Просмотр

{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Энергия, импульс, сила и масса]] << 
 ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Мир элементарных частиц]]
|}
----

<math>\textstyle \bullet</math> Предположим, что в результате некоторых внутренних причин неподвижная частица массой <math>\textstyle M</math> распадается на две частицы с массами <math>\textstyle m_1</math> и <math>\textstyle m_2</math>: 

<center>[[File:react1.png]]</center>

Найдём энергии продуктов распада. Для этого запишем законы сохранения:

:<center><math>E=E_1+E_2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p=p_1+p_2.</math></center>

Стандартный приём решения подобных задач состоит в использовании соотношения <math>\textstyle E^2-p^2=m^2</math>, при помощи которого избавляются от одной из неизвестных скоростей (энергии и импульса). Для этого перенесём <math>\textstyle E_1</math> и <math>\textstyle p_1</math> в законах сохранения влево, возведём в квадрат и вычтем:

:<center><math>(E-E_1)^2-(p-p_1)^2 = E^2_2-p^2_2=m^2_2.</math></center>

Раскрывая скобки и снова учитывая выражение для квадрата массы, имеем:

:<center><math>M^2+m^2_1 - 2EE_1+ 2pp_1 = m^2_2.</math></center>

Так как начальная частица покоится, для неё <math>\textstyle E=M</math> и <math>\textstyle p=0</math>. Поэтому не сложно получить выражение для энергии первого продукта распада <math>\textstyle E_1</math>. Для <math>\textstyle E_2</math> достаточно переставить местами индексы:

:<center><math>E_1=\frac{M^2+m_1^2-m_2^2}{2M},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; E_2=\frac{M^2+m_2^2-m^2_1}{2M}.</math></center>

Таким образом, энергии полностью определяются массой начальной частицы и массами продуктов её распада. При желании, при помощи формулы <math>\textstyle E=m/\sqrt{1-u^2}</math> можно найти и их скорости.

Когда такой распад возможен? Масса начальной частицы превращается в энергию разлетающихся после распада частиц:

:<center><math>M=\frac{m_1}{\sqrt{1-u^2_1}}+\frac{m_2}{\sqrt{1-u^2_2}} > m_1+m_2.</math></center>

Если <math>\textstyle M<m_1+m_2</math>, то такой ''самопроизвольный'' распад невозможен по энергетическим соображениям, и требуется некоторое внешнее воздействие, чтобы разрушить ''энергию связи'', равную <math>\textstyle m_1+m_2-M</math>.

Требование <math>\textstyle M>m_1+m_2</math> запрещает испускание частицей некоторой другой частицы при сохранении своей исходной массы. Например, свободный электрон не может излучить фотон, оставшись электроном. На самом деле, он не может и превратиться в другую частицу в процессе такого распада, но это уже другая история.

Почему вообще частицы распадаются? Обычно к этому приводят некоторые эволюционные процессы, происходящие внутри исходной частицы. Простейшим примером может служить взрыв в результате химических реакций. В квантовом мире распады обычно связаны с ''туннелированием квантовой частицы'' через потенциальный барьер, непреодолимый для классической частицы. В квантово-релятивистском мире элементарных частиц ситуация ещё менее наглядна. Например, свободный нейтрон в среднем за 15 минут распадается на протон, электрон и нейтрино, которые "в нём ''не находились''". Этот же нейтрон внутри ядер, в окружении других нейтронов и протонов, вполне стабилен и не подвержен распаду.

Распад обратен ситуации "слипания", когда в результате столкновения двух частиц возникает третья. Рассмотрим эту реакцию в ''лабораторной системе отсчёта'', где первая частица с массой <math>\textstyle m_1</math> имеет скорость <math>\textstyle v</math> и энергию <math>\textstyle E_1=m_1/\sqrt{1-v^2}</math>, а вторая с массой <math>\textstyle m_2</math> покоится. Результат их столкновения массой <math>\textstyle M</math> двигается со скоростью <math>\textstyle u</math>: 

<center>[[File:react1a.png]]</center>

Запишем законы сохранения энергии и импульса:

:<center><math>E_1+m_2=E,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p_1=p.</math></center>

Возводя в квадрат и вычитая, находим квадрат массы результирующей частицы, которая, естественно, больше, чем сумма исходных:

:<center><math>M^2=m^2_1+m^2_2+\frac{2m_1m_2}{\sqrt{1-v^2}}=(m_1+m_2)^2 +2m_1m_2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}-1\right).</math></center>

Её скорость можно найти из сохранения импульса <math>\textstyle p_1=p</math>, однако более быстрый путь &mdash; воспользоваться связью импульса, энергии и скорости:

:<center><math>u = \frac{p}{E} = \frac{p_1}{E_1+m_2}=\frac{v}{1+(m_2/m_1)\sqrt{1-v^2}}.</math></center>

Если <math>\textstyle v\to 1</math>, то к скорости света стремится и скорость результирующей частицы.

<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим теперь ситуацию, когда первая частица, имеющая энергию <math>\textstyle E_1</math> и массу <math>\textstyle m_1</math>, налетает на неподвижную вторую частицу с массой <math>\textstyle m_2</math>, и массы частиц после этого взаимодействия не изменяются: 

<center>[[File:react2.png]]</center>

Если столкновение было "не лобовое", то частицы разлетятся под некоторыми углами к скорости <math>\textstyle \mathbf{u}_1</math> налетающей частицы. Обозначим все величины после столкновения со штрихами и запишем законы сохранения:

:<center><math>E_1+E_2=E'_1+E'_2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2=\mathbf{p}'_1+\mathbf{p}'_2.</math></center>

Как и ранее, избавимся от энергии и импульса одной из частиц:

:<center><math>(E_1+m_2-E'_1)^2-(\mathbf{p}_1-\mathbf{p}'_1)^2 = m^2_2,</math></center>

где сразу учтено, что <math>\textstyle E_2=m_2</math> и <math>\textstyle \mathbf{p}_2=0</math>. Возводя в квадрат, получаем:

:<center><math>m_1^2 + E_1m_2 = (E_1+m_2)\,E'_1-\mathbf{p}_1\mathbf{p}'_1.</math></center>

Скалярное произведение импульсов выражается через их модули и угол: <math>\textstyle \mathbf{p}_1\mathbf{p}'_1=p_1p'_1\cos\theta_1</math>. Поэтому угол вылета частиц равен:

:<center><math>\cos\theta_1 = \frac{(E_1+m_2)\,E'_1 - m_1^2 - E_1m_2}{p_1p'_1},\;\;\;\;\;\;\;\cos\theta_2 = \frac{(E_1+m_2)(E'_2 - m_2)}{p_1p'_2}.</math></center>

Второй угол получается совершенно аналогично. При этом необходимо избавиться от энергии и импульса первой частицы после столкновения.

Сам по себе угол рассеивания зависит от прицельного расстояния и характера взаимодействия между частицами. Однако, независимо от последнего, энергия рассеявшейся частицы, благодаря законам сохранения, связана с этим углом. Чем сильнее теряет энергию первая частица, тем на больший угол она рассеивается. Заметим, что так как <math>\textstyle E'_2>m_2</math>, <math>\textstyle E_2=m_2</math>, то из закона сохранения энергии следует, что <math>\textstyle E'_1<E_1</math>, т.е. энергия уменьшается, переходя к покоящейся частице.

Подставляя в выражение для <math>\textstyle \cos\theta_1</math> зависимость импульса от энергии  
и взяв производную по <math>\textstyle E'_1</math>, можно (<math>\textstyle \lessdot</math> H) найти максимальное значение угла рассеяния:

:<center><math>(\sin\theta_{1})_{max}=\frac{m_2}{m_1}.</math></center>

Естественно, максимум, отличный от <math>\textstyle \theta=\pi/2</math>, существует, если масса налетающей частицы <math>\textstyle m_1</math> больше, чем масса частицы <math>\textstyle m_2</math>.

Особенно просто выражение для результирующей энергии выглядит, если налетающая частица является безмассовой <math>\textstyle m_1=0</math>. Например, в ''эффекте Комптона'' (1923 г.) фотон рассеивается на электроне. В этом случае <math>\textstyle p_1=E_1</math>, <math>\textstyle p'_1=E'_1</math>, и энергия фотона после столкновения равна:

<center>[[File:react3.png]]</center>

C фотоном по формуле Планка связаны частота <math>\textstyle E=h\nu</math> и длина волны <math>\textstyle \lambda=1/\nu</math>. Относительное изменение <math>\textstyle \Delta \lambda = \lambda'-\lambda</math> последней имеет вид:

:<center><math>\frac{\Delta \lambda}{\lambda} \;=\; \frac{E_1}{m_2}\cdot(1-\cos\theta_1).</math></center>

Таким образом, чем больше угол рассеивания, тем сильнее увеличивается длина волны (уменьшается энергия). Это экспериментально наблюдается при рассеивании рентгеновского излучения электронами вещества. Чтобы относительное изменение длины волны было заметным, необходимы энергии фотона <math>\textstyle E_1</math>, сравнимые с массой электрона <math>\textstyle E_1\sim m_2</math>. Постоянная Планка в электрон-вольтах равна:

:<center><math>\hbar =6.582\,118\,99(16)\cdot 10^{-22}\;МэВ\cdot c.</math></center>

Поэтому частоты фотона, соответствующие массе электрона <math>\textstyle m_e=0.511</math> МэВ, равны <math>\textstyle 10^{20}</math> герц. Длина волны при этом составляет <math>\textstyle \sim 10^{-12}</math> м. Это фотоны жесткого рентгеновского излучения, которые могут быть получены при помощи рентгеновской трубки, в которой ускоренные электрическим полем электроны при резком ударе об анод испускают рентгеновские лучи (тормозное излучение). Дополнительно они выбивают электроны из внутренних электронных оболочек атомов. Замещающие их электроны с верхних энергетических уровней также испускают фотоны рентгеновского спектра. Величина <math>\textstyle h/mc=2.4263\cdot 10^{-12}</math> м называется ''комптоновской длиной волны электрона''. Изменение длины волны (частоты) фотона при рассеивании на электроне &mdash; это чисто квантовый эффект. В классической электродинамике при рассеивании электромагнитной волны на заряженной частице частота волны не изменится.

Аналогичным образом можно рассмотреть рассеивание фотона на быстро двигающихся электронах. Так как они заряжены, ускорить их при помощи электромагнитных полей не представляет труда. В отличие от них, фотон заряда не имеет, и повысить его энергию (частоту) не так просто. Поэтому, разогнав электроны и столкнув их с низкоэнергетическими фотонами можно существенно повысить энергию последних.

<math>\textstyle \bullet</math> Выше рассмотрено столкновение в лабораторной системе отсчёта, когда одна частица покоится, а другая налетает на неё с импульсом <math>\textstyle p_1</math>. Термин "''лабораторная система отсчёта''" мы уже несколько раз использовали. Он происходит от экспериментов, в которых один вид частиц разгоняют при помощи ускорителя и направляют на неподвижную мишень, состоящую из частиц другого вида. Естественно, это достаточно условный термин, потому что в тех же лабораториях проводят и эксперименты со встречными пучками, разгоняя каждый из них в ускорителе.

Рассмотрим упругое столкновение двух частиц в ''системе отсчёта центра масс'', в которой их суммарный импульс равен нулю. 

<center>[[File:react2a.png]]</center>

На первом рисунке изображено это столкновение в динамике, и нарисованы траектории частиц. Когда они приближаются, начинает сказываться сила взаимодействия между ними, и траектории искривляются. Когда частицы достаточно удалились друг от друга, они снова становятся свободными и двигаются с постоянной скоростью.

По определению системы центра масс модули импульсов частиц равны друг другу, до и после соударения. В силу симметрии и сохранения импульса угол рассеивания обоих частиц один и тот же, равный <math>\textstyle \chi</math>. Энергии частиц при столкновении не изменяются, так как из закона сохранения при одинаковых начальных импульсах имеем:

:<center><math>\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2_1}+\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2_2}=\sqrt{\mathbf{p}'^2+m^2_1}+\sqrt{\mathbf{p}'^2+m^2_2},</math></center>

откуда <math>\textstyle \mathbf{p}^2=\mathbf{p}'^2</math>, и, следовательно, <math>\textstyle E=E'</math>. Такое столкновение является несколько более общим случаем упругого симметричного столкновения, с которого начиналась эта глава. Скорости при одинаковых импульсах подчиняются соотношению:

:<center><math>\frac{m_2}{m_1}=\frac{u/\sqrt{1-u^2}}{w/\sqrt{1-w^2}},</math></center>
и при различных массах также различны.

Выразим энергии в лабораторной системе отсчёта через угол <math>\textstyle \chi</math> в системе центра масс. Для этого перейдём в инерциальную систему отсчёта, двигающуюся ''влево'' со скоростью <math>\textstyle v=-w</math>. В этой системе вторая частица до столкновения покоится. Воспользуемся [[Релятивистские законы сохранения|формулой преобразования энергии]] (3.4). Энергия первой частицы до (<math>\textstyle E_1</math>) и после столкновения (<math>\textstyle E'_1</math>) равны:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> E_1=\frac{E+wp}{\sqrt{1-w^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E'_1=\frac{E+wp\cos\chi}{\sqrt{1-w^2}}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(3.13)'''</div>
 |}

где мы учли, что после столкновения энергия не изменяется и скалярное произведение <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{p}</math> выражается через произведение модулей на косинус угла <math>\textstyle \chi</math> . Поэтому переданная энергия в лабораторной системе равна:

:<center><math>E'_1-E_1= - \frac{p^2}{m_2}\,(1-\cos\chi),</math></center>

где <math>\textstyle w</math> выражена через импульс второй частицы <math>\textstyle p=m_2w/\sqrt{1-w^2}</math>, равный импульсу первой. Чтобы его найти, воспользуемся первым соотношением (3.13), в которое подставим связь импульса и скорости <math>\textstyle 1+p^2/m^2_2 = 1/(1-w^2)</math>, а также энергии и импульса <math>\textstyle E=\sqrt{p^2+m^2_1}</math>:

:<center><math>E_1=\frac{E}{\sqrt{1-w^2}}+\frac{p^2}{m_2}=\sqrt{p^2+m^2_1}\cdot\sqrt{1+p^2/m^2_2}+\frac{p^2}{m_2}.</math></center>

Решая это уравнение относительно <math>\textstyle p</math>, получаем:

:<center><math>\frac{p^2}{m_2} = \varepsilon = \frac{(E^2_1-m^2_1)\,m_2}{m^2_1+m^2_2 + 2m_2\,E_1}.</math></center>

Поэтому:

:<center><math>E'_1=E_1 - \varepsilon\cdot(1-\cos\chi),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E'_2=m_2+\varepsilon\cdot(1-\cos\chi).</math></center>

Соотношение для энергии второй частицы получено из закона сохранения <math>\textstyle E_1+m_2=E'_1+E'_2</math>.

Таким образом, энергии рассеянных частиц в лабораторной системе достаточно просто связаны с углом <math>\textstyle \chi</math> поворота импульсов в системе центра масс. Величина <math>\textstyle \varepsilon\cdot(1-\cos\chi)</math> является энергией, переданной первой частицей, и тем больше, чем больше <math>\textstyle \chi</math>. При "лобовом" столкновении, когда <math>\textstyle \chi=\pi</math>, эта энергия максимальна и равна <math>\textstyle 2\varepsilon</math>.

----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Энергия, импульс, сила и масса]] << 
 ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Мир элементарных частиц]]
|}
----
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии