Уравнение стохастического осциллятора

Материал из Synset

Системы стохастических уравнений <<	Оглавление	>> Линейные многомерные модели

$\textstyle \bullet$ В качестве примера решения стохастической задачи в двух измерениях $\textstyle n=m=2$ рассмотрим движение по окружности с частотой $\textstyle \omega$ и постепенным уменьшением радиуса. Детерминированная версия подобной спирали может иметь следующую зависимость координат от времени:

Примеры систем с таким поведением мы рассмотрим в следующей главе. Сейчас наша цель — математическое описание стохастической динамики. Для этого найдём решение системы уравнений следующего вида:

$\left\{ \begin{array}{l} dx = (-\lambda \,x - \omega\, y)\,dt \;+\; \sigma \,\delta W_x\\ dy = (+ \omega\, x -\lambda \,y )\,dt \;+\; \sigma \,\delta W_y.\\ \end{array} \right.$

Предполагается, что шум $\textstyle \delta W_x=\varepsilon_x\sqrt{t}$ , $\textstyle \delta W_y=\varepsilon_y\sqrt{t}$ по каждой координате нескоррелирован. В качестве упражнения ( $\textstyle \lessdot$ H) стоит записать эту же систему для скоррелированного шума.

$\textstyle \bullet$ Зависимость среднего значения от времени находим из (6.16):

$\left\{ \begin{array}{l} \dot{\overline{x}} = -\lambda \,\overline{x} - \omega\, \overline{y}\\ \dot{\overline{y}} = + \omega\, \overline{x} - \lambda \,\overline{y}.\\ \end{array} \right.$

Умножим второе из уравнений на мнимую единицу $\textstyle \imath$ ( $\textstyle \imath^2=-1$ ) и сложим их. В результате для комплексной величины $\textstyle z=x+\imath y$ и параметра $\textstyle \Lambda=\lambda - \imath\omega$ получим "одномерное" уравнение $\textstyle \dot{\overline{z}} = -\Lambda\, \overline{z}.$ Оно легко интегрируется:

$\overline{z}(t) = e^{-\Lambda t}\,z_0 = e^{-\lambda\,t + \imath\omega\, t}\,z_0 = e^{-\lambda t } (\cos\omega t + \imath\sin\omega t) z_0,$

где $\textstyle z_0=z(0)=x_0+\imath y_0$ — начальное условие. Приравняв действительную и мнимую части:

$\left\{ \begin{array}{l} \overline{x}(t) = e^{-\lambda t}\cdot (x_0 \cos \omega t - y_0 \sin \omega t )\\ \overline{y}(t) = e^{-\lambda t}\cdot (x_0 \sin \omega t + y_0 \cos \omega t ),\\ \end{array} \right.$

(6.18)

получаем решение для эволюции средних значений координат в виде спирали. По каждой координате происходят затухающие периодические колебания. Параметр $\textstyle \omega$ является их частотой, $\textstyle \lambda$ — скоростью затухания.

$\textstyle \bullet$ Найдём теперь, как ведёт себя среднее значение квадрата расстояния от начала координат. Воспользуемся матричной записью уравнения (6.17) для среднего $\textstyle \dot{\left\langle \mathbf{x}^2\right\rangle }=2\left\langle \mathbf{x} \cdot\mathbf{a} \right\rangle + \mathrm{Tr}\,\left\langle \mathbf{b} \cdot\mathbf{b}^{T} \right\rangle$ . В нашем случае:

$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{a} = \begin{pmatrix} -\lambda x- \omega y \\ + \omega x -\lambda y \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{b} =\sigma \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}.$

Поэтому получаем:

$\dot{\overline{\mathbf{x}^2}} = -2\lambda \, \overline{\mathbf{x}^2} + 2\sigma^2\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\; \overline{\mathbf{x}^2}(t) = \frac{\sigma^2}{\lambda}+\left(x_0^2+y_0^2-\frac{\sigma^2}{\lambda}\right)\,e^{-2\lambda t}.$

Таким образом, когда колебания "затухнут" ( $\textstyle t\to\infty$ ), останется ненулевая дисперсия квадрата, тем большая, чем медленнее происходило затухание! Этот результат свидетельствует о стабилизирующей роли сильного трения (большие $\textstyle \lambda$ ) при внешних стохастических толчках. Несмотря на то, что $\textstyle \lambda$ находится в знаменателе, особенности при $\textstyle \lambda=0$ нет. Раскладывая экспоненту, несложно убедиться, что при $\textstyle \lambda=0$ среднее равно $\textstyle \overline{\mathbf{x}^2}=x_0^2+y_0^2+2\sigma^2 t$ . Это означает, что, как и в винеровском блуждании, внешние толчки со временем размывают круговую траекторию. Найти асимптотическое решение $\textstyle \overline{x^2}(t)$ , $\textstyle \overline{y^2}(t)$ , $\textstyle \overline{xy}(t)$ в ситуации скоррелированного шума предлагается в качестве упражнения ( $\textstyle \lessdot$ H).

$\textstyle \bullet$ Выразим решение задачи через гауссовы переменные. В комплексных обозначениях стохастическое уравнение имеет компактный вид:

$dz= -\Lambda \,z\, dt + \sigma\,\delta W,$

где $\textstyle \delta W = \varepsilon \,\sqrt{dt}$ , $\textstyle \varepsilon = \varepsilon_x + \imath\varepsilon_y$ — комплексное гауссово число, а $\textstyle z$ и $\textstyle \Lambda$ определены выше. Перейдём, при помощи формулы Ито, к переменной $\textstyle F=ze^{\Lambda t}$ . Её динамическое уравнение не будет содержать сноса:

$dF = \sigma e^{\Lambda t} \delta W = S(t) \,\delta W,$

где $\textstyle S(t)=\sigma\,e^{\Lambda t}$ . Решим уравнение $\textstyle dF = S(t) \,\delta W$ итерациями ( $\textstyle k=1...n$ ):

$F=F_0 +\sum S(t_{k-1})\varepsilon(t_k) \sqrt{\Delta t}.$

Как функция $\textstyle S(t)$ , так и $\textstyle \varepsilon_k$ являются комплексными величинами, поэтому необходима определённая осторожность по сворачиванию этой суммы в одно гауссово число. Распишем действительные и мнимые части:

$\sum [S_x+\imath S_y][\varepsilon_x+\imath\varepsilon_y] \sqrt{\Delta t} = \sum [(\underbrace{S_x\varepsilon_x-S_y\varepsilon_y}_{|S|\, \varepsilon'_x}) +\imath(\underbrace{S_x\varepsilon_y+S_y\varepsilon_x}_{|S|\, \varepsilon'_y})] \sqrt{\Delta t},$

где $\textstyle |S|=\sqrt{S_x^2+S^2_y}$ — модуль комплексного числа, а $\textstyle \varepsilon'_x$ , $\textstyle \varepsilon'_x$ — новые нескоррелированные $\textstyle \left\langle \varepsilon'_x\varepsilon'_y\right\rangle =0$ гауссовы числа.

Опуская штрихи и повторяя рассуждения одномерного случая (стр. \pageref{ito_only_t_solution}), мы можем окончательно записать:

$F(t) = F(t_0) + \left[\int\limits^t_{t_0} |S(\tau)|^2 d\tau \right]^{1/2}\cdot\varepsilon,$

где $\textstyle \varepsilon = \varepsilon_x + \imath \varepsilon_y$ — по-прежнему комплексная гауссова случайная величина.

Заметим, что действительная и мнимая части выражения $\textstyle \varepsilon'=e^{\imath\alpha} \varepsilon$ являются независимыми гауссовыми числами. Действительно, распишем их в явном виде:

$\begin{array}{l} \varepsilon'_x = \varepsilon_x \cos \alpha - \varepsilon_y \sin \alpha\\ \varepsilon'_y = \varepsilon_x \sin \alpha + \varepsilon_y \cos \alpha \end{array}$

Прямым вычислением проверяем и $\textstyle \left\langle \varepsilon'_x\varepsilon'_y \right\rangle =0$ . Поэтому множители типа $\textstyle e^{\imath\omega t}$ перед комплексным гауссовым числом можно опускать, так как $\textstyle e^{\imath\alpha}\varepsilon$ статистически эквивалентно просто $\textstyle \varepsilon$

Проводя интегрирование для $\textstyle |S(\tau)|^2=\sigma^2\,e^{2\lambda \tau}$ и учитывая, что $\textstyle z=F\cdot e^{-\Lambda t}$ , $\textstyle z_0=F_0$ , для $\textstyle t_0=0$ получаем:

$z = z_0 \, e^{-\lambda t + \imath\omega t} + \frac{\sigma}{\sqrt{2\lambda}} \cdot \sqrt{1-e^{-2\lambda t}}\cdot \varepsilon$

(6.19)

или в явном виде для действительной и мнимой частей:

$\begin{array}{lcl} x(t) &=& \overline{x}(t) + \frac{\sigma}{\sqrt{2\lambda}} \, \sqrt{1-e^{-2\lambda t}} \cdot \varepsilon_x\\ y(t) &=& \overline{y}(t) + \frac{\sigma}{\sqrt{2\lambda}} \, \sqrt{1-e^{-2\lambda t}} \cdot \varepsilon_y, \end{array}$

где $\textstyle \overline{x}(t)$ и $\textstyle \overline{y}(t)$ — средние, определяемые выражениями (6.18). В качестве упражнения стоит найти $\textstyle \overline{x^2}(t)$ , $\textstyle \overline{y^2}(t)$ , $\textstyle \overline{xy}(t)$ и проверить справедливость уравнений для средних ( $\textstyle \lessdot$ H).

Квадрат величины $\textstyle |z|^2=x^2+y^2$ является квадратом радиус-вектора, для которого уже известно среднее значение. Сделаем это ещё раз при помощи (6.19):

$\left\langle |z_t|^2\right\rangle = |z_0|^2\, e^{-2\lambda t} + \frac{\sigma^2}{\lambda}\cdot \left(1-e^{-2\lambda t}\right).$

Обращаем внимание на то, что $\textstyle \left\langle |\varepsilon|^2\right\rangle =\left\langle \varepsilon \varepsilon^*\right\rangle = \left\langle \varepsilon^2_x + \varepsilon^2_y\right\rangle = 2$ , где звёздочка обозначает комплексное сопряжение.

В решении, аналогично одномерному случаю, можно выразить $\textstyle z$ в момент времени $\textstyle t+\tau$ через $\textstyle z$ в момент $\textstyle t$ :

$z_{t+\tau} = z_t e^{-\lambda \tau + \imath\omega \tau} + \frac{\sigma}{\sqrt{2\lambda}} \, \sqrt{1-e^{-2\lambda \tau}}\cdot \varepsilon,$

что легко позволяет вычислить, например, среднее $\textstyle \left\langle z_t\,z^*_{t+\tau}\right\rangle$ ( $\textstyle \lessdot$ H).

$\textstyle \bullet$ При больших временах $\textstyle t\to\infty$ решение забывает начальные условия, и средние стремятся к нулю. Распределение становится стационарным по каждой из координат. Однако это не означает, что периодические свойства системы исчезают. Чтобы в этом убедиться, найдём ковариационную функцию, например, по координате $\textstyle x$ . Выражая решение относительно начального момента времени $\textstyle t$ , имеем:

$x_{t+\tau} = e^{-\lambda \tau}\cdot (x_t \cos \omega \tau - y_t \sin \omega \tau ) + \frac{\sigma}{\sqrt{2\lambda}}\cdot \varepsilon_x \, \sqrt{1-e^{-2\lambda \tau}}$

Найдем $\textstyle \mathrm{cov}\,{xx}(t,t+\tau)=\left\langle x_{t}x_{t+\tau}\right\rangle -\left\langle x_{t}\right\rangle \left\langle x_{t+\tau}\right\rangle$ в пределе $\textstyle t\to\infty$ . Так как в этом случае $\textstyle \left\langle x_t\right\rangle =\left\langle y_t\right\rangle =\left\langle x_ty_t\right\rangle =0$ , а $\textstyle \left\langle x^2_t\right\rangle =\sigma^2/2\lambda$ , получаем, как и следовало ожидать, стационарную ковариационную функцию, зависящую только от $\textstyle \tau>0$ :

$\mathrm{cov}\,{xx}(t,t+\tau)\to \mathrm{cov}\,\tau) = \frac{\sigma^2}{2\lambda} \, e^{-\lambda \tau} \cos\omega \tau.$

Она оказывается периодической функцией сдвига $\textstyle \tau$ . Фурье-образ ковариационной функции характеризует спектральные свойства процесса (стр. \pageref{sect_autocor_fun}):

$\mathcal S(\Omega) = \frac{2}{\pi} \int\limits^\infty_{0} \mathrm{cov}\,\tau) \, \cos(\Omega \tau) \,d\tau = \frac{\sigma^2}{2\pi}\,\left[ \frac{1}{\lambda^2+(\Omega+\omega)^2}+\frac{1}{\lambda^2+(\Omega-\omega)^2} \right].$

Таким образом, спектр имеет максимум в окрестности $\textstyle \Omega=\omega$ . Он тем уже, чем меньше параметр затухания $\textstyle \lambda$ . Тем не менее, это не строго периодическое движение, так как "типичная" частота "размазана" и сдвинута первым слагаемым в квадратных скобках.

На левом рисунке ниже представлена траектория стохастического осциллятора при достаточно больших временах, когда начальные условия уже "забыты". Справа — колебания по каждой координате:

Системы, обладающие подобным поведением, мы рассмотрим в следующей главе, а сейчас решим многомерное линейное уравнение.

Системы стохастических уравнений <<	Оглавление	>> Линейные многомерные модели

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Уравнение стохастического осциллятора

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты