Теория броуновского движения

Материал из Synset

Как решать стохастические задачи? <<	Оглавление	>> Стохастический осциллятор

Рассмотрим сферическую частицу радиуса $\textstyle a$ . При движении со скоростью $\textstyle \mathbf{v}$ в жидкости с вязкостью $\textstyle \eta$ на неё действуют сила трения, пропорциональная скорости $\textstyle \mathbf{F}_f=-6\pi \eta a \mathbf{v}$ , сила тяжести $\textstyle \mathbf{F}_g = m \mathbf{g}$ и сила Архимеда $\textstyle \mathbf{F}_a = - \rho_0 \mathbf{g} V = - \mathbf{F}_g\cdot (\rho_0/\rho)$ , где $\textstyle \rho_0$ — плотность воды, а $\textstyle \rho$ — броуновской частицы. Если, кроме этих сил, частица подвержена хаотическим толчкам со стороны молекул воды, то систему уравнений движения можно записать в следующем виде (уравнения Ланжевена):

где $\textstyle \tau = m/ 6\pi \eta a$ и $\textstyle \gamma=1-\rho_0/\rho$ . Первое уравнение — это определение скорости, второе — закон Ньютона $\textstyle m\,d\mathbf{v}/dt = \mathbf{F}$ , а $\textstyle \sigma$ характеризует интенсивность воздействия со стороны молекул. Ускорение свободного падения $\textstyle g=9.8$ м/с $\textstyle ^2$ направлено вниз: $\textstyle \mathbf{x}=(x,y,z)$ , $\textstyle \mathbf{g}=(0,0,-g)$ .

Сделаем оценки величин, входящих в уравнения. Вязкость воды $\textstyle \eta\sim 10^{-3}\,$ кг/(м c), типичный размер броуновской частицы $\textstyle a\sim 10^{-6}\,$ м, масса $\textstyle m\sim 4\cdot 10^{-15}$ кг (плотность $\textstyle \rho\sim 10^3$ кг/м $\textstyle ^3$ ). Поэтому $\textstyle \tau \sim 2\cdot 10^{-7}$ с.

Пренебрежём сначала силой тяжести ( $\textstyle \gamma\approx 0$ если $\textstyle \rho_0\approx \rho$ ). Так как система линейна, уравнения для средних совпадают с классическими:

$\dot{\left\langle \mathbf{x}\right\rangle } = \left\langle \mathbf{v}\right\rangle ,\;\;\;\;\;\;\;\;\dot{\left\langle \mathbf{v}\right\rangle } = - \left\langle \mathbf{v}\right\rangle / \tau,$

и легко интегрируются:

$\left\langle \mathbf{v}\right\rangle = \mathbf{v}_0 \,e^{-t/\tau},\;\;\;\;\;\; \left\langle \mathbf{x}\right\rangle = \mathbf{x}_0 + \mathbf{v}_0\tau \, - \mathbf{v}_0\tau \, e^{-t/\tau}.$

Если $\textstyle t\gg \tau \sim 2\cdot 10^{-7}$ с, то среднее значение скорости становится равным нулю при любом начальном значении $\textstyle \mathbf{v}_0$ . Найдём средние квадратов динамических переменных (6.17),(Системы стохастических уравнений):

$\dot{\left\langle x_\mu x_\nu\right\rangle } = \left\langle x_\mu a_\nu + x_\nu a_\mu + b_{\nu\alpha} b_{\mu \alpha}\right\rangle .$

(7.1)

В данном случае $\textstyle x_\nu = \begin{pmatrix} \mathbf{x}, & \mathbf{v} \\ \end{pmatrix}$ , и

$a_\nu = \begin{pmatrix} \,\mathbf{v}, & -\mathbf{v}/\tau \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; b_{\nu\alpha} = \sigma\cdot \begin{pmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; b_{\nu\alpha}b_{\mu\alpha} = \mathbf{b}\cdot \mathbf{b}^T = \sigma^2\cdot \begin{pmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \end{pmatrix},$

где элементы в $\textstyle b_{\nu\alpha}$ представляют собой матрицы 3x3 для каждой степени свободы координаты и импульса.

Просуммируем (7.1) по $\textstyle \mu=\nu=4,5,6$ , т.е. по координатам скорости (вторая динамическая переменная):

$\dot{\left\langle \mathbf{v}^2\right\rangle } = - \frac{2}{\tau} \,\left\langle \mathbf{v}^2\right\rangle + 3 \sigma^2 \;\;\;=>\;\;\;\; \left\langle \mathbf{v}^2\right\rangle =\frac{3}{2}\,\tau\sigma^2 + \left(\mathbf{v}^2_{0}- \frac{3}{2}\, \tau\sigma^2\right)\, e^{-2t/\tau}.$

При $\textstyle t\gg \tau$ броуновская частица забывает начальное значение скорости $\textstyle \mathbf{v}_0$ , и среднее её квадрата стремится к величине $\textstyle 3\tau\sigma^2/2$ . Этот результат можно сразу получить из уравнения, положив $\textstyle \dot{\left\langle \mathbf{v}^2\right\rangle }=0$ .

Температура пропорциональна средней кинетической энергии молекул воды. В процессе постоянного столкновения с броуновской частицей их кинетические энергии выравниваются, поэтому:

$\frac{3}{2}\,k T = \frac{m \left\langle \mathbf{v}^2 \right\rangle }{2} = \frac{3}{4}\,\tau\sigma^2 m\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\tau \sigma^2= \frac{2 k T}{m},\;\;\;\left\langle \mathbf{v}^2 \right\rangle =\frac{3 k T}{m},$

где $\textstyle k=1.4\;10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана, связывающая температуру и энергию. В результате мы нашли зависимость волатильности внешних воздействий со стороны молекул $\textstyle \sigma$ от макроскопически измеримых величин — температуры $\textstyle T$ и вязкости жидкости $\textstyle \eta$ . При комнатной температуре $\textstyle T\sim 300$ K типичная среднеквадратичная скорость равна $\textstyle \left\langle \mathbf{v}^2 \right\rangle ^{1/2}=\sqrt{3 k T/m}\sim 2\cdot 10^{-3}$ м/с. Заметим, что молекулы воды, имея массу $\textstyle m_{0}\sim 3 \cdot 10^{-26}$ кг, обладают существенно более высокой скоростью $\textstyle \sim 600$ м/с. Кроме этого, при плотности воды $\textstyle \rho_0=10^3$ кг/м $\textstyle ^3$ расстояние между молекулами $\textstyle d\approx(m_0/\rho_0)^{1/3}\sim 3\cdot 10^{-10}$ м, что сравнимо с их размером. Это означает плотную упаковку молекул и очень частые толчки молекул по броуновской частице. Поэтому непрерывное стохастическое дифференциальное уравнение в данном случае более чем уместно.

Свернём уравнения (7.1) по $\textstyle \mu=\nu=1,2,3$ и $\textstyle \mu=1,2,3$ , $\textstyle \nu=4,5,6$ (можно решить сначала уравнения для каждой компоненты отдельно, а затем сложить эти решения):

$\dot{\left\langle \mathbf{x}^2\right\rangle } = 2 \,\left\langle \mathbf{x} \mathbf{v}\right\rangle ,\;\;\;\;\;\; \dot{\left\langle \mathbf{x} \mathbf{v}\right\rangle } = - \frac{1}{\tau}\,\left\langle \mathbf{x} \mathbf{v}\right\rangle + \left\langle \mathbf{v}^2\right\rangle .$

Найдём асимптотическое поведение. Если $\textstyle \dot{\left\langle \mathbf{x} \mathbf{v}\right\rangle }=0$ , то скалярное произведение координаты на скорость равно константе $\textstyle \left\langle \mathbf{x} \mathbf{v}\right\rangle =\tau \left\langle \mathbf{v}^2\right\rangle$ . Поэтому среднее значение квадрата координаты при больших временах равно:

$\left\langle \mathbf{x}^2\right\rangle - \mathbf{x}^2_0 = 2\tau \left\langle \mathbf{v}^2\right\rangle \cdot t = \frac{kT}{\pi \eta a}\cdot t = a^2 \, \frac{t}{\tau_\sigma}.$

Таким образом, дисперсия квадрата радиус-вектора со временем увеличивается линейно. Этот эффект наблюдается в эксперименте. При комнатной температуре параметр $\textstyle \tau_\sigma = \pi \eta a^3/ kT \sim 1$ c определяет темпы типичного дрожания броуновской частицы ( $\textstyle \lessdot$ C).

$\textstyle \bullet$ Если плотность частицы $\textstyle \rho$ выше, чем у воды $\textstyle \rho_0$ , то $\textstyle \gamma>0$ и уравнение для средней скорости

$\dot{\left\langle \mathbf{v}\right\rangle } = \gamma\,\mathbf{g} - \frac{1}{\tau} \left\langle \mathbf{v}\right\rangle$

приводит к тому, что в асимптотическом пределе частица опускается вниз в среднем с постоянной скоростью:

$\left\langle \mathbf{v}\right\rangle = \tau \,\gamma\, \mathbf{g} + \left(\mathbf{v}_0 - \tau \, \gamma\, \mathbf{g}\right)\,e^{-t/\tau} \to \tau \, \gamma\, \mathbf{g} \sim \frac{\gamma\, a}{1\;с}.$

Естественно, рано или поздно на её пути окажется дно сосуда. Произойдёт отражение от него и снова блуждание со сносом вниз. В результате возникнет стационарное распределение по координатам и скоростям. Чтобы найти его, рассмотрим уравнение Фоккера-Планка:

$\;\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial (a_i P)}{\partial x_i} - \frac{1}{2}\,\frac{\partial^2 }{\partial x_i\partial x_j}\Bigl[b_{i\alpha} b_{j\alpha} P\Bigr] = 0,$

имеющее в стационарном случае $\textstyle \partial P/\partial t=0$ следующий вид:

$\mathbf{v}\,\frac{\partial P}{\partial \mathbf{x}} + \frac{\partial\bigl[(\gamma\, \mathbf{g}-\mathbf{v}/\tau) P\bigr]}{\partial \mathbf{v}} - \frac{\sigma^2}{2}\, \frac{\partial^2 P}{\partial \mathbf{v}^2} = 0.$

Несложно проверить, что этому уравнению удовлетворяет функция:

$P(\mathbf{x}, \mathbf{v}) = P_0 e^{-\beta E(\mathbf{x},\mathbf{v})},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E(\mathbf{x},\mathbf{v}) = \frac{m\mathbf{v}^2}{2} - \gamma\, m \mathbf{g} \mathbf{x},$

где $\textstyle \beta = 1/kT$ . Величина $\textstyle E(\mathbf{x},\mathbf{v})$ является энергией частицы (кинетическая плюс потенциальная). Полученный результат $\textstyle P(\mathbf{x}, \mathbf{v})\sim e^{-\beta E}$ имеет достаточно общий характер и называется распределением Гиббса. Чем меньше энергия системы, тем более вероятно такое состояние.

Если ось $\textstyle z$ направлена вверх, то $\textstyle \mathbf{g} \mathbf{x} = - g z$ . При нормировке плотности вероятности предполагается, что отражающая поверхность дна сосуда расположена в точке $\textstyle z=0$ . По мере подъёма по $\textstyle z$ вероятность встретить броуновскую частицу экспоненциально падает:

$P(z) = \frac{\lambda}{a} \, e^{-\lambda \,z/a},\;\;\;\;\;\;\;\;\lambda = \gamma\, \frac{mga}{kT} = \frac{4\pi g}{3 kT}\,(\rho-\rho_0)\, a^4,$

где безразмерный параметр $\textstyle \lambda$ характеризует темпы спада вероятности, если расстояние выражено в радиусах частицы. При фиксированной плотности броуновской частицы распределение вероятностей оказывается очень чувствительным к её размеру.

$\textstyle \bullet$ Работа Ланжевена была инспирирована теорией броуновского движения Альберта Эйнштейна (Albert Einstein), опубликованной в 1905 г. Его рассуждения выглядели следующим образом.

Пусть координата броуновской частицы $\textstyle x$ претерпевает случайные изменения $\textstyle \varepsilon$ по одной оси и функция $\textstyle P(x,t)$ является плотностью вероятности найти её в точке $\textstyle x$ . Если в момент времени $\textstyle t-\tau$ координата была $\textstyle x-\varepsilon$ , то, изменившись на $\textstyle \varepsilon$ в течение малого времени $\textstyle \tau$ , в момент времени $\textstyle t$ она станет равной $\textstyle x$ . Произведение вероятности начального состояния $\textstyle P(x-\varepsilon, t-\tau)$ и вероятности независимого от него изменения $\textstyle \phi(\varepsilon)$ даст вероятность конечного состояния $\textstyle P(x, t)$ , которую нужно просуммировать по всем возможным значениям $\textstyle \varepsilon$ :

$P(x, t) = \int\limits^\infty_{-\infty} P(x-\varepsilon, t-\tau)\;\phi(\varepsilon) \,d\varepsilon.$

Разложим уравнение в ряд до первого порядка по $\textstyle \tau$ и второго по $\textstyle \varepsilon$ :

$P(x,t) = \int\limits^\infty_{-\infty}\left[ P(x,t) - \frac{\partial P(x,t)}{\partial t}\; \tau - \frac{\partial P}{\partial x}\;\varepsilon + \frac{\partial^2 P}{\partial x^2}\;\frac{\varepsilon^2}{2}+... \right]\phi(\varepsilon) d\varepsilon.$

Если направления равновероятны, то $\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0$ . Вводя конечное отношение $\textstyle \sigma^2_x=\left\langle \varepsilon^2\right\rangle /\tau$ , для $\textstyle P(x,t)$ в пределе $\textstyle \tau\to 0$ получаем:

$\;\;\frac{\partial P}{\partial t} = \frac{\sigma^2_x}{2} \;\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}.\;\;$

(7.2)

Это уравнение теплопроводности соответствует винеровскому блужданию $\textstyle dx=\sigma_x \delta W$ с дисперсией $\textstyle {x}$ , линейно увеличивающейся со временем.

$\textstyle \bullet$ Записывая систему уравнений Ланжевена, мы исходили из двух динамических переменных $\textstyle \mathbf{x}$ и $\textstyle \mathbf{v}$ . При этом среднее значение $\textstyle \mathbf{v}$ быстро (при $\textstyle t\gg \tau$ ) стремилось к постоянному значению, тогда как "динамикой обладала" переменная $\textstyle \mathbf{x}$ . Возьмём второе уравнение системы Ланжевена и в нулевом приближении положим $\textstyle d\mathbf{v}=0$ . Выразив из него $\textstyle \mathbf{v} dt$ и подставив его в первое уравнение, получим:

$d\mathbf{x} = \gamma\,\mathbf{g}\tau dt + \sigma\tau\, \delta \mathbf{W} = - \frac{\tau}{m} \mathbf{\nabla} V(\mathbf{x})dt + \left(2kT\,\frac{\tau}{m}\right)^{1/2} \,\delta \mathbf{W},$

где $\textstyle V(\mathbf{x})$ - в общем случае произвольная потенциальная энергия частицы, а $\textstyle \mathbf{\nabla}$ — её градиент. Соответствующее этому стохастическому уравнению уравнение Фоккера - Планка было получено Смолуховским в 1906 г.

Подобный способ устранения быстро изменяющихся переменных является достаточно общим и мощным приближенным методом решения различных стохастических задач.

Как решать стохастические задачи? <<	Оглавление	>> Стохастический осциллятор

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Теория броуновского движения

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты