| Home | Contact |
За своё столетнее существование теория относительности была и остается мишенью для регулярных нападок со стороны различных её "опровергателей". Несмотря на прикладной статус теории при расчете ускорителей и множества других задач, всё новые ряды обиженных находят в ней всевозможные "ошибки" и "парадоксы".
С моей точки зрения самым парадоксальным в релятивистской теории, является то, что её логические основы по-прежнему малоизвестны широкой публике. Подавляющее большинство изложений СТО, в той или иной форме, следует работе Эйнштейна 1905 г. Обычно в основу теории закладывается постулат о постоянстве скорости света во всех инерциальных системах отсчета или эквивалентный ему 4-х инвариант Минковского. Складывается впечатление, что принцип относительности Галилея необходимо дополнить постулатом постоянства скорости света, и мы получим теорию относительности. Неудивительно, что столь противоречащий повседневному опыту исходный принцип теории с трудом принимается начинающими физиками - "Как же так, он летит со скоростью света, я лечу со скоростью света, а он все равно летит со скоростью света..." Приходится при помощи опытов Майкельсона-Морли и других экспериментов убежать, что не всё так плохо. :). Одни стараются не напрягаться, другие мучаются, но постепенно привыкают и верят, третьи же перебираются в угрюмый лагерь обиженных. Считая исходные положения теории противоречивыми, обиженные ищут ошибки в её выводах (парадокс близнецов, неоднозначность опытов Миллера и т.п.)
Ситуация с основанием специальной теории относительности удивительна и даже абсурдна ещё и потому, что полная ясность в этот вопрос была внесена спустя всего шесть лет после статьи Эйнштейна. В работах фон Игнатовского и Франка-Розе было показано, что преобразования Лоренца можно получить из очень естественных групповых соображений, которые, к тому же, справедливы и в классической механике! Книга Паули - единственный известный мне учебник, где хотя бы вскользь, но упоминается об этих результатах. Не могу удержаться и не рассказать историю 15-летней давности. Олег Орлянский и я направили в методический раздел журнала "УФН" вывод преобразований Лоренца без 2-го постулата Эйнштейна. Этот вывод оказался настолько прост, что было предложено использовать его на уроках физики в школе. В ответ мы получили обескураживающее письмо - "Непроверенные физические теории журнал не публикует...".
Многие физики относятся к аксиоматике физических теорий с известной долей пренебрежения - "Какая разница, какие постулаты мы закладываем в основание? Важно, что бы выводы теории были правильными". Категорически неверно. Не будем говорить об этической стороне проблемы. Как же еще закалять будущих физиков, как не издеваясь над интуицией их неокрепших умов? Ну а небольшой процент обиженных - неизбежный брак производства :). Если серьезно, важнее то, что непонимание причин происхождения известных физических теорий лишает будущего исследователя инструмента для создания теорий новых.
В настоящей статье хотелось бы привлечь внимание к "правильному" выводу преобразований Лоренца. Теория относительности может быть построена путём уменьшения числа исходных постулатов классической механики. Нет необходимости добавлять новые факты (=эксперименты) в теорию, достаточно поставить под сомнение некоторые из старых! Нами будет проиллюстрирован достаточно мощный метод построения новых фундаментальных теорий, названный "принцип параметрической неполноты". Он был опубликован в 2000 г. в журнале Phys.Rev., и как я надеюсь, не относится к категории "непроверенных физических теорий". Хотя реакция на него обычно достаточно полярная - или "ну это же очевидно", или "бред какой-то"...
Позвольте начать с небольшого отступления. Картину современной физики определяют фундаментальные константы h и c. Их числовые значения задают масштабы явлений, на которых оказываются существенными соответствующие поправки к классической механике. Они стали привычными настолько, что порой о них "забывают", работая в системе единиц h=c=1. Тем не менее, с фундаментальными константами связано множество вопросов, полные ответы на которые неизвестны. И главный из них - а почему константы вообще существуют?
Прежде, чем идти дальше, необходимо уточнить, что мы будем понимать под термином фундаментальные константы. Так, к примеру, говоря о константе "c", обычно употребляют термин "скорость света". При этом под одним названием смешивают две принципиально различные величины: скорость распространения электромагнитных волн в вакууме "cэл/м" и инвариантную скорость "c", определяющую структуру формул теории относительности. То, что скорость электромагнитной волны cэл/м совпадает по значению с инвариантной скоростью "c", является свойством электромагнитного взаимодействия и связано с равенством нулю массы фотона. В тоже время, константа "c" имеет отношение к любым формам материи и взаимодействий (не только электромагнитным). Эта константа имеет смысл максимально возможной инвариантной скорости движения любых объектов. Для того чтобы получить её значение, нет необходимости проводить электродинамические эксперименты. Достаточно, например, измерить скорость любого тела в двух системах отсчета и, из формулы u'=(u+v)/(1+uv/c2), найти значение "c". Даже если бы фотон имел не нулевую массу (cэл/м < c ) и в природе не существовало других безмассовых частиц, теория относительности с константой "c" от этого бы не изменилась! Таким образом, роль световых сигналов при традиционном построении СТО сильно преувеличена.
Физика состоит из трех тесно связанных, пересекающихся между собой частей МЕХАНИКА (классическая, СТО, квантовая,..), ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ (электрослабые, сильные,..), СТРУКТУРА (электрон, протон, атом,..). МЕХАНИКА задает законы, которым подчиняются все структурные единицы и все взаимодействия между ними. Она является фундаментом, на который опираются две другие части физического здания. Условимся в дальнейшем понимать под фундаментальными константами те константы в физике, которые определяют структуру формул теорий, применимых ко всем формам материи и видам взаимодействий. Таким образом, эти константы определяют свойства МЕХАНИК. Поэтому, мы говорим, что константа "c" является фундаментальной физической константой, тогда как cэл/м, совпадая с ней численно, является лишь параметром одного из взаимодействий и фундаментальным, в указанном выше смысле, не является.
Любая разумная система аксиом должна обладать тремя свойствами: независимостью, непротиворечивостью и полнотой. В частности, полнота означает, что каждое утверждение теории может быть доказано или опровергнуто исходя из аксиом. В этих терминах классическая физика, т.к. не содержит констант, является полной. СТО же не является полной, так как утверждения типа c=300000 км/с дедуктивно нельзя ни доказать, ни опровергнуть, без проведения эксперимента.
Классическая механика после аксиоматического определения основных понятий (Пространства, Времени, Массы, Состояния и т.д.) становится формальной математической теорией. Её система аксиом должна быть полной. Эта система позволяет получать различные функциональные соотношения между физическими величинами. Если же мы отбросим одну или несколько аксиом, то получим не полную теорию. В ней, некоторые из этих соотношений окажутся произвольными функциями. Нам не хватит исходной информации для того, чтобы вывести их явный вид.
Вообще, любое уменьшение информации, содержащейся в аксиоматической схеме классической механики, приводит к появлению неопределяемых внутри теории функций и параметров. Однако некоторые из аксиом обладают минимальной аксиоматической информацией, в том смысле, что отказ от них приводит к появлению конечного числа констант, а все функциональные соотношения между физическими величинами выводятся явным образом. Возникает, так называемая параметрическая неполнота теории. Другими словами отказ от одних аксиом является катастрофическим. В результате, мы почти ничего не сможем вывести. Другие же аксиомы содержат минимум информации и отказ от них приводит лишь к неопределенности в значениях некоторых параметров и как следствие, полнота окажется минимальной, т.е. параметрической.
Основываясь на классической механике, можно дедуктивным образом построить набор параметрически неполных механик. В этих теориях роль фундаментальных физических констант будут играть константы, происхождение которых связано с уменьшением используемой исходной информации, содержащейся в аксиомах классической физики.
Таким образом, релятивистская теория более общая чем классическая, потому, что использует меньшее число исходных положений. Может оказаться, что при всем многообразии (возможно бесконечном) объектов и их взаимодействий в нашем Мире, существует конечное число фундаментальных физических теорий (механик), которые являются параметрически неполными и могут быть выведены из аксиом классической механики.
В качестве примера рассмотрим часть аксиом классической физики, связанных с принципом относительности. Нас интересует явный вид связи координат и времени (x,t) некоторого события для двух наблюдателей в различных инерциальных системах отсчета S и S':
Это требование является очень естественным и, хотя оно сужает класс возможных функций, тем не менее, оставляет его более чем широким. Каждая дополнительная аксиома уменьшает произвол в выборе преобразований до тех пор, пока этот произвол не окажется параметрическим или не исчезнет вовсе (в классической механике).
Удивительно, но несмотря на свой достаточно общий характер эти две аксиомы позволяют полностью фиксировать функциональную зависимость преобразования от x и t. Соответствующие функции оказываются дробно-линейными проективными преобразованиями. В них остаются неопределенными только восемь констант. Соответствующий вывод можно найти в приложении к известной монографии Фока и в несколько более простом виде здесь.
Эта аксиома приводит к тому, что преобразования - X(x,t) и T(x,t) из дробно-линейных превращаются в линейные функции, и произвол уменьшается ещё сильнее:
Заметим, что при начальном преподавании теории относительности, нет необходимости строго доказывать линейность преобразований. Достаточно ссылки на однородность пространства - времени и, как следствие, на "естественный" характер линейности соответствующих преобразований. Так, собственно, следуя Эйнштейну, обычно и поступают...
Далее мы будем предполагать, что если точка x'=0 системы S' движется относительно S со скоростью v: x=vt, то точка x=0 системы S движется относительно S' с противоположной скоростью: x'=-vt'. Это утверждение, вообще говоря, можно рассматривать не как аксиому, а как процедуру согласования единиц измерения времени наблюдателями в S и S'. Действительно, наблюдатели могут согласовать единицы длины сравнивая соответствующие линейки в перпендикулярном направлении к относительному движению ("рисуя линию на заборе"). С единицами времени так просто поступить нельзя. Одним из возможных способов является взаимное соглашение о равенстве относительной скорости наблюдателей. Так как единицы длины определены, то соотношение v'=-v фиксирует отношение единиц времени каждого из наблюдателей.
Таким образом, с учетом Аксиом (I)-(III) и правила согласования единиц времени мы можем записать координатные преобразования в виде:
Следующая, четвертая аксиома является ключевой в аксиоматике теории относительности и классической механике. Она выражает принцип равноправия инерциальных систем отсчета:
Рассмотрим трех равноправных наблюдателей в инерциальных системах отсчета S1,S2 и S3. Наблюдатель в S1 измеряет координаты и время некоторого события (x1,t1). Для наблюдателей в S2 и S3 это же событие происходит, соответственно, в (x2,t2) и (x3,t3). Скорость системы S2 относительно S1 равна v1, а системы S3 относительно S2 равна v2. Следовательно, имеем последовательные преобразования между наблюдателями:
Осталось совсем немного. С точки зрения наблюдателя в S', по принятому соглашению, система S движется со скоростью v'=-v, поэтому:
Замечу, что Ньютон, очень точный в своих постулатах, эту аксиому не формулировал (хотя конечно, подразумевал). Под абсолютностью времени он понимал вполне современное и "релятивистское" понятие, а не то, которое было ему в последствии приписано "релятивистскими философами". Аксиома (V): dt'=dt, приводит к тому, что мы вынуждены положить константу "c" равной бесконечности, и тем самым, полностью устранить параметрическую неполноту. Система аксиом (I)-(V) полна и приводит к преобразованиям Галилея.
Мы показали, что если в полной системе аксиом (I)-(V) отбросить пятую аксиому, то количество информации уменьшится, и мы неизбежно получим неполноту теории. Однако эта неполнота замечательным образом ограничивается только появлением неопределяемой константы "c". В этом смысле аксиома (V) содержит минимальное количество информации. Отказ от нее и приводит к релятивисткой кинематике.
Любой прием тогда становится методом, когда его удается применить, по крайней, мере дважды :). Если мы попробуем отказаться от Аксиомы (III), то получим обобщение СТО и, соответственно, новую параметрически неполную механику. В формулы этой теории, получившей название проективная теория относительности (ПСТО), входит новая фундаментальная константа размерности длины. При стремлении этой константы к бесконечности мы возвращаемся к преобразованиям Лоренца. Дальнейшие детали можно найти в работе проф. С.Н. Маниды (питербуржец, как и фон Игнатовский) и в статьях автора aeXiv: physics/9909009, astro-ph/9909311.
Реализуется ли проективная теория относительности в реальном Мире - вопрос открытый. По своей физической сущности это космологическая теория и её следствия проявляются на больших расстояниях от наблюдателя. Одним из свойств этой теории является существование инварианта, имеющего смысл предельной возможной скорости. В отличие от СТО, эта скорость является функцией координат и времени. Если интерпретировать её как скорость света, то мы имеем теорию с переменной скоростью света, но без нарушения релятивистской инвариантности.
Кажется естественным, что уменьшение числа аксиом требует кардинального пересмотра наших интуитивных представлений о пространстве и времени. Впервые это произошло при создании специальной теории относительности. Относительность понятий может еще более углубляться при дальнейшем построении параметрически неполных теорий.
Так, благодаря тому, что темп хода времени оказывается относительным не только для движущихся наблюдателей, но и для неподвижных, но удалённых друг от друга, ПСТО имеет одно замечательное физическое следствие. Частота излучения удаленного и неподвижного относительно нас источника света зависит от расстояния до него, причем, в точном соответствии с законом Хаббла!
В настоящий момент, в проективной теории относительности проработана только кинематическая часть и начала динамики. Её квантовые обобщения astro-ph/0111306 достаточно спекулятивны, поэтому она пока не может претендовать на роль конкурента стандартной космологической модели. И всё же трудности последней, связанные с необходимостью введения темной материи и энергии для объяснения удивительно неустойчивой "критичности" Вселенной могут изменить ситуацию. Не исключено, что эффект красного смещения является фундаментальным свойством нашего Мира и никак не связан с расширением Вселенной и эффектом Доплера. Но это уже совсем другая история.
Квантовая теория с постоянной Планка также является параметрически неполной теорией. Элементы ее аксиоматического построения можно найти у Дирака. В учебниках Дирака и Елютина показано как постоянная Планка возникает из естественных классических требований при отказе от аксиомы коммутирования физических величин.
Другим подходом к аксиоматическому обоснованию квантовой механики является квантовая логика. Она также исходит из идеи уменьшения числа аксиом. В этом случае рассматривается система аксиом Булевой логики, в которой отказываются от закона дистрибутивности. Получающаяся при этом недистрибутивная решетка оказывается изоморфной некоторым квантовомеханическим системам. Представление об этом подходе можно получить из следующего рассуждения. Рассмотрим электрон. Как известно, проекции его спина не коммутируют и, следовательно, одновременно не могут быть измерены точно. Если значение Sx известно (например, равно h/2), то в этом состоянии Sy может равновероятно иметь одно из значений h/2 или -h/2. В обычной Булевой (Аристотелевой) логике для любых трех утверждений A,B,C справедлив дистрибутивный закон:
Принцип параметрической неполноты, конечно, применим не только в физике. Исторически первое его неявное применение было сделано геометрами в 19 в. после двух тысячелетий доказательства пятой аксиомы геометрии Евклида. На пути доказательства аксиомы о параллельных были выведены множество теорем, основанных на независящих от неё аксиомах. Возникла новая, "идеальная геометрия" по терминологии Бойаи. В отличие от теории Евклида, в ее формулах появляется константа R - радиус кривизны пространства. Его значение не может быть найдено из исходных аксиом, а при стремлении R к бесконечности формулы неевклидовой геометрии переходят в соответствующие теоремы евклидовой теории.
Между неевклидовой геометрией и СТО, как известно, существует прямая аналогия. Рассмотрим пространство скоростей, т.е. трехмерное пространство, каждая точка которого является той или иной инерциальной системой отсчета. Вектор между двумя точками этого пространства соответствует вектору относительной скорости двух систем отсчета. Принцип относительности или равноправие инерциальных систем отсчета на языке геометрии означает, что пространство скоростей является однородным и изотропным, т.е. не существует выделенных точек (систем отсчета) и направлений в этом пространстве.
Если допустить, что пространство скоростей имеет риманову структуру, то из принципа относительности сразу следует три, и только три, возможности: плоское пространство и пространство отрицательной или положительной постоянной кривизны. Первое соответствует Галилеевому правилу сложения скоростей и классической механике, второе - СТО. Пространство скоростей с постоянной отрицательной кривизной является пространством Лобачевского и пространством скоростей СТО. Кривизна этого пространства совпадает со значением фундаментальной скорости "c". Таким образом, и СТО, и классическая механика уже содержатся в принципе относительности, и получить преобразования Лоренца можно без применения постулата c=inv. При этом так же, как и в неевклидовой геометрии, появляется фундаментальная константа, связанная с уменьшением числа исходных аксиом (или информации в них содержащейся).
На примере релятивистской теории, мы показали, что существует, по крайней мере в принципе, возможность получать новые физические теории, обобщающие классическую механику путем уменьшения ее аксиоматической базы. Если первоначальная система аксиом независима, то в теорию вводится неполнота, которая в ряде случаев может быть минимальной и сводится к появлению фундаментальных физических констант и соответствующих им теорий. Поэтому обобщения классической механики являются параметрически неполными теориями, а фундаментальные константы являются проявлением этой неполноты.
Дедуктивный, доэкспериментальный путь построения новых теорий, безусловно, выглядит очень заманчивым. В связи с ним возникают следующие вопросы:
(c) 1995-2007, Сергей Степанов
@synset.com (sci)