Преобразования Лоренца

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Инерциальные системы отсчёта << Оглавление (Глава 1) >> Сложение скоростей

Установим вид преобразований между результатами наблюдения некоторого события в двух инерциальных системах отсчета и :

(1.3)

Чтобы найти функции и , начнём задавать последовательность аксиом, которым они удовлетворяют.

Аксиома I. Преобразования (1.3) являются непрерывными, дифференцируемыми и взаимно-однозначными.

Это требование является очень естественным и, хотя оно сужает класс возможных функций, тем не менее, оставляет его более чем широким.

Аксиома II. Если скорости двух свободных частиц равны в системе , то они будут равны и в системе .

Эта аксиома приводит к тому, что преобразования координат и времени должны быть линейными функциями:

(1.4)

где коэффициенты могут зависеть от относительной скорости систем отсчёта , но не зависят от и . Строгое доказательство этого утверждения приведено на стр.\pageref{h_lorenz_line} ( H), однако сейчас его можно пропустить, тем более, что обычно линейность преобразований не доказывают, а постулируют, ссылаясь на однородность пространства и времени.

В преобразованиях (1.4) зафиксировано начало отсчета времени таким образом, чтобы при начала систем совпадали: .

В силу процедуры согласования единиц скорости мы считаем, что точка системы движется относительно по траектории: . Подставляя , в первое уравнение (1.4), получаем . Аналогично , в уравнениях (1.4) дают и , откуда . Введём функции относительной скорости и . В результате преобразования между системами отсчёта принимают вид:

(1.5)

Для определения функций , нам потребуется дополнительная информация.

Третья аксиома выражает принцип относительности и является ключевой как в теории относительности, так и в классической механике:

Аксиома III. Инерциальные системы отсчета равноправны.

Рассмотрим три системы , и . Пусть движется относительно со скоростью , а относительно со скоростью .

Lorenz.png

Обозначим через и координату и время события, наблюдаемого в , и аналогично для и . Запишем преобразования:

где , , и т.д. Подставим из первой системы во вторую:

Вторые равенства в каждом уравнении представляют собой преобразование между системами отсчёта и , которые движутся с относительной скоростью . Эти уравнения должны выполняться при любых и . Если приравнять коэффициенты при в первом уравнении системы и при во втором, то получаются следующие соотношения:

(1.6)

из которых следует , или:

(1.7)

Так как скорости и — произвольные независимые величины, то — это некоторая константа, единая для всех инерциальных систем отсчета. Числовое значение константы и её знак без дополнительных аксиом или экспериментов зафиксировать нельзя. Логически возможны три теории с , и . Все они имеют право на существование и не содержат противоречий, хотя случай имеет довольно необычные физические следствия ( C). Случай является более общим, чем , так как содержит последний в пределе малых значений .

Требование равноправия приводит также к тому, что переход от к (1.5) будет таким же, как и от к . Другими словами, обратное преобразование с точностью до замены должно совпадать с прямым. Например, для координаты [см. первое уравнение (1.5)]:

где во втором равенстве подставлено , из прямого преобразования (1.5) и учтено, что . В результате:

(1.8)

Для окончательного определения функции нам потребуется ещё одна аксиома:

Аксиома IV. Пространство в инерциальных системах отсчёта изотропно.

Это означает, что при обращении осей обеих систем, т.е. и , преобразования (1.5) не должны изменить своего вида. При таком обращении скорость меняет знак, , поэтому, для (1.5):

Оно снова перейдёт в (1.5), только если будет четной функцией скорости: . Это позволяет найти . Положительный знак при извлечении корня выбран, чтобы при нулевой скорости получались тождественные преобразования, т.е. .

В следующей главе мы рассмотрим эффект сокращения длины стержня при одновременном () измерении координат его начала и конца. Результат этого измерения не должен зависеть от направления скорости, откуда также следует чётность функции .

Таким образом, функциональная форма преобразования между наблюдателями двух инерциальных систем отсчёта полностью определяется с точностью до константы . Выяснение её значения и знака — это уже вопрос экспериментальный. Фундаментальная константа могла оказаться и нулевой, однако в нашем Мире она больше нуля. Поэтому удобно выразить "" через константу "", имеющую размерность скорости: . В результате:

(1.9)

Эти преобразования удовлетворяют сформулированным выше четырем аксиомам и положительному выбору константы .

Для аксиоматического задания значения константы фундаментальной скорости "" необходимы дополнительные аксиомы. Так, классическая механика также опирается на аксиомы (I)-(IV), однако добавляет к ним следующее утверждение:

Аксиома V. Если два события одновременны в одной системе отсчета, то они будут одновременны и в любой другой.

Одновременность событий (, следовательно ) приводит к значению (стр. \pageref{delta_lorenz1}) и преобразованиям Галилея:

Аксиомы (I)-(V) полностью определяют функции и . Если мы отбросим пятую аксиому, то количество информации уменьшится и мы получим неполную теорию. Однако эта неполнота замечательным образом ограничивается только появлением неопределяемой константы "", т.е. приводит к параметрически неполной теории. В этом смысле пятая аксиома обладает минимальным количеством содержательной информации.

Заметим, что мы не только вывели преобразования Лоренца, но также продемонстрировали, что
теория относительности непротиворечива, если непротиворечива классическая механика.
Это следует из того, что преобразования Лоренца и Галилея основаны на одинаковом подмножестве аксиом. Та или иная теорема (формула) теории всегда выводится из некоторой группы аксиом. Когда две теории используют одинаковое множество аксиом, то и теоремы, следующие из них, будут одинаковыми. Например, пусть из аксиом и следует некоторая теорема . Так как другие аксиомы не используются, не важно, в рамках классической или релятивистской физики проводится этот вывод. Если любые подобные выводы в классической механике не приводят к противоречиям, то они тем более не будут приводить к противоречиям в теории относительности, которая использует меньше аксиом. Когда одна из теорий (классическая механика) непротиворечивым образом добавляет новую аксиому, то появляется возможность выводить новые теоремы которые уменьшают произвол исходной ограниченной системы (например, утверждают, что ).

Понимать логическую непротиворечивость теории относительности очень важно, так как выводы, которые мы будем из неё получать, окажутся очень непривычными. Тем не менее, логических противоречий они содержать не могут, так как непротиворечивы наши исходные постулаты.

Фундаментальная скорость численно совпадает со скоростью света:

Удобно так определить единицы времени, чтобы . Например, можно в качестве "новой секунды" выбрать часть "обычной секунды" в системе СИ или СГС. Все формулы теории относительности в этой системе единиц будут выглядеть гораздо проще. Например, преобразования Лоренца, в которые добавлена неизменность перпендикулярной к движению координаты ("линии на заборе"), имеют вид:

(1.10)

Если в некоторой формуле мы хотим "восстановить" константу "", то величины, имеющие в своей размерности время в некоторой степени, должны умножаться на "" в той же степени. Например, для времени , скорости и ускорения совершаются следующие замены:

(1.11)

Далее мы будем придерживаться системы единиц, в которой . Для всех физических величин, которые будут появляться в процессе построения теории, оказываются справедливыми простые правила замены, подобные (1.11). За счёт подходящего выбора системы единиц мы существенно упростим математику, не "потеряв" при этом фундаментальной константы , так как она может быть легко восстановлена при помощи правил (1.11) и им подобных (см. приложение S, стр.\pageref{sys_unit_sec}).

Ещё одно упрощение связано с введением обозначений для релятивистских факторов:

При фактор равен единице, а при стремится к бесконечности. При малых скоростях и могут быть разложены в ряд Тейлора:

С гамма-фактором часто придётся совершать различные алгебраические манипуляции, поэтому приведём некоторые тождества:

проверить которые предлагается в качестве несложного упражнения.

Получим обобщение преобразований Лоренца для произвольного направления скорости. Пусть начало системы движется со скоростью относительно инерциальной системы (первый рисунок):

Lorenz 3D.png

Рисунок выполнен в двумерии, но движение происходит в 3-мерном пространстве. Наблюдатели согласовывают единицы времени при помощи соглашения о равенстве модулей относительной скорости, а единицы длины — "сравнивая линейки" в перпендикулярном к скорости направлении. Фиксирование значений компонент (проекций на оси) означает выбор определённой ориентации координатных осей [с точностью до вращения вокруг ( C)] ). Для наблюдателя в компоненты скорости начала системы имеют обратный знак.

На третьем рисунке представлено разложение радиус вектора по двум векторам и . Первый из них направлен вдоль скорости , а второй ей перпендикулярен:

Длина вектора определяется проекцией на единичный вектор вдоль направления скорости . Он же задаёт направление . Далее, — длина вектора относительной скорости. Подобное разложение позволяет записать преобразования Лоренца для каждой компоненты:

Действительно, направлен вдоль и играет роль в обычных преобразованиях Лоренца. Аналогично перпендикулярен скорости и играет роль . Учитывая, что , заменяя на , несложно записать преобразования Лоренца в виде:

(1.12)

Можно проверить, что обратные преобразования получаются перестановкой штрихованных и нештрихованных величин местами и заменой . Если , то из (1.12) следуют (1.10). Как мы увидим в следующей главе, совпадение относительных скоростей, вообще говоря, не означает параллельность осей координат обоих систем. Преобразования Лоренца в форме (1.12) лишь означают, что наблюдатели выполнили описанную выше процедуру согласования единиц измерения.


Инерциальные системы отсчёта << Оглавление (Глава 1) >> Сложение скоростей

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии