Просмотр

{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Размер и форма объектов]] << 
 ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Звёздное небо]]
|}
----


<math>\textstyle \bullet</math> Аберрация аналогична эффекту Доплера, однако при этом "искажается" не частота излучения источника, а его видимое положение. Как и эффект Доплера, аберрация имеет классическую составляющую и поправки, связанные с релятивистскими эффектами. Впервые аберрация была обнаружена как изменение положения звёзд при движении Земли по орбите вокруг Солнца. Поэтому начнём мы именно с этого примера.

Пусть неподвижный относительно Солнца наблюдатель <math>\textstyle S</math> видит в направлении <math>\textstyle \theta</math> от плоскости орбиты Земли так же неподвижную звезду (в астрономии этот угол называется ''склонением''). Другой наблюдатель <math>\textstyle S'</math> на Земле движется относительно первого со скоростью <math>\textstyle v</math> (рисунок слева): 

<center>[[File:aberation.png]]</center>

Когда наблюдатели окажутся в одной точке, землянин увидит звезду под углом <math>\textstyle \theta'</math> (второй рисунок). Для землянина звезда движется ему навстречу со скоростью <math>\textstyle v</math>, поэтому она видна из положения <math>\textstyle A</math>, которое занимала некоторое время <math>\textstyle t'</math> назад. Это время необходимо свету, чтобы пройти гипотенузу треугольника (<math>\textstyle c=1</math>). "Истинное" положение звезды соответствует точке <math>\textstyle B</math>. Неподвижный относительно звезды наблюдатель <math>\textstyle S</math> также видит её в прошлом, но всё время в одном направлении (под углом <math>\textstyle \theta</math>). Разложение гипотенузы <math>\textstyle t'</math> по катетам позволяет связать между собой углы:

:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} t'\sin \theta' = H'\\ t'\cos\theta' = vt' + L' \end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\frac{\sin\theta'}{\cos\theta' - v}=\frac{H'}{L'}= \frac{\mathrm{tg}\theta}{\sqrt{1-v^2}},</math></center>

где учтено, что для неподвижного относительно звезды наблюдателя <math>\textstyle \mathrm{tg} \theta = H/L</math>, и, в силу лоренцевского сокращения, расстояние по горизонтали до звезды с точки зрения землянина сокращается <math>\textstyle L'=L\sqrt{1-v^2}</math>, а <math>\textstyle H'=H</math>. Учитывая, что <math>\textstyle 1+\mathrm{tg}^2\theta=1/\cos^2\theta</math>, можно записать:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \cos \theta = \frac{\cos \theta' - v}{1- v\cos\theta'},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \sin \theta = \frac{\sqrt{1-v^2}\cdot \sin \theta'}{1- v\cos\theta'}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(2.12)'''</div>
 |}

Рассмотренные в предыдущем разделе искажения формы двигающихся объектов, по сути, также являлись проявлением аберрации.

----


<math>\textstyle \bullet</math> К аберрации можно также прийти от правила сложения скоростей. В данном случае объектом, двигающимся со скоростью <math>\textstyle \mathbf{u}</math> относительно системы <math>\textstyle S</math> и c <math>\textstyle \mathbf{u}'</math> относительно <math>\textstyle S'</math>, является световой сигнал, распространяющийся от источника к наблюдателям: 

<center>[[File:aberation1.png]]</center>

Из рисунка следует, что проекции скорости света равны <math>\textstyle u_x=-\cos \theta</math> и <math>\textstyle u_y=-\sin \theta</math>. Аналогично со штрихами для двигающегося наблюдателя <math>\textstyle S'</math>, так как модуль скорости света <math>\textstyle c=1</math> в обоих системах одинаков. Подставляя эти компоненты в закон сложения скоростей, получим:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \cos \theta' = \frac{\cos \theta + v}{1+ v\cos\theta},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \sin \theta' = \frac{\sqrt{1-v^2}\cdot \sin \theta}{1+ v\cos\theta}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(2.13)'''</div>
 |}

Эти формулы являются обратным к найденными выше. Как обычно, обратные преобразования получаются при замене <math>\textstyle v\mapsto -v</math> или прямыми алгебраическими вычислениями.

Разница в углах наблюдения источника для неподвижного и двигающегося наблюдателей может быть выражена через синус разности углов <math>\textstyle \alpha=\theta-\theta'</math>:

:<center><math>\sin \alpha=\sin\theta\cos\theta'-\cos\theta\sin\theta'=\frac{v+\left(1-\sqrt{1-v^2}\right)\cos\theta}{1+ v\cos\theta}\sin\theta.</math></center>

При малых скоростях можно написать приближённое соотношение:

:<center><math>\sin \alpha \approx v\cdot\sin\theta.</math></center>

Так как <math>\textstyle v\ll 1</math>, следовательно угол <math>\textstyle \alpha</math> мал, и в силу <math>\textstyle \sin \alpha\approx \alpha</math>, имеем <math>\textstyle \alpha\approx v\sin\theta</math>. Разность в наблюдениях максимальна, когда угол <math>\textstyle \theta=\pi/2</math>, т.е. источник находится над головой неподвижного наблюдателя. В этом случае, в первом приближении по <math>\textstyle v</math>, отклонение от вертикали для двигающегося наблюдателя составит <math>\textstyle \alpha\approx v</math>.

В обыденной жизни мы наблюдаем эффект аберрации, когда замечаем, что звук быстро летящего самолёта в воздухе отстаёт от его истинного положения (которое, в данном случае, практически совпадает с видимым).

----


<math>\textstyle \bullet</math> Получим теперь формулу аберрации, справедливую для произвольного направления скорости и положения объекта. Для этого запишем преобразования Лоренца в векторном виде. Пусть система <math>\textstyle S'</math> двигается со скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}</math> относительно инерциальной системы <math>\textstyle S</math>: 

<center>[[File:lorenz_3D.png]]</center>

Хотя рисунок выполнен в двумерии, сейчас мы считаем, что движение происходит в трёхмерном пространстве. На правом рисунке представлено разложение радиус вектора <math>\textstyle \mathbf{r}</math> по двум векторам <math>\textstyle \mathbf{r}_{\shortparallel}</math> и <math>\textstyle \mathbf{r}_{\perp}</math>. Первый из них направлен вдоль скорости <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, а второй ей перпендикулярен:

:<center><math>\mathbf{r} = \mathbf{r}_{\shortparallel}+\mathbf{r}_{\perp},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{r}_{\shortparallel} = \frac{(\mathbf{r}\mathbf{v})}{v^2}\,\mathbf{v}.</math></center>

Длина вектора <math>\textstyle \mathbf{r}_{\shortparallel}</math> определяется проекцией <math>\textstyle \mathbf{r}</math> на единичный вектор вдоль направления скорости <math>\textstyle \mathbf{v}/v</math>. Он же задаёт направление <math>\textstyle \mathbf{r}_{\shortparallel}</math>. Далее, <math>\textstyle v=\sqrt{\mathbf{v}^2}</math> &mdash; длина вектора относительной скорости.

Подобное разложение позволяет записать преобразования Лоренца для каждой компоненты:

:<center><math>\mathbf{r}'_\shortparallel = \gamma\cdot (\mathbf{r}_{\shortparallel}-\mathbf{v } t),\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{r}'_{\perp}=\mathbf{r}_{\perp},\;\;\;\;\;\;\;t'=\gamma\cdot (t-\mathbf{r}_{\shortparallel}\mathbf{v}),</math></center>

где <math>\textstyle \gamma=1/\sqrt{1-v^2}</math>. Действительно, <math>\textstyle \mathbf{r}_\shortparallel</math> направлен вдоль <math>\textstyle \mathbf{v}</math> и играет роль <math>\textstyle x</math> в обычных преобразованиях Лоренца. Аналогично <math>\textstyle \mathbf{r}_{\perp}</math> перпендикулярен скорости и играет роль <math>\textstyle y</math>. Учитывая, что <math>\textstyle \mathbf{r}'=\mathbf{r}'_{\shortparallel}+\mathbf{r}'_{\perp}</math>, заменяя <math>\textstyle \mathbf{r}_{\perp}</math> на <math>\textstyle \mathbf{r}-\mathbf{r}_\shortparallel</math>, несложно записать преобразования в виде:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r} - \gamma\mathbf{v} t + (\gamma-1)\,\frac{(\mathbf{r}\mathbf{v}) \mathbf{v}}{v^2}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t'=\gamma\cdot (t-\mathbf{r}\mathbf{v}). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(2.14)'''</div>
 |}

Их эквивалентная форма может быть представлена при помощи векторного произведения:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \gamma\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{v} t) + (\gamma-1)\,\frac{ [\mathbf{v}\times [\mathbf{v}\times\mathbf{r}]]}{v^2}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;t'=\gamma\cdot (t-\mathbf{r}\mathbf{v}), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(2.15)'''</div>
 |}

где учтено тождество двойного векторного произведения, справедливое для любых трёх векторов: <math>\textstyle [\mathbf{a}\times[\mathbf{b}\times\mathbf{c}]]=\mathbf{b}(\mathbf{a}\mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\mathbf{b})</math>. Обратные преобразования получаются, как обычно, заменой <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto -\mathbf{v}</math>.

----


<math>\textstyle \bullet</math> При помощи (2.14) можно получить связь скоростей некоторого объекта <math>\textstyle \mathbf{u'}=d\mathbf{r}'/dt'</math> и <math>\textstyle \mathbf{u}=d\mathbf{r}/dt</math>, измеренные наблюдателями в каждой системе отсчёта:

:<center><math>\mathbf{u}' = \frac{\mathbf{u}-\mathbf{v} + [\mathbf{v}\times [\mathbf{v}\times\mathbf{u}]]\cdot\left(1-\sqrt{1-v^2}\right)/v^2 }{1-\mathbf{u}\mathbf{v}}.</math></center>

Из этого соотношения совсем несложно найти выражение для аберрации. Предположим, что единичные векторы <math>\textstyle \mathbf{n}</math> и <math>\textstyle \mathbf{n}'</math> являются направлениями на источник света с точки зрения каждого наблюдателя. Соответственно, световой сигнал распространяется к наблюдателю, т.е. против этих векторов: <math>\textstyle \mathbf{u}=-\mathbf{n}</math> и <math>\textstyle \mathbf{u}'=-\mathbf{n}'</math>, поэтому:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}' = \frac{\mathbf{n}+\mathbf{v} + [\mathbf{v}\times [\mathbf{v}\times\mathbf{n}]]\cdot(1-\sqrt{1-v^2})/v^2 }{1+\mathbf{n}\mathbf{v}}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(2.16)'''</div>
 |}

Например, когда нас интересует угол <math>\textstyle \theta</math> между направлением на объект и вектором скорости, можно записать <math>\textstyle \mathbf{n}\mathbf{v}=v\cos\theta</math>, и аналогично для штрихованного угла. Умножая правую и левую часть на <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, и учитывая, что для любого вектора <math>\textstyle \mathbf{a}</math> справедливо <math>\textstyle \mathbf{v}\cdot(\mathbf{v}\times \mathbf{a})=(\mathbf{v}\times \mathbf{v})\cdot\mathbf{a}=0</math>, несложно получить соотношение для косинусов (2.12).

Косинус угла <math>\textstyle \cos\alpha</math> между направлениями на источник в обоих системах равен:

:<center><math>\cos\alpha = \mathbf{n}'\mathbf{n} = 1 - \frac{[\mathbf{v}\times \mathbf{n}]^2}{(1+\mathbf{n}\mathbf{v})v^2}\left(1-\sqrt{1-v^2}\right)\approx 1-\frac{[\mathbf{v}\times \mathbf{n}]^2}{2},</math></center>

где приближенное равенство записано для малых скоростей, когда можно считать, что <math>\textstyle \sqrt{1-v^2}\approx 1-v^2/2</math>. Если скорость мала, то мал и угол аберрации. Учитывая разложение косинуса <math>\textstyle \cos\alpha=1-\alpha^2/2+...</math>, получаем:

:<center><math>\alpha \approx |[\mathbf{v}\times \mathbf{n}]|.</math></center>

Аберрация отсутствует, если источник находится на прямой движения системы отсчёта, и максимальна, если <math>\textstyle \mathbf{n}</math> и <math>\textstyle \mathbf{v}</math> перпендикулярны. В этом случае угол <math>\textstyle \alpha=v</math> и направлен от вертикали в сторону движения.

Для малых скоростей в формуле для аберрации (2.15) можно отбросить двойное векторное произведение (порядок <math>\textstyle v^2</math>) и, раскладывая в ряд знаменатель, в линейном по <math>\textstyle v</math> приближении, получить:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}' \approx \mathbf{n}+\mathbf{v} - \mathbf{n}(\mathbf{n}\mathbf{v}) = \mathbf{n} - [\mathbf{n}\times[\mathbf{n}\times\mathbf{v}]]. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(2.17)'''</div>
 |}

Во втором равенстве снова использована формула двойного векторного произведения. В качестве упражнения имеет смысл проверить, что эта ''приближённая формула'' с точностью до первого порядка по <math>\textstyle v</math> приводит к единичной длине штрихованного вектора <math>\textstyle \mathbf{n}'^2\approx 1</math>.

----


<math>\textstyle \bullet</math> Земля вращается вокруг Солнца по эллипсу. На самом деле эксцентриситет (сплюснутость) земной орбиты не велик. Минимальное и максимальное расстояния от Солнца отличаются друг от друга всего на 3\%, поэтому, для упрощения вычислений будем считать орбиту Земли круговой с радиусом <math>\textstyle R=1.496\cdot 10^8</math> км. Это расстояние также называется одной ''астрономической единицей'' (а.е.). Пока забудем об аберрации. Даже в её отсутствие, из-за обращения Земли вокруг Солнца близкие к нам звёзды испытывают видимое перемещение на небесной сфере, т.н. ''годовой параллакс''. В простейшем случае, если звезда находится "над Солнцем", с точки зрения Земли она описывает окружность (левый рисунок): 

<center>[[File:parallax.png]]</center>

''Парсек'' &mdash; это расстояние, с которого средний радиус орбиты Земли виден под углом равным одной секунде. На рисунке пропорции сильно искажены. На самом деле <math>\textstyle r_0\gg R</math>, и, следовательно, <math>\textstyle R/r_0=\mathrm{tg}\theta\approx \theta</math>. Одна угловая секунда составляет 1/3600 часть градуса, поэтому:

:<center><math>1\;пк = \frac{360\cdot 3600}{2\pi}\cdot 1\,a.e = 206\,265\;a.e.=3.0857\cdot 10^{13}\,км.</math></center>

Слово парсек происходит от объединения слов параллакс и секунда. Расстояние в один парсек свет преодолевает в течении 3.26 года. Расстояние до ближайшей звёздной системы Альфа-Центавра составляет 1.3 пк. Измерение параллаксов при помощи орбитальных телескопов позволяет охватить расстояния до 500 пк.

Для описания параллакса произвольно ориентированной звезды введём единичный вектор <math>\textstyle \mathbf{n}_0=\mathbf{r}_0/r_0</math> в её направлении с точки зрения "наблюдателя на Солнце" и <math>\textstyle \mathbf{n}=\mathbf{r}/r</math> для земного наблюдателя. Для радиус-векторов каждого наблюдателя справедливо соотношение <math>\textstyle \mathbf{r}=\mathbf{r}_0-\mathbf{R}</math>, где <math>\textstyle \mathbf{R}</math> &mdash; радиус-вектор, направленный от Солнца к Земле. Считая, что <math>\textstyle r_0\gg R</math>, аналогично эффекту Доплера (стр. \pageref{dopler_dt}), можно записать:

:<center><math>r =\sqrt{(\mathbf{r}_0-\mathbf{R})^2}\approx \sqrt{\mathbf{r}^2-2\mathbf{r}\mathbf{R}}\approx r_0 - \mathbf{n}_0\mathbf{R} =r_0\cdot (1-\mathbf{n}_0\mathbf{P}),</math></center>

где <math>\textstyle \mathbf{P}=\mathbf{R}/r_0</math> &mdash; ''вектор параллакса''. Поэтому:

:<center><math>\mathbf{n}=\frac{\mathbf{r}}{r}\approx\frac{\mathbf{r}_0-\mathbf{R}}{r_0(1-\mathbf{n}_0\mathbf{P})}\approx (\mathbf{n}_0-\mathbf{P})(1+\mathbf{n}_0\mathbf{P}) \approx \mathbf{n}_0+\mathbf{n}_0(\mathbf{n}_0\mathbf{P}) -\mathbf{P},</math></center>

где знаменатель разложен по малым <math>\textstyle P</math>.

Воспользовавшись тождеством <math>\textstyle [\mathbf{a}\times[\mathbf{b}\times\mathbf{c}]]=\mathbf{b}(\mathbf{a}\mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\mathbf{b})</math>, связь единичных векторов в направлении звезды с Солнца <math>\textstyle \mathbf{n}_0</math> и Земли <math>\textstyle \mathbf{n}</math> можно записать при помощи векторного произведения:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n} \approx \mathbf{n}_0+\mathbf{n}_0(\mathbf{n}_0\mathbf{P})-\mathbf{P} = \mathbf{n}_0 + [\mathbf{n}_0\times [\mathbf{n}_0\times \mathbf{P}]]. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(2.18)'''</div>
 |}

В сферической системе координат с углами <math>\textstyle (\theta,\phi)</math> (см. выше центральный рисунок) на поверхности сферы можно ввести два ортогональных единичных вектора <math>\textstyle \mathbf{e}_\phi</math>, <math>\textstyle \mathbf{e}_\theta</math>, перпендикулярных к <math>\textstyle \mathbf{n}_0</math>:

:<center><math>\mathbf{n}_0=(s_\theta c_\phi, \;s_\theta s_\phi, \;c_\theta)\;\;\;\;\;\mathbf{e}_\phi = (-s_\phi,\; c_\phi,\; 0),\;\;\;\;\;\mathbf{e}_\theta = (c_\theta c_\phi,\; c_\theta s_\phi,\;-s_\theta),</math></center>

где <math>\textstyle s_\theta=\sin\theta</math>, <math>\textstyle c_\theta=\cos\theta</math>, и т.д. Несложно проверить, что <math>\textstyle \mathbf{e}_\phi \mathbf{e}_\theta=0</math>, кроме этого, вектора <math>\textstyle \mathbf{e}_\phi\sim \partial \mathbf{n}_0/\partial \phi</math>, <math>\textstyle \mathbf{e}_\theta = \partial \mathbf{n}_0/\partial \theta</math> направлены в сторону малого изменения угловых координат.

Земля вращается вокруг Солнца по окружности, поэтому компоненты параллакса равны <math>\textstyle \mathbf{P}=\mathbf{R}/r_0=P\cdot(\cos 2\pi t, \;\sin 2\pi t, \;0)</math>, где время <math>\textstyle t</math> измеряется в годах. Проекции вектора <math>\textstyle \mathbf{n}</math> на оси сферической системы координат <math>\textstyle (\mathbf{e}_\phi, \mathbf{e}_\theta)</math> имеют значения:

:<center><math>\mathbf{n}\mathbf{e}_\phi = -\mathbf{P}\mathbf{e}_\phi=P\sin(\phi-2\pi t),\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{n}\mathbf{e}_\theta = -\mathbf{P}\mathbf{e}_\theta = -P\cos\theta\cos(\phi-2\pi t).</math></center>

Таким образом, на поверхности небесной сферы звезда описывает эллипс с полуосями <math>\textstyle P\cos\theta</math> и <math>\textstyle P</math>. При <math>\textstyle \theta=0</math> (звезда над Солнцем) получается окружность с радиусом, равным параллаксу.

До сих пор земная система отсчёта была неподвижна. Подставляя в приближённое соотношение для аберрации (2.16) связь (2.17) и пренебрегая членами порядка <math>\textstyle P\cdot v</math>, можно записать:

:<center><math>\mathbf{n}' \approx \mathbf{n}_0 + \underbrace{[\mathbf{n}_0\times [\mathbf{n}_0\times \mathbf{P}]]}_{parallax}-\underbrace{[\mathbf{n}_0\times [\mathbf{n}_0\times \mathbf{v}]]}_{aberration}.</math></center>

Скорость движения Земли <math>\textstyle \mathbf{v}</math> по круговой орбите перпендикулярна <math>\textstyle \mathbf{R}</math> и составляет 30 км/c или <math>\textstyle v=10^{-4}</math> в долях скорости света. Если радиус-вектор <math>\textstyle \mathbf{R}=R\cdot(\cos 2\pi t, \sin 2\pi t, 0)</math>, то скорость <math>\textstyle \mathbf{v}=v\cdot(-\sin 2\pi t, \cos 2\pi t, 0)</math>. Стоит проверить, что при этом большая полуось эллипса равна <math>\textstyle \sqrt{P^2+v^2}</math>.

Параллакс даже для ближайшей звёзды равен <math>\textstyle P=R/r_0\sim 4\cdot 10^{-6}</math>, т.е. в 27 раз меньше безразмерной скорости. Поэтому движение звёзд в течении года по эллипсу в результате аберрации &mdash; эффект более заметный, чем параллакс. Тем не менее измерение параллакса является наиболее надёжным способом определения расстояния до ближайших звёзд.

----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Размер и форма объектов]] << 
 ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Звёздное небо]]
|}
----
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии