Равноускоренная система отсчета

Мир элементарных частиц <<	Оглавление	>> Время и расстояние в равноускоренной системе

Рассмотрим систему $\text{[math]}$ , точка $\text{[math]}$ которой движется равноускоренно относительно инерциальной системы $\text{[math]}$ . Будем считать, что оси $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ параллельны и направлены в одну сторону. Во второй главе был найден закон движении релятивистски равноускоренной частицы, координата которой изменяется со временем следующим образом:

\text{[math]}

(4.1)

Будем считать, что начало системы $\text{[math]}$ (и наблюдатель находящийся в этой точке) движутся в соответствии с уравнением (4.1)

Основная особенность неинерциальной системы — это неизотропность пространства внутри неё. Точнее, пространство изотропно в плоскости $\text{[math]}$ , перпендикулярной к ускорению, но неизотропно вдоль оси $\text{[math]}$ .

Пусть ускорение невелико (хотя, возможно, велика скорость системы $\text{[math]}$ относительно $\text{[math]}$ ). Тогда наблюдатель, находящийся в начале системы $\text{[math]}$ , по крайней мере локально, воспринимает окружающие физические явления подобно "наблюдателю классической механики". В частности, он может пренебречь неизотропностью пространства в отношении эталонов длины. Это означает, что игнорируется возможность их деформации или вводятся соответствующие поправки на упругость материала, из которого сделаны линейки. В результате линейки можно поворачивать, считая что они не изменяются при повороте из изотропной плоскости $\text{[math]}$ в направлении ускорения. Аналогично мы, находясь на поверхности Земли и испытывая ускорение $\text{[math]}$ , пользуемся "жёсткими" линейками в своей непосредственной окрестности.

Неизотропность приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся по прямолинейным траекториям. Эти траектории изгибаются в направлении, противоположном вектору ускорения. Естественно относительно инерциальной системы отсчёта они по-прежнему движутся равномерно и прямолинейно. Так как физика в инерциальной системе нам известна, можно описать и многие из явления, с точки зрения неинерциальных наблюдателей.

Кроме линеек наблюдателю необходимы часы. Чтобы не обсуждать влияние сил инерции на механизм часов, будем считать, что для измерения времени служат некоторые процессы, происходящие в изотропной плоскости $\text{[math]}$ . Например, это может быть шарик, катящийся без трения по круговому желобу, расположенному перпендикулярно движению. Понятно, что существуют разновидности часов, которые откажутся работать в неинерциальной системе, как, впрочем, и наоборот. Например, маятниковые часы с подвесом на оси $\text{[math]}$ под воздействием постоянных сил инерции будут равномерно "тикать", а при переходе в инерциальную систему — сломаются, так как возникнет "невесомость".

Тем не менее, предположим, что в равноускоренной системе отсчёта существует достаточно широкий класс синхронно идущих часов в данной точке пространства. Синхронность подразумевает, что законы движения частиц получаются одинаковыми при использовании различных часов. При этом, как и раньше, для измерения времени выбираются процессы, относительно которых все остальные движения выглядят наиболее просто (см. Глава 1.). Например, координата

\text{[math]}

свободно движущейся частицы, в силу изотропности пространства в плоскости

\text{[math]}

, за равные промежутки времени должна изменяться на равные величины. Далее нам потребуется важное допущение о том, что

темп времени движущихся часов относительно неподвижных часов зависит только от их скорости и не зависит от ускорения.

Если в момент времени

\text{[math]}

начала систем совпадали и скорость

\text{[math]}

относительно

\text{[math]}

была нулевой, то спустя некоторое время, связь показаний движущихся часов

\text{[math]}

(находящихся в начале координат) и синхронизированых неподвижных, расставленых вдоль траектории движения будет иметь вид:

\text{[math]}

(4.2)

Каким бы ни было значение $\text{[math]}$ , всегда можно выбрать малый интервал времени, при котором скорость ускоряющихся часов меняется незначительно, и их можно рассматривать как локально инерциальную систему отсчета. Это общее соображение имеет и экспериментальные подтверждения. Так, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе ^[1] в пределах относительной ошибки $\text{[math]}$ увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. При этом скорость мюонов составляет $\text{[math]}$ и время замедляется в $\text{[math]}$ раз. При 7 метровом радиусе кольца, ускорение достигает значений $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ Представим теперь эскадру из двух космических кораблей, разделённых расстоянием $\text{[math]}$ , которая начинает ускоренное движение относительно инерциальной системы отсчёта $\text{[math]}$ . Пока корабли стояли в космопортах, их экипажи синхронизовали свои часы друг с другом и остальными наблюдателями в системе $\text{[math]}$ . Время на часах первого корабля, стартовавшего из $\text{[math]}$ , обозначим через $\text{[math]}$ , а второго, стартовавшего из $\text{[math]}$ , через $\text{[math]}$ . В инерциальной системе отсчёта время единое и равно $\text{[math]}$ . При $\text{[math]}$ корабли начинают равноускоренное движение, постоянно увеличивая свою скорость.

Координата первого (левого) корабля, находящегося в начале системы $\text{[math]}$ изменяется со временем в соответствии с (4.1)

\text{[math]}

(4.3)

где во втором равенстве подставлено собственное время корабля (4.2).

Жёсткая система отсчёта — это множество неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Мы задали траекторию $\text{[math]}$ начала системы отсчёта $\text{[math]}$ . Как должен двигаться второй космический корабль, чтобы расстояние между кораблями эскадры оставалось неизменным с их точки зрения? Ответ "так же" не является верным. События, одновременные в одной системе отсчёта, будут неодновременными в другой. Если корабли синхронно ускоряются с точки зрения системы $\text{[math]}$ , то это ускорение не будет синхронным в $\text{[math]}$ , и наоборот. Это приводит к тому, что неизменность расстояния между точками неинерциальной системы отсчёта $\text{[math]}$ — понятие относительное. Если наблюдатели в $\text{[math]}$ "выдерживают" свою систему жёсткой, то наблюдатели в инерциальной системе $\text{[math]}$ будут регистрировать, её сжатие в направлении движения. События (ускорительные импульсы корабля) по ходу движения в системе $\text{[math]}$ происходят позже по сравнению с событиями расположенными против хода (см. Время), и второй корабль в системе $\text{[math]}$ разгоняется медленнее.

Как эскадра кораблей должна выдерживать неизменным расстояние? Будем считать, что для этого используется "радиолокационный метод". Один корабль посылает световой сигнал в сторону второго корабля. Этот сигнал отражаясь, возвращается обратно. Время движения туда-обратно по локальным часам корабля не должно изменяться. Выясним, по какой траектории $\text{[math]}$ должен двигаться второй корабль относительно системы $\text{[math]}$ , чтобы система отсчёта $\text{[math]}$ для её экипажей была жесткой.

Расчёты проведём в неподвижной системе $\text{[math]}$ . Пусть первый корабль в момент времени $\text{[math]}$ отправляет вперёд световой сигнал, который достигает второго корабля в момент времени $\text{[math]}$ , отражается и возвращается обратно в момент времени $\text{[math]}$ :

Все времена измеряются по часам инерциальной системы отсчёта $\text{[math]}$ . Координата первого корабля равна $\text{[math]}$ , см. (4.3), второго — $\text{[math]}$ . Запишем время ухода $\text{[math]}$ и возвращения $\text{[math]}$ сигнала по часам первого корабля ( $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ ):

\text{[math]}

Если расстояние между кораблями неизменно, то время движения сигнала "туда и обратно" $\text{[math]}$ не зависит от момента его посылки $\text{[math]}$ . Вычитая уравнения системы, находим:

\text{[math]}

В качестве решения квадратного уравнения относительно $\text{[math]}$ выбран положительный корень, подставляя который во второе уравнение системы, получаем искомую траекторию $\text{[math]}$ :

\text{[math]}

(4.4)

где в последнем равенстве учтено начальное условие $\text{[math]}$ . Назовём радиолокационным расстоянием половину времени $\text{[math]}$ от движения сигнала в обе стороны:

\text{[math]}

(4.5)

Скорость второго корабля относительно неподвижной системы отсчёта $\text{[math]}$ равна $\text{[math]}$ , поэтому:

\text{[math]}

(4.6)

Сравнивая это выражение с формулой равноускоренного движения (2.19), приходим к выводу, что второй корабль также движется равноускоренно, но с собственным ускорением $\text{[math]}$ .

Литература

↑ Bailey J. et al. — "Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in circular orbit", Nature, v.268, p.301-305 (1977)

Мир элементарных частиц <<	Оглавление	>> Время и расстояние в равноускоренной системе

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

[1] Bailey J. et al. — "Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in circular orbit", Nature, v.268, p.301-305 (1977)

[1]

Равноускоренная система отсчета

Литература

Навигация

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

почитай

Инструменты