Точные решения уравнения Ито

Материал из Synset

Лемма Ито <<	Оглавление	>> Простые стохастические модели

$\textstyle \bullet$ Несмотря на простой вид, стохастические уравнения (2.4) аналитически интегрировать не так и просто из-за винеровского члена $\textstyle \delta W$ . Это явно видно в случае конечной численной реализации (2.5). Каждое последовательное $\textstyle x$ в итерационной процедуре нелинейным образом зависит от всех предыдущих случайных чисел $\textstyle \varepsilon_k$ ( $\textstyle \lessdot$ C). Тем не менее, рассмотрим ситуации, в которых можно получить точные решения.

Пусть в процессе Ито функции сноса и волатильности зависят только от времени. Обозначим их через $\textstyle f(t)$ и $\textstyle s(t)$ :

$dx = f(t)\,dt + s(t)\,\delta W.$

(2.17)

Это уравнение легко интегрируется при помощи "дискретной" интерпретации стохастического члена $\textstyle \delta W$ . Рассмотрим итерации, выполняемые по разностной схеме (2.5):

$\begin{array}{l} x_1 = x_0 + f_0 \Delta t + s_0 \varepsilon_1 \sqrt{\Delta t},\\ x_2 = x_1 + f_1 \Delta t + s_1 \varepsilon_2 \sqrt{\Delta t} = x_0 + (f_0+f_1) \,\Delta t + (s_0 \varepsilon_1+s_1 \varepsilon_2) \sqrt{\Delta t},\\ ..., \end{array}$

где $\textstyle f_k=f(t_k)$ и $\textstyle s_k=s(t_k)$ . После $\textstyle n$ итераций итоговое значение будет равно:

$x = x_0 + (f_0+...+f_{n-1})\,\Delta t + (s_0\varepsilon_1 + ... + s_{n-1}\varepsilon_{n}) \sqrt{\Delta t}.$

Скобки в последнем слагаемом содержат сумму независимых гауссовых чисел, каждое из которых имеет волатильность $\textstyle s_k$ . В результате получается гауссово число с волатильностью $\textstyle \sqrt{s^2_0+...+s^2_{n-1}}$ . Поэтому, переходя к непрерывному пределу, получаем ( $\textstyle \lessdot$ H):

$x(t) = x(t_0) + \int\limits^t_{t_0} f(\tau) \,d\tau + \left[ \int\limits^t_{t_0} s^2(\tau) \,d\tau \right]^{1/2} \cdot \;\varepsilon.$

(2.18)

Решение (2.18) уравнения (2.17) говорит нам, что $\textstyle x(t)$ является нормально распределённым случайным числом со средним и дисперсией, зависящими от времени. Если $\textstyle s(t)$ — не константа, то будущая неопределённость в значении $\textstyle x$ может увеличиваться уже не как $\textstyle \sqrt{t}$ , а по другому закону.

Соотношение (2.18) позволяет легко вычислить статистические свойства процесса, в частности, его среднее $\textstyle \overline{x}(t)$ и волатильность $\textstyle \sigma(t)$ .

$\textstyle \bullet$ Одномерное уравнение Ито для процесса, имеющего произвольный снос $\textstyle a(x,t)$ и волатильность $\textstyle b(x,t)$

$dx = a(x,t)\,dt + b(x,t)\,\delta W,$

(2.19)

заменой иногда можно свести к частному случаю (2.17), для которого решение уже известно. Воспользуемся леммой Ито:

$dF = \underbrace{\left(\frac{\partial F}{\partial t} \,+\, a(x,t) \frac{\partial F}{\partial x} \,+\, \frac{b^2(x,t)}{2}\, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\right)}_{f(t)}\, dt + \underbrace{b(x,t)\frac{\partial F}{\partial x}}_{s(t)}\, \delta W.$

(2.20)

Подберем $\textstyle F(x,t)$ таким образом, чтобы множители при $\textstyle \delta W$ и $\textstyle dt$ в (2.20) оказались функциями $\textstyle s(t)$ и $\textstyle f(t)$ , зависящими только от времени:

$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{s(t)}{b(x,t)},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial F}{\partial t} + s(t)\cdot \left[\frac{a(x,t)}{b(x,t)}-\frac{1}{2}\frac{\partial b(x,t)}{\partial x} \right] = f(t),$

(2.21)

где вместо $\textstyle \partial F/\partial x$ в множитель при $\textstyle dt$ подставлено первое уравнение (2.21) и его производная по $\textstyle x$ ( $\textstyle \lessdot$ H). Возьмём частные производные первого уравнения (2.21) по $\textstyle t$ и второго по $\textstyle x$ . Вычитая их, мы придём к условию совместности:

$\frac{1}{s(t)}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\left\{\frac{s(t)}{b(x,t)} \right\} = \frac{1}{2}\frac{\partial^2 b(x,t)}{\partial x^2} - \frac{\partial }{\partial x}\left\{\frac{a(x,t)}{b(x,t)} \right\}.$

(2.22)

Если при данных $\textstyle a(x,t)$ и $\textstyle b(x,t)$ можно подобрать такую функцию $\textstyle s(t)$ , при которой уравнение (2.22) обратится в тождество, то мы получим решение стохастического уравнения (2.19) в следующей неявной форме:

$F\bigl(x(t), t\bigr) = F\bigl(x(t_0), t_0\bigr) + \int\limits^t_{t_0} f(\tau) \,d\tau + \left[ \int\limits^t_{t_0} s^2(\tau) \,d\tau \right]^{1/2} \cdot \;\varepsilon,$

(2.23)

где функция $\textstyle f(t)$ определяется вторым соотношением (2.21), а $\textstyle F(x,t)$ находится из первого уравнения (2.21) ( $\textstyle \lessdot$ C).

Решение (2.23) — это нестационарный гауссовый процесс для деформации $\textstyle x(t)$ при помощи нелинейной функции $\textstyle F(x,t)$ . Естественно, что разрешимость (2.22) позволяет интегрировать уравнение Ито только в ряде частных случаев. Однако, как мы увидим ниже, эти случаи охватывают достаточно широкий класс важных для практических приложений процессов.

Лемма Ито <<	Оглавление	>> Простые стохастические модели

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Точные решения уравнения Ито

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты