Решение уравнения Фоккера-Планка

Материал из Synset

Уравнение для плотности вероятности <<	Оглавление	>> Граничные условия

$\textstyle \bullet$ В качестве примера решения уравнения Фоккера-Планка рассмотрим случай винеровского блуждания с $\textstyle a(x,t)=0$ и $\textstyle b(x,t)=\sigma$ :

$\frac{\partial P}{\partial t} = \frac{\sigma^2}{2}\;\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}.$

(4.12)

Это уравнение теплопроводности с коэффициентом диффузии $\textstyle \sigma^2$ . Именно оно дало название диффузным процессам. Представим $\textstyle P(x,t)$ (аргументы начальных условий опускаем) в виде фурье-интеграла (см. Приложение М, стр. \pageref{math_cont_fourie}):

$P(x,t) = \int\limits^\infty_{-\infty} \phi(k,t)\, e^{-ikx}\;\frac{dk}{2\pi}.$

(4.13)

Подставляя его в (4.12), получаем для $\textstyle \phi(s,t)$ следующее уравнение:

$\frac{\partial \phi}{\partial t} = -\frac{\sigma^2 k^2}{2} \;\phi.$

(4.14)

При его решении возникает произвольная константа, для определения которой необходимо воспользоваться начальным условием:

$P(x,t_0) = P(x_0,t_0\Rightarrow x, t_0) = \delta(x-x_0)=\int\limits^\infty_{-\infty} e^{-i(x-x_0)k} \;\frac{dk}{2\pi}.$

Поэтому фурье-образ плотности вероятности при $\textstyle t=t_0$ должен быть равен $\textstyle \phi(k, t_0)=e^{ix_0 k}$ . В результате решение (4.14) имеет вид:

$\phi(k,t)= e^{-\sigma^2k^2(t-t_0)/2+ix_0 k}.$

Выполняя интегрирование (4.13) при помощи интеграла (), стр. \pageref{gauss_int_gen}, приходим к гауссовой плотности условной вероятности:

$P=\int\limits^\infty_{-\infty} e^{-\sigma^2k^2(t-t_0)/2 - ik\cdot(x-x_0)}\;\frac{dk}{2\pi} \;=\; \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi(t-t_0)}} \, \exp \left\{ -\frac{1}{2\sigma^2}\,\frac{(x-x_0)^2}{ (t-t_0)}\right\}.$

Видно, что волатильность в гауссиане увеличивается с течением времени, как $\textstyle \sigma\cdot\sqrt{t-t_0}$ . Среднее значение равно начальному $\textstyle x_0$ . Плотность вероятности вокруг $\textstyle x_0$ симметрична и постепенно "расплывается", увеличивая свою ширину. Таким образом, лучшим прогнозом будущего $\textstyle x$ будет его начальное значение $\textstyle x_0$ .

Аналогично можно решить уравнение Фоккера-Планка, соответствующее процессу: $\textstyle dx=f(t)dt+s(t)\delta W$ ( $\textstyle \lessdot$ H), и несколько длиннее, при помощи метода характеристик (стр. \pageref{characteristics_method}), - для процесса Орнштейна-Уленбека: $\textstyle dx=-\beta\cdot(x-\alpha)\,dt + \sigma\delta W$ ( $\textstyle \lessdot$ H).

$\textstyle \bullet$ Мы уже обсуждали в конце раздела $\textstyle \S$ , стр. \pageref{sect_autocor_fun2}, что начальные условия могут быть заданы с некоторой вероятностью. Например, это происходит, когда учитывают неизбежные измерительные ошибки при определении $\textstyle x_0=x(t_0)$ . Возможны и более экзотические ситуации начальной неопределённости.

С точки зрения решения уравнения Фоккера-Планка это означает, что начальное условие для плотности вероятности равно не дельта - функции Дирака, а некоторой задаваемой функции $\textstyle P_0(x_0)$ . Для неё тоже можно записать фурье - преобразование:

$P_0(x_0) = \int\limits^\infty_{-\infty} \phi_0(k)\, e^{-ikx_0}\;\frac{dk}{2\pi}.$

При решении уравнения для винеровского блуждания с учётом этого начального условия мы имеем:

$\phi(k,t)= \phi_0(k)\,e^{-\sigma^2k^2(t-t_0)/2}.$

Чтобы получить вероятность будущих значений $\textstyle x$ , необходимо вычислить интеграл (4.13). Рассмотрим случай, когда начальные условия имеют гауссову форму:

$P_0(x_0)=\frac{1}{b\sqrt{2\pi}} \, e^{-(x_0-a)^2/2b^2}\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\phi_0(k) = e^{i a k - b^2 k^2/2},$

где $\textstyle a$ - среднее значение, а $\textstyle b$ - волатильность (ошибка измерения $\textstyle x_0$ ). В этом случае снова получится гауссова плотность $\textstyle P(x,t)$ , зависящая от времени, но волатильность в ней будет заменена следующим образом:

$\sigma^2\cdot(t-t_0) \to b^2 + \sigma^2\cdot(t-t_0).$

Другими словами, неопределённость в будущем значении $\textstyle x$ определяется начальной неопределённостью $\textstyle b$ и "привнесённой" случайным блужданием $\textstyle \sigma^2 \cdot (t-t_0)$ . Этот результат для волатильностей справедлив и в случае произвольного распределения $\textstyle P_0(x_0)$ . Действительно, полагая $\textstyle t_0=0$ , при помощи гауссовой случайной величины $\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)$ запишем решение винеровского процесса:

$x = x_0 + \sigma\cdot \sqrt{t} \,\varepsilon.$

Считая $\textstyle x_0$ случайной величиной, получаем:

$\sigma^2_x=\left\langle (x-\bar{x})^2\right\rangle = \left\langle \bigl(x_0-\bar{x}_0 - \sigma\sqrt{t}\,\varepsilon\bigr)^2\right\rangle = \left\langle (x_0-\bar{x}_0)^2\right\rangle + \sigma^2 \, t,$

где мы воспользовались независимостью будущего блуждания и начальных условий $\textstyle \left\langle x_0\varepsilon\right\rangle =\left\langle x_0\right\rangle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0$ .

Уравнение для плотности вероятности <<	Оглавление	>> Граничные условия

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Решение уравнения Фоккера-Планка

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты