Стохастический осциллятор

Материал из Synset

Теория броуновского движения <<	Оглавление	>> Дрожание земной оси

$\textstyle \bullet$ Множество механических, электромагнитных, биологических и социальных систем описываются осцилляторными уравнениями. Для определённости мы рассмотрим одномерный механический осциллятор массой $\textstyle m$ , подверженный трению и внешним стохастическим воздействиям. Определение импульса и закон Ньютона в этом случае имеют вид:

где сила состоит из трёх компонент:

$F = - \underbrace{(k + {\rm Noise}_1)\cdot x}_{сила\;упругости} \;-\; \underbrace{(2\lambda + {\rm Noise}_2)\cdot p}_{сила\;трения} \;+\; \underbrace{{\rm Noise}_3.}_{внешняя\;сила}$

Сила упругости пропорциональна величине отклонения от положения равновесия $\textstyle x$ . Мы будем считать, что коэффициент упругости $\textstyle k$ испытывает стохастические изменения, которые символически обозначены членом Noise $\textstyle _1$ . Знак минус перед упругой силой означает, что она стремится вернуть частицу назад, к положению равновесия. Сила сопротивления тем больше, чем больше скорость (импульс) частицы. Так происходит при движении в среде (воздух, вода). Сопротивление стремится остановить движение. Будем также предполагать, что коэффициент сопротивления подвержен стохастическим воздействиям Noise $\textstyle _2$ . Наконец, третья составляющая силы — это шум Noise $\textstyle _3$ , который может быть, например, внешними случайными толчками.

Все три стохастические компоненты, в зависимости от ситуации, можно рассматривать как в качестве независимых, так и в качестве зависимых случайных процессов. В общем случае между ними существуют некоторые корреляционные коэффициенты. Мы рассмотрим случай независимых стохастических воздействий, считая, что они имеют различную причину, и поэтому нескоррелированы.

Будем работать в системе единиц, для которой $\textstyle m=1$ , $\textstyle k=1$ ( $\textstyle \lessdot$ C). Стохастические уравнения движения в этом случае имеют вид:

$\left\{ \begin{array}{l} dx = p\, dt\\ dp = -x\, dt - 2\lambda\, p \, dt + \sigma_1\, x \, \delta W_1 + \sigma_2\, p \,\delta W_2 + \sigma_3 \, \delta W_3, \end{array} \right.$

где $\textstyle \sigma_1$ — волатильность коэффициента упругости, $\textstyle \sigma_2$ — силы трения, а $\textstyle \sigma_3$ — внешнего шума. Винеровские переменные $\textstyle \delta W_1$ , $\textstyle \delta W_2$ и $\textstyle \delta W_3$ представляют собой изменения трёх независимых процессов.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим сначала общий случай, записав систему:

$d\mathbf{x} = \mathbf{a}\, dt + \mathbf{b}\cdot \delta \mathbf{W},$

со следующими векторами и матрицами:

$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ p \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; \mathbf{a} = \begin{pmatrix} p \\ -x -2\lambda p \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sigma_1 x & \sigma_2 p & \sigma_3\\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; \delta \mathbf{W} = \begin{pmatrix} \delta W_1 \\ \delta W_2 \\ \delta W_3 \\ \end{pmatrix}.$

Для функции $\textstyle F(\mathbf{x})=F(x,p)$ координат и импульсов воспользуемся динамическим уравнением для средних (Системы стохастических уравнений):

$\frac{d}{dt}{\left\langle F(\mathbf{x})\right\rangle } = \left\langle \frac{\partial F}{\partial \mathbf{x}}\cdot \,\mathbf{a} +\frac{1}{2} \mathrm{Tr}\,\left[ \mathbf{b}^T \cdot \frac{\partial^2 F}{\partial \mathbf{x}^2} \cdot \mathbf{b} \right] \right\rangle , \;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial^2 F}{\partial \mathbf{x}^2}= \begin{pmatrix} F_{xx} & F_{xp} \\ F_{px} & F_{pp} \end{pmatrix},$

где $\textstyle F_{xx}$ — вторая производная по $\textstyle x$ , $\textstyle F_{xp}$ — производная по $\textstyle x$ и $\textstyle p$ , и т.д. Подставляя матрицы и перемножая их, получаем ( $\textstyle \lessdot$ H):

Выбор $\textstyle F=x$ и $\textstyle F=p$ приводит к системе уравнений, совпадающих с детерминированными (снос линеен!):

$\left\{ \begin{array}{l} \dot{\left\langle x\right\rangle } = \;\, \left\langle p\right\rangle \\ \dot{\left\langle p\right\rangle } = -\left\langle x\right\rangle - 2\lambda \,\left\langle p\right\rangle .\\ \end{array} \right.$

Её решение с начальными условиями $\textstyle x_0=x(0)$ , $\textstyle p_0=p(0)$ имеет вид:

$\left\{ \begin{array}{l} \left\langle x\right\rangle = \left( x_0\,\cos \omega t + \frac{p_0+\lambda x_0}{\omega}\,\sin \omega t\right)\, e^{-\lambda t}\\ \left\langle p\right\rangle = \left( p_0\,\cos \omega t - \frac{x_0+\lambda p_0}{\omega}\,\sin \omega t\right)\, e^{-\lambda t}, \end{array} \right.$

(7.3)

где $\textstyle \omega=\sqrt{1-\lambda^2}$ (мы считаем, что трение мало и $\textstyle \lambda<1$ ). При выводе (7.3) можно воспользоваться алгоритмом (Линейные многомерные модели) или привести систему к одному дифференциальному уравнению второго порядка ( $\textstyle \lessdot$ H).

Выбор $\textstyle F=x^2,\;p^2,\;xp$ приводит к системе уравнений для моментов:

$\left\{ \begin{array}{l} \dot{\left\langle x^2\right\rangle } = 2\left\langle xp\right\rangle \\ \dot{\left\langle xp\right\rangle } = \left\langle p^2\right\rangle - \left\langle x^2\right\rangle - 2\lambda \,\left\langle xp\right\rangle \\ \dot{\left\langle p^2\right\rangle } = -2\left\langle xp\right\rangle + \sigma^2_1\left\langle x^2\right\rangle + (\sigma^2_2 - 4\lambda) \,\left\langle p^2\right\rangle + \sigma^2_3.\\ \end{array} \right.$

(7.4)

Эта неоднородная линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений легко решается. Однако, так как уравнение для собственных значений оказывается кубическим, выражения получаются достаточно громоздкими. Ниже мы рассмотрим частные случаи этой системы.

$\textstyle \bullet$ Если $\textstyle 4\lambda>\sigma^2_1+\sigma^2_2$ , система имеет стационарный режим при $\textstyle t\to\infty$ , в котором:

$\left\langle x^2\right\rangle =\left\langle p^2\right\rangle = \frac{\sigma^2_3}{4\lambda -\sigma^2_1-\sigma^2_2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\langle xp\right\rangle =0.$

(7.5)

При $\textstyle \lambda>0$ средние стремятся к нулю, и матрица дисперсии оказывается диагональной:

$\mathbf{D} = \frac{\sigma^2_3}{4\lambda -\sigma^2_1-\sigma^2_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}.$

Каждая разновидность шума увеличивает дисперсии, но по-разному. Трение $\textstyle \lambda$ играет стабилизирующую роль, уменьшая $\textstyle \mathbf{D}$ .

Заметим, что динамика при $\textstyle t\to\infty$ продолжается только, если существует внешний шум ( $\textstyle \sigma_3\neq 0$ ). Если $\textstyle \sigma_3=0$ , стационарный режим также существует, но он вырождается в полное затухание колебаний, и $\textstyle \left\langle x^2\right\rangle =\left\langle p^2\right\rangle =0$ . Причина подобного поведения та же, что и у логистического уравнения.

$\textstyle \bullet$ Пусть детерминированной составляющей трения нет $\textstyle \lambda=0$ , а флуктуации упругости и трения имеют одинаковые амплитуды $\textstyle \sigma_1=\sigma_2=\sigma$ . Введём энергию гармонического осциллятора:

$E=\frac{x^2+p^2}{2}.$

Из (7.4) следует, что её среднее значение удовлетворяет уравнению:

$\frac{d}{dt}\left\langle E\right\rangle = \sigma^2 \left\langle E\right\rangle + \frac{\sigma^2_3}{2},$

а, следовательно, возрастает со временем:

$\left\langle E\right\rangle = \left(E_0 + \frac{\sigma^2_3}{2\sigma^2}\right)e^{\sigma^2 t} - \frac{\sigma^2_3}{2\sigma^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E_0=\frac{x^2_0+p^2_2}{2}.$

Если стохастическое воздействие обусловлено только внешними толчками ( $\textstyle \sigma_1=\sigma_2=0$ ), то рост не такой быстрый и аналогичен винеровскому увеличению неопределённости $\textstyle \left\langle E\right\rangle = E_0 + \sigma^2_3\, t/2$ . Так же, как и броуновская частица под внешним воздействием в среднем удаляется от начального положения, так и квадрат амплитуды осциллятора при $\textstyle \lambda=0$ в среднем увеличивается.

$\textstyle \bullet$ Если существуют только внешние толчки ( $\textstyle \sigma_1=\sigma_2=0$ ), то стохастика имеет постоянную волатильность $\textstyle \sigma_3=\sigma$ :

$\left\{ \begin{array}{l} dx = p\, dt\\ dp = -x\, dt - 2\lambda\, p \, dt + \sigma \, \delta W. \end{array} \right.$

Подобную систему мы рассматривали в шестой главе (Уравнение стохастического осциллятора). Она обладает точным решением, которое выражается через две независимые гауссовы переменные. Воспользуемся общим алгоритмом решения системы линейных уравнений (см. Линейные многомерные модели) с матрицами:

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -2\lambda \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\; \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \sigma \\ \end{pmatrix}.$

Чтобы найти $\textstyle e^{\mathbf{A}t}$ , продифференцируем (7.3) по $\textstyle x_0$ и $\textstyle p_0$ :

$e^{\mathbf{A}t} = \begin{pmatrix} \omega \cos \omega t + \lambda\sin \omega t & \sin \omega t \\ -\sin \omega t & \omega \cos \omega t - \lambda\sin \omega t \\ \end{pmatrix} \cdot \frac{e^{-\lambda t}}{\omega}.$

При помощи этой матрицы, интегрируя (6.28), (Линейные многомерные модели), можно найти дисперсию координаты и импульса:

$\left\{ \begin{matrix} D_{xx}(t) \\ D_{pp}(t) \\ \end{matrix} \right\} = \frac{\sigma^2}{4\lambda} - \frac{\sigma^2}{4\lambda\omega^2} \, \bigl[1-\lambda^2 \cos(2\omega t) \pm \lambda \omega \sin(2\omega t)\bigr]\,e^{-2\lambda t}.$

Верхний знак соответствует дисперсии для $\textstyle x$ : $\textstyle D_{xx}=\left\langle x^2\right\rangle -\left\langle x\right\rangle ^2$ , а нижний — для $\textstyle p$ : $\textstyle D_{pp}=\left\langle p^2\right\rangle -\left\langle p\right\rangle ^2$ . Дисперсия произведения динамических переменных $\textstyle D_{xp}(t)=\left\langle xp\right\rangle -\left\langle x\right\rangle \left\langle p\right\rangle$ имеет вид:

$D_{xp}(t) = \frac{\sigma^2 }{2\omega^2}\, \sin^2(\omega t)\,e^{-2\lambda t}$

и стремится к нулю при $\textstyle t\to\infty$ и $\textstyle \lambda>0$ . В результате, в стационарном режиме ( $\textstyle t\to\infty$ ) матрица дисперсий диагональна (7.5), поэтому автоковариационная матрица $\textstyle \mathrm{cov}\,\tau)$ равна $\textstyle e^{\mathbf{A}^T|\tau|}$ с множителем $\textstyle \sigma^2/4\lambda$ .

При отсутствии трения $\textstyle \lambda=0$ , $\textstyle \omega=1$ :

$\mathbf{D}(t) = \frac{\sigma^2}{2} \begin{pmatrix} t -\sin t\cos t & \sin^2 t \\ \sin^2 t & t +\sin t\cos t \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\;\; e^{\mathbf{A}t} = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \\ \end{pmatrix}$

и, как мы видели выше, стационарного режима нет. Дисперсии по $\textstyle x$ и $\textstyle p$ растут во времени, совершая периодические колебания. Автоковариационная матрица $\textstyle \mathrm{cov}\,t,t+\tau)$ получается перемножением $\textstyle \mathbf{D}(t)$ и $\textstyle e^{\mathbf{A}^T|\tau|}$ .

Теория броуновского движения <<	Оглавление	>> Дрожание земной оси

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Стохастический осциллятор

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты