Просмотр

{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Диверсификация]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Опционы]]
|}
----

<math>\textstyle \bullet</math> Пусть инвестор начинает свою карьеру с капитала <math>\textstyle П_0</math>. Он формирует портфель из <math>\textstyle n</math> акций, цены <math>\textstyle x_i(t)</math> которых стохастическим образом изменяются со временем. Поэтому его капитал также изменяется, как <math>\textstyle \Pi(t)</math>. Естественно, обогащение не является самоцелью, и за каждую единицу времени <math>\textstyle dt</math> он потребляет часть капитала, максимизируя своё удовольствие <math>\textstyle \ddot\smile</math>. Какова в этом случае оптимальная стратегия инвестирования? Эту задачу изучали в 1969 г. Роберт Мертон и Пол Самуэльсон.

Если количество акций каждого вида в портфеле равно <math>\textstyle N_i(t)</math>, то изменение его стоимости за малый интервал времени после изъятия равно:

:<center><math>d\Pi = \sum^n_{i=1} N_i(t) \,dx_i - c(t)\Pi(t) \,dt.</math></center>

Мы для простоты считаем, что потребление <math>\textstyle c(t)\Pi(t)</math> пропорционально капиталу. Мертон на самом деле ''доказал'' это утверждение.

Пусть цены на акции испытывают стационарное логарифмическое блуждание:

:<center><math>\frac{dx_i}{x_i} = \mu_{i} \,dt + \sum^n_{j=1} \sigma_{ij}\,\delta W_j,</math></center>

где <math>\textstyle \mu_i</math> &mdash; доходности акций, а матрица <math>\textstyle \sigma_{ij}</math> определяет их ковариации. В этом разделе по повторяющимся индексам суммирование не подразумевается, если это явно не указано знаком суммы. Подставляя <math>\textstyle dx_i</math> в уравнение портфеля и вводя веса <math>\textstyle w_i=N_ix_i/\Pi</math> каждой акции, получаем нестационарное логарифмическое блуждание:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\Pi}{\Pi} = f(t)\, dt + s(t)\, \delta W. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8.5)'''</div>
 |}

Снос и волатильность портфеля определяются соотношениями:

:<center><math>f(t) = \sum^n_{i=1} \mu_i w_i(t) - c(t),\;\;\;\;\;\;\;\;s^2(t) = \sum^n_{i,j=1} w_i(t) D_{ij} w_j(t),</math></center>

где <math>\textstyle \mathbf{D}=\mathbf{\sigma}\cdot \mathbf{\sigma}^T</math> &mdash; ковариационная матрица. Переход от нескольких стохастических переменных <math>\textstyle \delta W_i = \varepsilon_i \sqrt{dt}</math> к одной <math>\textstyle \delta W=\varepsilon\sqrt{dt}</math> мы сделали стандартным образом:

:<center><math>\sum^n_{i,j=1} w_i(t)\sigma_{ij} \varepsilon_j \sqrt{dt} = s(t) \varepsilon \sqrt{dt}.</math></center>

Сумма <math>\textstyle n</math> гауссовых чисел &mdash; снова гауссово число, множитель перед которым находится после возведения в квадрат и усреднения.

<math>\textstyle \bullet</math> Вес <math>\textstyle w_i(t)</math> каждой акции в портфеле и удельное потребление <math>\textstyle c(t)</math> задаются инвестором. В результате функции <math>\textstyle f(t)</math> и <math>\textstyle s(t)</math> в уравнении (8.5) являются фиксированными. Переходя к <math>\textstyle \ln \Pi</math> при помощи леммы Ито, имеем:

:<center><math>d \ln \Pi = \left[f(t) - \frac{1}{2}s^2(t) \right]\,dt + s(t)\,\delta W.</math></center>

Откуда, воспользовавшись (2.18), [[Точные решения уравнения Ито]], получаем точное решение:

:<center><math>\ln \frac{\Pi(t)}{\Pi_0} = \int\limits^t_0 \left[f(\tau) - \frac{1}{2}s^2(\tau) \right]\,d\tau + \left[\int\limits^t_0 s^2(\tau)d\tau\right]^{1/2}\cdot \varepsilon,</math></center>

где, как обычно, <math>\textstyle \varepsilon</math> - гауссова случайная величина с <math>\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0</math> и <math>\textstyle \left\langle \varepsilon^2\right\rangle =0</math>.

<math>\textstyle \bullet</math> Постоянное изъятие сумм <math>\textstyle v = c(t)\Pi(t)</math> обладает для инвестора определённой ''полезностью'' (utility) <math>\textstyle U=U(v)</math>. Это понятие достаточно умозрительно, но очень популярно в экономической литературе. Основные гипотезы теории полезности состоят в том, что 1) функция <math>\textstyle U(v)</math> является выпуклой, и 2) она растёт медленнее линейной функции. Каждая дополнительная единица благ (выраженная в деньгах <math>\textstyle v</math>), в любом случае, приносит удовольствие. Однако больше двух котлет не съешь и пяти бутылок вина не выпьешь. Поэтому постепенно, с увеличением <math>\textstyle v</math>, дополнительной полезности получается всё меньше, и рост функции <math>\textstyle U(v)</math> замедляется. Часто функцию полезности выбирают в степенном виде <math>\textstyle U(v)=v^{\gamma}</math>, с параметром <math>\textstyle 0<\gamma<1</math> или в логарифмическом <math>\textstyle U(v)=\ln v</math>. Рассмотрим вариант степенной зависимости.

Вычислим среднее значение полезности <math>\textstyle U_t=\left\langle U(v)\right\rangle =c^\gamma(t)\,\left\langle \Pi^\gamma(t)\right\rangle </math> в момент времени <math>\textstyle t</math>. Усреднение проводится при помощи (1.11) ([[Нормальное распределение]]):

:<center><math>U_t=\Pi^\gamma_0\,c^\gamma(t)\,e^{ \gamma\int\limits^{t}_0 f(\tau) \,d\tau + \frac{\gamma^2-\gamma}{2}\int\limits^{t}_0 s^2(\tau) \,d\tau}.</math></center>

Подставляя явный вид функций <math>\textstyle f(t)</math> и <math>\textstyle s(t)</math>, имеем:

:<center><math>U_t=\Pi^\gamma_0\,c^\gamma(t)\,\exp { \int\limits^{t}_0 \gamma \left[ \sum^n_{i=1}\mu_i \omega_i(\tau) - c(\tau) - \frac{1-\gamma}{2}\sum^n_{i,j=1}w_i(\tau) D_{ij} w_j(\tau)\right]d\tau}.</math></center>

Выбор определённых стратегий инвестирования <math>\textstyle \omega_i(\tau)</math> и изъятия (потребления) <math>\textstyle c(\tau)</math> на протяжении времени <math>\textstyle \tau=[0...t]</math> приводит к некоторому среднему значению полезности в момент времени <math>\textstyle t</math>. Однако получение максимальной сиюминутной полезности также не является главной целью инвестора. Так в чём же смысл его жизни?

<math>\textstyle \bullet</math> По Мертону и Самуэльсону, инвестор должен максимизировать суммарную ''дисконтированную'' полезность, получаемую на протяжении всей своей жизни. И если он не законченный эгоист, дополнительную полезность он получает от остаточного капитала, передаваемого по наследству. Математически это может быть выражено в следующем виде:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \int\limits^T_0 e^{-\rho \tau}\,U_\tau \,d\tau \;+\; \theta \,e^{-\rho T}\, U_T \;+\; \int\limits^T_0 \lambda(\tau)\left[1-\sum^n_{i=1} w_i(\tau)\right]\,d\tau =max. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8.6)'''</div>
 |}

Первый интеграл суммирует все получаемые от изъятий средние полезности <math>\textstyle U_t</math>. При этом параметр <math>\textstyle \rho</math> аналогичен ставке дисконтирования денежных потоков (<math>\textstyle \lessdot</math> C). Чем позже получено удовольствие, тем меньше его вклад в смысл жизни. Второе слагаемое является полезностью завещаемого инвестором капитала (bequest valuation function) в финальный момент его жизни <math>\textstyle T</math>. Параметр <math>\textstyle \theta</math> характеризует степень его не эгоистичности, и обычно предполагается небольшим <math>\textstyle 0<\theta\ll 1</math> <math>\textstyle \ddot\smile</math>. Полезность от завещания имеет такую же функциональную форму, как и от потребления. В принципе, можно рассмотреть и другие зависимости. Последнее слагаемое появляется в соответствии с методом множителей Лагранжа <math>\textstyle \lambda(t)</math> (стр. \pageref{lagrang_mult}). Мы ищем экстремум при дополнительном требовании равенства суммы весов единице в каждый момент времени.

<math>\textstyle \bullet</math> Найдём экстремум функционала (8.6) по функциям <math>\textstyle \lambda(t)</math> и <math>\textstyle \omega_k(t)</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle 1 = \sum^n_{i=1} w_i\\ \displaystyle \alpha = \mu_k - (1-\gamma)\sum^n_{i=1} D_{ki} \omega_i, \end{array} \right. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8.7)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \alpha</math> пропорциональна множителю Лагранжа <math>\textstyle \lambda</math> и должна рассматриваться как <math>\textstyle n+1</math>-я неизвестная переменная. Зависимость от времени отсутствует, и <math>\textstyle w_i</math> определяются из решения системы линейных уравнений. Теперь можно упростить выражение для средней полезности:

:<center><math>U_t = \Pi^\gamma_0\, e^{z t}c^\gamma(t)\,G(t),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;G(t)=e^{ -\gamma \int\limits^{t}_0 c(\tau) \tau},</math></center>

где величина <math>\textstyle z</math>:

:<center><math>z = \gamma \sum^n_{i=1}\mu_i \omega_i - \frac{\gamma-\gamma^2}{2}\sum^n_{i,j=1}w_i \,D_{ij}\, w_j</math></center>

зависит от статистических параметров акций, функции полезности и найденных из (8.7) постоянных весовых коэффициентов <math>\textstyle \omega_i</math>.

<math>\textstyle \bullet</math> После подстановки оптимальных значений весов <math>\textstyle \omega_i</math> функционал для оптимизации принимает вид:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \int\limits^T_0 e^{(z-\rho) \tau} c^\gamma(\tau)\,G(\tau) \,d\tau \;+\; \theta \,e^{(z-\rho) T}\,c^\gamma(T)\, G(T) =max. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8.8)'''</div>
 |}

Проварьируем его (<math>\textstyle \lessdot</math> H) по функции удельного потребления <math>\textstyle c(t)</math>:

:<center><math>c^{\gamma-1}(t)\, e^{(z-\rho)t}\, G(t) - \int\limits^T_t e^{(z-\rho) \tau}\,c^\gamma(\tau)\, G(\tau) \,d\tau - \theta \,e^{(z-\rho)T}c^\gamma(T) G(T) = 0.</math></center>

Это интегральное уравнение относительно <math>\textstyle c(t)</math>. Положив <math>\textstyle t=T</math>, получаем граничное условие <math>\textstyle c(T)=1/\theta</math>. Если взять производную по времени, интегральное уравнение перейдёт в обычное уравнение логистического типа (1.2) ([[Стохастические уравнения]]), с решением (при <math>\textstyle \alpha\neq 0</math> и <math>\textstyle c(T)=1/\theta</math>):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \dot{c} = -\nu\, c + c^2\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;c(t)=\frac{\nu }{1 + (\theta\nu - 1) \cdot e^{\nu (t-T)}}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8.9)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \nu=(\rho-z)/(1-\gamma)</math>. Важным следствием (8.7) и (8.9) является то, что выбор портфеля ''не зависит'' от решения по стратегии изъятий.

<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим частный случай, когда инвестору доступны только два актива &mdash; депозит с фиксированной доходностью <math>\textstyle r_f</math> и акция с волатильностью <math>\textstyle \sigma</math> и доходностью <math>\textstyle r</math>. Доля средств размещаемых в депозите, равна <math>\textstyle \omega_1=1-\omega</math>, а в акциях <math>\textstyle \omega_2=\omega</math>. Матрицы дисперсий <math>\textstyle D_{ij}</math>, доходности <math>\textstyle \mu_i</math> и весов <math>\textstyle \omega_i</math> имеют вид:

:<center><math>\mathbf{D} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \sigma^2 \\ \end{pmatrix},\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{\mu} = \begin{pmatrix} r_f \\ r \\ \end{pmatrix},\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{\omega} = \begin{pmatrix} 1-\omega \\ \omega \\ \end{pmatrix}.</math></center>

Решая систему (8.7), получаем:

:<center><math>\omega = \frac{r-r_f}{(1-\gamma)\sigma^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;z=\gamma r_f + \frac{\gamma}{2}\frac{(r-r_f)^2}{(1-\gamma)\sigma^2}.</math></center>

Мы видели (8.3), что в данном случае эффективное множество является прямой, соединяющей точки <math>\textstyle (0, r_f)</math> и <math>\textstyle (\sigma,r)</math>. Выбор распределения средств между этими двумя активами выглядел абсолютно произвольным. Теория Мертона связывает значение веса <math>\textstyle \omega</math> и выпуклости полезности <math>\textstyle \gamma</math>. Более подробный анализ теории пожизненного инвестирования целесообразно проследить по классической работе Мертона.

----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Диверсификация]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Опционы]]
|}
----
[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения