Скорость

Материал из Synset

Пространство и Время Ньютона <<	Оглавление	>> Время

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ , двигающиеся с относительной скоростью $\textstyle v$ . Пусть их оси $\textstyle x$ и $\textstyle x'$ направлены параллельно друг другу. Скорость системы $\textstyle S'$ относительно $\textstyle S$ равна $\textstyle v$ , а скорость $\textstyle S$ относительно $\textstyle S'$ , соответственно, " $\textstyle -v$ ":

Процедура согласования единиц измерений наблюдателей, находящихся в этих системах, такова, что свои линейки они сравнивают, расположив их перпендикулярно движению ("линии на заборе", стр. \pageref{line_on_wall}). Преобразования Лоренца, в которые добавлена неизменность координаты $\textstyle y$ , имеют вид:

$t'=\frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y'=y.$

Обычно мы будем записывать все соотношения для двумерного пространства $\textstyle (x,y)$ , помня, что в силу симметрии связь проекций векторов на ось $\textstyle z$ будет такой же, как и на ось $\textstyle y$ .

Ключевым понятием кинематики является событие. Предполагается, что оно имеет сколь угодно малые длительность и локализацию в пространстве. Событие характеризуется положением $\textstyle (x,y)$ и моментом времени $\textstyle t$ . Наблюдатели в каждой системе отсчета регистрируют подобное событие по своим приборам, получая значения $\textstyle (t,x,y)$ для $\textstyle S$ и $\textstyle (t',x',y')$ для $\textstyle S'$ . Напомним, что наблюдатели способны проводить измерения только в своей непосредственной окрестности. Поэтому каждую систему отсчета мы представляем "заполненной" такими наблюдателями. Данное событие регистрируют два наблюдателя в $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ , которые находятся в том месте, где произошло событие. Благодаря процедурам синхронизации и согласования единиц времени полученные ими наблюдения будут непротиворечиво восприняты и другими собратьями из их систем отсчета. Стоит помнить, что эффекты теории относительности проявляются при больших скоростях, и для получения заметных отличий от классической кинематики часто потребуется изучать большие расстояния. Поэтому введение множества наблюдателей оказывается достаточно полезным.

$\textstyle \bullet$ Обычно представляет интерес сравнение наблюдений не единичного события, а некоторого процесса. Будем считать, что процесс состоит из двух последовательных событий: его начала в момент времени $\textstyle t_1$ (в системе $\textstyle S$ ) и конца в момент $\textstyle t_2$ . Соответственно, его локализация в пространстве также характеризуется двумя точками $\textstyle (x_1,y_1)$ и $\textstyle (x_2,y_2)$ . Интервал времени между событиями и разность координат равны:

$\Delta t=t_2-t_1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta x= x_2-x_1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta y= y_2-y_1.$

Для каждого из этих двух событий можно записать преобразования Лоренца и вычесть их друг из друга. В силу линейности преобразований и постоянства скорости $\textstyle v$ для приращений справедливы преобразования лоренцевского вида:

$\Delta t' = \frac{\Delta t- v\Delta x/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta x' = \frac{\Delta x - v\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta y'=\Delta y.$

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим двигающийся в пространстве объект. Можно измерить его положение $\textstyle (x_1,y_1)$ в момент времени $\textstyle t_1$ , а затем положение $\textstyle (x_2,y_2)$ в момент времени $\textstyle t_2$ . По определению, проекции его скорости $\textstyle \mathbf{u}=(u_x, u_y)$ в системе $\textstyle S$ равны $\textstyle u_x=\Delta x/\Delta t$ , $\textstyle u_y=\Delta y/\Delta t$ , и, аналогично, со штрихами в $\textstyle S'$ . Из преобразований для приращений несложно найти связь между скоростями объекта для наблюдателей в системе $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ :

$u'_x =\frac{u_x-v}{1-u_xv/c^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u'_y=\frac{u_y\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-u_xv/c^2}.$

(2.1)

Часто удобнее использовать обращенные преобразования скорости. Их можно получить прямыми вычислениями, или, в силу эквивалентности инерциальных систем отсчета, просто изменив знак у скорости $\textstyle v$ :

$u_x =\frac{u'_x+v}{1+u'_xv/c^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_y=\frac{u'_y\sqrt{1-v^2/c^2}}{1+u'_xv/c^2}.$

(2.2)

Если, например, мы стоим на перроне, и $\textstyle \mathbf{u}'=(u_x,u_y)$ — это скорость мухи относительно поезда, который движется со скоростью $\textstyle v$ , то скорость мухи относительно нас будет складываться из движения поезда и движения мухи. В классической механике это сложение имеет вид:

$u_x\approx u'_x+v,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_y\approx u'_y.$

В теории относительности подобные соотношения — лишь некоторое приближение, справедливое до тех пор, пока скорости поезда и мухи много меньше фундаментальной скорости $\textstyle c$ .

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим объект, двигающийся вдоль оси $\textstyle x$ с фундаментальной скоростью $\textstyle u_x=c$ . Тогда в другой системе $\textstyle S'$ его скорость будет равна:

$c' = \frac{c-v}{1-cv/c^2} = c.$

Таким образом объект, двигающийся со скоростью, равной " $\textstyle c$ ", в одной системе отсчета, будет иметь ту же скорость и в любой другой системе. Поэтому мы также называем $\textstyle c$ инвариантной скоростью.

При помощи преобразований (2.1) несложно ( $\textstyle \lessdot$ H) проверить, что квадрат длины скорости $\textstyle \mathbf{u}^2=u_x^2+u_y^2$ преобразуется следующим образом:

$1-\frac{\mathbf{u}'^2}{c^2} = \left( 1-\frac{\mathbf{u}^2}{c^2} \right)\cdot\frac{1-\mathbf{v}^2/c^2}{(1-\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}/c)^2},$

(2.3)

где $\textstyle \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_x\,v$ — проекция скорости объекта $\textstyle \mathbf{u}$ на скорость системы $\textstyle \mathbf{v}$ . Если в одной системе отсчета объект движется в произвольном направлении с фундаментальной скоростью $\textstyle \mathbf{u}^2=c^2$ , то и в другой инерциальной системе $\textstyle \mathbf{u}'^2=c^2$ , поэтому $\textstyle c$ является инвариантной скоростью независимо от её направления.

Подобная инвариантность обычно в качестве постулата используется при выводе преобразований Лоренца. Однако это, на самом деле, следствие теории относительности, причем одно из наиболее необычных и непривычных для нашего обыденного опыта.

$\textstyle \bullet$ Фундаментальная скорость $\textstyle c=299792458$ м/с имеет единое значение для всех наблюдателей. Поэтому удобно так определить единицы времени, чтобы $\textstyle c=1$ . Например, можно в качестве "новой секунды" выбрать $\textstyle 1/299792458$ часть "старой секунды". Все формулы теории относительности в этой системе единиц будут выглядеть проще. Так, связь изменений координат и времени между двумя событиями, наблюдаемыми из систем $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ , имеет вид:

$\Delta t' = \frac{\Delta t- v\Delta x}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\;\;\Delta x' = \frac{\Delta x - v\Delta t}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\Delta y'=\Delta y.$

(2.4)

Если в некоторой формуле мы хотим "восстановить" константу " $\textstyle c$ ", то величины, имеющие в своей размерности время в некоторой степени, должны умножаться на " $\textstyle c$ " в той же степени. Например, для времени $\textstyle t$ , скорости $\textstyle u=dx/dt$ и ускорения $\textstyle a=d^2x/dt^2$ совершаются следующие замены:

$t\mapsto ct,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u\mapsto \frac{u}{c},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a\mapsto \frac{a}{c^2}.$

Далее мы будем придерживаться системы единиц, в которой $\textstyle c=1$ .

$\textstyle \bullet$ Фундаментальная и инвариантная скорость " $\textstyle c$ " является также предельно возможной скоростью движения "материального" объекта. В самом деле, пусть наблюдатель в системе $\textstyle S$ создает своего клона и отправляет его в полет со скоростью $\textstyle v$ (система $\textstyle S_1$ ). Первый клон создает второго и "отправляет" его с той же скоростью относительно себя (система $\textstyle S_2$ ), и т.д. до бесконечности. В классической физике $\textstyle n$ -тый клон относительно системы $\textstyle S$ имел бы скорость $\textstyle u_n=n\,v$ , которая при $\textstyle n\to\infty$ также стремилась бы к бесконечности. В релятивистском мире скорость $\textstyle n$ -того и $\textstyle n-1$ -го клонов относительно системы отсчета $\textstyle S$ связаны следующим образом ( $\textstyle c=1$ ):

Если протабулировать это рекурсивное соотношение, начиная, например, с $\textstyle u_1=v=1/2$ , то получится график, приведенный справа. Скорость $\textstyle u_n$ при $\textstyle n\to\infty$ стремится к $\textstyle c=1$ . Хотя $\textstyle u_n$ постоянно увеличивается, относительно наблюдателя в $\textstyle S$ каждая добавка становится всё меньше. При $\textstyle n\to\infty$ можно положить $\textstyle u_{n}=u_{n-1}=u_\infty$ и получить асимптотическое значение не зависящее от $\textstyle v$ :

$u_\infty = \frac{u_\infty + v}{1+u_\infty \,v}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_\infty = 1.$

Найдём явную зависимость $\textstyle u_n$ от $\textstyle n$ . Для этого заметим, что при помощи гиперболического арктангенса ( $\textstyle \lessdot$ C) закон сложения скоростей (2.2) вдоль оси $\textstyle x$ можно записать в линейном виде:

$\mathrm{ath}\,u_x)=\mathrm{ath}\,u'_x)+\mathrm{ath}\,v),\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\;\mathrm{ath}\,v)=\frac{1}{2}\,\ln \frac{1+v}{1-v}.$

Поэтому $\textstyle \mathrm{ath}\,(u_{n})=\mathrm{ath}\,(u_{n-1})+\mathrm{ath}\,(v)=n \cdot\mathrm{ath}\,(v)$ , откуда:

$u_n = \frac{1-w^n}{1+w^n},$

где $\textstyle w=(1-v)/(1+v) < 1$ . Понятно, что при $\textstyle n\to \infty$ , $\textstyle u_n\to 1$ . Формула сложения скоростей, записанная при помощи гиперболического арктангенса, имеет важный геометрический смысл, который мы обсудим в шестой главе при рассмотрении пространства Лобачевского.

Кроме мысленного эксперимента, приведенного выше, существуют также веские энергетические причины предельности скорости " $\textstyle c$ ", которые будут изучены в следующей главе.

$\textstyle \bullet$ При помощи преобразований (2.4) несложно ( $\textstyle \lessdot$ H) проверить, что для любых двух событий следующая комбинация приращений имеет одинаковое значение для наблюдателей из различных инерциальных систем отсчета:

(Δ s) 2 = (Δ t') 2 - (Δ x') 2 - (Δ y') 2 = (Δ t) 2 - (Δ x) 2 - (Δ y) 2 .

Величина $\textstyle \Delta s$ называется интервалом между событиями и является инвариантом преобразований Лоренца.

Если в некоторой точке $\textstyle (x_1,y_1)$ произошла вспышка света, распространяющаяся в виде сферической волны (в плоскости — окружность) со скоростью $\textstyle c=1$ , то за время $\textstyle \Delta t$ её радиус $\textstyle R$ станет равным $\textstyle \Delta t$ :

Следовательно, $\textstyle (\Delta s)^2=0$ , и такие интервалы называются светоподобными. Светоподобные интервалы возникают между событиями, которые можно связать распространяющимся с фундаментальной скоростью сигналом. Светоподобный интервал, как и любой другой, равен нулю для всех наблюдателей. Поэтому сферическая световая волна будет выглядеть точно так же из любой инерциальной системы отсчета.

Если $\textstyle (\Delta s)^2>0$ , то интервал называется времениподобным. В частности, если $\textstyle \Delta x=\Delta y=0$ , то $\textstyle \Delta s$ равен времени $\textstyle \Delta t$ , прошедшему на неподвижных в данной системе часах. События, связанные времениподобными интервалами, могут быть соединены сигналом, распространяющимся со скоростью $\textstyle \mathbf{u}$ , меньшей единицы ( $\textstyle c=1$ ):

$(\Delta s)^2 = (\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2 = (\Delta t)^2\cdot (1-\mathbf{u}^2)>0.$

Естественно, свойство времениподобности интервала является инвариантным свойством для всех наблюдателей.

Наконец, если $\textstyle (\Delta s)^2<0$ , то интервал называется пространственноподобным. Два события, для которых $\textstyle (\Delta s)^2<0$ , нельзя связать световыми сигналами или "обычными" частицами, имеющими скорость меньше фундаментальной.

Инвариантность интервала имеет глубокий геометрический смысл. Величина $\textstyle \Delta s$ является расстоянием в псевдоевклидовом четырехмерном пространстве - времени. Подробнее геометрические аспекты теории относительности мы рассмотрим в пятой главе, а сейчас сделаем ещё несколько замечаний общего характера.

$\textstyle \bullet$ Объект, летящий со скоростью, сколь угодно близкой к фундаментальной скорости " $\textstyle c$ ", качественно отличается от объектов, имеющих в точности скорость " $\textstyle c$ ". Например, преобразования Лоренца при $\textstyle v=c$ обращаются в бесконечность. Это приводит к тому, что с объектами, имеющими скорость " $\textstyle c$ ", нельзя связать инерциальную систему отсчета, наполненную наблюдателями, часами и линейками.

Наш мир вполне мог быть устроен таким образом, что в нем вообще бы отсутствовали объекты, способные двигаться со скоростью " $\textstyle c$ ". На самом деле, это было бы более естественным. В таком мире " $\textstyle c$ " являлась бы предельной, но недостижимой никаким объектом скоростью.

Однако, по-видимому, наш мир устроен иначе, и в нем существуют принципиально отличные от остальных объектов сущности, двигающиеся с фундаментальной скоростью. Их самым важным представителем является свет. Он дает нам возможность изучать удалённые предметы, а благодаря свету, испускаемому Солнцем, существует жизнь на нашей планете. При высокой энергии мы воспринимаем свет, как частицы (фотоны), а при малой — как волны (электромагнитное излучение).

Кроме света, могут существовать и другие сущности, двигающиеся с фундаментальной скоростью. Например, до сих пор надежно не установлено, есть ли у нейтрино масса, и вполне вероятно, что это тоже "светоподобный" объект. Со скоростью света, по всей видимости, распространяется гравитационное взаимодействие, и т.д.

Принципиальное отличие светоподобных объектов от "обычных" в том, что, один раз родившись такими, они так и проживают всю свою "жизнь". Их нельзя, не уничтожив, затормозить и остановить. Они не меняют свою скорость. Речь, конечно, идет о движении в вакууме. В веществе скорость света становится меньше. Однако фактически эта скорость является усреднением скорости различных фотонов, переизлучаемых ("с задержкой") атомами вещества. Между атомами фотон движется со скоростью $\textstyle c$ . "Неквантовая" картина того же процесса строится на основе суммирования множества вторичных волн, возникающих при колебании заряженных частиц вещества электромагнитной волной.

Раз возможны светоподобные объекты, качественно отличающиеся от обычных, то можно допустить и существование тахионов. Тахион — это объект, способный двигаться быстрее фундаментальной скорости " $\textstyle c$ ". В принципе, как и свет, один раз таким родившись, тахион остаётся тахионом все время. Его скорость может приближаться к скорости " $\textstyle c$ " сверху, никогда её не достигая. Допущение существования тахионов приводит к очень необычным следствиям, и мы их пока обсуждать не будем.

Пространство и Время Ньютона <<	Оглавление	>> Время

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Скорость

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты