Уравнение для плотности вероятности

Материал из Synset

Марковские плотности вероятности <<	Оглавление	>> Решение уравнения Фоккера-Планка

$\textstyle \bullet$ Найдём уравнение относительно переменных начального значения $\textstyle x_0$ , $\textstyle t_0$ . Для этого воспользуемся уравнением Чепмена-Колмогорова. Чтобы возникла производная по времени $\textstyle t_0$ , необходимо рассмотреть $\textstyle t_0$ и бесконечно близкое к нему время $\textstyle t_0+\Delta t$ . Поэтому для трёх последовательных моментов времени в интегральном уравнении возьмём два соседних $\textstyle t_1=t_0$ , $\textstyle t_2=t_0+\Delta t$ и одно "будущее" $\textstyle t_3=t$ :

$P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t) = \int\limits^\infty_{-\infty} P(x_0,t_0 \Rightarrow y,t_0+\Delta t)\cdot \underbrace{P(y,t_0+\Delta t \Rightarrow x,t)}_{раскладываем\;по\;(y-x_0)} \;dy.$

Интервал $\textstyle \Delta t$ мал и, следовательно, величина $\textstyle y$ , соответствующая моменту времени $\textstyle t_0+\Delta t$ , должна быть близка к $\textstyle x_0$ в момент времени $\textstyle t_0$ . Поэтому разложим в ряд Тейлора по $\textstyle y-x_0$ , в окрестности точки $\textstyle y=x_0$ , второй множитель под интегралом:

$P(y,t_0+\Delta t \Rightarrow x,t) = P + \frac{\partial P}{\partial x_0}\cdot (y-x_0) + \frac{1}{2}\;\frac{\partial^2P}{\partial x_0^2}\cdot(y-x_0)^2+...,$

где $\textstyle P=P(x_0,t_0+\Delta t \Rightarrow x,t)$ . Вынесем множители, не зависящие от $\textstyle y$ , за знак интеграла. Опуская пределы интегрирования, запишем:

$\begin{array}{lcl} P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t) &=& P(x_0,t_0+\Delta t \Rightarrow x,t)\cdot \int P(x_0,t_0 \Rightarrow y,t_0+\Delta t) dy \\ &+& \frac{\partial P}{\partial x_0 } \cdot \int (y-x_0) \cdot P(x_0,t_0 \Rightarrow y,t_0+\Delta t) dy \\ &+& \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial x_0^2}\cdot \int (y-x_0)^2 \cdot P(x_0,t_0 \Rightarrow y,t_0+\Delta t) dy\\ &+& ... \end{array}$

Первое слагаемое соответствует условию нормировки (переход "хоть куда-нибудь"), и интеграл равен единице. В результате получается просто $\textstyle P$ .

Перенесём направо $\textstyle P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t)$ и разделим обе части на $\textstyle \Delta t$ . По определению, при $\textstyle \Delta t\to 0$ мы можем записать:

$\frac{P(x_0,t_0+\Delta t \Rightarrow x,t)-P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t)}{\Delta t} \;\;\to\;\; \frac{\partial P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t)}{\partial t_0},$

что приводит к производной по начальному моменту времени $\textstyle t_0$ .

Интегрирование по $\textstyle y$ во втором и третьем слагаемых даёт условные средние моментов первого и второго порядков:

$\frac{\partial P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t)}{\partial t_0} \;+\; \frac{\partial P}{\partial x_0 }\cdot \frac{\left\langle (x-x_0)\right\rangle }{\Delta t} \;+\; \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial x_0^2} \cdot \frac{\left\langle (x-x_0)^2\right\rangle }{\Delta t} \;=\; 0.$

Если бы мы продолжили разложение в ряд Тейлора, то в этом уравнении стояли бы также моменты более высоких порядков $\textstyle \left\langle (x-x_0)^3\right\rangle$ , и т.д. Однако для диффузных процессов они по определению в пределе $\textstyle \Delta t \to 0$ равны нулю (см. стр. \pageref{def_a_b}).

Средние значения, как обычно, вычисляются при помощи условной плотности вероятности ( $\textstyle \Delta t\to 0$ ):

$\left\langle \,(x-x_0)^m\right\rangle =\int\limits^\infty_{-\infty} (x-x_0)^m \; P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t_0+\Delta t)\, dx.$

При вычислении предела $\textstyle \Delta t \to 0$ сначала необходимо проинтегрировать, вычислив среднее, затем полученную функцию от $\textstyle \Delta t$ разделить на $\textstyle \Delta t$ , и только после этого устремить к нулю $\textstyle \Delta t \to 0$ .

Мы видим, что снос и диффузия естественным образом появляются как в уравнениях для плотности вероятности случайного процесса, так и в стохастических дифференциальных уравнениях при записи их через разности.

В результате, вводя коэффициенты сноса и диффузии, получаем "первое уравнение Колмогорова":

${ \;\;\;\frac{\partial P}{\partial t_0} + a(x_0,t_0) \cdot \frac{\partial P}{\partial x_0} + \frac{1}{2}\;b^2(x_0,t_0) \cdot\frac{\partial^2 P}{\partial x_0^2} \;= 0\;\;\; },$

(4.6)

где $\textstyle P=P(x_0,t_0 \Rightarrow x, t)$ . Заметим, что производные в этом уравнении берутся не по будущим аргументам $\textstyle x$ и $\textstyle t$ , а по начальным $\textstyle x_0$ и $\textstyle t_0$ .

Если значение $\textstyle x_0=x(t_0)$ задано точно, то первое уравнение Колмогорова необходимо решать с "начальными" условиями в виде дельта-функции Дирака:

$P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t) = \delta (x-x_0)\;\;\;\;\;при\;\;\; t\to t_0.$

(4.7)

Естественно, кроме этого предполагается наличие тех или иных граничных условий. В простейшем случае требуют достаточно быстрого убывания плотности вероятности при увеличении разности $\textstyle x-x_0$ в любой момент времени $\textstyle t>t_0$ .

$\textstyle \bullet$ Выведем теперь второе дифференциальное уравнение для функции $\textstyle P(x_0,t_0 \Rightarrow x, t)$ по "будущим" аргументам $\textstyle x,t$ . Пусть процесс Ито в момент времени $\textstyle t-\Delta t$ имеет значение $\textstyle x$ . Спустя малый интервал времени $\textstyle \Delta t$ он будет иметь значение $\textstyle y$ :

$y=x+a\, \Delta t + b \, \varepsilon \sqrt{\Delta t},$

(4.8)

где $\textstyle a=a(x, t-\Delta t)$ , $\textstyle b=b(x, t-\Delta t)$ . Величина $\textstyle x$ является случайной с плотностью распределения $\textstyle P(x,t-\Delta t)=P(x_0,t_0\Rightarrow x,t-\Delta t)$ . Случайной и независимой от неё будет и $\textstyle \varepsilon$ c гауссовой плотностью $\textstyle P(\varepsilon)$ . В результате $\textstyle y$ в момент $\textstyle t$ также будет случайной величиной.

Чтобы найти распределение $\textstyle P(y,t)=P(x_0,t_0\Rightarrow y,t)$ , необходимо вычислить среднее от произвольной функции (см. стр. \pageref{aver_fun_def}):

$\left\langle F(y)\right\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} \overbrace{F(x+a\Delta t +b\varepsilon\sqrt{\Delta t})}^{F(y)}\cdot \overbrace{P(x, t-\Delta t) P(\varepsilon)}^{P(x,\varepsilon)} \,dx\,d\varepsilon$

(4.9)

и преобразовать его таким образом, чтобы получился однократный интеграл c $\textstyle F(y)$ в момент времени $\textstyle t$ . Обратим внимание, что, если в (4.8) $\textstyle x$ , $\textstyle y$ и $\textstyle \varepsilon$ — это случайные величины, потенциально принимающие любые значения, то в (4.9) они же выступают в виде обычных вещественных переменных интегрирования.

Так как $\textstyle \Delta t$ малo, разложим $\textstyle F(..)$ в ряд, оставляя члены порядка не более $\textstyle \Delta t$ :

$F(x+a\Delta t +b\varepsilon\sqrt{\Delta t})= F(x)+\frac{\partial F}{\partial x}\,\bigl(a\,\Delta t + b\,\varepsilon \,\sqrt{\Delta t}\bigr) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \,b^2\,\varepsilon^2 \,\Delta t +...$

Все функции справа вычислены в точке $\textstyle x$ и в момент времени $\textstyle t$ . Заметим, что в (4.8) функции вычислялись в момент времени $\textstyle t-\Delta t$ . На самом деле их тоже необходимо разложить по $\textstyle \Delta t$ . Однако эти ряды будут умножаться на $\textstyle \Delta t$ , $\textstyle \sqrt{\Delta t}$ и окажутся малыми более высокого порядка. Поэтому можно взять ведущее приближение разложения и считать в дальнейшем, что $\textstyle a=a(x,t)$ , $\textstyle b=b(x,t)$ .

Аналогично раскладывается плотность вероятности по $\textstyle \Delta t$ :

$P(x, t-\Delta t) = P(x, t) - \frac{\partial P(x, t)}{\partial t}\,\Delta t + ...$

Этим соотношением мы связываем плотности вероятности в два бесконечно близких момента времени, в результате чего в конечном уравнении появится частная производная по времени.

Подставим последние два разложения в (4.9), выдерживая порядок малости по $\textstyle \Delta t$ . Интегрирование по $\textstyle \varepsilon$ сводится к $\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0$ , $\textstyle \left\langle \varepsilon^2\right\rangle =1$ , и в результате:

$\left\langle F(y)\right\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} F(x)P(x,t)dx - \Delta t \int\limits^\infty_{-\infty} \left[ F\,\frac{\partial P}{\partial t} -\frac{\partial F}{\partial x}\;a P - \frac{1}{2} \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \; b^2 P \right] dx.$

Во втором интеграле $\textstyle F=F(x)$ , $\textstyle P=P(x,t)$ . Первый интеграл представляет определение искомого среднего в момент времени $\textstyle t$ (переменная интегрирования $\textstyle x$ может быть переобозначена в $\textstyle y$ ). Поэтому второй интеграл должен быть равен нулю. Интегрируя по частям один раз второе слагаемое в квадратных скобках и два раза третье ( $\textstyle \lessdot$ C), получим $\textstyle F(x)$ , умноженную на выражение:

${ \;\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \;\bigl[ a(x,t) \cdot P\bigr] - \frac{1}{2}\;\frac{\partial^2}{\partial x^2_{}} \;\bigl[ b^2(x,t) \cdot P \bigr]= 0\; },$

(4.10)

которое должно быть равно нулю (в силу произвольности $\textstyle F(x)$ ). Это уравнение Фоккера - Планка, или второе уравнение Колмогорова для плотности условной вероятности $\textstyle P=P(x_0,t_0 \Rightarrow x, t)$ .

Решение уравнения Фоккера-Планка позволяет найти плотность вероятности условного перехода. Имея её, мы фактически знаем о марковском случайном процессе всё. Можем вычислять его среднее, волатильность, автокорреляционную функцию и отвечать на другие вопросы.

Естественно, кроме начального условия (4.7), предполагается наличие граничных условий для плотности вероятности. Так как мы знаем, что в момент времени $\textstyle t_0$ значение $\textstyle x$ было равно $\textstyle x_0$ , то спустя конечный интервал времени цена или броуновская частица не могут "заблуждать" бесконечно далеко. Поэтому мы считаем, что плотность вероятности на бесконечности равна нулю. Это же требование возникает в силу условия нормировки:

$\int\limits^\infty_{-\infty} P(x_0, t_0 \Rightarrow x, t) \, dx = 1,$

(4.11)

имеющего смысл вероятности перехода "куда угодно".

Так как дифференциальное уравнение (4.10) линейно относительно функции $\textstyle P$ , то решение не изменяется при умножении $\textstyle P$ на произвольную константу. Её значение должно фиксироваться при помощи условия нормировки (4.11).

Марковские плотности вероятности <<	Оглавление	>> Решение уравнения Фоккера-Планка

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Уравнение для плотности вероятности

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты