Ускоренное движение

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Звёздное небо << Оглавление (Глава 2) >> Прецессия ускоренного стрежня

Понятно, что в релятивистской теории равноускоренное движение, аналогичное классической механике, невозможно. Если скорость тела всё время увеличивается , то она рано или поздно превысит фундаментальную скорость . Это невозможно в силу энергетических ограничений, которые будут изучены в следующей главе. Сейчас же мы рассмотрим один из вариантов ускоренного движения, при котором скорость постоянно увеличивается, оставаясь, тем не менее, все время меньше единицы ().

Пусть для наглядности мимо неподвижного наблюдателя пролетает космический корабль, имеющий в данный момент времени скорость . Этот корабль плавно увеличивает свою скорость. Перейдём в систему отсчёта, связанную с ним (правый рисунок):

A const.png

Так как за малое время скорость корабля увеличивается незначительно, мы можем считать, что относительно своего предыдущего состояния она увеличилась на , где — некоторая константа. По правилу сложения скоростей (2.2) новая скорость с точки зрения неподвижного наблюдателя равна:

Так как мал, разложим знаменатель в ряд [], и, сохраняя порядок малости, перемножим его с числителем:

где . Учитывая, что время по часам корабля идёт медленнее, и вводя производную скорости , получим:

(2.19)

Это дифференциальное уравнение описывает, как изменяется скорость некоторого объекта для неподвижного наблюдателя, если с "точки зрения" объекта, он пытается двигаться равноускоренно.

Выбрав начальное условие в виде и проинтегрировав это дифференциальное уравнение, получим:

(2.20)

Динамика величины совпадает с классической зависимостью увеличения скорости и она может быть сколь угодно большой. Однако релятивистская скорость всегда остаётся меньше единицы:

(2.21)

Учитывая, что , после ещё одного интегрирования ( H) с начальным условием можно получить траекторию движения:

(2.22)

Напомним, что мы работаем в системе единиц, в которой . Чтобы восстановить в формулах , необходимо сделать замены , и , так как ускорение имеет размерность []. В этом случае и , и будут делиться на . В пределе , раскладывая в ряд по малым и , мы получим хорошо известные классические выражения для движения равноускоренного объекта:

Ниже приведены графики изменения скорости и координаты объекта, который ускоряется в течение единичного времени с единичным ускорением, а затем сразу начинает тормозить:

Accel1.png

Верхние тонкие линии на каждом графике соответствуют классической равноускоренной динамике.

Как в равномерно двигающемся, так и в ускоренном корабле время замедляется. Рассмотрим этот эффект с позиции земного наблюдателя. Пусть корабль разгоняется в течении времени , затем равномерно летит, и через время начинает тормозить в течении времени :

Twins1.png

Вычислим собственное время путешествия, прошедшее на корабле. За малый интервал времени скорость корабля изменяется незначительно, и её можно рассматривать, как локально инерциальную систему отсчета. Поэтому время, прошедшее на двигающихся часах, связано со временем неподвижного наблюдателя следующим образом:

В результате этого интегрирования мы суммируем малые интервалы времени на Земле и на корабле. При этом предполагаем, что ускорение не влияет на ход времени. В следующем разделе мы подробнее остановимся на этом допущении.

Будем помечать, как и раньше, интервал времени у космонавта нулевым индексом. На первом этапе разгона корабля имеем:

(2.23)

где — гиперболический арксинус, являющийся обратным к гиперболическому синусу ( C):

За время разгона корабль достигает скорости [см. (2.21)]:

и дальше двигается равномерно. Поэтому на втором этапе:

время замедляется наиболее сильно, так как скорость максимальна.

Финальный интервал времени при торможении равен

Из соображений симметрии можно сразу взять результат разгона корабля. Складывая интервалы времени каждого этапа, окончательно получаем:

Первое слагаемое меньше, чем , а второе меньше, чем . Их можно ( H) разложить в ряд Тейлора:

Время, прошедшее в неподвижной системе отсчета, равно . Время путешествия по часам корабля меньше, причём на ускоренных этапах оно замедлялось медленнее, чем на этапе равномерного движения.

Сделаем оценки времени полёта к звёздной системе Альфа-Центавра, удалённой от Земли на расстояние 4.3 световых лет. Световой год — это расстояние, которое свет проходит в течении года:

Измеряя расстояние в световых годах, а время — в обычных годах, мы по-прежнему работаем в системе . В этой системе единичное ускорение близко к ускорению свободного падения на поверхности Земли. Пусть из соображений комфорта (искусственная гравитация) космический корабль двигается с ускорением половину пути, а затем сразу начинает тормозить С точки зрения Земли [см.(2.22)] половина пути к звезде св. лет занимает время:

Соответственно, общее время полёта туда и обратно составит 12 лет. Собственное же время космонавта в момент возвращения будет равно года, т.е. на 40% меньше. За 64 года собственного времени космонавт может "слетать" (вернувшись) к галактике Андромеды, удалённой на 2.5 млн. св. лет. На Земле пройдёт около 5 млн. лет. К сожалению, всё не так просто, и технологическая реалистичность подобных перелётов будет проанализирована в следующей главе.



Звёздное небо << Оглавление (Глава 2) >> Прецессия ускоренного стрежня

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии