Просмотр

{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Нормальное распределение]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Вероятностные свойства языка]]
|}

----

<math>\textstyle \bullet</math> Пусть мы имеем дело с двумя случайными величинами <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math>. В этом случае наблюдаются пары эмпирических значений <math>\textstyle \{x_1, y_1\},\;\{x_2, y_2\},</math> и т.д., возникающие с той или иной частотой. Поэтому можно говорить о ''совместной плотности вероятности'' <math>\textstyle P(x,y)</math> того, что величины принимают некоторые значения в окрестности <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math>.

Совместная вероятность позволяет вычислять среднее от произвольной функции двух аргументов:

{| width="100%"  
 | width="90%" align="center"|<math>\left\langle F(x,y)\right\rangle  =\int\limits^\infty_{-\infty} F(x,y) \cdot P(x,y)\, dx\,dy. </math>
 |  <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.15)'''</div>
|}

Если мы не интересуемся значением величины <math>\textstyle y</math>,  можно <math>\textstyle P(x,y)</math> проинтегрировать по всем её возможным реализациям и получить плотность вероятности только для величины <math>\textstyle x</math>:

{| width="100%"  
 | width="90%" align="center"|<math>\int\limits^\infty_{-\infty}   P(x,y) \,dy = P(x). </math>
 |  <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.16)'''</div>
|}

Интегрирование ещё раз левой  и правой части по <math>\textstyle x</math> даст единицу. Поэтому ''условие нормировки'' имеет форму двойного интеграла. Оно получается из (1.15), если положить <math>\textstyle F(x,y)=1</math>, так как <math>\textstyle \left\langle 1\right\rangle =1</math>.

Одновременное изучение <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math> необязательно означает их временное совпадение. Например, в финансах <math>\textstyle x</math> может быть изменением цены за день европейского фондового индекса, а <math>\textstyle y</math> &mdash; американского, торгуемого ''после'' европейского. Между ними существует причинная связь, разделённая временем. С другой стороны, изменение цен двух акций <math>\textstyle x</math>  и <math>\textstyle y</math> за день происходит одновременно и зависит от внешних синхронизирующих факторов (новости, макроэкономика и т.д.).

Как мы увидим в следующем разделе, совместная плотность вероятности <math>\textstyle P(x,y)</math> особенно важна, если между случайными величинами существует некоторая зависимость. Эта связь может иметь функциональную форму <math>\textstyle y=f(x)</math>. Тогда, если для <math>\textstyle x</math> реализуется некоторое значение, то величина  <math>\textstyle y</math> будет полностью предопределена. Однако чаще <math>\textstyle y=f(x,\xi)</math>, где <math>\textstyle \xi</math> &mdash; третья, "ненаблюдаемая", случайная переменная. Она может быть непредсказуемым внешним воздействием, меняющим параметры функциональной зависимости <math>\textstyle y=f(x)</math>, или динамической переменной, которую мы не учли в более простой модели.

<math>\textstyle \bullet</math> Кроме совместной вероятности двух величин <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math> удобно ввести ''условную плотность вероятности''. Она отвечает на вопрос,  "какова вероятность <math>\textstyle y</math>, если уже известно значение величины <math>\textstyle x</math>". Условная плотность равна совместной <math>\textstyle P(x,y)</math>, нормированной на вероятность уже доступной информации <math>\textstyle P(x)</math>:

{| width="100%"  
 | width="90%" align="center"|<math>{ \;P(x\Rightarrow y)=\frac{P(x,y)}{P(x)}\; }. </math>
 |  <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.17)'''</div>
|}

В качестве примера для  <math>\textstyle P(x)</math> рассмотрим [[Нормальное_распределение|нормальное распределение]], а для совместной плотности вероятности <math>\textstyle P(x,y)</math> &mdash; "двумерную повёрнутую" гауссиану:

:<center><math>P(x,y)=\frac{e^{-(x^2+y^2+\sqrt{2}\,xy)}}{\pi\sqrt{2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P(x\Rightarrow y)=\frac{e^{-(x^2/2+y^2+\sqrt{2}\,xy)}}{\sqrt{\pi}}.</math></center>

Совместная и условная вероятности представлены на рисунке ниже:  
<center>
[[Файл:gauss_prob.png]]
</center>
Объём под  <math>\textstyle P(x,y)</math> равен единице, тогда как под <math>\textstyle P(x \Rightarrow y)</math> &mdash; бесконечности. Нормировка условной вероятности имеет смысл получения любого значения <math>\textstyle y</math> при данном <math>\textstyle x</math>:

{| width="100%"  
 | width="90%" align="center"|<math>\int\limits^\infty_{-\infty}   P(x \Rightarrow y) \,dy = 1. </math>
 |  <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.18)'''</div>
|}

Стоит проверить, что формула (1.18) согласуется с (1.16).

Для условной вероятности распространено обозначение <math>\textstyle P( y | x)</math>. Однако ниже мы увидим, что <math>\textstyle P(x \Rightarrow y)</math> оказывается более естественной записью при описании цепочек связанных между собой событий. В любом случае <math>\textstyle P(x \Rightarrow y)</math>, как и <math>\textstyle P(x,y)</math>, &mdash; это функция ''двух'' вещественных аргументов.

Условная вероятность важна, так как позволяет связать друг с другом разнообразные события, отражая их причинно-следственную связь.

----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Нормальное распределение]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Вероятностные свойства языка]]
|}

----
[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения