Почему Ито

Материал из Synset

Уравнения Ито <<	Оглавление	>> Лемма Ито

Прежде чем изучать способы решения стохастических дифференциальных уравнений, имеет смысл остановиться и поразмышлять. Мы выбрали в качестве математической модели шума величину $\textstyle \varepsilon\sqrt{dt}$ . Она умножается на некоторую функцию $\textstyle b(x,t)$ и, тем самым, может изменять со временем и значением $\textstyle x$ свою волатильность (величину шума). Однако единственен ли подобный выбор?

$\textstyle \bullet$ Что, если рассмотреть уравнения без корня от временного интервала? Пусть, например:

$dx = \varepsilon \,dt.$

В этом случае скорость $\textstyle dx/dt$ — это случайная величина с гауссовым распределением. Решим уравнение в разностях:

$x_1=x_0+\varepsilon_1\Delta t,\;\;\;\;\;\;\;\; x_2=x_1+\varepsilon_2\Delta t=x_0 + (\varepsilon_1+\varepsilon_2)\Delta t,\;\;\;\;...$

Через $\textstyle n$ итераций получится сумма гауссовых чисел, которая статистически эквивалентна единственному гауссовому числу, умноженному на $\textstyle \sqrt{n}$ :

$x=x_0 + (\varepsilon_1+...+\varepsilon_n)\Delta t = x_0 + \varepsilon \cdot \sqrt{n}\,\Delta t.$

Записывая итерационные решения, мы предполагаем, что в конечном счёте необходимо будет сделать предельный переход $\textstyle \Delta t\to 0$ , $\textstyle n\to\infty$ . При этом произведение $\textstyle n\Delta t=t$ равно конечному интервалу времени, прошедшему от начального момента $\textstyle t_0=0$ . Полученное решение имеет вид $\textstyle x=x_0+\varepsilon \sqrt{t \cdot \Delta t}$ , и при $\textstyle \Delta t\to 0$ стремится к тривиальной константе $\textstyle x_0$ . Ни какой стохастической динамикой подобное уравнение не обладает.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим другую возможность со случайным шумом, также пропорциональным $\textstyle dt$ :

$dx = \varepsilon^2 \, dt.$

В этом случае решение имеет вид:

$x = x_0 + (\varepsilon^2_1 +...+\varepsilon^2_n )\cdot \Delta t = u \cdot(n\Delta t) = u\cdot t,$

где введена случайная величина:

$u = \frac{\varepsilon^2_1 +...+\varepsilon^2_n}{n}.$

Каковы её статистические свойства? Так как для всех $\textstyle \varepsilon_i$ справедливо $\textstyle \left\langle \varepsilon^2\right\rangle =1$ , то среднее значение $\textstyle \left\langle u\right\rangle =1$ . В пределе $\textstyle n\to \infty$ , $\textstyle \Delta t\to 0$ мы получаем конечное решение, пропорциональное времени $\textstyle t=n\cdot \Delta t$ .

Найдём среднее значение квадрата $\textstyle u$ :

$\left\langle u^2\right\rangle = \frac{1}{n^2}\sum^n_{i,j=1} \left\langle \varepsilon^2_i\varepsilon^2_j\right\rangle = \frac{1}{n^2}\cdot \left[ n\cdot \left\langle \varepsilon^4\right\rangle + (n^2-n)\cdot \left\langle \varepsilon^2\right\rangle ^2 \right] = 1 + \frac{2}{n}.$

(2.11)

В сумме по $\textstyle i$ и $\textstyle j$ усредняются $\textstyle n^2$ слагаемых. Из них $\textstyle n$ имеют одинаковые индексы типа $\textstyle \left\langle \varepsilon^4_1\right\rangle$ , а оставшиеся $\textstyle n^2-n$ слагаемых с различными индексами: $\textstyle \left\langle \varepsilon^2_1\varepsilon^2_2\right\rangle$ , и т.д. ( $\textstyle \lessdot$ C). Так как случайные числа $\textstyle \varepsilon_i$ независимы, то среднее их произведения равно произведению средних: $\textstyle \left\langle \varepsilon^2_1\varepsilon^2_2\right\rangle = \left\langle \varepsilon^2_1\right\rangle \left\langle \varepsilon^2_2\right\rangle$ . Кроме этого, для нормированных гауссовых величин мы имеем: $\textstyle \left\langle \varepsilon^2\right\rangle =1$ , $\textstyle \left\langle \varepsilon^4\right\rangle =3$ .

В результате дисперсия величины $\textstyle u$ равна $\textstyle \sigma^2_u = \left\langle u^2\right\rangle -\left\langle u\right\rangle ^2=2/n$ и стремится к нулю при $\textstyle n\to \infty$ . Это означает, что плотность вероятности $\textstyle P(u)$ при $\textstyle n\to \infty$ становится бесконечно узкой и высокой в окрестности значения $\textstyle u=1$ . Мы имеем дело с детерминированным числом! Этот результат не зависит от типа распределения $\textstyle \varepsilon$ и предполагает только существование конечного момента четвёртого порядка $\textstyle \left\langle \varepsilon^4\right\rangle$ . Аналогичная ситуация и для уравнения $\textstyle dx=\varepsilon^m\,dt$ ( $\textstyle \lessdot$ H).

Таким образом, члены вида $\textstyle (\delta W)^2 = \varepsilon^2\,dt$ в дифференциальном уравнении приводят к детерминированной динамике $\textstyle x(t)=t$ , такой же, как и в отсутствие $\textstyle \varepsilon^2$ . Это утверждение часто записывают в символическом виде "неслучайности" квадрата изменения винеровской переменной:

$(\delta W)^2 \;\;\;\;\sim\;\;\;\;\; dt.$

(2.12)

Подобное соотношение необходимо понимать в смысле детерминированности бесконечной итерационной процедуры. Оно справедливо и в случае, когда $\textstyle dx=\sigma(x,t)\, \varepsilon^2 \,dt$ , так как локально на малом интервале $\textstyle \Delta t$ функцию $\textstyle \sigma(x,t)$ всегда можно считать примерно постоянной. При этом возможно разбиение сколь угодно малого интервала $\textstyle \Delta t$ на большое количество $\textstyle n$ итерационных шагов.

$\textstyle \bullet$ Мы видим, что альтернатив для записи малого шума $\textstyle \mathbf{Noise} \sim \varepsilon\sqrt{dt}$ не так и много. Только сочетание $\textstyle \varepsilon$ с корнем из $\textstyle dt$ сохраняет свою случайность при бесконечном итерационном решении уравнения. Поэтому уравнения Ито являются если и не единственным, то очень естественным методом введения шума в дифференциальные законы изменения величин со временем ( $\textstyle \lessdot$ C).

Естественно, шум в реальных системах не обязательно будет аддитивен, как в (2.4). Например, параметр частоты осциллятора $\textstyle \omega$ вполне может оказаться случайной величиной. Однако в этом случае для него можно рассматривать отдельное динамическое уравнение типа Ито и решать систему стохастических уравнений.

Уравнения Ито <<	Оглавление	>> Лемма Ито

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Почему Ито

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты