Уравнение для x

Материал из Synset

Разложение вероятности по базису <<	Оглавление	>> Площадь под траекторией Винера

Пусть случайный процесс $\textstyle x=f(t,\varepsilon)$ в момент времени $\textstyle t$ выражен через гауссову переменную $\textstyle \varepsilon$ . Несмотря на случайность величин, $\textstyle f(t,\varepsilon)$ представляет собой обычную функцию двух аргументов. Найдём уравнение, которому она удовлетворяет. При этом будем предполагать, что существует обратная к $\textstyle f$ функция $\textstyle \varepsilon=g(x,t)$ . Нам потребуются переходы от частных производных $\textstyle f$ к $\textstyle g$ . Для этого запишем дифференциалы:

$d\varepsilon = \partial_x g\,dx + \partial_t g\, dt,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; dx = \partial_\varepsilon f\,d\varepsilon + \partial_t f\, dt,$

где $\textstyle \partial_x g = \partial g/\partial x$ , и т.д. Подставляя $\textstyle dx$ в первое уравнение, получаем:

$\partial_\varepsilon f\cdot \partial_x g = 1,\;\;\;\partial_t g = - \partial_x g\cdot \partial_t f, \;\;\;\partial^2_x g = \partial_x\left(\frac{1}{\partial_\varepsilon f}\right) = - \frac{\partial^2_\varepsilon f \,\partial_x g}{(\partial_\varepsilon f)^2}.$

(4.26)

Выведем сначала уравнение для обратной функции $\textstyle g(x, t)$ . Пусть в момент времени $\textstyle t$ случайная величина, от которой зависит $\textstyle x$ , равна $\textstyle \varepsilon_1$ . Через бесконечно малый интервал времени в $\textstyle t+dt$ это уже другая гауссова переменная $\textstyle \varepsilon_2$ :

$\varepsilon_2=g\bigl(x + dx,\;t+dt\bigr),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varepsilon_1=g(x, t).$

Возведём $\textstyle \varepsilon_2$ в $\textstyle k$ -тую степень $\textstyle \varepsilon^k_2=g^k\bigl(x + dx,\;t+dt\bigr)$ и разложим в ряд до первого порядка малости по $\textstyle dt$ , и до второго по $\textstyle dx$ :

$\varepsilon^k_2 = \varepsilon^k_1 + k g^{k-1}\cdot(g' dx + \dot{g} dt) + \bigl[k(k-1)g^{k-2} g'^2 + k g^{k-1} g''\bigr]\,\frac{(dx)^2}{2}+..,$

где штрих обозначает частную производную по $\textstyle x$ , а точка — по времени. В качестве $\textstyle dx$ подставим стохастическое уравнение $\textstyle dx=adt+b\varepsilon \sqrt{dt}$ , где случайное число $\textstyle \varepsilon$ не зависит от $\textstyle \varepsilon_1$ . Усредняя левую и правую части $\textstyle \left\langle \varepsilon^k_2\right\rangle =\left\langle \varepsilon^k_1\right\rangle$ , $\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0$ , $\textstyle \left\langle \varepsilon^2\right\rangle =1$ и сдвигая $\textstyle k\to k+1$ , получаем:

$\left\langle g^k\cdot \left(g'\, a + \dot{g}+ \frac{D}{2}\,g''\right)+ k g^{k-1} \,\frac{D}{2}\,g'^2\right\rangle = 0,$

где $\textstyle D=b^2$ — диффузия процесса. Умножим это соотношение на произвольные коэффициенты $\textstyle F_k$ и просуммируем по $\textstyle k=0,1,...$ :

$\left\langle F(g)\cdot \left(g'\, a + \dot{g}+ \frac{D}{2}\,g''\right)+ F'(g)\,g'^2 \,\frac{D}{2}\right\rangle = 0,$

где $\textstyle F(g)=F_0+F_1 g + F_2 g^2 + ..$ При усреднении производится интегрирование по $\textstyle \varepsilon_1=g$ с плотностью вероятности $\textstyle P(\varepsilon_1)$ . Для функций типа $\textstyle g'(x,t)$ предполагается, что после взятия производной необходимо выразить $\textstyle x=f(\varepsilon_1,t)$ и подставить в $\textstyle g'(x,t)$ .

Проинтегрируем по частям второе слагаемое в среднем:

$\int\limits^\infty_{-\infty} F'(\varepsilon_1) g'^2 \,\frac{D}{2} \,P(\varepsilon_1) \,d\varepsilon_1= -\int\limits^\infty_{-\infty} F(\varepsilon_1) \frac{\partial}{\partial \varepsilon_1}\left[g'^2 \,\frac{D}{2} \,P(\varepsilon_1)\right] \,d\varepsilon_1.$

При вычислении производной можно воспользоваться неявным дифференцированием:

$\frac{\partial}{\partial \varepsilon_1}\left[g'^2 \,\frac{D}{2}\right] \;=\; \frac{\partial}{\partial x}\left[g'^2 \,\frac{D}{2}\right]\frac{\partial x}{\partial \varepsilon_1} \;=\; \frac{\partial}{\partial x}\left[g'^2 \,\frac{D}{2}\right]\frac{1}{g'},$

где учтено, что $\textstyle \partial x/\partial \varepsilon_1=f'=1/g'$ (см. (4.26)).

Вводя функцию $\textstyle \psi(\varepsilon_1)=-P'(\varepsilon_1)/P(\varepsilon_1)$ , получаем:

$\left\langle F(g)\cdot \left(g'\, a + \dot{g}+ \frac{D}{2}\,g''+ g'^2 \,\frac{D}{2}\,\psi(\varepsilon_1) - \frac{\partial}{\partial x}\left[g'^2 \,\frac{D}{2}\right]\frac{1}{g'}\right)\right\rangle = 0.$

В силу произвольности функции $\textstyle F$ множитель в круглых скобках должен быть равен нулю, поэтому для $\textstyle \varepsilon_1=g(x,t)$ имеем:

$\dot{g} = \frac{1}{2}\frac{\partial D(x,t)}{\partial x}g' -a(x,t)g' - \frac{D(x,t)}{2} \;\bigl[\psi(g) \,g'^2 - g''\bigr].$

(4.27)

Воспользовавшись (4.26), после несложных вычислений получаем уравнение относительно $\textstyle f(t,\varepsilon)$ :

$\dot{f} \;=\; a(f,t) \;-\; \frac{D'(f,t)}{2} \;+\; \frac{D(f,t)}{2}\left[\frac{\psi(\varepsilon)}{f'} + \frac{f''}{f'^2}\right] ,$

(4.28)

где $\textstyle D'=\partial D/\partial f$ и опущен индекс у $\textstyle \varepsilon_1$ .

В детерминированном случае ( $\textstyle D=0$ ) получается, как и следовало ожидать, обыкновенное дифференциальное уравнение $\textstyle \dot{f}=a(f,t)$ . Начальное условие для (4.28) имеет вид $\textstyle x(t_0, \varepsilon)=x_0$ .

Для гауссового распределения $\textstyle \psi(\varepsilon)=\varepsilon$ . Однако в качестве случайного числа $\textstyle \varepsilon$ можно использовать величину с произвольным распределением. Так, для $\textstyle P(\varepsilon)\sim \varepsilon^{\gamma-1} e^{-\lambda \varepsilon}$ функция $\textstyle \psi(\varepsilon)=\lambda - (\gamma-1)/\varepsilon$ .

В качестве упражнения ( $\textstyle \lessdot$ H) предлагается проверить, что уравнения (4.27) и (4.28) согласуются с уравнением Фоккера-Планка.

Разложение вероятности по базису <<	Оглавление	>> Площадь под траекторией Винера

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Уравнение для x

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты