Системы стохастических уравнений

Материал из Synset

Скоррелированные блуждания <<	Оглавление	>> Уравнение стохастического осциллятора

$\textstyle \bullet$ В общем случае система стохастических уравнений записывается в виде:

$dx_i = a_i(\mathbf{x},t)\, dt + b_{i\alpha}(\mathbf{x},t)\,\delta W_\alpha,$

(6.4)

где $\textstyle i=1,...,n$ , по повторяющемуся индексу $\textstyle \alpha=1,...,m$ предполагается суммирование, и в общем случае $\textstyle n\neq m$ . Можно опустить не только знак суммы, но и индексы, записав стохастическое уравнение в матричном виде:

$d\mathbf{x} = \mathbf{a}(\mathbf{x},t)\, dt + \mathbf{b}\cdot\delta \mathbf{W},$

(6.5)

где $\textstyle \mathbf{a}$ — векторная функция, а $\textstyle \mathbf{b}$ — матричная, размерности $\textstyle n\,$ x $\textstyle \,m$ . Вектор винеровских переменных, как и в одномерном случае, записывается через гауссовы случайные числа:

$\delta \mathbf{W} = \{\delta W_1,...,\delta W_m \} = \{ \varepsilon_1,..., \varepsilon_m \}\cdot \sqrt{t} = \mathbf{\epsilon}\cdot \sqrt{t}.$

(6.6)

Мы будем считать, что $\textstyle \left\langle \varepsilon_\alpha \varepsilon_\beta\right\rangle =\delta_{\alpha\beta}$ , а эффекты корреляции переносить на матрицу $\textstyle b_{i\alpha}$ . Скоррелированные величины $\textstyle \varepsilon'_\alpha$ можно выразить через нескоррелированные при помощи линейного преобразования $\textstyle \epsilon'= \mathbf{S}\cdot \epsilon$ , поэтому стохастический член в уравнении Ито со скоррелированными винеровскими переменными $\textstyle \mathbf{b}'\cdot \epsilon' \sqrt{dt}$ эквивалентен $\textstyle (\mathbf{b}'\cdot \mathbf{S})\cdot \epsilon \sqrt{dt}$ .

$\textstyle \bullet$ Численное моделирование выполняется при помощи выбора малого интервала времени $\textstyle \Delta t$ . После этого генерится вектор $\textstyle m$ нормально распределённых чисел $\textstyle \mathbf{\epsilon} = \{ \varepsilon_1,..., \varepsilon_m \}$ и вычисляется набор значений процессов в следующий момент времени. Для первой итерации:

$x_i= x_{0i} + a_i(\mathbf{x}_0, t_0)\,\Delta t + b_{i\alpha}(\mathbf{x}_0, t_0)\,\varepsilon_\alpha\, \sqrt{\Delta t}.$

(6.7)

Процессы $\textstyle \mathbf{x}(t)=\{x_1(t),...,x_n(t)\}$ мы всегда нумеруем, начиная с индекса 1, а нулевой индекс $\textstyle x_{0i}$ - это значение $\textstyle i$ -того процесса в момент времени $\textstyle t_0$ , т.е. $\textstyle x_{0i}=x_i(t_0)$ .

Несложно проверить, что смысл коэффициентов сноса определяется средним $\textstyle \left\langle x_i-x_{0i}\right\rangle /\Delta t= a_i(\mathbf{x}_0, t_0)$ , а диффузия:

$\frac{\left\langle (x_i-x_{0i})\cdot (x_j-x_{0j})\right\rangle }{\Delta t}=b_{i\alpha}(\mathbf{x}_0, t_0)\, b_{j\alpha}(\mathbf{x}_0, t_0) = (\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}^{T})_{ij}$

(6.8)

при $\textstyle \Delta t\to 0$ стремится к произведению матриц волатильности, где $\textstyle b^{T}_{ij}=b_{ji}$ - операция транспонирования (перестановки) индексов.

$\textstyle \bullet$ Обобщим лемму Ито на $\textstyle n$ -мерный случай. Пусть $\textstyle F(\mathbf{x},t)$ — дифференцируемая функция. Разложим её в ряд Тейлора в окрестности точки $\textstyle \mathbf{x}_0, t_0$ :

$F(\mathbf{x},t) = F(\mathbf{x}_0, t_0) + \frac{\partial F}{\partial t} \Delta t + \frac{\partial F}{\partial x_i}\,\Delta x_i +\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_i \partial x_j} \,\Delta x_i \Delta x_j+...$

(6.9)

По повторяющимся индексам проводится суммирование, и все функции в правой части вычисляются в точке $\textstyle \mathbf{x}_0, t_0$ . В соответствии с (6.7):

$\Delta x_i = a_i(\mathbf{x}_0, t_0)\Delta t + b_{i\alpha}(\mathbf{x}_0, t_0)\,\varepsilon_\alpha\,\sqrt{\Delta t}.$

(6.10)

Изменение функции $\textstyle dF=F(\mathbf{x},t) - F(\mathbf{x}_0, t_0)$ подчиняется стохастическому уравнению Ито:

$dF = A(\mathbf{x}_0,t_0)\, dt + B_{\alpha}(\mathbf{x}_0,t_0)\,\delta W_\alpha.$

(6.11)

Подставляя (6.10) в (6.9) и сохраняя члены порядка $\textstyle \sqrt{\Delta t}$ , $\textstyle \Delta t$ , получаем:

$F-F_0 \approx \left(\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial x_i}\,a_i + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j}\,b_{i\alpha}b_{j\beta}\varepsilon_\alpha\varepsilon_\beta\right)\,\Delta t +\frac{\partial F}{\partial x_i}\,b_{i\alpha}\varepsilon_\alpha \sqrt{\Delta t}.$

Снос $\textstyle A(\mathbf{x}_0,t_0)$ по определению равен пределу $\textstyle \left\langle F-F_0\right\rangle /\Delta t$ при $\textstyle \Delta t\to 0$ и находится с учётом соотношений $\textstyle \left\langle \varepsilon_\alpha \varepsilon_\beta\right\rangle =\delta_{\alpha\beta}$ . Для диффузии, в соответствии с (6.8), имеем:

$\frac{\left\langle (F-F_0)^2\right\rangle }{\Delta t} \;=\; \frac{\partial F}{\partial x_i}\,\frac{\partial F}{\partial x_j} \; b_{i\alpha}b_{j\alpha} \;=\; B_{\alpha} B_{\alpha}.$

Поэтому стохастическое уравнение для скалярной функции $\textstyle n+1$ переменных $\textstyle F(\mathbf{x},t)$ , в которую вместо аргументов $\textstyle \mathbf{x}$ подставлены случайные процессы $\textstyle \mathbf{x}(t)$ , записывается следующим образом:

$dF = \left(\frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x_i} \,a_i +\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j}\, b_{i\alpha} b_{j\alpha}\right)\, dt + \frac{\partial F}{\partial x_i}\, b_{i\alpha} \,\delta W_\alpha.$

(6.12)

Если функция $\textstyle F$ — не скалярная, а векторная, то это соотношение справедливо для каждой из её компонент.

Введя символ следа матрицы, равного сумме диагональных элементов $\textstyle \mathrm{Tr}\,\mathbf{A} = A_{\alpha\alpha} = A_{11}+...+A_{nn}$ , можно записать лемму Ито в матричном виде:

$dF = \left( \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial \mathbf{x}}\cdot \,\mathbf{a} +\frac{1}{2} \mathrm{Tr}\,\left[ \mathbf{b}^T \cdot \frac{\partial^2 F}{\partial \mathbf{x}^2} \cdot \mathbf{b} \right] \right)\, dt + \frac{\partial F}{\partial \mathbf{x}}\cdot \mathbf{b} \cdot \delta \mathbf{W},$

(6.13)

где $\textstyle \partial^2 F/\partial \mathbf{x}^2$ — матрица вторых производных.

$\textstyle \bullet$ Получим многомерное уравнение Фоккера-Планка. Для этого необходимо повторить рассуждения из одномерной задачи. Рассмотрим случайный вектор $\textstyle \mathbf{y}=\mathbf{x}(t)$ в момент времени $\textstyle t$ и предшествующий ему $\textstyle \mathbf{x}=\mathbf{x}(t-\Delta t)$ в момент времени $\textstyle t-\Delta t$ . Они связаны диффузным стохастическим процессом:

$\mathbf{y}= \mathbf{x} + \mathbf{a} \;\Delta t + \mathbf{b}\cdot \epsilon \;\sqrt{\Delta t},$

где векторная $\textstyle \mathbf{a}=a_i(\mathbf{x}, t-\Delta t)$ и матричная $\textstyle \mathbf{b}=b_{i\alpha}(\mathbf{x}, t-\Delta t)$ функции вычислены в момент времени $\textstyle t-\Delta t$ . Предположим, что плотность вероятности случайной величины $\textstyle \mathbf{x}$ равна $\textstyle P(\mathbf{x}, t-\Delta t)$ . Распределение для гауссовой переменной нам известно. Чтобы найти распределение для величины $\textstyle \mathbf{y}$ , необходимо вычислить среднее от произвольной функции $\textstyle F(\mathbf{y})$ с известными плотностями $\textstyle P(\mathbf{x}, t-\Delta t)$ и $\textstyle P(\epsilon)$ :

$\left\langle F(\mathbf{y})\right\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} \overbrace{F(\mathbf{x}+\mathbf{a}\Delta t +\mathbf{b}\cdot \epsilon \sqrt{\Delta t})}^{F(\mathbf{y})}\cdot \overbrace{P(\mathbf{x}, t-\Delta t) P(\varepsilon_1,...,\varepsilon_m)}^{P(\mathbf{x},\varepsilon)} \,d^nx d^m\varepsilon.$

Разложим первый множитель в ряд по малой величине $\textstyle \mathbf{a}\,\Delta t + \mathbf{b}\,\varepsilon \sqrt{\Delta t}$ :

$\begin{array}{lcl} F('''y''')&=&F('''x''') + \frac{\partial F}{\partial x_i}\cdot (a_i\Delta t+b_{i\alpha}\varepsilon_\alpha\sqrt{\Delta t})\\ &+&\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j} \cdot (a_i\Delta t+b_{i\alpha}\varepsilon_\alpha\sqrt{\Delta t}) \cdot (a_j\Delta t+b_{j\beta}\varepsilon_\beta\sqrt{\Delta t}), \end{array}$

где по повторяющимся индексам, как и раньше, подразумевается суммирование. По $\textstyle \Delta t$ раскладываем также $\textstyle P(\mathbf{x}, t-\Delta t)$ .

При интегрировании по всем $\textstyle \varepsilon_i$ происходит усреднение, которое даёт $\textstyle \left\langle \varepsilon_\alpha\right\rangle =0$ и $\textstyle \left\langle \varepsilon_\alpha\varepsilon_\beta\right\rangle =\delta_{\alpha\beta}$ . В результате, повторяя рассуждения на стр. \pageref{stat_fokker_plank_2}, получаем:

${ \;\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial (a_i P)}{\partial x_i} - \frac{1}{2}\,\frac{\partial^2 }{\partial x_i\partial x_j}\Bigl[b_{i\alpha} b_{j\alpha} P\Bigr] = 0\; }.$

(6.14)

где $\textstyle a_i=a_i(\mathbf{x},t)$ , $\textstyle b_{i\alpha}=b_{i\alpha}(\mathbf{x},t)$ , а $\textstyle P=P(\mathbf{x}_0, t_0 \Rightarrow \mathbf{x}, t)$ - условная плотность вероятности. Если в момент времени $\textstyle t_0$ значение $\textstyle \mathbf{x}_0$ известно точно, то для решения этого уравнения используется начальное условие в виде $\textstyle n$ - мерной дельта - функции Дирака, равной произведению одномерных функций по каждой координате: $\textstyle P(\mathbf{x}_0, t_0 \Rightarrow \mathbf{x}, t_0)=\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)$ .

$\textstyle \bullet$ Аналогично выводится уравнение для производной от среднего:

$\frac{d\left\langle F\bigl(\mathbf{x}(t),t\bigr)\right\rangle }{dt} = \int\limits^{\infty}_{-\infty}\frac{\partial }{\partial t} \bigl[ F(\mathbf{x}, t)\cdot P(\mathbf{x}_0, t_0 \Rightarrow \mathbf{x}, t)\bigr] d^n x.$

Раскрывая производную произведения и подставляя $\textstyle \partial P/\partial t$ из уравнения Фоккера - Планка, получаем динамические уравнения для средних:

${ \;\frac{d\left\langle F\bigl(\mathbf{x}(t),t\bigr)\right\rangle }{dt} = \left\langle \frac{\partial F}{\partial t} \;+\; a_i\,\frac{\partial F}{\partial x_i} \;+\; \frac{1}{2}\, b_{i\alpha} b_{j\alpha} \, \frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j} \right\rangle \; }.$

(6.15)

Как и лемму Ито, это соотношение можно записать в матричной форме при помощи символа следа $\textstyle \mathbf{Tr}$ . Усреднение производится при условии, что в момент времени $\textstyle t$ вектор случайного процесса был равен $\textstyle \mathbf{x}_0=\mathbf{x}(t_0)$ .

Уравнение для среднего справедливо и для векторных или тензорных функций, так как выводится независимо для каждой из компонент. Выбирая $\textstyle F = x_\nu$ и учитывая, что $\textstyle \partial x_\nu/\partial x_i = \delta_{\nu i}$ , получаем временную динамику среднего в компонентной и матричной форме:

$\dot{\left\langle x_\nu\right\rangle } = \left\langle a_\nu(\mathbf{x}, t) \right\rangle ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \dot{\left\langle \mathbf{x}\right\rangle } = \left\langle \mathbf{a}(\mathbf{x}, t) \right\rangle .$

(6.16)

Только для линейных по $\textstyle \mathbf{x}$ сносов динамика среднего значения будет совпадать с решением детерминированного уравнения. Функциональная зависимость волатильности $\textstyle \mathbf{b}(\mathbf{x}, t)$ при этом роли не играет. Если снос нелинеен по $\textstyle \mathbf{x}$ , то функция $\textstyle \left\langle \mathbf{x}\right\rangle =\overline\mathbf{x}(t)$ будет отличаться от детерминированного решения с $\textstyle \mathbf{b}=0$ .

Производные от произведения $\textstyle x_\mu x_\nu$ выражаются через символ Кронекера следующим образом:

$\frac{\partial (x_\mu x_\nu)}{\partial x_i} = x_\mu\delta_{\nu i}+x_\nu\delta_{\mu i},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial^2 (x_\mu x_\nu)}{\partial x_i\partial x_j} = \delta_{\mu j}\delta_{\nu i}+\delta_{\nu j}\delta_{\mu i}.$

Поэтому, выбирая $\textstyle F$ в тензорном виде $\textstyle F=x_\mu x_\nu$ , можно записать уравнение для среднего от произведения случайных процессов:

$\dot{\left\langle x_\mu x_\nu\right\rangle } = \left\langle x_\mu a_\nu + x_\nu a_\mu + b_{\nu\alpha} b_{\mu \alpha}\right\rangle .$

(6.17)

В частности, для свёртки (суммирования) по индексам $\textstyle \mu$ и $\textstyle \nu$ имеем матричное выражение для изменения квадрата $\textstyle \dot{\left\langle \mathbf{x}^2\right\rangle } =2\left\langle \mathbf{x} \cdot \mathbf{a} \right\rangle + \mathrm{Tr}\,\left\langle \mathbf{b} \cdot\mathbf{b}^{T} \right\rangle$ .

Скоррелированные блуждания <<	Оглавление	>> Уравнение стохастического осциллятора

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Системы стохастических уравнений

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты