Представление стохастических решений

Материал из Synset

Простые стохастические модели <<	Оглавление	>> Автокорреляция и спектр

$\textstyle \bullet$ Мы записываем решения стохастических уравнений с начальным условием $\textstyle x_0=x(t_0)$ при помощи одной или нескольких случайных величин $\textstyle \varepsilon$ и гладкой функции времени: $\textstyle x(t)=f(x_0,\,t_0,\;t,\,\varepsilon)$ . Так как свойства $\textstyle \varepsilon$ обычно хорошо известны, такое представление позволяет легко находить разнообразные средние и марковскую плотность условной вероятности $\textstyle P(x_0, t_0\Rightarrow x,t)$ .

Сама по себе функция $\textstyle f$ не позволяет нарисовать одиночную траекторию. Если мы сгенерим некоторое конкретное число $\textstyle \tilde{\varepsilon}$ , то $\textstyle x(t)$ не будет графиком случайного процесса. Это обычная гладкая функция. Например, для винеровского процесса без сноса:

$x(t) = x_0+\varepsilon\,\sqrt{t-t_0}.$

(2.33)

Никаких изломов, типичных для случайного процесса, тут, конечно, нет. Дело в том, что для получения свойств $\textstyle x(t)$ в каждый момент времени необходимо генерить различные случайные числа $\textstyle \varepsilon$ .

Тем не менее, благодаря "марковости" процессов "начальные" условия $\textstyle (x_0, t_0)$ могут быть значением случайной функции на любом этапе эволюции. В частности, мы можем записать следующую цепочку решений:

$\begin{array}{l} x_1 = f(x_0,\, t_0,\; t_1,\, \varepsilon_1)\\ x_2 = f(x_1,\, t_1,\; t_2,\, \varepsilon_2)\\ x_3 = f(x_2,\, t_2,\; t_3,\, \varepsilon_3),\;..., \end{array}$

где интервалы времени $\textstyle t_{i}-t_{i+1}$ — произвольны. Так как случайные переходы от одного момента времени $\textstyle (x_i,\,t_i)$ к следующему $\textstyle (x_{i+1},\,t_{i+1})$ не перекрываются, случайные числа $\textstyle \varepsilon_1$ , $\textstyle \varepsilon_2$ , $\textstyle \varepsilon_3$ ,.. являются статистически независимыми. Это позволяет вычислять средние, относящиеся к различным моментам времени, и строить выборочные траектории. При этом возникают последовательности вложенных функций, например:

$x_2 = f(f(x_0,\, t_0,\; t_1,\, \varepsilon_1),\, t_1,\; t_2,\, \varepsilon_2).$

В случае винеровского блуждания, выбирая равный интервал $\textstyle \tau$ между последовательными моментами времени, мы получим:

$x_t = x_0 + \sum^t_{k=1}\varepsilon_k \tau.$

Хотя выражение для $\textstyle x_t$ похоже на итерационную схему, это, на самом деле, точное соотношение, и $\textstyle \tau$ может быть сколь угодно большим.

$\textstyle \bullet$ Существуют и другие способы представления траектории случайного процесса. Рассмотрим для примера разложение Палея-Винера винеровского блуждания на интервале времени $\textstyle t=[0..T]$ :

$x(t) = x_0+\varepsilon_0 \, \frac{t}{\sqrt{T}} + \sqrt{2T}\, \sum^{\infty}_{k=1} \varepsilon_k\, \frac{\sin(\pi k\cdot t/T)}{\pi k},$

(2.34)

где $\textstyle \varepsilon_k\sim N(0,1)$ — независимые нормально распределённые случайные величины. Это разложение имеет такие же статистические свойства, как и существенно более простая запись (2.33). Чтобы в этом убедиться, вычислим среднее квадрата $\textstyle \left\langle x^2\right\rangle$ (простое среднее равно нулю $\textstyle \left\langle x\right\rangle =0$ ):

$\left\langle x^2\right\rangle \;=\; x^2_0+\frac{t^2}{T} + 2T\, \sum^{\infty}_{k=1} \frac{\sin^2(\pi k\cdot t/T)}{\pi^2 k^2} \;=\; x^2_0+t,$

(2.35)

где мы воспользовались свойством независимости $\textstyle \left\langle \varepsilon_i\varepsilon_j\right\rangle =0$ , если $\textstyle i\neq j$ и $\textstyle \left\langle \varepsilon^2_i\right\rangle =1$ . Равенство $\textstyle \left\langle x^2\right\rangle =x^2_0+t$ проверяется при помощи фурье — разложения функции $\textstyle f(t)=t-t^2/T$ на интервале $\textstyle t=[0..T]$ ( $\textstyle \lessdot$ H).

В результате получается такой же результат, как и для (2.33). Плотности вероятности величин (2.33) и (2.34) совпадают, так как сумма гауссовых чисел $\textstyle \varepsilon_0$ , $\textstyle \varepsilon_1$ ,... — это опять гауссово число, дисперсия которого, как мы показали, равна $\textstyle t$ .

Достоинством представления Палея-Винера является то, что с его помощью можно записывать непрерывную функцию одиночной траектории, на конечном интервале времени $\textstyle T$ . Для этого, естественно, приходится обрезать суммирование на достаточно большом индексе $\textstyle k=N$ . Затем генерятся независимые случайные числа $\textstyle \varepsilon_0$ ,..., $\textstyle \varepsilon_N$ , и фурье — разложение даёт изломанную кривую. На рисунках ниже приведено последовательное увеличение числа слагаемых в сумме: $\textstyle N=10,20,100$ . При этом случайные числа $\textstyle \varepsilon_0$ , $\textstyle \varepsilon_1$ ,.. на каждом графике повторяются:

Видно, что степень изломанности траектории увеличивается, стремясь в пределе $\textstyle N\to\infty$ к недифференцируемой стохастической кривой.

$\textstyle \bullet$ Изучая стохастические дифференциальные уравнения, можно использовать различный "язык" и различные математические конструкции. Кратко перечислим основные подходы к представлению решений стохастических уравнений, их сильные и слабые стороны.

$\textstyle \triangleright$ Плотность вероятности является базовым и наиболее общим языком описания случайных функций. Так как мы ограничились классом марковских процессов, знание вероятности перехода $\textstyle P(x_0, t_0 \Rightarrow x, t)$ между двумя точками позволяет записать вероятность всей траектории. В результате можно вычислять разнообразные средние, и т.п. Чтобы найти $\textstyle P(x_0, t_0 \Rightarrow x, t)$ , необходимо решить дифференциальное уравнение в частных производных, которое мы рассмотрим в четвёртой главе. Недостатком этого подхода является то, что получение конечного результата иногда требует более кропотливых вычислений, чем в рамках других методов. Примером тому служит описание процесса Орнштейна-Уленбека или процесса Феллера (стр. \pageref{feller_equation}).

$\textstyle \triangleright$ Уравнения для средних мы рассмотрим в следующей главе. Если целью исследования является поиск различных средних значений стохастического процесса, то решение этих уравнений может оказаться самым прямым и простым способом. Дифференциальные уравнения для средних часто приводят к полезным соотношениям в асимптотическом пределе $\textstyle t\to\infty$ и удобны при построении приближённых методов. Кроме ограниченности получаемых результатов, недостаток подхода в том, что эти уравнения оказываются замкнутыми лишь для относительно узкого класса задач.

$\textstyle \triangleright$ Сведение к известному процессу является очень распространённым подходом. Обычно при этом используется винеровский процесс $\textstyle W(t)$ с хорошо изученными и простыми свойствами. Например, логарифмическое блуждание $\textstyle x(t)=x_0\exp\{(\mu-\sigma^2/2)t + \sigma\, W(t)\}$ явным образом демонстрирует деформацию винеровского процесса $\textstyle W(t)$ в процесс $\textstyle x(t)$ . Подобные решения ищутся при помощи леммы Ито и подходящей замены. Достоинством подхода является быстрота получения конечного результата (когда это возможно). Кроме этого, мы имеем простую запись для выборочных траекторий. Например, можно сгенерить конкретную траекторию $\textstyle W(t)$ и, подставив её в $\textstyle x\bigl(t, W(t)\bigr)$ , получить выборочную траекторию процесса $\textstyle x(t)$ . Недостатком подхода является то, что для многих процессов найти простую функцию $\textstyle x\bigl(t, W(t)\bigr)$ не очень просто. Так, уже для процесса Орнштейна-Уленбека в аргументе функции $\textstyle W(t)$ необходимо дополнительно деформировать время, а процесс Феллера вообще не имеет простого представления при помощи $\textstyle W(t)$ .

$\textstyle \triangleright$ Стохастические интегралы — это наиболее популярный способ как строгого обоснования стохастических уравнений, так и записи их решения при помощи специфических обозначений. Стохастические интегралы являются достаточно нетривиальной математической конструкцией. Несмотря на то, что это очень красивая и мощная техника, иногда получаемые с её помощью результаты оказываются формальными, и воспользоваться ими для вычисления, например, средних или плотности вероятности не представляется возможным. Мы будем обсуждать стохастическое интегрирование в пятой главе.

$\textstyle \triangleright$ Скалярные случайные величины широко используются в этой книге. Стохастичность функции $\textstyle x(t)$ можно придать при помощи обычной случайной величины $\textstyle \varepsilon$ , не являющейся процессом, и гладкой функции времени. Величина $\textstyle \varepsilon$ имеет определённое распределение. Чаще всего оно гауссово, однако в общем случае это не обязательно. Дальше мы увидим, что простую форму решению для некоторых процессов можно придать, только используя две или более случайные величины, имеющие совместную плотность вероятности. Запись решения в виде $\textstyle x=f(x_0,\,t_0,\;t,\,\varepsilon)$ позволяет легко находить различные средние. Кроме этого, функция $\textstyle f$ эквивалентна заданию в неявной форме марковской плотности вероятности $\textstyle P(x_0, t_0\Rightarrow x, t)$ . Действительно, при помощи среднего от произвольной функции $\textstyle F(x)$ можно сделать преобразование, например, от гауссовой переменной $\textstyle \varepsilon$ к $\textstyle x$ (значения начальных условий $\textstyle x_0$ , $\textstyle t_0$ опущены):

$\left\langle F(x)\right\rangle =\int\limits^\infty_{-\infty} F(x)\, P(x,t) \, dx = \int\limits^\infty_{-\infty} F\bigl(f(\varepsilon,t)\bigr)\, P(\varepsilon) \, d\varepsilon,$

где $\textstyle P(\varepsilon)$ — распределение Гаусса. Проводя во втором интеграле обратную замену $\textstyle x=f(t, \varepsilon)$ , мы переходим к первому интегралу, и, следовательно, плотность вероятности случайного процесса в момент времени $\textstyle t$ равна:

$P(x_0, t_0 \Rightarrow x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\frac{\partial g(x,t)}{\partial x}\, \exp\left\{-\frac{1}{2}\, g^2(x,t)\right\},$

(2.36)

где $\textstyle g(x,t)$ — обратная к $\textstyle x=f(t, \varepsilon)$ функция, т.е. $\textstyle \varepsilon=g(x,t)$ .

В заключение выскажем очевидную истину. Использование того или иного языка должно диктоваться в первую очередь соображением простоты. В зависимости от того, какие задачи решаются, более адекватным может оказаться любой из перечисленных выше подходов.

Простые стохастические модели <<	Оглавление	>> Автокорреляция и спектр

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Представление стохастических решений

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты