Разложение вероятности по базису

Материал из Synset

Вероятность достижения границы <<	Оглавление	>> Уравнение для x

Рассмотрим уравнение Фоккера-Планка с не зависящими от времени сносом $\textstyle a(x)$ и диффузией $\textstyle D(x)=b^2(x)$ :

$\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \;\bigl[ a(x) \cdot P\bigr] - \frac{1}{2}\;\frac{\partial^2}{\partial x^2_{}} \;\bigl[ D(x) \cdot P \bigr]= 0.$

Будем искать его решение в виде $\textstyle P=u_\lambda(x)\,e^{-\lambda t}$ . Функция $\textstyle u(x)$ удовлетворяет уравнению (штрих - производная по $\textstyle x$ ):

$\bigl[a(x) u_\lambda(x)\bigr]' - \frac{1}{2} \bigl[D(x) u_\lambda(x)\bigr]'' = \lambda u_\lambda(x).$

(4.20)

При наличии граничных условий (стр. \pageref{border_df_probab_saves}) в интервале $\textstyle [\alpha...\beta]$ это уравнение может приводить к дискретному набору разрешённых значений: $\textstyle \lambda_1, \lambda_2,...$ (собственные значения) и соответствующим им собственным функциям $\textstyle u_\lambda(x)$ . Используя их, можно записать общее решение уравнение Фоккера-Планка.

$\textstyle \bullet$ Для примера рассмотрим винеровское блуждание с нулевым сносом $\textstyle a(x)=0$ и диффузией $\textstyle D=\sigma^2$ . Уравнение (4.20) имеет вид:

u'' λ (x) + ω 2 u λ (x) = 0,

где $\textstyle w=\sqrt{2\lambda}/\sigma$ . Его общее решение хорошо известно:

u λ (x) = A sin(ω x) + B cos(ω x).

Пусть граничные условия $\textstyle [0..L]$ являются поглощающими. В точках $\textstyle x=0$ и $\textstyle x=L$ плотность вероятности должна обращаться в нуль: $\textstyle u_\lambda(0)=u_\lambda(L)=0.$ Подстановка решения в эти граничные условия приводит к следующим собственным функциям:

$u_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin(\omega_n x),\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\omega_n = \frac{n\pi}{L}$

и $\textstyle n=1,2,...$ — целые числа, нумерующие собственные значения $\textstyle \lambda_n=\sigma^2 \omega^2_n/2$ . Множитель $\textstyle \sqrt{2/L}$ при собственной функции выбран таким образом, чтобы выполнялось условие ортогональности:

$\int\limits^L_0 u_n(x) u_m(x) dx= \frac{2}{L} \int\limits^L_0 \sin(\omega_n x) \sin(\omega_m x) dx = \delta_{nm},$

(4.21)

где $\textstyle \delta_{nm}$ — символ Кронекера, равный единице при $\textstyle n=m$ и нулю, если $\textstyle m\neq n$ . Теперь можно разложить общее решение уравнения в бесконечный ряд по собственным функциям.

Действительно, представим плотность вероятности в виде следующей суммы:

$P(x_0, 0 \Rightarrow x, t) = \sum^{\infty}_{n=0} A_n \,u_n(x)\, e^{-\lambda_n t}.$

Благодаря ортогональности собственных функций $\textstyle u_n(x)$ мы всегда можем восстановить коэффициенты этого разложения. Используя начальное условие $\textstyle P(x_0, 0 \Rightarrow x, 0)=\delta(x-x_0)$ и (4.21), имеем:

$A_n = \int\limits^L_0 P(x_0, 0 \Rightarrow x, 0) \cdot u_n(x) dx = \int\limits^L_0 \delta(x-x_0) \cdot u_n(x) dx = u_n(x_0).$

Поэтому окончательно:

$P(x_0, 0 \Rightarrow x, t) = \frac{2}{L}\,\sum^{\infty}_{n=0} \sin(\omega_n x_0) \sin(\omega_n x) e^{-\lambda_n t}.$

С течением времени общая вероятность нахождения частицы в диапазоне $\textstyle [0..L]$ уменьшается, так как частица рано или поздно будет захвачена одной из границ.

$\textstyle \bullet$ Так же находится решение для отражающих границ. В этом случае на границах $\textstyle x=0$ и $\textstyle x=L$ ток (4.15):

$J(x, t)= - \frac{\sigma^2}{2}\;\frac{\partial P(x,t)}{\partial x} = - \frac{\sigma^2 e^{-\lambda t}}{2} \, u'_\lambda(x)$

должен быть нулевым, а, следовательно, равна нулю производная собственной функции: $\textstyle u'_\lambda(0)=u'_\lambda(L)=0.$ В результате:

$u_0(x)=\frac{1}{\sqrt{L}},\;\;\;\;\;u_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\cos(\omega_n x),\;\;\;где\;\;\omega_n = \frac{n\pi}{L},$

и $\textstyle n=1,2,..$ . Несложно проверить, что эти функции также ортогональны. Поэтому окончательно:

$P(x_0, 0 \Rightarrow x, t) = \frac{1}{L}+\frac{2}{L}\sum^{\infty}_{n=0} \cos(\omega_n x_0) \cos(\omega_n x) e^{-\lambda_n t}.$

При $\textstyle t\to\infty$ решение стремится к $\textstyle P(x_0, 0 \Rightarrow x, t) \to 1/L$ , и частицу можно равновероятно встретить в любой точке интервала шириной $\textstyle L$ .

Рассмотрим теперь общую теорию для задачи на собственные функции и значения для уравнения Фоккера-Планка.

$\textstyle \bullet$ Предположим, что $\textstyle \hat{A}$ — линейный дифференциальный оператор (например, $\textstyle \hat{A}=d^2/dx^2$ ), и справедливо уравнение следующего вида:

$\hat{A} u(x) = \lambda \,\rho(x)\,u(x),$

(4.22)

где $\textstyle \rho(x)$ — действительная положительная функция. Если для произвольных функций $\textstyle \psi(x)$ и $\textstyle \phi(x)$ выполняется соотношение:

$\int\limits^\beta_\alpha \psi(x) \hat{A} \phi(x) \, dx = \int\limits^\beta_\alpha \phi(x) \hat{A}^* \psi(x) \, dx,$

(4.23)

то оператор $\textstyle \hat{A}$ называется самосопряжённым. Звёздочка (комплексное сопряжение) может быть опущена для действительных операторов.

Рассмотрим решения $\textstyle u_n(x)$ , $\textstyle u_m(x)$ уравнения (4.22), соответствующие различным собственным значениям $\textstyle \lambda_n$ и $\textstyle \lambda_m$ . Используя (4.22), запишем:

$\int\limits^\beta_\alpha u^*_m(x) \hat{A} u_n(x) \, dx = \lambda_n \int\limits^\beta_\alpha u^*_m(x) u_n(x) \rho(x)\, dx,$

$\int\limits^\beta_\alpha u_n(x) \hat{A}^* u^*_m(x) \, dx = \lambda^*_m \int\limits^\beta_\alpha u^*_m(x) u_n(x) \rho(x)\, dx,$

где во втором соотношении взято комплексное сопряжение (4.22) и учтена действительность функции $\textstyle \rho(x)$ .

Если оператор $\textstyle \hat{A}$ самосопряжённый, то левые части этих равенств должны быть одинаковыми ( $\textstyle \psi=u^*_m$ , $\textstyle \phi=u_n$ ). Приравняем их:

$(\lambda_n-\lambda^*_m) \int\limits^\beta_\alpha \,u^*_m(x) u_n(x) \cdot \rho(x)\, dx = 0.$

Если $\textstyle n=m$ , то подынтегральная функция положительна, и, следовательно, собственные значения — действительны ( $\textstyle \lambda^*_n=\lambda_n$ ). При $\textstyle n\neq m$ нулю равен интеграл, поэтому собственные функции ортогональны с весом $\textstyle \rho(x)$ . Оператор $\textstyle \hat{A}$ — линейный, следовательно, собственная функция определена с точностью до постоянного множителя. Его удобно выбрать таким образом, чтобы выполнялось условие ортогональности

$\int\limits^\beta_\alpha \,u^*_m(x) u_n(x) \cdot \rho(x)\, dx = \delta_{nm}$

с весовой функцией $\textstyle \rho(x)$ .

Теперь можно записать разложение общего решения по базису:

$F(x) = \sum f_n u_n(x),\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_n = \int\limits^\beta_\alpha F(x) u^*_n(x) \cdot \rho(x)\, dx,$

где для коэффициентов $\textstyle f_n$ использовано условие ортогональности.

Оператор $\textstyle \hat{A}$ уравнения (4.20) не является самосопряжённым. Умножим обе части (4.20) на функцию $\textstyle \rho=\rho(x)$ и подберём её таким образом, чтобы выполнялось условие (4.23). Проведём интегрирование по частям:

$\int\limits^\beta_\alpha \left\{\psi \rho \cdot \bigl(a \phi\bigr)' - \frac{1}{2} \psi \rho \cdot \bigl(D \phi \bigr)'' \right\} dx = \int\limits^\beta_\alpha \left\{ - \bigl(\psi \rho)' a \phi - \frac{1}{2} \bigl(\psi \rho\bigr)'' D \phi \right\} dx + I,$

где $\textstyle I$ — значения подынтегральной функции на границах $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$ :

$I = \psi\, \rho \,a \, \phi\, \Bigr|^\beta_\alpha - \frac{1}{2} \, \psi\, \rho \, (D\, \phi)'\, \Bigr|^\beta_\alpha + \frac{1}{2} \, (\psi\, \rho)' \, D\, \phi\, \Bigr|^\beta_\alpha.$

(4.24)

Раскроем производные в обоих интегралах. Оператор будет самосопряжённым, если при перестановке $\textstyle \psi$ и $\textstyle \phi$ местами вокруг него получается тот же результат (действительный случай). Это происходит, если:

$2 \rho a = \rho D' - D \rho'\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\rho(x) = \exp \int \frac{D'(x)-2a(x)}{D(x)} \, dx.$

(4.25)

Кроме этого, естественно, должны исчезать граничные члены ( $\textstyle I=0$ ). Введём в соответствии с (4.15) плотности тока вероятности:

$J_\phi = a \phi - \frac{1}{2}\, (D \, \phi)',\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_\psi = a \psi - \frac{1}{2}\, (D \, \psi)'.$

При помощи этих определений и уравнения (4.25) для функции $\textstyle \rho(x)$ , граничный член (4.24) можно переписать в следующем виде:

$I = \rho(x) ( \psi(x) J_\phi (x) - \phi(x) J_\psi (x) ) \Bigr|^\beta_\alpha = 0.$

Несложно проверить, что все три типа граничных условий, рассмотренных в разделе "Граничные условия" приводят к нулевому значению $\textstyle I$ . Таким образом, мы показали, что оператор уравнения (4.20), умноженный на функцию $\textstyle \rho(x)$ (4.25), оказывается самосопряженным. Поэтому общее решение уравнения Фоккера-Планка можно записать в следующем виде:

$P(x,t) = \sum_n a_n u_n(x) e^{-\lambda_n t},\;\;\;\;\;\;\;a_n = \int\limits^\beta_\alpha P(x,0) \,u^*_n(x) \cdot \rho(x) \,dx,$

где для определения $\textstyle a_n$ используются начальные условия $\textstyle P(x,0)$ .

Вероятность достижения границы <<	Оглавление	>> Уравнение для x

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Разложение вероятности по базису

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты