Франк Роте 1911 V

Материал из Synset

О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся

Филипп Франк и Герман Роте

Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

V

16. Прежде чем мы выведем общий случай конечных уравнений (43a) группы $\textstyle \mathfrak{G}$ , рассмотрим более подробно в качестве иллюстрации к предшествующим выкладкам две специальные однопараметрические однородные группы (2) и (1) преобразований Галилея и Лоренца, упомянутые в начале статьи.

Коэффициенты $\textstyle b_{ik}(q)$ группы (2) преобразований Галилея имеют вид:

$\left\{ \begin{array}{lll} b_{11}(q)\equiv 1,\;\;\;\;\; b_{12}(q)\equiv 0,\\[2mm] b_{21}(q)\equiv -q,\;\; b_{22}(q)\equiv 1; \end{array} \right.$

(84)

отсюда получаем при $\textstyle q=0$ :

$\left\{ \begin{array}{lll} b_{11}(0)=1,\;\;\;\; b_{12}(0)= 0,\\[2mm] b_{21}(0)= 0,\;\;\;\; b_{22}(0)=1, \end{array} \right.$

(44b)

в соответствии с уравнениями (44a). Далее, из (84) следует:

$\left\{ \begin{array}{lll} b'_{11}(q)\equiv 0,\;\;\;\;\; b'_{12}(q)\equiv 0,\\[2mm] b'_{21}(q)\equiv -1,\;\; b'_{22}(q)\equiv 0; \end{array} \right.$

(85)

а отсюда согласно (46a):

$\left\{ \begin{array}{lll} \alpha_{11}=b'_{11}(0)=0, & \alpha_{12}=b'_{12}(0)=0,\\[2mm] \alpha_{21}=b'_{21}(0)=-1, & \alpha_{22}=b'_{22}(0)=0, \end{array} \right.$

(46b)

так что уравнению (76) выполняется. Для бесконечно малого преобразования (47a) и (52a) получаем:

$\delta t=0,\;\;\;\delta x=-t\delta q$

(47b)

и

δ w = - δ q .

(52b)

Наконец, используя уравнение (57a), получим:

θ = 0,

(57b)

таким образом, обе выделенные скорости $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ станут равны друг другу, а именно:

$c_{1}=c_{2}=\infty,$

(86)

в то время как конечное уравнение (73a) для преобразования скорости переходит в

w' = w - q .

(73b)

Для группы (1) преобразований Лоренца коэффициенты $\textstyle b_{ik}(q)$ даются выражениями

$\left\{ \begin{array}{lll} b_{11}(q)\equiv\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}},\;\;\; b_{12}(q)\equiv\displaystyle\frac{-\frac{q}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}},\\[8mm] b_{21}(q)\equiv\displaystyle\frac{-q}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}},\;\;\; b_{22}(q)\equiv\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}} \end{array} \right.$

(87)

откуда при $\textstyle q=0$ снова получаем уравнения (44a). Для производных $\textstyle b'_{ik}(q)$ этих коэффициентов находим:

$\left\{ \begin{array}{lll} b'_{11}(q)\equiv\displaystyle\frac{\frac{q}{c^{2}}}{\left(1-\frac{q^{2}}{c^{2}}\right)^{3/2}},\;\;\; b'_{12}(q)\equiv\displaystyle\frac{-\frac{1}{c^{2}}}{\left(1-\frac{q^{2}}{c^{2}}\right)^{3/2}},\\[8mm] b'_{21}(q)\equiv\displaystyle\frac{-1}{\left(1-\frac{q^{2}}{c^{2}}\right)^{3/2}},\;\;\; b'_{22}(q)\equiv\displaystyle\frac{\frac{q}{c^{2}}}{\left(1-\frac{q^{2}}{c^{2}}\right)^{3/2}}, \end{array} \right.$

(88)

а отсюда согласно (46a) следует:

$\left\{ \begin{array}{lll} \alpha_{11}=b'_{11}(0)=0, & \alpha_{12}=b'_{12}(0)=-\frac{1}{c^{2}},\\[2mm] \alpha_{21}=b'_{21}(0)=-1, & \alpha_{22}=b'_{22}(0)=0, \end{array} \right.$