Простые стохастические модели

Материал из Synset

Точные решения уравнения Ито <<	Оглавление	>> Представление стохастических решений

$\textstyle \bullet$ Логарифмическое блуждание определяется уравнением:

${ \;\;dx = \mu \,x\,dt + \sigma\,x\,\delta W\; },$

(2.24)

где $\textstyle \mu$ и $\textstyle \sigma$ — константы модели. Часто (2.24) называют геометрическим или экспоненциальным броуновским блужданием.

Если стохастического члена нет ( $\textstyle \sigma=0$ ), то это обычное уравнение экспоненциального роста ( $\textstyle \mu>0$ ) или снижения ( $\textstyle \mu<0$ ):

$\frac{dx}{dt} = \mu\,x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x(t)=x_0\,e^{\mu t}.$

Подобная зависимость возникает во многих физических, биологических и социальных системах, от радиоактивного распада до роста экономики.

Случайное воздействие вносит в гладкую динамику определённые коррективы. Подставим функции сноса $\textstyle a(x,t)=\mu\,x$ и волатильности $\textstyle b(x,t)=\sigma\,x$ в условие совместности (2.22). В результате для $\textstyle s(t)$ получается тривиальное уравнение $\textstyle \dot{s}(t)=0$ , где точка сверху обозначает производную по времени. Следовательно, $\textstyle s(t)$ — это константа, которую удобно выбрать равной $\textstyle \sigma$ . Интегрирование первого уравнения (2.21) даёт $\textstyle F(x,t)=\ln x$ , и, соответственно, функция $\textstyle f(t)$ равна $\textstyle \mu-\sigma^2/2$ . Окончательное решение ( $\textstyle t_0=0$ ) имеет вид:

$x(t)= x_0\, e^{\left(\mu -\sigma^2/2 \right)\, t + \sigma\sqrt{t}\, \varepsilon}.$

(2.25)

Если в процессе Винера $\textstyle x$ может "уползти" при блуждании в область отрицательных значений $\textstyle x<0$ , то для логарифмической модели это невозможно. Подобное свойство можно было ожидать сразу по виду (2.24). По мере приближения к значению $\textstyle x=0$ снос и волатильность уменьшаются. В результате динамика как бы замораживается при $\textstyle x\to 0$ .

Используя интеграл (1.11), легко вычислить среднее значение и волатильность в произвольный момент времени:

$\bar{x}(t)=x_0\,e^{\mu t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma_x(t)=\bar{x}(t) \cdot \sqrt{e^{\sigma^2 t}-1} .$

Заметим, что необходимо решительно бороться с искушением "по обычному" обращаться со стохастическими уравнениями. Например, разделив (2.24) на $\textstyle x$ , нельзя внести его под дифференциал: $\textstyle dx/x \neq d\ln x$ . Для подобных действий служит лемма Ито (2.15) по которой для процесса логарифмического блуждания $\textstyle d(\ln x)=(\mu-\sigma^2/2)\,dt + \sigma \, \delta W$ . Фактически, при помощи этой замены, найденной по алгоритму "Точные решения уравнения Ито", мы и получили решение (2.25).

Ниже на левом рисунке приведены логарифмические блуждания с нулевым сносом: $\textstyle dx = x\delta W$ . Видно, как они, прижимаясь к $\textstyle x=0$ , тем не менее, остаются в положительной области. В результате получается несимметричное распределение для $\textstyle x$ , которое в данном случае имеет логнормальный вид. Справа динамика дополнена детерминированным сносом: $\textstyle dx = 0.05\cdot x\cdot (dt + \delta W)$ . Она имеет ярко выраженный экспоненциальный рост со стохастическими колебаниями вокруг экспоненты.

Эти два примера напоминают нам, что стохастические процессы могут быть как малыми поправками к детерминированной динамике (справа), так и основной сутью исследуемой системы (слева).

Введя винеровский процесс $\textstyle W_t=W(t)=\varepsilon\sqrt{t}$ , решение для логарифмического блуждания можно записать в следующем виде:

$x(t) = e^{(\mu-\sigma^2/2)t + \sigma\,W_t}.$

Действительно, производные для $\textstyle x(t)=F(t, W)$ равны:

$\frac{\partial x}{\partial t} = (\mu-\sigma^2/2) \, x,\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\partial x}{\partial W} = \sigma\, x,\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\partial^2 x}{\partial W^2} = \sigma^2\, x.$

Винеровское блуждание $\textstyle W_t$ имеет нулевой снос $\textstyle a=0$ и единичную волатильность $\textstyle b=1$ . Поэтому по лемме Ито (2.15) имеем:

$dx = \left( \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{1}{2}\,\frac{\partial^2 x}{\partial W^2} \right)\, dt + \frac{\partial x}{\partial W}\,\delta W = \mu \,x\,dt + \sigma\,x\,\delta W.$

Роль $\textstyle x$ теперь играет процесс $\textstyle W$ , а функция $\textstyle F$ — это $\textstyle x$ .

Задавая различные функции $\textstyle x=F(t, W_t)$ , удовлетворяющие начальному условию $\textstyle x_0=F(0, 0)$ , можно найти целый класс точно решаемых стохастических уравнений. После подстановки $\textstyle F(t, W_t)$ в лемму Ито необходимо исключить $\textstyle W_t$ , заменив её на $\textstyle W_t=G(t, x)$ , где $\textstyle G$ — обратная к $\textstyle F$ функция. Кроме этого константа $\textstyle x_0$ должна сократиться, так как это "внешнее" к динамике условие и "порядочное уравнение" не должно зависеть от него. В качестве упражнения стоит проверить решения ( $\textstyle \mathbf{R}_{}$ ) — ( $\textstyle \mathbf{R}_{}$ ) из Справочника (стр. \pageref{r_exact_from_W_1}). К сожалению, чаще таким методом получаются уравнения, в которых снос зависит от волатильности шума, что не очень естественно для практических приложений.

$\textstyle \bullet$ Процесс Орнштейна - Уленбека:

${ \;dx = -\beta\cdot (x-\alpha)\,dt + \sigma\,\delta W }$

(2.26)

описывает блуждание, в котором $\textstyle x$ притягивается к уровню, определяемому константой $\textstyle \alpha$ . При этом волатильность $\textstyle \sigma$ считается постоянной. Если $\textstyle x\gg\alpha$ , то снос становится заметно отрицательным и тянет процесс вниз. При опускании $\textstyle x$ ниже $\textstyle \alpha$ снос оказывается положительным и в среднем поднимает $\textstyle x(t)$ вверх. Параметр $\textstyle \beta>0$ характеризует величину "силы притяжения" к равновесному значению $\textstyle \alpha$ .

Условие совместности (2.22) даёт уравнение $\textstyle \dot{s}(t)=\beta s(t)$ . Решая его и первое уравнение (2.21) для $\textstyle F(x,t)$ , мы каждый раз выбираем константы интегрирования наиболее "удобным способом", так как начальные условия уже учтены в (2.23), а нам необходимо найти простейшую замену, исключающую $\textstyle x$ из сноса и волатильности:

$s(t)=\sigma e^{\beta t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;F(x,t)=x e^{\beta t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(t)=\alpha\beta e^{\beta t}.$

В результате решение записывается в следующем виде ( $\textstyle t_0=0$ ):

$x(t) = \alpha + \bigl(x_0-\alpha\bigr) e^{-\beta t} + \frac{\sigma}{\sqrt{2\beta}}\, \sqrt{1-e^{-2\beta t}}\cdot \; \varepsilon.$

(2.27)

Несложно увидеть, что $\textstyle x(t)$ оказывается гауссово распределённой величиной со средним и дисперсией, зависящими от времени.

Если $\textstyle \beta>0$ , то среднее при больших временах стремится к равновесному уровню $\textstyle \alpha$ . Волатильность становится равной $\textstyle \sigma/\sqrt{2\beta}$ . При винеровском или логарифмическом блуждании $\textstyle x(t)$ может уйти как угодно далеко от своего начального значения $\textstyle x_0$ . Для процесса (2.26) $\textstyle x(t)$ "заперта" в статистическом коридоре с шириной, равной двойной волатильности $\textstyle \sigma/\sqrt{2\beta}$ .

При малых $\textstyle \beta$ процесс Орнштейна-Уленбека по своему поведению становится очень близким к обычному винеровскому блужданию. Траектория $\textstyle x(t)$ достаточно долго блуждает выше или ниже $\textstyle \alpha$ , не уходя, тем не менее, на бесконечность. Волатильность стремится к $\textstyle \sigma/\sqrt{2\beta}$ , и тем больше, чем меньше $\textstyle \beta$ . Следовательно, характерный коридор, в котором происходит блуждание, при малых $\textstyle \beta$ расширяется. Если и $\textstyle \sigma$ , и $\textstyle \beta$ достаточно большие, $\textstyle x(t)$ часто пересекает равновесный уровень, начиная напоминать обычный белый шум.

Наличие равновесного уровня в модели Орнштейна-Уленбека полезно для различных финансовых приложений. Например, в случае курсов валют $\textstyle \alpha$ может быть паритетом покупательной способности ( $\textstyle \lessdot$ C), а для процентной ставки - её долгосрочным значением.

Примеры реализаций блуждания Орнштейна-Уленбека при различных параметрах приведены ниже. На левом рисунке $\textstyle \beta=0.1$ , $\textstyle \sigma=0.1$ . На правом — $\textstyle \beta=1$ , $\textstyle \sigma=0.5$ . Величина $\textstyle \alpha$ в обоих случаях равна единице.

Необходимо помнить, что, если решение выражено через винеровскую переменную $\textstyle W_t$ , её всегда можно переписать через гауссову случайную величину, заменив $\textstyle W_t=\varepsilon\sqrt{t}$ . Обратное, вообще говоря, не верно. Если в решении есть $\textstyle \varepsilon$ , нельзя его выразить через $\textstyle W_t$ , подставив $\textstyle \varepsilon\to W_t/\sqrt{t}$ . В качестве упражнения имеет смысл проверить, что подобная замена в (2.27) приводит к случайной функции, не удовлетворяющей (2.26).

Можно объединить положительность $\textstyle x$ и его притяжение к равновесному уровню в следующей логарифмической модели с притяжением:

$dx = -\beta \cdot x\cdot\left(\ln \frac{x}{\alpha} - 1\right)\, dt + \sigma \,x \,\delta W.$

(2.28)

Если $\textstyle x>\alpha$ , то снос отрицательный, а при $\textstyle x<\alpha$ — положительный. Множитель $\textstyle x$ "замораживает" динамику при приближении к $\textstyle x=0$ . Для этой модели несложно найти точное решение ( $\textstyle \lessdot$ H).

На самом деле логарифмическая модель с притяжением является простой деформацией процесса Орнштейна-Уленбека. Действительно, если $\textstyle x$ удовлетворяет уравнению (2.26), то несложно проверить, что $\textstyle y=e^x$ будет удовлетворять (2.28). Уравнение (2.28) так же соотносится с (2.26), как логарифмическое блуждание с процессом Винера.

Ещё одну модель уместно назвать броуновской ловушкой:

$dx = -\beta \cdot (x-\alpha)\,dt \;+\; \sigma \cdot(x-\alpha) \, \delta W.$

(2.29)

Член со сносом обеспечивает притяжение к уровню $\textstyle x=\alpha$ , в окрестности которого волатильность становится очень маленькой, а динамика — детерминированной. В результате процесс рано или поздно гарантированно притягивается к значению $\textstyle x=\alpha$ ( $\textstyle \lessdot$ H).

$\textstyle \bullet$ Можно рассмотреть общее стационарное уравнение, снос и волатильность которого не зависят от времени:

$dx = a(x)\,dt + b(x)\,\delta W.$

Условие совместности записывается следующим образом:

$\frac{\dot{s}(t)}{s(t)} = \frac{1}{2} \,b\cdot b'' - b \cdot \left(\frac{a}{b}\right)' = \gamma,$

(2.30)

где штрих производная по $\textstyle x$ , точка — по времени, и опущены аргументы у функций. Левая часть зависит только от времени, правая — только от $\textstyle x$ , поэтому это выражение равно некоторой константе, которую мы обозначили через $\textstyle \gamma$ . Проинтегрировав это уравнение, найдём связь между сносом и волатильностью:

$a= \frac{\bigl(b^2\bigr)'}{4} + \eta \cdot b - \gamma b\cdot \int \frac{dx}{b},$

где $\textstyle \eta$ — ещё один параметр.

Если $\textstyle b(x)=\sigma=const$ — мы приходим к уравнению Орнштейна-Уленбека (2.26). Для $\textstyle b(x)=\sigma x$ точно решаемой задачей является логарифмическая модель с притяжением (2.28), частным случаем которой является логарифмическое блуждание. При $\textstyle b(x)=\sigma \sqrt{x}$ снос должен явным образом зависеть от $\textstyle \sigma$ :

$a(x) = \frac{\sigma^2}{4} + \alpha \sqrt{x} + 2\beta x.$

Решение такого уравнения имеет вид ( $\textstyle x_0=x(0)$ , $\textstyle \beta>0$ ):

$x(t) =\left[ \sqrt{x_0}\,e^{\beta t} + \frac{\alpha}{2\beta}\, \left(e^{\beta t} - 1\right) + \frac{\sigma}{\sqrt{8\beta}} \,\sqrt{e^{2\beta t}-1}\cdot \varepsilon \right]^2.$

Если $\textstyle a(x)/b(x)=const$ , или сноса при блуждании нет $\textstyle a(x)=0$ , то условие совместности (2.30) упрощается:

$\frac{b''}{2} = \frac{\gamma}{b}.$

Умножая его на интегрирующий множитель $\textstyle b'$ , получаем решение в неявной форме:

$x-\alpha = \int \frac{db}{\sqrt{\beta + 4 \gamma \ln b}},$

где $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$ — константы интегрирования.

$\textstyle \bullet$ Броуновский мост. Рассмотрим теперь уравнение Ито со сносом, зависящим не только от $\textstyle x$ , но и от времени $\textstyle t$ :

${ \;dx = -\frac{x-\alpha}{T-t} \, dt + \sigma\,\delta W\; }.$

(2.31)

Константа $\textstyle T$ — это выделенное время в будущем ( $\textstyle t<T$ ), когда снос становится бесконечным. Условие совместности даёт:

$s(t)=\frac{\sigma}{T-t},\;\;\;\;\;\;F(x,t)= \frac{x}{T-t},\;\;\;\;\;\;\;f(t)=\frac{\alpha}{(T-t)^2}.$

(2.32)

В результате получаем решение в следующем виде ( $\textstyle x_0=x(t_0)$ ):

$x(t) = \alpha + (x_0-\alpha)\, \frac {T-t}{T-t_0} + \sigma\, \sqrt{\frac{(t-t_0)(T-t)}{T-t_0}}\cdot \varepsilon.$

Среднее процесса при $\textstyle t\to T$ стремится к $\textstyle \alpha$ . При этом волатильность оказывается равной нулю. Это означает, что $\textstyle x(t)$ гарантированно в процессе блуждания достигает равновесного значения $\textstyle x(T)=\alpha$ :

На рисунках в обоих случаях $\textstyle \alpha=1$ . Слева $\textstyle \sigma=0.1$ , справа $\textstyle \sigma=0.05$ . Соединение начального условия $\textstyle x_0=x(0)$ и "конечного" $\textstyle x(T)=\alpha$ стохастическими траекториями и дало живописное название процессу.

Можно рассмотреть броуновский мост в более общем случае, с произвольными коэффициентами, зависящими от времени:

$dx = -\beta(t)\cdot \Bigl(x-\alpha(t)\Bigr) \, dt + \sigma(t)\,\delta W.$

Условия совместности дают:

$s(t)=\sigma(t)e^{\,\int\limits^t_{t_0} \beta(t)dt},\;\;\;F(x,t)=x\, \frac{s(t)}{\sigma(t)},\;\;\;f(t)=\alpha(t) \beta(t)\,\frac{s(t)}{\sigma(t)}.$

Для частного выбора $\textstyle \beta(t)=\beta/(T-t)$ , $\textstyle \alpha(t)=\alpha$ , $\textstyle \sigma(t)=\sigma$ , где $\textstyle \alpha, \beta$ , $\textstyle T$ и $\textstyle \sigma$ — константы модели, получаем решение в следующем виде ( $\textstyle t_0=0$ ):

$x(t) = \alpha +\frac{x_0-\alpha}{T^\beta} (T-t)^\beta + \sigma\cdot \left[\frac{(T-t)}{2\beta -1} \left(1- \frac{(T-t)^{2\beta-1}}{T^{2\beta-1}} \right) \right]^{1/2} \cdot\;\varepsilon.$

Заданием функции $\textstyle \alpha(t)$ можно добиться произвольного выгиба "моста" вверх или вниз.

Точные решения уравнения Ито <<	Оглавление	>> Представление стохастических решений

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Простые стохастические модели

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты