Просмотр

{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Интегралы Ито]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Интегрирование стохастических уравнений]]
|}
----

<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим процесс, равный интегралу по времени от квадрата винеровской траектории:

:<center><math>U_t = \int\limits^t_0 W^2_\tau \, d\tau = \bigl[\varepsilon_1^2 + (\varepsilon_1+\varepsilon_2)^2+...+(\varepsilon_1+...+\varepsilon_n)^2\bigr]\,\frac{t^2}{n^2},</math></center>

где мы сразу положили <math>\textstyle n\,\Delta t = t</math>. Введём гауссовы случайные величины:

:<center><math>\eta_k = \varepsilon_1+...+\varepsilon_k,\;\;\;\;\;\;\left\langle \eta_i\,\eta_j\right\rangle = D_{ij} = \min(i,j).</math></center>

Их матрица дисперсий <math>\textstyle \mathbf{D}</math> имеет единичный определитель <math>\textstyle \det\mathbf{D}=1</math>. Действительно, вычитая из всех строк первую строку, затем из всех лежащих ниже второй &mdash; вторую строку, и т.д., мы приходим к треугольной матрице с единичными элементами. Например, для <math>\textstyle n=4</math> имеем:

:<center><math>\det\mathbf{D} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 2 & 2\\ 1 & 2 & 3 & 3\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ \end{pmatrix} = ... = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}.</math></center>

Матрица <math>\textstyle \mathbf{D}</math> определяет плотность вероятности величин <math>\textstyle \eta_k</math> (<math>\textstyle \S</math>, стр. \pageref{n_dim_gauss_distribution_sec}):

:<center><math>P(\eta_1,...,\eta_n) =(2\pi)^{-n/2}\, e^{-\frac{1}{2}\,\eta\cdot \mathbf{D}^{-1}\cdot \mathbf{\eta}}.</math></center>

Для скалярной случайной величины <math>\textstyle \xi</math>:

:<center><math>\xi = \frac{U_t}{t^2} = \frac{\eta_1^2+...+\eta^2_n}{n^2},</math></center>

найдём производящую функцию:

:<center><math>\left\langle e^{p\,\xi}\right\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} e^{\frac{p}{n^2}\,(\eta_1^2+...+\eta^2_n)}P(\eta_1,...,\eta_n)\, d^n\eta = \int\limits^\infty_{-\infty} \frac{e^{-\frac{1}{2}\,\eta\cdot \mathbf{A}\cdot \eta}}{(2\pi)^{n/2}}\, d^n\eta = \frac{1}{\sqrt{\det \mathbf{A}}},</math></center>

где матрица <math>\textstyle \mathbf{A}</math> размерности <math>\textstyle n\,</math>x<math>\textstyle \,n</math> равна:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{A} = -\frac{2p}{n^2}\,\mathbf{1} + \mathbf{D}^{-1}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.16)'''</div>
 |}

Умножая обе части (5.16) на <math>\textstyle \mathbf{D}</math> и учитывая, что определитель произведения равен произведению определителей, а <math>\textstyle \det \mathbf{D}=1</math>, получаем:

:<center><math>\left\langle e^{p\,\xi}\right\rangle = \left[\det\left(\mathbf{1}- \frac{2p}{n^2}\,\mathbf{D}\right)\right]^{-1/2}.</math></center>

Нам необходимо найти предел этого выражения при <math>\textstyle n\to\infty</math>.

<math>\textstyle \bullet</math> Для матрицы <math>\textstyle \mathbf{D}</math> размерности <math>\textstyle n\,</math>x<math>\textstyle \,n</math> с элементами <math>\textstyle D_{ij}=\min(i,j)</math> докажем следующее соотношение:

:<center><math>\lim_{n\to\infty} \det\left(\mathbf{1}-\frac{x^2}{n^2}\,\mathbf{D}\right) = \cos(x).</math></center>

Несложно проверить, что обратная к <math>\textstyle \mathbf{D}</math> матрица является ленточной:

:<center><math>\mathbf{D}^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0& 0\\ -1 & 2 & -1 & 0& 0\\ 0 & -1 & 2 & -1& 0\\ 0 & 0 & -1 & 2& -1\\ 0 & 0 & 0 & -1& 1\\ \end{pmatrix}.</math></center>

Поэтому <math>\textstyle A_n = \det\left(\mathbf{1}-\lambda\,\mathbf{D}\right) = \det\left(\mathbf{D}^{-1}-\lambda\right)</math>, где <math>\textstyle \lambda=x^2/n^2</math>, или

:<center><math>A_n = \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & -1 & 0 & 0& 0\\ -1 & 2-\lambda & -1 & 0& 0\\ 0 & -1 & 2-\lambda & -1& 0\\ 0 & 0 & -1 & 2-\lambda& -1\\ 0 & 0 & 0 & -1& 1-\lambda\\ \end{pmatrix}.</math></center>

Вычисление определителя по первой колонке даёт следующее рекуррентное уравнение:

:<center><math>A_n = (2-\lambda)\,A_{n-1}-A_{n-2}.</math></center>

Решим его сначала в более общем случае: <math>\textstyle A_n = (\alpha+\beta)\,A_{n-1}-\alpha\beta A_{n-2}</math>. Перенося влево <math>\textstyle \alpha A_{n-1}</math> и <math>\textstyle \beta A_{n-1}</math>, получим две геометрические прогрессии:

:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} A_n-\alpha A_{n-1} = \beta \cdot (A_{n-1}-\alpha A_{n-2}) = \beta^{n-2}\cdot (A_2-\alpha A_1)\\ A_n-\beta A_{n-1} = \alpha\cdot (A_{n-1}-\beta A_{n-2}) = \alpha^{n-2}\cdot (A_2-\beta A_1).\\ \end{array}\right.</math></center>

Если <math>\textstyle \alpha\neq\beta</math>, то можно исключить <math>\textstyle A_{n-1}</math> и найти <math>\textstyle A_n</math>:

:<center><math>A_n=\frac{A_2-\beta A_1}{\alpha(\alpha-\beta)}\,\alpha^n-\frac{A_2-\alpha A_1}{\beta(\alpha-\beta)}\,\beta^n.</math></center>

В нашем случае <math>\textstyle \alpha</math> и <math>\textstyle \beta</math> являются корнями уравнения <math>\textstyle x^2-(2-\lambda)\,x+1=0</math>, для которых можно сразу взять ведущий порядок малости по <math>\textstyle 1/n</math>:

:<center><math>\alpha \approx 1 + \imath\,\frac{x}{n},\;\;\;\;\; \beta \approx 1 - \imath\,\frac{x}{n},\;\;\;\;\;\;A_1\approx A_2\approx 1.</math></center>

Воспользовавшись предельным определением экспоненты, получаем:

:<center><math>A_n \to \frac{1}{2}\,\left(1+\frac{\imath x}{n}\right)^n + \frac{1}{2}\,\left(1-\frac{\imath x}{n}\right)^n\;\to\; \frac{e^{\imath\,x}+e^{-\imath\,x}}{2} = \cos(x),</math></center>

что и требовалось доказать.

<math>\textstyle \bullet</math> Таким образом, интегралу от квадрата винеровской траектории

:<center><math>U_t = \int\limits^t_0 W^2_\tau \, d\tau</math></center>

соответствует ''производящая функция Камерона-Мартина'':

:<center><math>\left\langle e^{p\,U_t}\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{\cos(t\sqrt{2p})}} = 1 + p\,\frac{1}{2}\,t^2 + \frac{p^2}{2!}\,\frac{7}{12}\,t^4 + \frac{p^3}{3!}\,\frac{139}{120}\, t^6+ \frac{p^4}{4!}\,\frac{5473}{1680}\, t^8+...,</math></center>

и, следовательно, следующие средние значения:

:<center><math>\left\langle U_t\right\rangle = \frac{t^2}{2},\;\;\;\;\left\langle U^2_t\right\rangle = \frac{7}{12}\,t^4,\;\;\;\; \left\langle U^3_t\right\rangle = \frac{139}{120}\, t^6,\;\;\;\;\left\langle U^4_t\right\rangle = \frac{5473}{1680}\, t^8,\;\;\;\;...</math></center>

Процесс <math>\textstyle U_t</math>, как и <math>\textstyle S_t</math> (стр. \pageref{sec_sqr_W}), в момент времени <math>\textstyle t</math> выражается через скалярную случайную величину <math>\textstyle \xi</math>, однако, она имеет не гауссово распределение:

:<center><math>U_t = \xi\,t^2,\;\;\;\;\;\;\;\left\langle e^{p\,\xi}\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{\cos(\sqrt{2p})}},</math></center>

тогда как <math>\textstyle S_t=\varepsilon \,t^{3/2}/\sqrt{3}</math>, где <math>\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)</math>.

Зная производящие функции для <math>\textstyle S_t</math> и <math>\textstyle U_t</math>, можно вычислить некоторые стохастические интегралы по <math>\textstyle \delta W</math>. При помощи [[Интегралы Ито|интегральной версии леммы Ито (5.15)]], в качестве упражнения стоит проверить, что:

:<center><math>\int\limits^t_0 W^2_\tau \, \delta W_\tau = \frac{W^3_t}{3} - S_t, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int\limits^t_0 W^3_\tau \, \delta W_\tau = \frac{W^4_t}{4} - \frac{3}{2}\,U_t.</math></center>

Аналогично, при помощи общей интегральной леммы Ито с функцией, зависящей от времени, имеем:

:<center><math>\int\limits^t_0 \tau\, \delta W_\tau = t\, W_t - S_t,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \int\limits^t_0 \tau\,W_\tau\, \delta W_\tau = \frac{t}{2}\, W^2_t -\frac{t^2}{4} - \frac{1}{2} \,U_t.</math></center>

Таким образом, изучив статистические свойства трех базовых процессов <math>\textstyle W_t</math>, <math>\textstyle S_t</math> и <math>\textstyle U_t</math>, мы можем вычислять различные средние для достаточно широкого класса случайных процессов, выражаемых через стохастические интегралы.

Процесс <math>\textstyle U_t</math> имеет негауссово распределение, однако производящая функция для него была вычислена при помощи <math>\textstyle n</math>-мерного интеграла Гаусса. Для интегралов по времени от <math>\textstyle W^3_t</math>, <math>\textstyle W^4_t</math>,... получить подобные простые выражения уже не просто.

<math>\textstyle \bullet</math> Найдём совместную производящую функцию для винеровского процесса и двух интегралов от него по времени:

:<center><math>W_t,\;\;\;\;\;\;S_t=\int\limits^t_0 W_\tau\,d\tau,\;\;\;\;\;\;\;U_t=\int\limits^t_0 W^2_\tau\,d\tau.</math></center>

Переходя к <math>\textstyle n</math> скоррелированным гауссовым величинам <math>\textstyle \eta_k=\varepsilon_1+...+\varepsilon_k</math>, имеем:

:<center><math>\left\langle e^{q\,W_t+k\,S_t+p\,U_t}\right\rangle = (2\pi)^{-n/2} \int\limits^\infty_{-\infty} e^{\mathbf{b}\cdot \eta - \frac{1}{2}\,\eta\cdot \mathbf{A}\cdot \eta}\, d\eta_1...d\eta_n.</math></center>

Матрица <math>\textstyle \mathbf{A}</math> и вектор <math>\textstyle \mathbf{b}</math> равны:

:<center><math>\mathbf{A} = -\frac{2p\,t^2}{n^2}\,\mathbf{1} + \mathbf{D}^{-1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{b}= k\, \frac{t^{3/2}}{n^{3/2}}\,\mathbf{u} + q\,\frac{t^{1/2}}{n^{1/2}}\,\mathbf{z},</math></center>

где <math>\textstyle \mathbf{u}=\left(1, ..., \;1\right)</math> &mdash; единичный вектор, а <math>\textstyle \mathbf{z}=\left(0, \; 0, \; ..., \; 0,\;1\right)</math> &mdash; вектор, у которого отлична от нуля только последняя компонента. Проведя интегрирование, получаем:

:<center><math>\left\langle e^{q\,W_t+k\,S_t+p\,U_t}\right\rangle = \frac{e^{\frac{1}{2}\,\mathbf{b}\cdot\mathbf{F}\cdot\mathbf{b}}}{\sqrt{\det \mathbf{A}}},</math></center>

где <math>\textstyle \mathbf{F}=\mathbf{A}^{-1}</math> &mdash; обратная к <math>\textstyle \mathbf{A}</math> матрица. Значение детерминанта нам известно, осталось вычислить показатель экспоненты. Запишем его при помощи векторов <math>\textstyle \mathbf{u}</math> и <math>\textstyle \mathbf{z}</math>

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{b}\,\mathbf{F}\,\mathbf{b} = k^2t^3 \,\frac{(\mathbf{u}\,\mathbf{F}\,\mathbf{u})}{n^3} +2 kq\,t^2\,\frac{(\mathbf{u}\,\mathbf{F}\,\mathbf{z})}{n^2} +q^2t \,\frac{(\mathbf{z}\,\mathbf{F}\,\mathbf{z})}{n}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.17)'''</div>
 |}

где мы воспользовались тем, что матрица <math>\textstyle \mathbf{F}</math>, как и <math>\textstyle \mathbf{A}</math>, симметрична. Первое выражение в круглых скобках равно сумме всех элементов <math>\textstyle \mathbf{F}</math>, второе &mdash; сумме элементов последней колонки, а третье - элементу в нижнем правом углу матрицы.

Так как матрица <math>\textstyle \mathbf{F}</math> является обратной к <math>\textstyle \mathbf{A}</math>, справедливы следующие соотношения:

:<center><math>(\mathbf{D}^{-1}-(\lambda/n^2)\,\mathbf{1})\cdot \mathbf{F} = \mathbf{F}\cdot(\mathbf{D}^{-1}-(\lambda/n^2)\,\mathbf{1})\cdot \mathbf{F} = \mathbf{1},</math></center>

где <math>\textstyle \lambda = 2p\, t^2</math>. Умножая их на <math>\textstyle \mathbf{D}</math>, мы приходим к двум матричным уравнениям размерности <math>\textstyle n\,</math>x<math>\textstyle \,n</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{F} - \frac{\lambda}{n^2} \,\mathbf{D}\cdot\mathbf{F}= \mathbf{D},\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{F} - \frac{\lambda}{n^2} \,\mathbf{F}\cdot \mathbf{D}= \mathbf{D}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.18)'''</div>
 |}

Нас интересует их решение <math>\textstyle \mathbf{F}</math> при больших <math>\textstyle n</math>.

Удобно сразу перейти к пределу <math>\textstyle n\to\infty</math>, заменив дискретные индексы на вещественные переменные <math>\textstyle x=i/n</math>, <math>\textstyle y=j/n</math>, изменяющиеся от нуля до единицы. В этом случае матрицы становятся функциями двух переменных, а суммы превращаются в интегралы:

:<center><math>\frac{1}{n} \min(i, j) \to D(x,y) = D_{xy} =\min(x,y),\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{n}\sum^n_{k=1} \to \int\limits^1_0 dx.</math></center>

Например, вычисление следа матрицы <math>\textstyle D_{ij}</math> в дискретном и непрерывном вариантах выглядит следующим образом:

:<center><math>\mathrm{Tr}\,\mathbf{D} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}\frac{i}{n}=\frac{n(n+1)}{2n^2}\to \frac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{Tr}\,\mathbf{D} = \int\limits^1_0 x dx = \frac{1}{2}.</math></center>

Аналогично определяем <math>\textstyle F(x,y)=F_{xy}=F_{ij}/n</math>. В результате матричные уравнения (5.18) превращаются в интегральные:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> F_{xy} - \lambda \int\limits^1_0 D_{xz}\,F_{zy}\,dz = D_{xy},\;\;\;\;\;\;\;\;\;F_{xy} - \lambda \int\limits^1_0 F_{xz}\,D_{zy}\,dz = D_{xy}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.19)'''</div>
 |}

Пусть для <math>\textstyle x<y</math> элемент <math>\textstyle F_{xy}</math> равен функции <math>\textstyle F(x,y)</math>. В силу симметрии, если <math>\textstyle x>y</math>, то <math>\textstyle F_{xy}=F(y,x)</math>. Разбивая пределы интегрирования на три отрезка из (5.19), при <math>\textstyle x<y</math> получаем следующие уравнения:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> F_{xy}-\lambda \int\limits^x_0 z\,F_{zy}\,dz - \lambda x \int\limits^y_x F_{zy}\,dz -\lambda x \int\limits^{1}_y F_{yz}\,dz = x, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.20)'''</div>
 |}

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> F_{xy}-\lambda \int\limits^x_0 z\,F_{zx}\,dz - \lambda \int\limits^y_x z F_{xz}\,dz -\lambda y \int\limits^{1}_y F_{xz}\,dz = x. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.21)'''</div>
 |}

Если взять вторую производную по <math>\textstyle x</math> от первого уравнения и по <math>\textstyle y</math> от второго, получатся два осцилляторных уравнения:

:<center><math>\frac{\partial^2 F_{xy}}{\partial x^2} + \lambda F_{xy}=0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\partial^2 F_{xy}}{\partial y^2} + \lambda F_{xy}=0,</math></center>

решение которых можно записать в виде: 
<center>
<math>
\begin{array}{lcl} F(x,y)&=&[f_1\,\cos(y\sqrt{\lambda})+f_2\sin(y\sqrt{\lambda})]\,\cos(x\sqrt{\lambda})\\ &+&[f_3\,\cos(y\sqrt{\lambda})+f_4\sin(y\sqrt{\lambda})]\,\sin(x\sqrt{\lambda}), \end{array} 
</math>
</center>
где <math>\textstyle f_i</math> &mdash; некоторые константы, зависящие от <math>\textstyle \lambda</math>.

Для того, чтобы их найти, необходимо подставить решение, например, в первое интегральное уравнение (5.20). Оно обратится в тождество при любых <math>\textstyle x<y</math>, если <math>\textstyle f_1=f_2=0</math>, <math>\textstyle f_3=1/\sqrt{\lambda}</math>, <math>\textstyle f_4=\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda})\cdot f_3</math>. Следовательно, выражение для матрицы <math>\textstyle F_{xy}</math> при <math>\textstyle x \leqslant y</math> имеет вид:

:<center><math>F_{xy} = \frac{\sin(x\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}}\, \left[ \cos(y\sqrt{\lambda})+\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda})\,\sin(y\sqrt{\lambda})\right].</math></center>

Теперь несложно найти множители в показателе экспоненты (5.17): 
<center>
<math>
\begin{array}{lcl} \frac{'''z'''\,'''F'''\,'''z'''}{n} &=& F_{11} = \frac{\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda} )}{\sqrt{\lambda}},\\ \frac{'''u'''\,'''F'''\,'''z'''}{n^2} &=& \int\limits^1_0 F_{x1}\, dx = \frac{1}{\lambda}\left[\frac{1}{\cos(\sqrt{\lambda})-1}\right],\\ \frac{'''u'''\,'''F'''\,'''u'''}{n^3} &=& 2\int\limits^1_0 \int\limits^y_0F_{xy}\, dx\, dy = \frac{1}{\lambda}\left[\frac{\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}}-1\right]. \end{array} 
</math>
</center>

Поэтому окончательно производящая функция равна:

:<center><math>\left\langle e^{q\,W_t+k\,S_t+p\,U_t}\right\rangle = \frac{e^{M/2}}{\sqrt{\cos(\sqrt{\lambda})}},</math></center>

где <math>\textstyle \lambda=2p\,t^2</math>, и

:<center><math>M = q^2\,t\cdot\frac{\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}} +\frac{k^2\,t^3}{3}\cdot\frac{3}{\lambda}\left[\frac{\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}}-1\right] + kq\,t^2\cdot \frac{2}{\lambda}\left[\frac{1}{\cos(\sqrt{\lambda})}-1 \right].</math></center>

Заметим, что, если <math>\textstyle \lambda=0</math>, то

:<center><math>\left\langle e^{q\,W_t+k\,S_t}\right\rangle = e^{\frac{1}{2}\,(q^2t + \frac{1}{3}\,k^2t^3 + kq t^2)}</math></center>

соответствует двум скоррелированным гауссовым случайным величинам.

Приведём значение некоторых средних:

:<center><math>\left\langle W_t\,S_t\right\rangle = \frac{t^2}{2},\;\;\;\;\;\left\langle W_t\,U_t\right\rangle = \left\langle S_t\,U_t\right\rangle =0,</math></center>

:<center><math>\left\langle W^2_t\,S_t\right\rangle =\left\langle W_t\,S^2_t\right\rangle =\left\langle W_t\,U^2_t\right\rangle =\left\langle S_t\,U^2_t\right\rangle = 0,</math></center>

:<center><math>\left\langle W^2_t\,U_t\right\rangle =\frac{7}{6}\,t^3,\;\;\;\;\;\left\langle S^2_t\,U_t\right\rangle =\frac{13}{30}\,t^5.</math></center>

Другие соотношения можно найти в разделах <math>\textstyle \mathbf{R}_{}</math>, <math>\textstyle \mathbf{R}_{}</math>, <math>\textstyle \mathbf{R}_{}</math> "Стохастического справочника" (стр. \pageref{r_base_int_process}).


----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Интегралы Ито]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Интегрирование стохастических уравнений]]
|}
----
[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения