того, игроки какой команды его отправили в этот полет. Траектория движения такого светового импульса находится из уравнений (), () в которых необходимо положить <math>\textstyle v_{0x}=(1+ax_0)\,\cos\alpha</math> и <math>\textstyle v_{0y}=(1+ax_0)\,\sin\alpha</math>.<br />
<br />
Искривление лучей света приводит к тому, что окружающий мир в неинерциальной системе отсчёта выглядит совсем не так как в инерциальной. Наблюдатель видит объект в направлении под которым к нему пришел "луч" света, излученный этим объектом. Если "луч" движется по искривленной траектории, то и предмет будет виден не там, где он находится "на самом деле". Выше на втором рисунке каждая линия показывает последовательность точек, которые наблюдатель видит находящимися на одной прямой.<br />
<br />
В равноускоренной системе отсчёта также происходит визуальное искажение окружающего мира. Например, наблюдатель в начале координат видит своих коллег по системе, находящихся на оси <math>\textstyle y</math> не вверху и внизу, а впереди себя. Чем дальше такой наблюдатель от него находится, тем под большим углом к оси <math>\textstyle y</math> он будет визуально наблюдаться. Качественно это легко представить нарисовав параболу между двумя точками на оси <math>\textstyle y</math>. Эта ось играет для равноускоренной вдоль оси <math>\textstyle x</math> системы роль поверхности Земли. Брошенный из одной точки в другую камень полетит по параболе, начиная и оканчивая движение под углом к поверхности. Аналогично ведут себя и лучи света.<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Жёсткость, время и геометрия]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Динамика в неинерциальной системе]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%96%D1%91%D1%81%D1%82%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C,_%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8F_%D0%B8_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F&diff=5291Жёсткость, время и геометрия2013-07-04T19:57:31Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Жёсткость, время и геометрия» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Жёсткие системы отсчёта]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Движение частиц и света]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Получим при помощи критерия ''сопутствующей жесткости'' закон движения точек жесткой равноускоренной системы отсчёта. Пусть произвольная точка <math>\textstyle x</math> системы движется по траектории:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> X = x + \frac{1}{a_x}\, \left[\sqrt{1+(a_xT)^2}-1\right], </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle a_x</math> &mdash; константы, зависящие от начального положения точки <math>\textstyle x=X(0)</math>. Избавимся в траектории от корня, переписав её в следующем виде:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> (1-a_x x)^2 + 2a_x\,(1-a_x x)\,X = 1+a^2_x\,(T^2-X^2). </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Подставим в это уравнение преобразования Лоренца между лабораторной системой <math>\textstyle S_0</math> и инерциальной системой <math>\textstyle S'_0:\,\{T',\,X'\}</math>, движущейся относительно <math>\textstyle S_0</math> с постоянной скоростью <math>\textstyle U_0</math>:<br />
<br />
:<center><math>T=\gamma_0\,(T'+U_0X'),\;\;\;\;\;\;\;X=\gamma_0\,(X'+U_0T'),</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \gamma_0=1/\sqrt{1-U^2_0}</math>. В правой части () стоит инвариант, поэтому:<br />
<br />
:<center><math>(1-a_x x)^2 + 2a_x\,(1-a_x x)\,\gamma_0\,(X'+U_0 T') = 1+a^2_x\,(T'^2-X'^2).</math></center><br />
<br />
Для данной точки (<math>\textstyle x=const</math>) возьмём производную левой и правой части по <math>\textstyle T'</math>, положив <math>\textstyle U'=dX'/dT'=0</math>. В результате, получаем момент времени <math>\textstyle T'</math> при котором скорость точек неинерциальной системы <math>\textstyle S</math> в инерциальной системе <math>\textstyle S'_0</math> оказывается равной нулю:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> T' = \frac{1-a_x x}{a_x}\,\gamma_0 U_0. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Такое время должно быть одинаковым для любых координат <math>\textstyle x</math> (все точки <math>\textstyle S</math> в <math>\textstyle S'_0</math> неподвижны). Это возможно, если в () множитель при <math>\textstyle \gamma_0 U_0</math> не зависит от <math>\textstyle x</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> a_x = \frac{a}{1+ax}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle a=const</math> &mdash; собственное ускорение точки <math>\textstyle x=0</math>. Подставляя <math>\textstyle a_x</math> в (), имеем следующие траектории точек:<br />
<br />
:<center><math>X = \frac{1}{a}\, \left[\sqrt{(1+ax)^2+(aT)^2}-1\right].</math></center><br />
<br />
Такая система точек обладает сопутствующей жесткостью и образует жесткую равноускоренную систему, рассмотренную в первых двух разделах главы.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> В качестве второго примера рассмотрим систему, движущуюся с произвольной скоростью вдоль оси <math>\textstyle X</math> (стр.\,\pageref{nonin_gesk2}). Её интервал имеет вид <math>\textstyle ds^2=\left[1+w(t)\, x\right]^2\, dt^2-dx^2-dy^2</math> и приводит к евклидовой физической длине, следовательно, такая система отсчёта является ''локально жёсткой''. Разберёмся, однако, выполняется ли для неё критерий ''глобальной жесткости''. Равенство нулю интервала <math>\textstyle ds^2=0</math> приводит к следующему дифференциальному уравнению:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \frac{dx}{dt} = \pm(1+w\,x). </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Пусть световой сигнал отправляется в момент времени <math>\textstyle t_1</math> из начала системы отсчёта <math>\textstyle x=0</math>. В момент времени <math>\textstyle t_2</math> он туда возвращается, отразившись от точки с координатой <math>\textstyle x>0</math>. Рассмотрим движение в сторону возрастания координаты (знак плюс). Так как <math>\textstyle x(t_1)=0</math>, из () следует, что в момент времени <math>\textstyle t=t_1</math>:<br />
<br />
:<center><math>\frac{dx}{dt}\Bigr|_{t=t_1} = 1,\;\;\;\;\;\;\;\frac{d^2x}{dt^2}\Bigr|_{t=t_1} = \bigl(\frac{dw}{dt}\, x + \frac{dx}{dt}\,w\bigr)_{t=t_1}=w(t_1),</math></center><br />
<br />
где вторая производная получена дифференцированием (). Поэтому траектория удаляющегося сигнала имеет вид:<br />
<br />
:<center><math>x_+(t)\approx (t-t_1) + w(t_1)\,\frac{(t-t_1)^2}{2}+...</math></center><br />
<br />
Аналогично находится траектория приближающегося к началу отсчёта сигнала <math>\textstyle x(t_2)=0</math>, соответствующая в () знаку минус:<br />
<br />
:<center><math>x_-(t)\approx (t_2-t) + w(t_2)\,\frac{(t_2-t)^2}{2}+...</math></center><br />
<br />
При отражении эти две траектории совпадают: <math>\textstyle x_+(t)=x_{-}(t)=x</math>. Решая квадратные уравнения относительно <math>\textstyle t-t_1>0</math> и <math>\textstyle t_2-t>0</math> и складывая решения, получаем:<br />
<br />
:<center><math>t_2-t_1 \approx \frac{\sqrt{1+2w_1\, x}-1}{w_1}+\frac{\sqrt{1+2w_2 \,x}-1}{w_2},</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle w_1=w(t_1)</math> и <math>\textstyle w_2=w(t_2)</math>. При малом интервале времени <math>\textstyle t_2-t_1</math> координата точки отражения является величиной того же порядка малости. Поэтому разложим корень до малых <math>\textstyle x^2</math> включительно:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> l=\frac{t_2-t_1}{2} \approx x - \frac{w_1}{2}\,x^2, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где член <math>\textstyle (w_1+w_2)x^2</math> с точностью до второго порядка малости заменен на <math>\textstyle 2 w_1 x^2</math>. Так как для наблюдателя в начале системы отсчёта <math>\textstyle x=0</math> собственное время совпадает с координатным, полученное выражение является радиолокационным расстоянием к точке с координатой <math>\textstyle x</math>.<br />
<br />
В первом порядке малости это расстояние постоянно, что отражено в постоянстве физической длины <math>\textstyle \delta l^2=dx^2+dy^2</math>. Однако уже следующее приближение по <math>\textstyle x</math> оказывается зависящим от времени посылки сигнала, если только величина <math>\textstyle w(t)</math> не является константой. Поэтому постоянство бесконечно малого радиолокационного расстояния <math>\textstyle \delta l^2 = \gamma_{ij}\,dx^idx^j</math>, вообще говоря, не гарантирует, что конечное радиолокационное расстояние между двумя точками будет постоянным (локальная жёсткость не влечёт за собой глобальной жёсткости). Это свойство неинерциальных систем отсчёта тесно связано с другой особенностью. В жесткой равноускоренной системе в координатах Мёллера радиолокационное расстояние равно <math>\textstyle l=\ln(1+ax)/a</math>. В то же время <math>\textstyle \delta l^2=dx^2+dy^2</math> и при движении вдоль оси <math>\textstyle x</math> мы, на первый взгляд, должны были бы иметь <math>\textstyle l=x</math>.<br />
<br />
Причина этих расхождений кроется в измерительном смысле физической длины <math>\textstyle \delta l^2 = \gamma_{ij}\,dx^idx^j</math>. Её получает наблюдатель, измеряя ''время'' распространения светового сигнала в обе стороны к бесконечно близкой к нему точке. Суммирование малых элементов <math>\textstyle \delta l</math> вдоль некоторой кривой, подразумевает, что вдоль этой кривой расположено множество таких наблюдателей, каждый из которых получает своё значение <math>\textstyle \delta l</math>. Однако, время для разных наблюдателей в неинерциальной системе отсчёта, в общем случае, течёт различным образом. Поэтому, сумма измерений радиолокационных расстояний в которых используются часы, расположенные в различных точках, отличается от единственного измерения такого же расстояния, проведенного одним наблюдателем по одним часам.<br />
<br />
Хорошей иллюстрацией этого утверждения является вращающаяся система отсчёта. Длину можно измерять вдоль любой линии по которой распространяется свет. Экспериментально такая линия может быть организована при помощи световода или системы зеркал. Для наблюдателей, находящихся на одинаковом расстоянии от центра, темп хода часов одинаков. Пусть сигнал движется по окружности (<math>\textstyle r=const</math>) от точки <math>\textstyle \phi=0</math>, до точки <math>\textstyle \phi>0</math> и обратно. Равенство нулю интервала () приводит к уравнению:<br />
<br />
:<center><math>\frac{d\phi}{dt} = \pm \frac{1}{r} - \omega.</math></center><br />
<br />
Повторяя рассуждения на предыдущей странице, имеем:<br />
<br />
:<center><math>l = \sqrt{g_{00}}\;\frac{t_2-t_1}{2} = \frac{r\phi}{\sqrt{1-(\omega r)^2}},</math></center><br />
<br />
где множитель <math>\textstyle \sqrt{g_{00}}</math> введен, чтобы получилось физическое время. Такое же расстояние мы получим, интегрируя выражение для физической длины (), стр.\,\pageref{nonin_phys_l_rot} во вращающейся системе при <math>\textstyle r=const</math>.<br />
<br />
Иная ситуация будет при движении светового сигнала вдоль радиуса (<math>\textstyle \phi=const</math>). В этом случае уравнение его движения<br />
<br />
:<center><math>\frac{dr}{dt} = \pm \sqrt{1-(\omega r)^2}</math></center><br />
<br />
приводит к следующему радиолокационному расстоянию для наблюдателя, расположенного в центре вращения:<br />
<br />
:<center><math>l = \frac{1}{\omega}\, \arcsin(\omega r).</math></center><br />
<br />
Это выражение уже отличается от <math>\textstyle l=r</math>, которое следует при интегрировании () вдоль линии <math>\textstyle \phi=const</math>. Напомним, что точки вращающейся системы отсчёта, находящиеся на разном расстоянии <math>\textstyle r</math> от оси вращения, имеют различную скорость <math>\textstyle \omega r</math> и различное замедление собственного времени.<br />
<br />
Таким образом, одинаковый темп течения времени вдоль траектории светового сигнала приводит к совпадению результата единичного радиолокационного измерения расстояния и суммы измерений бесконечно малых расстояний. Если же темп течения времени вдоль траектории различен, то результаты измерений будут отличаться.<br />
<br />
В связи с этим отметим ещё один момент. Отклонение физической длины <math>\textstyle \delta l^2 = \gamma_{ij}\,dx^idx^j</math> от евклидового выражения, обычно интерпретируется как неевклидовость 3-пространства в неинерциальной системе отсчёта. Этому вопросу будет посвящена глава . Сейчас отметим только, что подобная неевклидовость существенно отличается от неевклидовости обычных искривлённых пространств. В геометрии нет времени. Длина линии должна равняться сумме длин её бесконечно малых элементов. Однако оба эти утверждения не выполняются в неинерциальных системах отсчёта. Поэтому, рассмотрение геометрических свойств пространства, например, с метрикой () несколько формально. К примеру, физическая длина в жесткой равноускоренной системе евклидова: <math>\textstyle \delta l^2=dx^2+dy^2</math>. Эта длина получена в результате анализа распространения света на бесконечно малое расстояние. Однако, в таком евклидовом пространстве тот же свет, распространясь на конечные расстояния, движется не по прямым, а по искривлённым линиям.<br />
<br />
За геометрическими свойствами метрики <math>\textstyle \gamma_{ij}</math> необходимо видеть множество наблюдателей, использующих различные часы для измерения радиолокационных расстояний в своих непосредственных окрестностях. Геометрия 3-пространства неинерциальной системы, основанная на <math>\textstyle \gamma_{ij}</math>, является геометрией, объединяющей такие бесконечно малые локальные измерения.<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Жёсткие системы отсчёта]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Движение частиц и света]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%96%D1%91%D1%81%D1%82%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BE%D1%82%D1%81%D1%87%D1%91%D1%82%D0%B0&diff=5290Жёсткие системы отсчёта2013-07-04T19:57:16Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Жёсткие системы отсчёта» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Физические длина и время]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Жёсткость, время и геометрия]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
Жесткость (как бы мы её не определяли), как и многие другие эффекты релятивистской теории &mdash; это понятие относительное. Нежёсткая равноускоренная система является хорошей иллюстрацией к этому утверждению. Относительно лабораторной системы её точки движутся по траекториям:<br />
<br />
:<center><math>X = x + \frac{1}{a}\, \left[\sqrt{1+(aT)^2}-1\right].</math></center><br />
<br />
При этом точки с различной координатой <math>\textstyle x</math> имеют одинаковое собственное ускорение. Расстояние между ними в лабораторной системе отсчёта остаётся неизменным (<math>\textstyle \Delta X = \Delta x</math> не зависит от времени <math>\textstyle T</math>). Однако, как мы видели (стр.\,\pageref{nonin_phys_t1t2t}), радиолокационное расстояние между двумя точками зависит от времени. Поэтому наблюдатели, связанные с такой системой отсчёта, не считают её жесткой.<br />
<br />
Аналогично, в жесткой равноускоренной системе отсчёта из первого раздела, расстояние между наблюдателями не меняется со временем. Однако в лабораторной системе эти наблюдатели движутся с различными скоростями по траекториям<br />
<br />
:<center><math>X = \frac{1}{a}\, \left[\sqrt{(1+ax)^2+(aT)^2}-1\right].</math></center><br />
<br />
Для неподвижных наблюдателей такая "жесткая" равноускоренная система отсчёта не выглядит жесткой (<math>\textstyle \Delta X</math> является убывающей функцией времени и расстояние между точками уменьшается).<br />
<br />
Обсуждая далее жесткость системы отсчёта, мы будем подразумевать, что она выполняется для наблюдателей, связанных с этой системой. Аналогично собственному времени, будем называть её ''собственной жесткостью'' системы отсчёта.<br />
<br />
Отметим также, что обсуждая жесткость, мы имеем ввиду ''кинематическую жесткость'' системы отсчёта и связанных с ней тел. Это означает, что эффекты деформации и соответствующих сил, действующих внутри "твёрдого тела" выходят за рамки нашего рассмотрения. Жёсткая система отсчёта, представляется как совокупность точек, расстояние между которыми при движении системы в том или ином смысле остаётся неизменным. С каждой точкой мысленно связан наблюдатель, имеющий часы и линейку. Такие же эталоны времени и длины находятся у сопутствующего к нему наблюдателя в инерциальной системе отсчёта.<br />
<br />
Возможны по крайней мере три определения собственной жесткости: <blockquote> I. ''Сопутствующая жесткость'': все точки системы отсчёта имеют нулевую скорость в сопутствующей к ней инерциальной системе отсчёта. </blockquote> <blockquote> II. ''Локальная жесткость'': тензор <math>\textstyle \gamma_{ij}=-g_{ij}+g_{0i}g_{0j}/g_{00}</math>, определяющий элемент бесконечно малой физической длины, не зависит от времени. </blockquote> <blockquote> III. ''Глобальная жесткость'': радиолокационное расстояние между любыми двумя точками системы отсчёта не меняется со временем. </blockquote> Эти три определения не эквивалентны друг другу. Особенно неожиданным это может показаться по отношению к последним двум определениям. В основе процедуры, дающей <math>\textstyle \gamma_{ij}</math> лежит радиолокационное измерение расстояния между двумя бесконечно близкими точками. Однако, оказывается, что из его постоянства, вообще говоря, не следует глобальной жесткости системы отсчёта. То есть, бесконечно малые радиолокационные расстояния могут быть постоянными, и при этом расстояние между удалёнными точками системы отсчёта изменяться со временем. Мы продемонстрируем это в следующем разделе на примере неинерциальной системы, движущейся поступательно с произвольной скоростью.<br />
<br />
В жесткой равноускоренной системе отсчёта все три критерия выполняются. Постоянство радиолокационного расстояния в первом разделе было использовано для определения траекторий движения такой системы. Её метрика в координатах Мёллера <math>\textstyle ds^2 = (1+ax)^2\,dt^2 - dx^2- dy^2</math> приводит физической длине <math>\textstyle \delta l^2=dx^2+dy^2</math>, которая не зависит от времени. Поэтому критерий локальной жесткости также выполняется. Наконец, в следующем разделе мы увидим, что эта система является жесткой и в сопутствующем смысле. В этом отношении жесткая равноускоренная система выделяется из всего разнообразия неинерциальных систем отсчёта.<br />
<br />
Вращающаяся система жестка и в локальном (см. (), стр.\,\pageref{nonin_phys_l_rot}) и в глобальном смыслах (см. стр.\,\pageref{nonin_dl_rot}). Однако, для неё не выполняется критерий сопутствующей жесткости. В движущейся с подходящей скоростью инерциальной системе, нулевую скорость будет иметь только одна точка вращающегося диска. Это справедливо и в теории относительности, и в классической механике.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Исторически первым понятие жёсткости в теории относительности ввёл в 1909г. Макс Борн \cite{Born1909}. Он рассматривал некоторое тело, каждая точка которого однозначно характеризуется (нумеруется) тремя координатами <math>\textstyle x^i=\{x,y,z\}</math> и в лабораторной системе отсчёта движется по траектории <math>\textstyle X^\alpha=X^\alpha(\tau,x^i)</math>, где <math>\textstyle \tau</math> &mdash; собственное время часов, связанных с точкой. В классической механике тело считается жестким, если расстояние между двумя его точками, измеренное в данный момент времени, в дальнейшем не меняется (ниже первый рисунок). Такое определение не является релятивистски инвариантным и в любой другой системе отсчёта будет нарушено (одновременность относительна). Поэтому Борн потребовал для жесткого тела неизменности бесконечно малого расстояния в 4-пространстве в гиперплоскости, ортогональной траекториям двух соседних точек (ниже второй рисунок): <br />
<br />
<center>[[File:born.png]]</center><br />
<br />
Вместо жёсткой неинерциальной системы, следуя Борну, будем говорить о жёстком теле. Запишем траекторию произвольной точки такого тела относительно лабораторной системы <math>\textstyle S_0:\,\{T,\,X,\,Y,\,Z\}</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> X^\alpha=X^\alpha(\tau,\, x^1,x^2,\,x^3). </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
При этом, <math>\textstyle x^i</math> &mdash; это координаты, однозначно определяющие фиксированную точку тела, а <math>\textstyle \tau</math> &mdash; её собственное время и, как обычно, <math>\textstyle X^\alpha=\{T,\,\mathbf{X}\}</math>. Ниже мы используем безындексную запись в которой прямым шрифтом будут обозначаться 4-векторы (скалярное произведение <math>\textstyle A^\alpha B_\alpha</math> в такой записи имеет вид <math>\textstyle \mathrm{A}\cdot\mathrm{B}</math> и т.д.).<br />
<br />
Интервал вдоль траектории движения точки совпадает с изменением её собственного времени:<br />
<br />
:<center><math>d\tau^2 = dX^\alpha dX_\alpha = (\partial_0 X^\alpha)(\partial_0 X_\alpha)\, d\tau^2\equiv (\partial_0 \mathrm{X})^2\, d\tau^2,</math></center><br />
<br />
где подставлены дифференциалы <math>\textstyle dX^\alpha=\partial_0 X^\alpha\,d\tau</math>, записанные при постоянстве координат <math>\textstyle x^i</math> и <math>\textstyle \partial_0=\partial/\partial\tau</math> &mdash; производная по собственному времени. Таким образом:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> (\partial_0 \mathrm{X})^2=1. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Обратим внимание, что такое лаконичное уравнение на самом деле является краткой записью уравнения <math>\textstyle (\partial_0 T)^2-(\partial_0\mathbf{X})^2=1.</math><br />
<br />
Рассмотрим две соседние точки с координатами <math>\textstyle x^i</math> и <math>\textstyle x^i+dx^i</math>. Положение первой точки соответствует моменту собственного времени <math>\textstyle \tau</math>, а второй: <math>\textstyle \tau+d\tau</math>. Расстояние между этими точками в пространстве Минковского определяется 4-вектором:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> d\mathrm{X} = \partial_0\mathrm{X}\,d\tau + \partial_i\mathrm{X}\, dx^i, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle \partial_i=\partial/\partial x^i</math>. Это обычный дифференциал функции 4-х переменных <math>\textstyle \tau</math>, <math>\textstyle x^1</math>, <math>\textstyle x^2</math>, <math>\textstyle x^3</math>. Для определения значения <math>\textstyle d\tau</math>, потребуем, чтобы вектор <math>\textstyle d\mathrm{X}</math> был ортогонален к 4-вектору <math>\textstyle \partial_0\mathrm{X}</math>, касательному к траектории при изменении собственного времени: <br />
<br />
<center>[[File:born_ortho.png]]</center><br />
<br />
<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> d\mathrm{X}\cdot\partial_0\mathrm{X}= 0. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
При таком выборе тело, по определению Борна, считается ''жёстким'', если длина вектора <math>\textstyle d \mathrm{X}</math> не меняется со временем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> (d \mathrm{X})^2 = const. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Из соотношения ортогональности и (), () получаем<br />
<br />
:<center><math>d\tau = -(\partial_0\mathrm{X}\cdot\partial_i\mathrm{X})\, dx^i.</math></center><br />
<br />
Подставляя это значение в квадрат расстояния () между точками<br />
<br />
:<center><math>(d \mathrm{X})^2 = d\tau^2 + 2(\partial_0\mathrm{X}\cdot\partial_i\mathrm{X})\, d\tau dx^i +(\partial_i\mathrm{X}\cdot\partial_j\mathrm{X})\, dx^idx^j,</math></center><br />
<br />
имеем:<br />
<br />
:<center><math>(d\mathrm{X})^2 = \bigl\{ \partial_i\mathrm{X}\cdot\partial_j\mathrm{X} - (\partial_0\mathrm{X}\cdot\partial_i\mathrm{X}) (\partial_0\mathrm{X}\cdot\partial_j\mathrm{X})\bigr\}\, dx^idx^j.</math></center><br />
<br />
Первое слагаемое в фигурных скобках &mdash; это <math>\textstyle g_{ij}</math>, а второе &mdash; произведение <math>\textstyle g_{0i}g_{0j}</math>. Действительно, интервал равен:<br />
<br />
:<center><math>ds^2 = (d\mathrm{X})^2 = (\partial_\alpha\mathrm{X}\cdot \partial_\beta \mathrm{X})\, dx^\alpha dx^\beta = g_{\alpha\beta}\, dx^\alpha dx^\beta,</math></center><br />
<br />
поэтому, метрические коэффициенты <math>\textstyle g_{\alpha\beta}</math> неинерциальной системы, связанной с телом равны <math>\textstyle \partial_\alpha\mathrm{X}\cdot \partial_\beta \mathrm{X}</math>. При этом, так как в преобразованиях () <math>\textstyle \tau</math> &mdash; собственное время, то <math>\textstyle g_{00}=(\partial_0\mathrm{X})^2=1</math>.<br />
<br />
Таким образом, критерий жёсткости Борна эквивалентен постоянству тензора <math>\textstyle \gamma_{ij}</math>, определяющего физическую длину. Заметим, что Борн сформулировал свой критерий жесткости для частного случая преобразований в которых координатное время <math>\textstyle t</math> является собственным временем <math>\textstyle \tau</math> точки неинерциальной системы отсчёта. Если мы откажемся от условия (), то получится общее выражение (), стр.\,\pageref{noni_gamma_l_def}.<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Физические длина и время]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Жёсткость, время и геометрия]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B8_%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8F&diff=5289Физические длина и время2013-07-04T19:57:01Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Физические длина и время» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Произвольные неинерциальные системы]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Жёсткие системы отсчёта]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
Запишем при помощи метрического тензора <math>\textstyle g_{\alpha\beta}</math> общее выражение для бесконечно малого расстояния в пространстве-времени:<br />
<br />
:<center><math>ds^2 = g_{\alpha\beta} \,dx^\alpha dx^\beta = g_{00} \,dt^2 + 2g_{0i} \,dt dx^i + g_{ij}\,dx^i dx^j,</math></center><br />
<br />
где греческие индексы <math>\textstyle \alpha, \beta</math> изменяются от 0 до 3, а латинские <math>\textstyle i,j</math> от 1 до 3, <math>\textstyle dx^\alpha=\{dt, dx^i\}</math> и учтено, что <math>\textstyle g_{0i}=g_{i0}</math>. Выделим в этом выражении полный квадрат для членов, зависящих от дифференциала по координатному времени:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> ds^2 = \left(\sqrt{g_{00}} \,dt + \frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}}\, dx^i\right)^2 - \left(\frac{g_{0i}g_{0j}}{g_{00}}-g_{ij}\right)\, dx^i dx^j. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Этот интервал формально имеет вид расстояния в псевдоевклидовом пространстве:<br />
<br />
:<center><math>ds^2 = \delta \tau^2 - \delta l^2,</math></center><br />
<br />
где бесконечно малые величины<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \delta \tau = \sqrt{g_{00}} \,dt + \frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}}\, dx^i,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\delta l^2 = \left(\frac{g_{0i}g_{0j}}{g_{00}}-g_{ij}\right)\, dx^i dx^j </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
будем называть ''физическим временем'' и квадратом ''физического расстояния''. Для записи квадрата физического расстояния <math>\textstyle \delta l</math> удобно ввести трёхмерный тензор<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \gamma_{ij} =\frac{g_{0i}g_{0j}}{g_{00}}-g_{ij},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\delta l^2 = \gamma_{ij}\, dx^idx^j. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Обратим внимание, что для обозначения бесконечно малых используется значок "<math>\textstyle \delta</math>", а не "<math>\textstyle d</math>". Дело в том, что, как мы увидим ниже, величины <math>\textstyle \delta\tau</math> и <math>\textstyle \delta l</math> в общем случае не являются дифференциалами.<br />
<br />
Кроме <math>\textstyle \delta\tau</math> и <math>\textstyle \delta l</math> введем понятие ''собственного времени'' <math>\textstyle \delta \tau_0</math> часов, находящихся в ''фиксированной'' точке пространства системы отсчёта. Это время равно интервалу <math>\textstyle ds</math> между событиями для которых <math>\textstyle dx^1=dx^2=dx^3=0</math> или <math>\textstyle \delta l=0</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \delta \tau_0 = \sqrt{g_{00}} \,dt. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Понятно, что <math>\textstyle \delta \tau=\delta \tau_0</math> при <math>\textstyle dx^k=0</math>. Как и раньше, будем считать собственное время физическим временем данных часов неинерциальной системы отсчета. Эти часы движутся относительно инерциальной системы с переменной скоростью и время на них замедлятся в соответствии со стандартной релятивистской формулой.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Для выяснения физического смысла <math>\textstyle \delta l</math>, рассмотрим радиолокационное измерение расстояния, которое проводит наблюдатель, расположенный в точке <math>\textstyle A:\,(x^1,\,x^2,\,x^3)</math>. Расстояние он измеряет до близкой к нему точки <math>\textstyle B:\,(x^1+dx^1,\,x^2+dx^2,\,x^3+dx^3)</math>. Интервал между двумя событиями при движении светового импульса равен нулю <math>\textstyle ds=0</math>. Поэтому из () имеем:<br />
<br />
:<center><math>\sqrt{g_{00}}\,dt_{\pm} = -\frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}}\, dx^i \pm \sqrt{\delta l^2}.</math></center><br />
<br />
Значение <math>\textstyle dt_{+}>0</math> соответствует движению импульса в сторону увеличения координат, а <math>\textstyle dt_{-}<0</math> &mdash; в противоположную. Стоит проверить это на примерах вращающейся и нежесткой равноускоренной систем отсчета. Пусть сигнал отражается от точки <math>\textstyle B</math> в момент времени <math>\textstyle t</math>. Тогда он оправляется из <math>\textstyle A</math> в <math>\textstyle t_1=t-dt_{+}<t</math> и возвращается обратно в момент <math>\textstyle t_2=t-dt_{-}>t</math>. Половина интервала собственного времени <math>\textstyle \sqrt{g_{00}\,(t_2-t_1)/2}</math> между этими двумя событиями равна: <br />
<br />
<center>[[File:nonin_dl_def.png]]</center><br />
<br />
<br />
:<center><math>\frac{\sqrt{g_{00}}\,(dt_{+}-dt_-)}{2} = \sqrt{\delta l^2}.</math></center><br />
<br />
Таким образом, физическое расстояние <math>\textstyle \delta l</math> имеет смысл ''радиолокационного расстояния'' которое измеряется наблюдателем в точке <math>\textstyle (x^1,x^2,x^3)</math> в его непосредственной окрестности.<br />
<br />
Смысл величины <math>\textstyle \delta l</math> можно прояснить и при помощи следующих рассуждений. Пусть в данный момент времени в окрестности фиксированной точки НИСО находится сопутствующая к ней ИСО. Относительно неё ''эта'' точка НИСО имеет нулевую скорость <math>\textstyle U^k=0</math>, и из (), стр.\,\pageref{nonin_Uk_dX_dT} следует, что <math>\textstyle \partial_0 X^k=0.</math> Эта производная равна нулю при заданных значениях <math>\textstyle (t,\,x^i)</math>, для которых имеем следующие коэффициенты метрического тензора ():<br />
<br />
:<center><math>g_{00} = (\partial_0 X^0)^2,\;\;\;\;\; g_{0i} = \partial_0 X^0 \,\partial_i X^0,\;\;\;\;\; g_{ij} = \partial_i X^0 \,\partial_j X^0 - \partial_i X^k\, \partial_j X^k,</math></center><br />
<br />
откуда: <math>\textstyle \partial_i X^k\, \partial_j X^k = \gamma_{ij}. </math> С другой стороны, евклидово расстояние в сопутствующей ИСО равно<br />
<br />
:<center><math>\delta l^2=dX^2+dY^2+dZ^2=dX^k\,dX^k=\partial_i X^k\,\partial_j X^k\, dx^idx^j = \gamma_{ij}\,dx^idx^j.</math></center><br />
<br />
Использование ''одинаковых линеек'' наблюдателем в НИСО и в сопутствующей ему ИСО приводит к одинаковому расстоянию. В отличие от ИСО величины <math>\textstyle \gamma_{ij}</math> являются функциями <math>\textstyle (t,\,x^k)</math> и меняются от точки к точке (в которых надо использовать ''другие'' сопутствующие ИСО).<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Физическое время <math>\textstyle \delta\tau</math> при <math>\textstyle dx^i\neq 0</math> соответствует разнице собственных времен между двумя бесконечно близкими, но ''различными'' синхронизированными часами. Действительно, рассмотрим стандартную процедуру синхронизации. Пусть сигнал отправляется в момент времени <math>\textstyle t_1=t-dt_{+}</math> из точки <math>\textstyle A=(x^1,\,x^2,\,x^3)</math>, в точку <math>\textstyle B=(x^1+dx^1,\,x^2+dx^2,\,x^3+dx^3)</math>. Её он достигает в момент времени <math>\textstyle t</math> и возвращается обратно к <math>\textstyle A</math> в момент <math>\textstyle t_2=t-dt_{-}</math>. Все эти времена являются координатными. Они связаны с собственным временем часов <math>\textstyle \tau_A</math> и <math>\textstyle \tau_B</math>, находящихся в точках <math>\textstyle A</math> и <math>\textstyle B</math>. По определению, часы идут синхронно, если выполняется соотношение:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \tau_B(t) = \frac{\tau_A(t_1)+\tau_A(t_2)}{2}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
При бесконечно малом изменении координатного времени, для физического собственного времени часов, находящихся в точке <math>\textstyle A</math>, в соответствии с (), имеем:<br />
<br />
:<center><math>\tau_A( t+dt) = \tau_A( t) + \delta\tau_A = \tau_A( t) + \sqrt{g_{00}}\,dt.</math></center><br />
<br />
Учитывая значения <math>\textstyle dt_\pm</math>, найденные при проведении радиолокационного измерения, из () получаем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \tau_B(t) = \tau_A(t) + \frac{g_{0i}\, dx^i}{\sqrt{g_{00}}}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Это соотношение устанавливает правило синхронизации отсчета времени между двумя бесконечно близкими часами.<br />
<br />
Когда часы синхронизированы можно говорить о разности времени между событиями, произошедшими в различных точках. Так, пусть из точки <math>\textstyle A</math> в момент координатного времени <math>\textstyle t</math> посылается световой сигнал в точку <math>\textstyle B</math>, который туда приходит в момент <math>\textstyle t+dt</math>. Разница собственных времен часов в точках <math>\textstyle B</math> и <math>\textstyle A</math> будет равна физическому времени из (): <br />
<br />
<center>[[File:nonin_clocks.png]]</center><br />
<br />
:<center><math>\delta \tau = \tau_B-\tau_A = \sqrt{g_{00}} \,dt + \frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}}\, dx^i.</math></center><br />
<br />
С помощью двух синхронизированных часов можно определить скорость света при его распространении от <math>\textstyle A</math> к <math>\textstyle B</math>. Она равна <math>\textstyle \delta l/\delta \tau = 1,</math> где учтено, что для света <math>\textstyle ds^2=\delta\tau^2-\delta l^2=0</math>. Таким образом определенная ''физическая скорость света'' всегда равна единице (или "<math>\textstyle c</math>" при восстановлении фундаментальной константы скорости). При этом ''координатная скорость'' <math>\textstyle dx^i/dt</math> светового импульса, вообще говоря, отличается от единицы и может быть сколь угодно большой.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Если часы синхронизированы во всей системе отсчета, это означает, что существует функция <math>\textstyle \tau(t,\,x^k)</math>, позволяющая по данным координатам события определить текущее значение собственного времени наблюдателя. Так, выше в () <math>\textstyle \tau_A(t)=\tau(t,x^i)</math> и <math>\textstyle \tau_B(t)=\tau(t,x^i+dx^i)</math>. Когда введение такой функции возможно?<br />
<br />
Дифференциал функции <math>\textstyle \tau=\tau(t,\,x^i)</math> нескольких переменных равен:<br />
<br />
:<center><math>d\tau = \frac{\partial\tau}{\partial t}\,dt + \frac{\partial\tau}{\partial x^i}\,dx^i.</math></center><br />
<br />
Поэтому <math>\textstyle \delta\tau</math> () будет дифференциалом, если:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \frac{\partial \tau}{\partial t} = \sqrt{g_{00}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\partial \tau}{\partial x^i}= \frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Частные производные должны быть перестановочны. Возьмем в () производную от <math>\textstyle \partial \tau/\partial t</math> по <math>\textstyle x^i</math>, а от <math>\textstyle \partial \tau/\partial x^i</math> по <math>\textstyle t</math> и приравняем их. Аналогично с производными по <math>\textstyle x^i</math> и <math>\textstyle x^j</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \frac{\partial \sqrt{g_{00}}}{\partial x^i} = \frac{\partial }{\partial t}\frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}},\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial }{\partial x^i}\frac{g_{0j}}{\sqrt{g_{00}}} = \frac{\partial }{\partial x^j}\frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Если () не выполняются, то физическое время <math>\textstyle \delta\tau</math> не является полным дифференциалом. В этом случае интеграл между двумя событиями <math>\textstyle P_1</math> и <math>\textstyle P_2</math> в 4-пространстве<br />
<br />
:<center><math>\tau = \int\limits^{P_2}_{P_1} \delta \tau =\int\limits^{P_2}_{P_1} \bigl[\sqrt{g_{00}} \,dt + \frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}}\, dx^i\bigr]</math></center><br />
<br />
зависит от пути интегрирования. Это означает, что в данной системе отсчета нельзя ввести единое синхронизированное время. Так, в жесткой равноускоренной системе отсчета (), стр.\,\pageref{nonin_ds_gost} имеем следующий криволинейный интеграл: <br />
<br />
<center>[[File:nonin_dtau_int.png]]</center><br />
<br />
:<center><math>\tau=\int\limits^{P_2}_{P_1} \bigl[ e^{ax}\, dt + 0\cdot dx\bigr].</math></center><br />
<br />
Если его вычислить между <math>\textstyle P_1=(0,\,0)</math> и <math>\textstyle P_2=(t,\,x)</math> сначала по линии <math>\textstyle P_1\, A\, P_2</math>, то получится <math>\textstyle \tau=t</math>. Интеграл же по пути <math>\textstyle P_1\, B\, P_2</math> даёт другое значение <math>\textstyle \tau=e^{ax}\,t</math>. Поэтому часы с различными координатами <math>\textstyle x</math> синхронизированы быть не могут. Физически это связано с различным ходом времени в равноускоренной системе. Начальная синхронизация часов стоящих в космопортах кораблей со временем "разрушается".<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Условия периодичности для координат <math>\textstyle x^i</math> могут накладывать дополнительные ограничения на возможность синхронизации часов. Запишем физическое время для вращающейся системы отсчета ():<br />
<br />
:<center><math>\delta \tau = \sqrt{1-(\omega r)^2}\,dt - \frac{\omega r^2 d\phi}{\sqrt{1-(\omega r)^2}}.</math></center><br />
<br />
Для часов (наблюдателей), находящихся на одинаковом расстоянии от центра (<math>\textstyle r=const</math>), это выражение является дифференциалом:<br />
<br />
:<center><math>\tau = \sqrt{1-(\omega r)^2}\,t - \frac{\omega r^2 \phi}{\sqrt{1-(\omega r)^2}}.</math></center><br />
<br />
Такое выражение для физического времени мы получили при выборе условия синхронизации часов в форме (), стр.\,\pageref{nonint_rot_tau} (на стр.\,\pageref{nonint_rot_tau} физическое время обозначалось как <math>\textstyle t</math>, а <math>\textstyle T</math> &mdash; было временем инерциальной системы отсчета, которое в координатах Борна совпадает с координатным временем <math>\textstyle t</math> этого раздела).<br />
<br />
Не смотря на то, что мы имеем полный дифференциал, функция <math>\textstyle \tau=\tau(t,\,\phi)</math> не является однозначной в силу эквивалентности точек <math>\textstyle \phi=0</math> и <math>\textstyle \phi=2\pi</math>. Поэтому провести синхронизацию всех часов, вращающихся по окружности, не представляется возможным. Если <math>\textstyle r</math> не считать константой, то <math>\textstyle \delta \tau</math> не будет полным дифференциалом. Причина аналогична ситуации в жесткой равноускоренной системе: течение собственного времени точек, находящихся на разном расстоянии от центра, различно.<br />
<br />
Физическая длина для вращающейся системы имеет вид:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \delta l^2 = \frac{\omega^2 r^4\,d\phi^2}{1-\omega^2 r^2} + dr^2 + r^2 \,d\phi^2 + dz^2 =dr^2 + \frac{r^2\,d\phi^2}{1-\omega^2 r^2} + dz^2. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Этот результат мы получили на стр.\,\pageref{nonin_dl_rot}, рассматривая радиолокационный эксперимент, проводимый наблюдателями на вращающихся вокруг общего центра кораблях.<br />
<br />
Обратим внимание, что физическая длина не зависит от времени. Это означает, что наблюдатель в точке <math>\textstyle (r,\,\phi,\,z)</math>, измеряя радиолокационное расстояние в соседнюю с ним точку, будет получать неизменное значение. Такая система отсчёта является ''локально жесткой''. В общем случае, система отсчета, получающаяся из инерциальной преобразованиями <math>\textstyle T=t</math>, <math>\textstyle \mathbf{X}=\mathbf{R}(t,\,x^1,\,x^2,\,x^3)</math>, <math>\textstyle \mathbf{V}=\partial_0\mathbf{R}</math>, будет локально жесткой, если тензор<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \gamma_{ij}= \frac{(\mathbf{V}\partial_i\mathbf{R})\,(\mathbf{V}\partial_j\mathbf{R})}{1-\mathbf{V}^2}+ \partial_i\mathbf{R}\partial_j\mathbf{R}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
не зависит от времени. Поступательно ускоренные системы () при любой функции <math>\textstyle v(t)</math> являются локально жесткими.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Невозможность синхронизации часов типична для неинерциальных систем отсчёта. Эта проблема, как мы знаем, отсутствует в инерциальных системах. Рассмотрим в качестве примера вывод преобразований Лоренца при помощи координатных преобразований Галилея \cite{Logunov1987}:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> T=t,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=x+vt. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Величины <math>\textstyle T</math> и <math>\textstyle X</math> будем считать физическим временем и координатой события в системе <math>\textstyle S_0:\,(T,\,X)</math>. Точки системы <math>\textstyle S:\,(t,\,x)</math> движутся относительно <math>\textstyle S_0</math> со скоростью <math>\textstyle v</math>. Это учтено в преобразовании <math>\textstyle X=x+vt</math>, из которого (в силу <math>\textstyle t=T</math>) следует, что в инерциальной системе <math>\textstyle S_0</math> траектория точки с координатой <math>\textstyle x</math> имеет вид <math>\textstyle X=x+vT</math>. Подобное преобразование является примером общего случая (), стр.\,\pageref{nonoin_XR_Tt}.<br />
<br />
Преобразования () являются достаточно произвольными, поэтому числа <math>\textstyle (t,\,x)</math> &mdash; это координатные величины. Чтобы установить их связь с физическими величинами, запишем интервал <math>\textstyle ds^2=dT^2-dX^2</math> в новых координатах:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> ds^2 = (1-v^2)\, dt^2-2v\, dt\, dx - dx^2, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
откуда, используя общие формулы или сразу выделяя полный квадрат по <math>\textstyle dt</math>, имеем:<br />
<br />
:<center><math>\delta\tau = \sqrt{1-v^2}\, dt - \frac{v\,dx}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\delta l = \frac{dx}{\sqrt{1-v^2}}.</math></center><br />
<br />
Коэффициенты у дифференциалов <math>\textstyle dt</math> и <math>\textstyle dx</math> в <math>\textstyle \delta\tau</math> являются константами, поэтому условия возможности синхронизации часов () выполняются и <math>\textstyle \delta\tau</math>, <math>\textstyle \delta l</math> можно проинтегрировать:<br />
<br />
:<center><math>\tau = t\,\sqrt{1-v^2} - \frac{vx}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;l = \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}.</math></center><br />
<br />
Выражая <math>\textstyle (t,\,x)</math> через <math>\textstyle (\tau,\,l)</math> и подставляя их в (), получаем преобразования Лоренца:<br />
<br />
:<center><math>T=\frac{\tau+v l}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=\frac{x+v\tau}{\sqrt{1-v^2}},</math></center><br />
<br />
связывающие уже не координатные величины, а физические. Координатная скорость света получается из условия <math>\textstyle ds=0</math>:<br />
<br />
:<center><math>\frac{dx}{dt}= \pm 1 - v.</math></center><br />
<br />
Такая скорость при движении против оси <math>\textstyle x</math> (знак минус) по модулю больше единицы. При этом, конечно, физическая скорость света <math>\textstyle \delta l/\delta \tau</math> по-прежнему равна единице.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Переход к новому координатному времени <math>\textstyle x'^0=x'^0(x^0,\,x^1,x^2,x^3)</math> и другому способу нумерации точек 3-пространства <math>\textstyle x'^i=x'^i(x^1,\,x^2,\,x^3)</math> не меняет системы отсчета. Поэтому физические время и длина не должны измениться. Продемонстрируем это. Запишем закон преобразования метрического тензора, исходя из инвариантности интервала:<br />
<br />
:<center><math>ds^2=g_{\mu \nu}\,dx^\mu dx^\nu=g'_{\alpha \beta}\,dx'^\alpha dx'^\beta = g'_{\alpha \beta}\,\partial_\mu x'^\alpha \partial_\nu x'^\beta\, dx^\mu dx^\nu,</math></center><br />
<br />
где подставлены дифференциалы <math>\textstyle dx'^\alpha = \partial_\mu x'^\alpha\,dx^\mu\equiv (\partial x'^\alpha/\partial x^\mu)\,dx^\mu</math>. Отсюда следует, что:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> g_{\mu \nu} = \partial_\mu x'^\alpha \partial_\nu x'^\beta\,g'_{\alpha \beta}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Распишем это соотношение, выделив временной и пространственный индексы, отбрасывая члены с <math>\textstyle \partial_0x'^i=0</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> g_{00} = (\partial_0 t')^2\, g'_{00},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; g_{0i}=(\partial_0 t')\, (\partial_i t'\,g'_{00}+\partial_i x'^p\,g'_{0p}) </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
и аналогично для дифференциалов старых координат по новым:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> dt'=(\partial_0 t')\, dt+(\partial_i t')\,dx^i,\;\;\;\;\;\;\;\;\;dx'^i = (\partial_j x'^i)\,dx^j. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Подставим () в выражение для физического времени ():<br />
<br />
:<center><math>\delta \tau = \sqrt{g'_{00}}\,(\partial_0 t')\,dt + \frac{1}{\sqrt{g'_{00}}}\, (\partial_i t'\,g'_{00}+\partial_i x'^p\,g'_{0p})\,dx^i.</math></center><br />
<br />
Исключая дифференциалы <math>\textstyle dt</math> и <math>\textstyle dx'^i</math> при помощи (), получаем выражение для физического времени (), но выраженное в новых координатах и коэффициентах метрического тензора:<br />
<br />
:<center><math>\delta \tau = \sqrt{g'_{00}}\,dt' + \frac{g'_{0i}}{\sqrt{g'_{00}}}\,dx'^i.</math></center><br />
<br />
Этот результат не является тривиальным. Из <math>\textstyle ds^2=\delta\tau^2-\delta l^2=\delta\tau'^2-\delta l'^2</math> в общем случае не следует, что <math>\textstyle \delta\tau=\delta\tau'</math> (вспомним инерциальные системы отсчета). Однако это справедливо при координатных преобразованиях в которых <math>\textstyle x'^i=x'^i(x^1,\,x^2,\,x^3)</math> не зависит от времени. Для таких преобразований физическое время не изменяется.<br />
<br />
Записывая из () преобразования для пространственных индексов метрического тензора <math>\textstyle g_{ij}</math>, можно (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H) получить:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \gamma_{ij} = \partial_i x'^p \partial_j x'^q\,\gamma'_{pq}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle \gamma'_{ij}</math> выражается через <math>\textstyle g'_{\mu\nu}</math> так же, как и <math>\textstyle \gamma_{ij}</math> через <math>\textstyle g_{\mu\nu}</math>. Это означает, что <math>\textstyle \gamma_{ij}</math> преобразуется подобно метрическому тензору () относительно координатных преобразований и физическая длина является инвариантом <math>\textstyle \delta l^2=\gamma_{ij}\,dx^idx^j = \gamma'_{ij}\,dx'^idx'^j</math> таких преобразований.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим некоторые свойства величин <math>\textstyle \gamma_{ij}</math> (), определяющих физическую длину <math>\textstyle \delta l</math> в неинерциальной системе отсчета.<br />
<br />
Прежде всего матрица <math>\textstyle \gamma_{ij}</math> является обратной к пространственным компонентам метрического тензора с верхними индексами <math>\textstyle g^{ij}</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \gamma_{jk}\, g^{ki} = -\delta^i_j. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Чтобы это доказать, распишем условие ортогональности метрических тензоров с верхними и нижними индексами: <math>\textstyle g^{\alpha\gamma}\,g_{\gamma\beta}=\delta^\alpha_\beta</math>. Для <math>\textstyle \alpha=i</math>, <math>\textstyle \beta=0</math> имеем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> g^{i0}\,g_{00} + g^{ik}\,g_{k 0} = 0 \;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;g^{i0} = -\frac{g^{ik}\,g_{k 0}}{g_{00}}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Если же <math>\textstyle \alpha=i</math>, <math>\textstyle \beta=j</math>, подставляя выражение для <math>\textstyle g^{i0}</math>, получаем:<br />
<br />
:<center><math>\delta^i_j = g^{i0}\,g_{0 j} + g^{ik}\,g_{k j} = - g^{ik}\left(\frac{g_{k 0} g_{0 j}}{g_{00}}-g_{k j}\right)=- g^{ik}\gamma_{kj}.</math></center><br />
<br />
Прямым вычислением определителей можно также проверить следующее соотношение:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> g = -g_{00}\, \gamma, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle g=\det (g_{\alpha\beta})</math> и <math>\textstyle \gamma=\det(\gamma_{ij})</math>, т.е. слева стоит определитель матрицы 4x4, составленной из коэффициентов <math>\textstyle g_{\alpha\beta}</math> а справа определитель матрицы 3x3 из коэффициентов <math>\textstyle \gamma_{ij}</math>. Их отношение равно <math>\textstyle -g_{00}.</math><br />
<br />
Отметим естественное требование ''допустимости'' координат<br />
<br />
:<center><math>g_{00}>0,</math></center><br />
<br />
связанное с положительностью подкоренного выражения <math>\textstyle \sqrt{g_{00}}</math> в собственном времени (). Расстояние также должно быть положительным, поэтому положительно определена квадратичная форма:<br />
<br />
:<center><math>\gamma_{ij}\, dx^idx^j > 0.</math></center><br />
<br />
Это приводит к положительности определителя <math>\textstyle \gamma=\det(\gamma_{ij})</math> и, в силу (), к отрицательному значению определителя метрических коэффициентов <math>\textstyle g=\det(g_{\alpha\beta})</math>. Несложно видеть, что в лоренцевых координатах <math>\textstyle (T,\,X,\,Y,\,Z)</math> мы имеем <math>\textstyle g=-1</math>. В жесткой равноускоренной системе отсчета (), стр.\,\pageref{nonin_ds_gost}:<br />
<br />
:<center><math>g=-e^{4ax},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\gamma=e^{2ax},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;g_{00} = e^{2ax},</math></center><br />
<br />
а во вращающейся системе ():<br />
<br />
:<center><math>g=-r^2,\;\;\;\;\;\;\gamma=\frac{r^2}{1-\omega^2 r^2},\;\;\;\;\;\;g_{00} =1-\omega^2 r^2.</math></center><br />
<br />
Для всех этих величин выполняется соотношение ().<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Произвольные неинерциальные системы]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Жёсткие системы отсчёта]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysop