Случайные величины

Материал из Synset

Стохастические уравнения <<	Оглавление	>> Нормальное распределение

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим величину, различные наблюдения которой дают нам набор чисел $\textstyle x_1, x_2, ...$ Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа $\textstyle x_1,x_2,\,...$ можно рассматривать как возможные реализации случайной величины $\textstyle x$ . На первом этапе исследования мы не интересуемся порядком их поступления и можем эту последовательность произвольным образом перемешивать.

Допустим, $\textstyle x_i$ встречается $\textstyle n_i$ раз, а общее количество чисел равно $\textstyle n$ . Мы называем средним значением случайной величины $\textstyle x$ выражение:

$\bar{x} = \left \langle x\right \rangle= \frac{1}{n}\sum_i x_i n_i = \sum_i x_i p_i = \int\limits^\infty_{-\infty} x P(x)\,dx,$

где $\textstyle p_i = n_i/n$ -- относительные частоты (или вероятности) появления того или иного $\textstyle x_i$ . Если все $\textstyle x_i$ различны, то среднее равно их сумме, делённой на $\textstyle n$ . Чем вероятнее $\textstyle x_i$ , тем больший вклад оно даёт в среднее.

Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. Плотностью распределения вероятностей называют такую функцию $\textstyle P(x)$ , умножение которой на интервал $\textstyle dx$ дает вероятность $\textstyle p_i$ того, что значение $\textstyle x$ окажется в отрезке от $\textstyle x$ до $\textstyle x+dx$ .

Вероятность обнаружить случайную величину $\textstyle x$ в любом месте диапазона $\textstyle [-\infty..\infty]$ равна площади под кривой $\textstyle P(x)$ . Понятно, что такое достоверное событие имеет единичную вероятность:

$\displaystyle \sum_i p_i = \int\limits^{\infty}_{-\infty} P(x) dx = 1.$

Это соотношение называют условием нормировки.

Иногда случайная величина имеет запрещённые значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить $\textstyle x$ в области $\textstyle x<0$ равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в запрещённых для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю.

$\textstyle \bullet$ Если известна плотность вероятности, то можно найти среднее значение произвольной функции $\textstyle F(x)$ случайной величины $\textstyle x$ :

$\left \langle F(x)\right \rangle = \overline{F(x)}= \int\limits^\infty_{-\infty} F(x) P(x)\,dx.$

Мы обозначаем операцию усреднения при помощи двух эквивалентных символов -- фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение $\textstyle \mathbf{E} F(x)$ .

Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу:

$\left \langle \alpha \cdot f(x)\right \rangle=\alpha\cdot\left \langle f(x)\right \rangle,~~~~~~~~~~~ \left \langle f(x)+g(x)\right \rangle=\left \langle f(x)\right \rangle+\left \langle g(x)\right \rangle.$

Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: $\textstyle \left \langle x^2\right \rangle \neq \left \langle x\right \rangle^2$ .

$\textstyle \bullet$ Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её волатильность $\textstyle \sigma$ :

$\sigma^2=\left \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} (x-\bar{x})^2 P(x)\,dx.$

Волатильность $\textstyle \sigma$ в нефинансовых приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат $\textstyle \sigma^2$ -- это дисперсия или вариация, $\textstyle \sigma^2=\mathbf{Var}(x)$ . Среднее значение $\textstyle \bar{x}$ как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:

$\sigma^2=\left \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle = \left \langle x^2-2x\bar{x}+\bar{x}^2\right \rangle = \left \langle x^2\right \rangle-2\bar{x}\left \langle x\right \rangle+\bar{x}^2 = \left \langle x^2\right \rangle - \left \langle x\right \rangle^2.$

Если плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет единственный симметричный максимум, то среднее характеризует наиболее типичное значение $\textstyle x$ . Волатильность -- это типичные отклонения $\textstyle x$ от своего среднего. Чем меньше $\textstyle \sigma$ , тем уже плотность вероятности $\textstyle P(x)$ и при $\textstyle \sigma\to 0$ случайная величина становится практически детерминированной со значением $\textstyle x=\bar{x}$ .

Аналогично дисперсии можно определить моменты более высоких порядков. Так, безразмерные отношения

$asym=\left \langle (x-\bar{x})^3\right \rangle/\sigma^3,~~~~~~ excess=\left \langle (x-\bar{x})^4\right \rangle/\sigma^4 - 3$

называются асимметрией и эксцессом. Асимметрия характеризует скошенность плотности вероятности и для симметричной $\textstyle P(x)$ она равна нулю. При больших положительных эксцессах $\textstyle P(x)$ медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.

Стохастические уравнения <<	Оглавление	>> Нормальное распределение

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Случайные величины

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты