Просмотр

{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Как решать стохастические задачи?]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Стохастический осциллятор]]
|}
----


Рассмотрим сферическую частицу радиуса <math>\textstyle a</math>. При движении со скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}</math> в жидкости с вязкостью <math>\textstyle \eta</math> на неё действуют сила трения, пропорциональная скорости <math>\textstyle \mathbf{F}_f=-6\pi \eta a \mathbf{v}</math>, сила тяжести <math>\textstyle \mathbf{F}_g = m \mathbf{g}</math> и сила Архимеда <math>\textstyle \mathbf{F}_a = - \rho_0 \mathbf{g} V = - \mathbf{F}_g\cdot (\rho_0/\rho)</math>, где <math>\textstyle \rho_0</math> &mdash; плотность воды, а <math>\textstyle \rho</math> &mdash; броуновской частицы. Если, кроме этих сил, частица подвержена хаотическим толчкам со стороны молекул воды, то систему уравнений движения можно записать в следующем виде (уравнения Ланжевена):

<center>[[File:brown_particle.png]]</center>

где <math>\textstyle \tau = m/ 6\pi \eta a</math> и <math>\textstyle \gamma=1-\rho_0/\rho</math>. Первое уравнение &mdash; это определение скорости, второе &mdash; закон Ньютона <math>\textstyle m\,d\mathbf{v}/dt = \mathbf{F}</math>, а <math>\textstyle \sigma</math> характеризует интенсивность воздействия со стороны молекул. Ускорение свободного падения <math>\textstyle g=9.8</math> м/с<math>\textstyle ^2</math> направлено вниз: <math>\textstyle \mathbf{x}=(x,y,z)</math>, <math>\textstyle \mathbf{g}=(0,0,-g)</math>.

Сделаем оценки величин, входящих в уравнения. Вязкость воды <math>\textstyle \eta\sim 10^{-3}\,</math>кг/(м c), типичный размер броуновской частицы <math>\textstyle a\sim 10^{-6}\,</math>м, масса <math>\textstyle m\sim 4\cdot 10^{-15}</math> кг (плотность <math>\textstyle \rho\sim 10^3</math> кг/м<math>\textstyle ^3</math>). Поэтому <math>\textstyle \tau \sim 2\cdot 10^{-7}</math> с.

Пренебрежём сначала силой тяжести (<math>\textstyle \gamma\approx 0</math> если <math>\textstyle \rho_0\approx \rho</math>). Так как система линейна, уравнения для средних совпадают с классическими:

:<center><math>\dot{\left\langle \mathbf{x}\right\rangle } = \left\langle \mathbf{v}\right\rangle ,\;\;\;\;\;\;\;\;\dot{\left\langle \mathbf{v}\right\rangle } = - \left\langle \mathbf{v}\right\rangle / \tau,</math></center>

и легко интегрируются:

:<center><math>\left\langle \mathbf{v}\right\rangle = \mathbf{v}_0 \,e^{-t/\tau},\;\;\;\;\;\; \left\langle \mathbf{x}\right\rangle = \mathbf{x}_0 + \mathbf{v}_0\tau \, - \mathbf{v}_0\tau \, e^{-t/\tau}.</math></center>

Если <math>\textstyle t\gg \tau \sim 2\cdot 10^{-7}</math> с, то среднее значение скорости становится равным нулю при любом начальном значении <math>\textstyle \mathbf{v}_0</math>. Найдём средние квадратов динамических переменных (6.17),([[Системы стохастических уравнений]]):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \dot{\left\langle x_\mu x_\nu\right\rangle } = \left\langle x_\mu a_\nu + x_\nu a_\mu + b_{\nu\alpha} b_{\mu \alpha}\right\rangle . </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.1)'''</div>
 |}

В данном случае <math>\textstyle x_\nu = \begin{pmatrix} \mathbf{x}, & \mathbf{v} \\ \end{pmatrix} </math>, и

:<center><math>a_\nu = \begin{pmatrix} \,\mathbf{v}, & -\mathbf{v}/\tau \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; b_{\nu\alpha} = \sigma\cdot \begin{pmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; b_{\nu\alpha}b_{\mu\alpha} = \mathbf{b}\cdot \mathbf{b}^T = \sigma^2\cdot \begin{pmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \end{pmatrix},</math></center>

где элементы в <math>\textstyle b_{\nu\alpha}</math> представляют собой матрицы 3x3 для каждой степени свободы координаты и импульса.

Просуммируем (7.1) по <math>\textstyle \mu=\nu=4,5,6</math>, т.е. по координатам скорости (вторая динамическая переменная):

:<center><math>\dot{\left\langle \mathbf{v}^2\right\rangle } = - \frac{2}{\tau} \,\left\langle \mathbf{v}^2\right\rangle + 3 \sigma^2 \;\;\;=>\;\;\;\; \left\langle \mathbf{v}^2\right\rangle =\frac{3}{2}\,\tau\sigma^2 + \left(\mathbf{v}^2_{0}- \frac{3}{2}\, \tau\sigma^2\right)\, e^{-2t/\tau}.</math></center>

При <math>\textstyle t\gg \tau</math> броуновская частица забывает начальное значение скорости <math>\textstyle \mathbf{v}_0</math>, и среднее её квадрата стремится к величине <math>\textstyle 3\tau\sigma^2/2</math>. Этот результат можно сразу получить из уравнения, положив <math>\textstyle \dot{\left\langle \mathbf{v}^2\right\rangle }=0</math>.

Температура пропорциональна средней кинетической энергии молекул воды. В процессе постоянного столкновения с броуновской частицей их кинетические энергии выравниваются, поэтому:

:<center><math>\frac{3}{2}\,k T = \frac{m \left\langle \mathbf{v}^2 \right\rangle }{2} = \frac{3}{4}\,\tau\sigma^2 m\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\tau \sigma^2= \frac{2 k T}{m},\;\;\;\left\langle \mathbf{v}^2 \right\rangle =\frac{3 k T}{m},</math></center>

где <math>\textstyle k=1.4\;10^{-23}</math> Дж/К &mdash; постоянная Больцмана, связывающая температуру и энергию. В результате мы нашли зависимость волатильности внешних воздействий со стороны молекул <math>\textstyle \sigma</math> от макроскопически измеримых величин &mdash; температуры <math>\textstyle T</math> и вязкости жидкости <math>\textstyle \eta</math>. При комнатной температуре <math>\textstyle T\sim 300</math> K типичная среднеквадратичная скорость равна <math>\textstyle \left\langle \mathbf{v}^2 \right\rangle ^{1/2}=\sqrt{3 k T/m}\sim 2\cdot 10^{-3}</math> м/с. Заметим, что молекулы воды, имея массу <math>\textstyle m_{0}\sim 3 \cdot 10^{-26}</math> кг, обладают существенно более высокой скоростью <math>\textstyle \sim 600</math> м/с. Кроме этого, при плотности воды <math>\textstyle \rho_0=10^3</math> кг/м<math>\textstyle ^3</math> расстояние между молекулами <math>\textstyle d\approx(m_0/\rho_0)^{1/3}\sim 3\cdot 10^{-10}</math> м, что сравнимо с их размером. Это означает плотную упаковку молекул и очень частые толчки молекул по броуновской частице. Поэтому непрерывное стохастическое дифференциальное уравнение в данном случае более чем уместно.

Свернём уравнения (7.1) по <math>\textstyle \mu=\nu=1,2,3</math> и <math>\textstyle \mu=1,2,3</math>, <math>\textstyle \nu=4,5,6</math> (можно решить сначала уравнения для каждой компоненты отдельно, а затем сложить эти решения):

:<center><math>\dot{\left\langle \mathbf{x}^2\right\rangle } = 2 \,\left\langle \mathbf{x} \mathbf{v}\right\rangle ,\;\;\;\;\;\; \dot{\left\langle \mathbf{x} \mathbf{v}\right\rangle } = - \frac{1}{\tau}\,\left\langle \mathbf{x} \mathbf{v}\right\rangle + \left\langle \mathbf{v}^2\right\rangle .</math></center>

Найдём асимптотическое поведение. Если <math>\textstyle \dot{\left\langle \mathbf{x} \mathbf{v}\right\rangle }=0</math>, то скалярное произведение координаты на скорость равно константе <math>\textstyle \left\langle \mathbf{x} \mathbf{v}\right\rangle =\tau \left\langle \mathbf{v}^2\right\rangle </math>. Поэтому среднее значение квадрата координаты при больших временах равно:

:<center><math>\left\langle \mathbf{x}^2\right\rangle - \mathbf{x}^2_0 = 2\tau \left\langle \mathbf{v}^2\right\rangle \cdot t = \frac{kT}{\pi \eta a}\cdot t = a^2 \, \frac{t}{\tau_\sigma}.</math></center>

Таким образом, дисперсия квадрата радиус-вектора со временем увеличивается линейно. Этот эффект наблюдается в эксперименте. При комнатной температуре параметр <math>\textstyle \tau_\sigma = \pi \eta a^3/ kT \sim 1</math> c определяет темпы типичного дрожания броуновской частицы (<math>\textstyle \lessdot</math> C).

<math>\textstyle \bullet</math> Если плотность частицы <math>\textstyle \rho</math> выше, чем у воды <math>\textstyle \rho_0</math>, то <math>\textstyle \gamma>0</math> и уравнение для средней скорости

:<center><math>\dot{\left\langle \mathbf{v}\right\rangle } = \gamma\,\mathbf{g} - \frac{1}{\tau} \left\langle \mathbf{v}\right\rangle</math></center>

приводит к тому, что в асимптотическом пределе частица опускается вниз в среднем с постоянной скоростью:

:<center><math>\left\langle \mathbf{v}\right\rangle = \tau \,\gamma\, \mathbf{g} + \left(\mathbf{v}_0 - \tau \, \gamma\, \mathbf{g}\right)\,e^{-t/\tau} \to \tau \, \gamma\, \mathbf{g} \sim \frac{\gamma\, a}{1\;с}.</math></center>

Естественно, рано или поздно на её пути окажется дно сосуда. Произойдёт отражение от него и снова блуждание со сносом вниз. В результате возникнет стационарное распределение по координатам и скоростям. Чтобы найти его, рассмотрим уравнение Фоккера-Планка:

:<center><math>\;\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial (a_i P)}{\partial x_i} - \frac{1}{2}\,\frac{\partial^2 }{\partial x_i\partial x_j}\Bigl[b_{i\alpha} b_{j\alpha} P\Bigr] = 0,</math></center>

имеющее в стационарном случае <math>\textstyle \partial P/\partial t=0</math> следующий вид:

:<center><math>\mathbf{v}\,\frac{\partial P}{\partial \mathbf{x}} + \frac{\partial\bigl[(\gamma\, \mathbf{g}-\mathbf{v}/\tau) P\bigr]}{\partial \mathbf{v}} - \frac{\sigma^2}{2}\, \frac{\partial^2 P}{\partial \mathbf{v}^2} = 0.</math></center>

Несложно проверить, что этому уравнению удовлетворяет функция:

:<center><math>P(\mathbf{x}, \mathbf{v}) = P_0 e^{-\beta E(\mathbf{x},\mathbf{v})},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E(\mathbf{x},\mathbf{v}) = \frac{m\mathbf{v}^2}{2} - \gamma\, m \mathbf{g} \mathbf{x},</math></center>

где <math>\textstyle \beta = 1/kT</math>. Величина <math>\textstyle E(\mathbf{x},\mathbf{v})</math> является энергией частицы (кинетическая плюс потенциальная). Полученный результат <math>\textstyle P(\mathbf{x}, \mathbf{v})\sim e^{-\beta E}</math> имеет достаточно общий характер и называется ''распределением Гиббса''. Чем меньше энергия системы, тем более вероятно такое состояние.

Если ось <math>\textstyle z</math> направлена вверх, то <math>\textstyle \mathbf{g} \mathbf{x} = - g z</math>. При нормировке плотности вероятности предполагается, что отражающая поверхность дна сосуда расположена в точке <math>\textstyle z=0</math>. По мере подъёма по <math>\textstyle z</math> вероятность встретить броуновскую частицу экспоненциально падает:

:<center><math>P(z) = \frac{\lambda}{a} \, e^{-\lambda \,z/a},\;\;\;\;\;\;\;\;\lambda = \gamma\, \frac{mga}{kT} = \frac{4\pi g}{3 kT}\,(\rho-\rho_0)\, a^4,</math></center>

где безразмерный параметр <math>\textstyle \lambda</math> характеризует темпы спада вероятности, если расстояние выражено в радиусах частицы. При фиксированной плотности броуновской частицы распределение вероятностей оказывается очень чувствительным к её размеру.

<math>\textstyle \bullet</math> Работа Ланжевена была инспирирована теорией броуновского движения Альберта Эйнштейна (Albert Einstein), опубликованной в 1905 г. Его рассуждения выглядели следующим образом.

Пусть координата броуновской частицы <math>\textstyle x</math> претерпевает случайные изменения <math>\textstyle \varepsilon</math> по одной оси и функция <math>\textstyle P(x,t)</math> является плотностью вероятности найти её в точке <math>\textstyle x</math>. Если в момент времени <math>\textstyle t-\tau</math> координата была <math>\textstyle x-\varepsilon</math>, то, изменившись на <math>\textstyle \varepsilon</math> в течение малого времени <math>\textstyle \tau</math>, в момент времени <math>\textstyle t</math> она станет равной <math>\textstyle x</math>. Произведение вероятности начального состояния <math>\textstyle P(x-\varepsilon, t-\tau)</math> и вероятности независимого от него изменения <math>\textstyle \phi(\varepsilon)</math> даст вероятность конечного состояния <math>\textstyle P(x, t)</math>, которую нужно просуммировать по всем возможным значениям <math>\textstyle \varepsilon</math>:

:<center><math>P(x, t) = \int\limits^\infty_{-\infty} P(x-\varepsilon, t-\tau)\;\phi(\varepsilon) \,d\varepsilon.</math></center>

Разложим уравнение в ряд до первого порядка по <math>\textstyle \tau</math> и второго по <math>\textstyle \varepsilon</math>:

:<center><math>P(x,t) = \int\limits^\infty_{-\infty}\left[ P(x,t) - \frac{\partial P(x,t)}{\partial t}\; \tau - \frac{\partial P}{\partial x}\;\varepsilon + \frac{\partial^2 P}{\partial x^2}\;\frac{\varepsilon^2}{2}+... \right]\phi(\varepsilon) d\varepsilon.</math></center>

Если направления равновероятны, то <math>\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0</math>. Вводя ''конечное'' отношение <math>\textstyle \sigma^2_x=\left\langle \varepsilon^2\right\rangle /\tau</math>, для <math>\textstyle P(x,t)</math> в пределе <math>\textstyle \tau\to 0</math> получаем:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \;\;\frac{\partial P}{\partial t} = \frac{\sigma^2_x}{2} \;\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}.\;\; </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.2)'''</div>
 |}

Это уравнение теплопроводности соответствует винеровскому блужданию <math>\textstyle dx=\sigma_x \delta W</math> с дисперсией <math>\textstyle {x}</math>, линейно увеличивающейся со временем.

<math>\textstyle \bullet</math> Записывая систему уравнений Ланжевена, мы исходили из двух динамических переменных <math>\textstyle \mathbf{x}</math> и <math>\textstyle \mathbf{v}</math>. При этом среднее значение <math>\textstyle \mathbf{v}</math> быстро (при <math>\textstyle t\gg \tau</math>) стремилось к постоянному значению, тогда как "динамикой обладала" переменная <math>\textstyle \mathbf{x}</math>. Возьмём второе уравнение системы Ланжевена и в нулевом приближении положим <math>\textstyle d\mathbf{v}=0</math>. Выразив из него <math>\textstyle \mathbf{v} dt</math> и подставив его в первое уравнение, получим:

:<center><math>d\mathbf{x} = \gamma\,\mathbf{g}\tau dt + \sigma\tau\, \delta \mathbf{W} = - \frac{\tau}{m} \mathbf{\nabla} V(\mathbf{x})dt + \left(2kT\,\frac{\tau}{m}\right)^{1/2} \,\delta \mathbf{W},</math></center>

где <math>\textstyle V(\mathbf{x})</math> - в общем случае произвольная потенциальная энергия частицы, а <math>\textstyle \mathbf{\nabla}</math> &mdash; её градиент. Соответствующее этому стохастическому уравнению уравнение Фоккера - Планка было получено Смолуховским в 1906 г.

Подобный способ устранения быстро изменяющихся переменных является достаточно общим и мощным приближенным методом решения различных стохастических задач.

----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Как решать стохастические задачи?]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Стохастический осциллятор]]
|}
----
[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения