Просмотр

{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Дрожание земной оси]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Хищники и их жертвы]]
|}
----

В электротехнических приборах всегда присутствует шум. Если в отсутствие музыки увеличить громкость усилителя, то будет слышно характерное шипение. Величина шума связана с температурой, в которой находится система, и была экспериментально исследована в 1928 г. Джонсоном и теоретически объяснена в этом же году Найквистом.

Основными характеристиками процессов, происходящих в электрической цепи, являются напряжение (разница потенциалов) <math>\textstyle U</math> между двумя точками и проходящий по ней ток <math>\textstyle I</math>. Ток равен величине заряда частиц, пересекающих сечение провода за единицу времени: <math>\textstyle I=dQ/dt</math>.

Большинство электротехнических устройств состоят из трёх элементарных деталей &mdash; резистора, конденсатора и индуктивности: 

<center>[[File:electrotech.png]]</center>

''Резистором'' является любой проводник, "затрудняющий" прохождение по нему зарядов так, что справедлив закон Ома: <math>\textstyle U=R\cdot I</math>, где <math>\textstyle R</math> &mdash; константа, называемая ''сопротивлением''.

''Конденсатором'' может выступать тело, способное накапливать заряд. Например, две параллельные металлические пластины, содержащие заряды противоположного знака. Конденсатор характеризуется ''ёмкостью'' <math>\textstyle C</math>, зависящей от его материала и формы. Чем больше накоплено заряда, тем выше разница потенциалов пластин конденсатора: <math>\textstyle U=Q/C</math>. При зарядке конденсатор внутри себя увеличивает энергию <math>\textstyle E=Q^2/2C</math> электрического поля.

''Индуктивность'' &mdash; это активный элемент, реагирующий на изменение тока. Для неё справедлив закон Ома в виде: <math>\textstyle U=L\,dI/dt</math>. Индуктивность накапливает энергию магнитного поля, равную <math>\textstyle E=LI^2/2</math>.

Рассмотрим последовательное соединение этих трех элементов. 

<center>[[File:electrotechRLC.png]]</center>

В отсутствие внешнего источника суммарное падение напряжения на всех элементах <math>\textstyle U_R+U_C+U_L</math> должно быть равно нулю (замкнутая цепь). Однако в силу тепловых флуктуаций это не так. Обозначим колебания напряжения через <math>\textstyle \delta U</math>.

Считая их винеровскими с постоянной волатильностью и учитывая определение тока, можно записать систему стохастических уравнений в следующем виде:

:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} dQ = I\, dt\\ dI = - (\alpha Q + 2 \beta I) \, dt + \sigma \delta W, \end{array} \right.</math></center>

где <math>\textstyle \alpha=1/LC</math>, <math>\textstyle \beta=R/2L</math> и <math>\textstyle \delta U = L \sigma \delta W</math>. Наша задача состоит в нахождении величины амплитуды шума <math>\textstyle \sigma</math>. В его отсутствие (<math>\textstyle \sigma=0</math>) систему можно привести к единственному уравнению второго порядка:

:<center><math>\frac{d^2 Q}{d t^2} + 2\beta \frac{d Q}{d t} + \alpha Q = 0.</math></center>

Это уравнение гармонического осциллятора, испытывающего трение. Вообще аналогия с механикой достаточно тесная. Заряд <math>\textstyle Q</math> и ток <math>\textstyle I</math> являются динамическими переменными системы. Заряд аналогичен координате осциллятора, а ток &mdash; импульсу. От них также зависит энергия, накапливаемая конденсатором и индуктивностью. Из уравнений движения следует:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> E(Q, I)=\frac{LI^2}{2}+\frac{Q^2}{2C}\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\frac{dE}{dt}=-R I^2. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.6)'''</div>
 |}

Уменьшение энергии происходит из-за тепловых потерь на резисторе, равных <math>\textstyle R I^2</math>. Если сопротивления нет, то энергия сохраняется и происходят незатухающие колебания. При этом энергия периодически переходит из электрической в конденсаторе ("потенциальная") в магнитную ("кинетическая") на индуктивности, и обратно.

Стохастические уравнения линейны, поэтому решения для средних значений тока и заряда совпадают с детерминированными. В нашем случае матрица системы <math>\textstyle \mathbf{A}</math> и её собственные значения имеют вид:

:<center><math>\mathbf{A}= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\alpha & -2\beta \\ \end{pmatrix} \;\;\;\;\;\;\;a_{1,2}=-\beta \pm i \omega,</math></center>

где <math>\textstyle \omega=\sqrt{\alpha-\beta^2}</math>. Мы предполагаем, что сопротивление невелико и <math>\textstyle 4L/C>R^2</math>. По стандартному алгоритму (стр. \pageref{sys_line_n_eigen}) несложно найти:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \begin{array}{l} \overline{Q}(t) = \bigl[Q_0 \cos\omega t + (\;I_0\;+\beta Q_0)/\omega) \sin \omega t\bigr] \, e^{-\beta t}\\ \overline{I}(t)\, = \bigl[\,I_0 \;\cos\omega t - (\beta I_0+\alpha Q_0)/\omega) \sin \omega t\bigr] \, e^{-\beta t}. \end{array} </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.7)'''</div>
 |}

Возможно, более быстрый путь &mdash; это решение уравнения второго порядка в виде <math>\textstyle Q(t)=(A\cos \omega t+B\sin \omega t)e^{-\beta t}</math> и определение констант при помощи начальных условий <math>\textstyle Q_0=Q(0)</math>, <math>\textstyle I_0=\dot{Q}(0)</math>.

<math>\textstyle \bullet</math> Если некоторая система имеет температуру <math>\textstyle T</math>, можно воспользоваться распределением Гиббса (стр. \pageref{distribution_gibbs}) и записать плотность вероятности для динамических переменных в следующем виде:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> P(I,Q) = P_0\, e^{-E(I,Q)/kT}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.8)'''</div>
 |}

Она удовлетворяет стационарному уравнению Фоккера-Планка:

:<center><math>\frac{\partial (a_i P)}{\partial x_i} - \frac{1}{2}\,\frac{\partial^2 }{\partial x_i\partial x_j}\Bigl[B_{ik} B_{jk} P\Bigr] = 0.</math></center>

В данном случае <math>\textstyle x_\alpha=\{Q, I\}</math> и

:<center><math>a_\alpha = \{ I, \;\;-\alpha Q - 2\beta I\},\;\;\;\;\; B_{ij} = \sigma\cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; \mathbf{B}\cdot \mathbf{B}^T = \sigma^2\cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}.</math></center>

Поэтому:

:<center><math>I\,\frac{\partial P}{\partial Q} - \alpha \,Q\,\frac{\partial P}{\partial I} - 2\beta \,\frac{\partial (I P)}{\partial I} - \frac{\sigma^2}{2}\,\frac{\partial^2 P}{\partial I^2} = 0.</math></center>

Подставляя (7.8) и учитывая (7.6), после простых вычислений находим связь между волатильностью и температурой:

:<center><math>(L\sigma)^2=2\, kT\,R.</math></center>

Таким образом, флуктуации напряжения являются винеровским шумом с дисперсией, пропорциональной температуре и сопротивлению:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \delta U = \sqrt{2\,kT\,R} \cdot \delta W\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\left\langle \delta U^2\right\rangle =2\,kT\,R\, dt. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.9)'''</div>
 |}

Дисперсию заряда и тока в устоявшемся режиме (<math>\textstyle t\to\infty</math>) можно найти из уравнения для дисперсии (6.29), (см. [[Линейные многомерные модели]]). Положив <math>\textstyle \dot\mathbf{D}=0</math>, имеем:

:<center><math>\mathbf{A}\cdot \mathbf{D} + \mathbf{D}\cdot \mathbf{A}^T + \,\mathbf{B}\cdot \mathbf{B}^T = 0,</math></center>

откуда:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{D} = \frac{\sigma^2}{4\alpha\beta} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \alpha \\ \end{pmatrix}= kT \begin{pmatrix} C & 0\\ 0 & 1/L \\ \end{pmatrix}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.10)'''</div>
 |}

что согласуется с вероятностью (7.8) и <math>\textstyle n-</math>мерным гауссовым распределением. Заметим, что <math>\textstyle \left\langle Q^2\right\rangle =kTC</math>, <math>\textstyle \left\langle I^2\right\rangle =kT/L</math>, поэтому в среднем энергия между конденсатором и индуктивностью распределена поровну. В качестве упражнений предлагается найти матрицу дисперсий при произвольном <math>\textstyle t</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H), а также ковариацию и спектральную функцию в стационарном режиме (<math>\textstyle \lessdot</math> H).

<math>\textstyle \bullet</math> Тепловые флуктуации тока возникают на резисторе и в отсутствие колебательного контура. Для отдельного электрона с зарядом <math>\textstyle q</math> справедливо уравнение движения:

:<center><math>m \frac{dv}{dt} = -\gamma v - q\mathcal E.</math></center>

На электрон действуют две силы &mdash; сопротивление со стороны кристаллической решётки (трение) и электрическая сила в поле <math>\textstyle \mathcal E</math>. Если в проводнике длиной <math>\textstyle l</math> поле однородно <math>\textstyle U=l \mathcal E</math>, то в устоявшемся режиме (<math>\textstyle \dot v</math>=0) из уравнения движения следует <math>\textstyle v=-q\mathcal E/\gamma=-qU/l\gamma</math>. Пусть <math>\textstyle n</math> &mdash; концентрация электронов. За время <math>\textstyle \Delta t</math> сечение сопротивления площадью <math>\textstyle S</math> пересекает <math>\textstyle (qn)\,S\Delta x</math> зарядов. Для электрона <math>\textstyle q<0</math>, поэтому ток равен:

:<center><math>I = \frac{dQ}{dt} = -\frac{q n S \Delta x }{\Delta t} = - n q v S =\frac{q^2 n S}{\gamma l}\cdot U.</math></center>

Следовательно, по закону Ома <math>\textstyle R=U/I</math> сопротивление равно:

:<center><math>R=\frac{\gamma l}{q^2 n S}.</math></center>

Когда внешних полей нет, но есть электрическое стохастическое воздействие со стороны тепловых колебаний других зарядов, имеем следующее стохастическое уравнение движения:

:<center><math>dv = -\frac{\gamma}{m} \,v \,dt - \sigma\,\delta W,</math></center>

где <math>\textstyle \delta \mathcal E= (\sigma m/q)\delta W</math> &mdash; флуктуации электрического поля. Аналогично броуновскому движению находим стационарное значение квадрата скорости: <math>\textstyle \left\langle v^2\right\rangle =m\sigma^2/2\gamma</math>. Кинетическая энергия <math>\textstyle m\left\langle v^2\right\rangle /2</math> равна <math>\textstyle kT/2</math> (одна степень свободы), поэтому <math>\textstyle \sigma^2=2kT \gamma /m^2</math>.

Если в проводнике <math>\textstyle N=n S l</math> электронов, то среднее расстояние между ними <math>\textstyle l/N</math> и флуктуации разности потенциалов <math>\textstyle \delta U_i = (l/N)\delta \mathcal E</math>. Их сумма равна разности потенциалов на резисторе. Так как <math>\textstyle \delta W=\varepsilon \sqrt{dt}</math>, <math>\textstyle N=n S l</math>, получаем:

:<center><math>\delta U = \frac{l}{N}\sum^N_{i=1} \mathcal \delta \mathcal E_i = \frac{l}{N}\,\frac{\sigma m}{q} \sum^N_{i=1} \varepsilon_i \sqrt{dt} = \frac{l}{N}\,\frac{\sigma m}{q} \,(\sqrt{N} \,\varepsilon)\,\sqrt{dt} = \sqrt{2kT R} \;\delta W,</math></center>

и, следовательно, снова приходим к соотношению Найквиста (7.9).

----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Дрожание земной оси]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Хищники и их жертвы]]
|}
----
[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения