Уравнения Ито

Материал из Synset

Мартингалы <<	Оглавление	>> Почему Ито

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим дискретную модель блуждания, в которой, кроме случайных толчков $\textstyle \varepsilon_i$ , на каждом шаге происходит постоянный сдвиг $\textstyle x$ на величину $\textstyle \mu_0$ . Через $\textstyle n$ таких шагов результирующее значение $\textstyle x$ будет равно:

$x = x_0 + \mu_0\cdot n + \sigma_0\sqrt{n}\cdot \varepsilon.$

(2.1)

Параметр $\textstyle \mu_0$ называют "сносом" процесса. Если $\textstyle \mu_0>0$ , то траектория постепенно (в среднем) будет сдвигаться вверх, иначе — вниз. Накопленное стохастическое изменение $\textstyle \varepsilon_1+...+\varepsilon_n=\varepsilon\,\sqrt{n}$ пропорционально гауссовой переменной $\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)$ с нулевым средним и единичной дисперсией.

Пусть длительность каждого шага — $\textstyle \Delta t$ , и в течение времени $\textstyle t-t_0$ их количество равно $\textstyle n=(t-t_0)/\Delta t$ . Обозначим дисперсию за единицу времени через $\textstyle \sigma^2=\sigma^2_0/\Delta t$ , а снос $\textstyle \mu=\mu_0/\Delta t$ . В результате $\textstyle x$ становится случайной функцией, которую можно записать в следующем виде:

$x(t)=x(t_0) + \mu\cdot (t-t_0) + \sigma \sqrt{t-t_0} \cdot \;\varepsilon.$

(2.2)

В зависимости от значения случайного гауссового числа $\textstyle \varepsilon$ будет получаться то или иное $\textstyle x$ в момент времени $\textstyle t$ . Таким образом, процесс $\textstyle x(t)$ имеет нормальное распределение с максимумом, сдвигающимся со скоростью $\textstyle \mu$ , и с шириной, увеличивающейся со временем пропорционально корню $\textstyle \sqrt{t-t_0}$ .

Рассмотрим теперь изменение $\textstyle dx=x(t)-x(t_0)$ за бесконечно малый интервал $\textstyle dt=t-t_0$ . В этом случае из (2.2) следует:

$dx \;=\; \mu \;dt +\sigma \,\delta W,$

(2.3)

где введено формальное обозначение $\textstyle \delta W = \varepsilon \sqrt{dt}$ . В отличие от обычных дифференциальных уравнений вида $\textstyle dx=a(x,t)dt$ , подобное уравнение содержит бесконечно малое изменение по времени в степени 1/2. Чтобы подчеркнуть эту необычность, мы используем символ " $\textstyle \delta$ ", а не " $\textstyle d$ ". Процесс, подчиняющийся уравнению (2.3), называется непрерывным винеровским процессом.

Так как мы рассматриваем предел бесконечного числа аддитивных изменений ( $\textstyle n\to \infty$ ), то гауссовость величин $\textstyle \varepsilon$ на самом деле не важна. В силу вычислений раздела "Характеристическая функция", сумма большого числа независимых случайных величин окажется гауссовой величиной. Важным является факт их независимости, в результате которого возникает множитель $\textstyle \sqrt{t}$ ( $\textstyle \lessdot$ C).

$\textstyle \bullet$ Общие процессы Ито представляют собой "деформацию" простого винеровского блуждания при помощи функций $\textstyle a(x,t)$ и $\textstyle b(x,t)$ . Предположим, что снос $\textstyle \mu$ и волатильность $\textstyle \sigma$ — это функции времени $\textstyle t$ , которые могут также зависеть от значения $\textstyle x$ :

${ \;dx = a(x,t)\,dt + b(x,t)\,\delta W \; },$

(2.4)

где $\textstyle \delta W = \varepsilon \sqrt{dt}$ — бесконечно малый винеровский "шум", а $\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)$ . Функция $\textstyle a(x,t)$ называется коэффициентом сноса, а $\textstyle b(x,t)$ — коэффициентом волатильности, квадрат которого $\textstyle b^2(x,t)$ называют диффузией. Локально, если функции $\textstyle a(x,t)$ и $\textstyle b(x,t)$ примерно постоянны, процесс Ито — это обычное аддитивное винеровское блуждание, постепенно изменяющее свои свойства ( $\textstyle \lessdot$ C).

$\textstyle \bullet$ Уравнение Ито (2.4) позволяет легко моделировать временную динамику произвольного стохастического процесса при помощи итерационной схемы

$x_{k+1} = x_k + a(x_k, t_k)\;\Delta t + b(x_k, t_k) \;\sqrt{\Delta t} \cdot \varepsilon_k.$

(2.5)

Для этого выбирается малый интервал времени $\textstyle \Delta t$ и начальное значение $\textstyle x_0$ . Затем генерится нормально распределённое случайное число $\textstyle \varepsilon_1$ и вычисляется следующее значение $\textstyle x_1$ . После чего $\textstyle x_1$ подставляется на место $\textstyle x_0$ , время сдвигается $\textstyle t_1 \Rightarrow t_0+\Delta t$ . В результате получается последовательность случайных чисел $\textstyle x_0$ , $\textstyle x_1$ , $\textstyle x_2$ ,... Соответствующий график имеет характерную фрактальную изломанность, типичную для динамики цен финансовых инструментов или блуждающей броуновской частицы. Заметим, что на каждой итерации генерится новое случайное число $\textstyle \varepsilon_k$ .

Сходимость итерационной процедуры (2.5) имеет одну особенность. Решая обычное дифференциальное уравнение $\textstyle dx = a(x,t)\,dt$ в разностях $\textstyle x_{k+1}=x_k+a(x_k, t_k)\, \Delta t$ , мы предполагаем, что при заданных начальных условиях $\textstyle x_0=x(t_0)$ решение в момент времени $\textstyle t$ будет получаться примерно одно и то же, стремясь к некоторому пределу при уменьшении временного шага $\textstyle \Delta t\to 0$ . Однако для стохастических уравнений это абсолютно не так! Какой бы малый интервал $\textstyle \Delta t$ мы не выбрали, за счёт случайных чисел $\textstyle \varepsilon_k$ будут получаться различные траектории $\textstyle x(t)$ , удалённые друг от друга достаточно далеко.

Сходимость алгоритма (2.5) означает, что при уменьшении $\textstyle \Delta t$ должны к определённому пределу стремиться среднее значение $\textstyle \bar{x}(t)$ , волатильность $\textstyle \sigma(t)$ и функция распределения вероятностей $\textstyle P(x_0, t_0\Rightarrow x,t)$ случайного процесса $\textstyle x(t)$ .

$\textstyle \bullet$ Снос $\textstyle a(x,t)$ и волатильность $\textstyle b(x,t)$ имеют простой смысл. Если $\textstyle x$ в момент времени $\textstyle t_0$ равен $\textstyle x_0$ , то средние значения первой и второй степени его изменения через бесконечно близкий интервал $\textstyle \Delta t\to 0$ будут равны:

$\frac{\left\langle x-x_0\right\rangle }{\Delta t}=a(x_0, t_0),\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\left\langle (x-x_0)^2\right\rangle }{\Delta t}=b^2(x_0, t_0),$

(2.6)

где усреднение проводится при условии $\textstyle x_0=x(t_0)$ . Это утверждение означает использование условной вероятности при вычислении среднего:

$\left\langle (x-x_0)^k\right\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} (x-x_0)^k\cdot P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t)\, dx.$

Моменты времени $\textstyle t_0$ и $\textstyle t$ явным образом указывают, когда происходит наблюдение $\textstyle x_0$ и $\textstyle x$ .

Проверим, что дискретная схема Ито (2.5) приводит к (2.6). В бесконечно близкий к $\textstyle t_0$ момент времени отклонение от $\textstyle x_0$ можно записать в следующем виде:

$x-x_0 = a(x_0,t_0)\cdot \Delta t + b(x_0,t_0)\sqrt{\Delta t}\cdot\varepsilon.$

(2.7)

Напомню, что $\textstyle x$ и $\textstyle \varepsilon$ — это случайные величины, а $\textstyle x_0$ в данном случае — константа начального условия. Среднее квадрата отклонения равно:

$\left\langle (x-x_0)^2\right\rangle = \left\langle a^2_0\;(\Delta t)^2 + 2a_0b_0 \;(\Delta t)^{3/2} \cdot \varepsilon + b_0^2\,\Delta t\cdot \varepsilon^2 \right\rangle = a^2_0\;\Delta t^2+b^2_0\,\Delta t,$

где $\textstyle a_0=a(x_0,t_0)$ , $\textstyle b_0=b(x_0,t_0)$ , и учтено, что $\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0$ , $\textstyle \left\langle \varepsilon^2\right\rangle =1$ . Разделив на $\textstyle \Delta t$ и устремив его к нулю, получим $\textstyle b^2(x_0,t_0)$ . В (2.7) начальное условие $\textstyle x_0$ считается заданной константой, поэтому усредняется только случайная величина $\textstyle \varepsilon$ .

Несложно проверить, что моменты более высоких порядков $\textstyle \left\langle (x-x_0)^k\right\rangle$ в ведущем приближении пропорциональны $\textstyle (\Delta t)^{k/2}$ и после деления на $\textstyle \Delta t$ при $\textstyle k>2$ будут стремиться к нулю.

Класс процессов, свойства которых полностью определяются только бесконечно малыми локальными изменениями первого и второго порядка (2.6), называются диффузными.

Чтобы определить динамическое стохастическое уравнение для того или иного эмпирического процесса, можно вычислить средние (2.6) в различные моменты времени и при различных $\textstyle x_0$ . Кроме этого, необходимо обязательно проверить, является ли процесс диффузным, т.е. стремятся ли $\textstyle \left\langle (x-x_0)^k\right\rangle /\Delta t$ к нулю при $\textstyle k>2$ и $\textstyle \Delta t\to 0$ . Иногда это проще, чем восстановление из данных функции четырех аргументов $\textstyle P(x_0,t_0\Rightarrow x, t)$ .

$\textstyle \bullet$ Мы часто будем записывать решения стохастических уравнений при помощи скалярной случайной величины $\textstyle \varepsilon$ . Важно чётко понимать смысл такой символики. Пусть в начальный момент времени $\textstyle t_0$ нам известно, что $\textstyle x=x_0$ . После этого $\textstyle x$ начинает изменяться $\textstyle x=x(t)$ . В каждый фиксированный момент времени $\textstyle t>t_0$ величина $\textstyle x$ случайна. При помощи того или иного функционального преобразования можно выразить случайную величину с одним распределением через случайную величину с другим. Поэтому:

$x=f(x_0,t_0,\; t,\; \varepsilon)$

(2.8)

означает, что случайная величина $\textstyle x$ в момент времени $\textstyle t$ выражается, например, через гауссову случайную переменную $\textstyle \varepsilon$ , а, следовательно, плотность вероятности $\textstyle P(x_0, t_0 \Rightarrow x, t)$ можно получить некоторым преобразованием из нормального распределения. При помощи (2.8) легко вычисляются разнообразные средние случайного процесса, так как свойства $\textstyle \varepsilon$ хорошо известны.

Таким образом, в произвольный фиксированный момент времени $\textstyle x(t)$ — это случайная величина, свойства которой определяются при помощи $\textstyle \varepsilon$ и значения $\textstyle t$ . Время изменяется, и изменяются её свойства. В результате случайная величина $\textstyle x$ превращается в процесс.

Если мы рассматриваем другой момент времени, мы должны использовать другую случайную величину $\textstyle \varepsilon$ . Пусть процесс наблюдается после $\textstyle t_0$ в последовательные моменты времени $\textstyle t_1$ и $\textstyle t_2$ , тогда:

$x_1=f(x_0,t_0, t_1, \varepsilon_1)$

(2.9)

$x_2=f(x_0,t_0, t_2, \varepsilon_2) = f(x_1,t_1, t_2, \varepsilon_3).$

(2.10)

Первое уравнение (2.9) является решением в момент времени $\textstyle t_1$ . Величина $\textstyle x_0$ — детерминированная константа, задаваемая начальными условиями. В противоположность ей $\textstyle x_1$ — случайная величина. Её случайность определяется $\textstyle \varepsilon_1$ . Первое равенство уравнения (2.10) имеет аналогичный смысл. Однако $\textstyle \varepsilon_2$ — это новая случайная величина. Заметим, что она, вообще говоря, статистически зависит от $\textstyle \varepsilon_1$ , так как знание значения $\textstyle x_1$ (и, следовательно, $\textstyle \varepsilon_1$ ) даёт нам дополнительную информацию о возможных значениях $\textstyle x_2$ . В частности, считая, что задано "начальное условие" $\textstyle x_1=x(t_1)$ , мы можем записать второе равенство в (2.10). Величина $\textstyle \varepsilon_3$ определяет "случайность" после момента времени $\textstyle t_1$ , и, следовательно, она независима от $\textstyle \varepsilon_1$ . Второе равенство в (2.10) имеет смысл функциональной связи между случайными величинами $\textstyle x_2$ и $\textstyle x_1$ , $\textstyle \varepsilon_3$ . Заметим, что функция $\textstyle f$ во всех соотношениях (2.9), (2.10) одна и та же, а все случайные величины $\textstyle \varepsilon_i$ имеют одинаковое распределение $\textstyle N(0,1)$ .

Мартингалы <<	Оглавление	>> Почему Ито

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Уравнения Ито

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты