Портфель на всю жизнь

Материал из Synset

Диверсификация <<	Оглавление	>> Опционы

$\textstyle \bullet$ Пусть инвестор начинает свою карьеру с капитала $\textstyle П_0$ . Он формирует портфель из $\textstyle n$ акций, цены $\textstyle x_i(t)$ которых стохастическим образом изменяются со временем. Поэтому его капитал также изменяется, как $\textstyle \Pi(t)$ . Естественно, обогащение не является самоцелью, и за каждую единицу времени $\textstyle dt$ он потребляет часть капитала, максимизируя своё удовольствие $\textstyle \ddot\smile$ . Какова в этом случае оптимальная стратегия инвестирования? Эту задачу изучали в 1969 г. Роберт Мертон и Пол Самуэльсон.

Если количество акций каждого вида в портфеле равно $\textstyle N_i(t)$ , то изменение его стоимости за малый интервал времени после изъятия равно:

$d\Pi = \sum^n_{i=1} N_i(t) \,dx_i - c(t)\Pi(t) \,dt.$

Мы для простоты считаем, что потребление $\textstyle c(t)\Pi(t)$ пропорционально капиталу. Мертон на самом деле доказал это утверждение.

Пусть цены на акции испытывают стационарное логарифмическое блуждание:

$\frac{dx_i}{x_i} = \mu_{i} \,dt + \sum^n_{j=1} \sigma_{ij}\,\delta W_j,$

где $\textstyle \mu_i$ — доходности акций, а матрица $\textstyle \sigma_{ij}$ определяет их ковариации. В этом разделе по повторяющимся индексам суммирование не подразумевается, если это явно не указано знаком суммы. Подставляя $\textstyle dx_i$ в уравнение портфеля и вводя веса $\textstyle w_i=N_ix_i/\Pi$ каждой акции, получаем нестационарное логарифмическое блуждание:

$\frac{d\Pi}{\Pi} = f(t)\, dt + s(t)\, \delta W.$

(8.5)

Снос и волатильность портфеля определяются соотношениями:

$f(t) = \sum^n_{i=1} \mu_i w_i(t) - c(t),\;\;\;\;\;\;\;\;s^2(t) = \sum^n_{i,j=1} w_i(t) D_{ij} w_j(t),$

где $\textstyle \mathbf{D}=\mathbf{\sigma}\cdot \mathbf{\sigma}^T$ — ковариационная матрица. Переход от нескольких стохастических переменных $\textstyle \delta W_i = \varepsilon_i \sqrt{dt}$ к одной $\textstyle \delta W=\varepsilon\sqrt{dt}$ мы сделали стандартным образом:

$\sum^n_{i,j=1} w_i(t)\sigma_{ij} \varepsilon_j \sqrt{dt} = s(t) \varepsilon \sqrt{dt}.$

Сумма $\textstyle n$ гауссовых чисел — снова гауссово число, множитель перед которым находится после возведения в квадрат и усреднения.

$\textstyle \bullet$ Вес $\textstyle w_i(t)$ каждой акции в портфеле и удельное потребление $\textstyle c(t)$ задаются инвестором. В результате функции $\textstyle f(t)$ и $\textstyle s(t)$ в уравнении (8.5) являются фиксированными. Переходя к $\textstyle \ln \Pi$ при помощи леммы Ито, имеем:

$d \ln \Pi = \left[f(t) - \frac{1}{2}s^2(t) \right]\,dt + s(t)\,\delta W.$

Откуда, воспользовавшись (2.18), Точные решения уравнения Ито, получаем точное решение:

$\ln \frac{\Pi(t)}{\Pi_0} = \int\limits^t_0 \left[f(\tau) - \frac{1}{2}s^2(\tau) \right]\,d\tau + \left[\int\limits^t_0 s^2(\tau)d\tau\right]^{1/2}\cdot \varepsilon,$

где, как обычно, $\textstyle \varepsilon$ - гауссова случайная величина с $\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0$ и $\textstyle \left\langle \varepsilon^2\right\rangle =0$ .

$\textstyle \bullet$ Постоянное изъятие сумм $\textstyle v = c(t)\Pi(t)$ обладает для инвестора определённой полезностью (utility) $\textstyle U=U(v)$ . Это понятие достаточно умозрительно, но очень популярно в экономической литературе. Основные гипотезы теории полезности состоят в том, что 1) функция $\textstyle U(v)$ является выпуклой, и 2) она растёт медленнее линейной функции. Каждая дополнительная единица благ (выраженная в деньгах $\textstyle v$ ), в любом случае, приносит удовольствие. Однако больше двух котлет не съешь и пяти бутылок вина не выпьешь. Поэтому постепенно, с увеличением $\textstyle v$ , дополнительной полезности получается всё меньше, и рост функции $\textstyle U(v)$ замедляется. Часто функцию полезности выбирают в степенном виде $\textstyle U(v)=v^{\gamma}$ , с параметром $\textstyle 0<\gamma<1$ или в логарифмическом $\textstyle U(v)=\ln v$ . Рассмотрим вариант степенной зависимости.

Вычислим среднее значение полезности $\textstyle U_t=\left\langle U(v)\right\rangle =c^\gamma(t)\,\left\langle \Pi^\gamma(t)\right\rangle$ в момент времени $\textstyle t$ . Усреднение проводится при помощи (1.11) (Нормальное распределение):

$U_t=\Pi^\gamma_0\,c^\gamma(t)\,e^{ \gamma\int\limits^{t}_0 f(\tau) \,d\tau + \frac{\gamma^2-\gamma}{2}\int\limits^{t}_0 s^2(\tau) \,d\tau}.$

Подставляя явный вид функций $\textstyle f(t)$ и $\textstyle s(t)$ , имеем:

$U_t=\Pi^\gamma_0\,c^\gamma(t)\,\exp { \int\limits^{t}_0 \gamma \left[ \sum^n_{i=1}\mu_i \omega_i(\tau) - c(\tau) - \frac{1-\gamma}{2}\sum^n_{i,j=1}w_i(\tau) D_{ij} w_j(\tau)\right]d\tau}.$

Выбор определённых стратегий инвестирования $\textstyle \omega_i(\tau)$ и изъятия (потребления) $\textstyle c(\tau)$ на протяжении времени $\textstyle \tau=[0...t]$ приводит к некоторому среднему значению полезности в момент времени $\textstyle t$ . Однако получение максимальной сиюминутной полезности также не является главной целью инвестора. Так в чём же смысл его жизни?

$\textstyle \bullet$ По Мертону и Самуэльсону, инвестор должен максимизировать суммарную дисконтированную полезность, получаемую на протяжении всей своей жизни. И если он не законченный эгоист, дополнительную полезность он получает от остаточного капитала, передаваемого по наследству. Математически это может быть выражено в следующем виде:

$\int\limits^T_0 e^{-\rho \tau}\,U_\tau \,d\tau \;+\; \theta \,e^{-\rho T}\, U_T \;+\; \int\limits^T_0 \lambda(\tau)\left[1-\sum^n_{i=1} w_i(\tau)\right]\,d\tau =max.$

(8.6)

Первый интеграл суммирует все получаемые от изъятий средние полезности $\textstyle U_t$ . При этом параметр $\textstyle \rho$ аналогичен ставке дисконтирования денежных потоков ( $\textstyle \lessdot$ C). Чем позже получено удовольствие, тем меньше его вклад в смысл жизни. Второе слагаемое является полезностью завещаемого инвестором капитала (bequest valuation function) в финальный момент его жизни $\textstyle T$ . Параметр $\textstyle \theta$ характеризует степень его не эгоистичности, и обычно предполагается небольшим $\textstyle 0<\theta\ll 1$ $\textstyle \ddot\smile$ . Полезность от завещания имеет такую же функциональную форму, как и от потребления. В принципе, можно рассмотреть и другие зависимости. Последнее слагаемое появляется в соответствии с методом множителей Лагранжа $\textstyle \lambda(t)$ (стр. \pageref{lagrang_mult}). Мы ищем экстремум при дополнительном требовании равенства суммы весов единице в каждый момент времени.

$\textstyle \bullet$ Найдём экстремум функционала (8.6) по функциям $\textstyle \lambda(t)$ и $\textstyle \omega_k(t)$ ( $\textstyle \lessdot$ H):

$\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle 1 = \sum^n_{i=1} w_i\\ \displaystyle \alpha = \mu_k - (1-\gamma)\sum^n_{i=1} D_{ki} \omega_i, \end{array} \right.$

(8.7)

где $\textstyle \alpha$ пропорциональна множителю Лагранжа $\textstyle \lambda$ и должна рассматриваться как $\textstyle n+1$ -я неизвестная переменная. Зависимость от времени отсутствует, и $\textstyle w_i$ определяются из решения системы линейных уравнений. Теперь можно упростить выражение для средней полезности:

$U_t = \Pi^\gamma_0\, e^{z t}c^\gamma(t)\,G(t),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;G(t)=e^{ -\gamma \int\limits^{t}_0 c(\tau) \tau},$

где величина $\textstyle z$ :

$z = \gamma \sum^n_{i=1}\mu_i \omega_i - \frac{\gamma-\gamma^2}{2}\sum^n_{i,j=1}w_i \,D_{ij}\, w_j$

зависит от статистических параметров акций, функции полезности и найденных из (8.7) постоянных весовых коэффициентов $\textstyle \omega_i$ .

$\textstyle \bullet$ После подстановки оптимальных значений весов $\textstyle \omega_i$ функционал для оптимизации принимает вид:

$\int\limits^T_0 e^{(z-\rho) \tau} c^\gamma(\tau)\,G(\tau) \,d\tau \;+\; \theta \,e^{(z-\rho) T}\,c^\gamma(T)\, G(T) =max.$

(8.8)

Проварьируем его ( $\textstyle \lessdot$ H) по функции удельного потребления $\textstyle c(t)$ :

$c^{\gamma-1}(t)\, e^{(z-\rho)t}\, G(t) - \int\limits^T_t e^{(z-\rho) \tau}\,c^\gamma(\tau)\, G(\tau) \,d\tau - \theta \,e^{(z-\rho)T}c^\gamma(T) G(T) = 0.$

Это интегральное уравнение относительно $\textstyle c(t)$ . Положив $\textstyle t=T$ , получаем граничное условие $\textstyle c(T)=1/\theta$ . Если взять производную по времени, интегральное уравнение перейдёт в обычное уравнение логистического типа (1.2) (Стохастические уравнения), с решением (при $\textstyle \alpha\neq 0$ и $\textstyle c(T)=1/\theta$ ):

$\dot{c} = -\nu\, c + c^2\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;c(t)=\frac{\nu }{1 + (\theta\nu - 1) \cdot e^{\nu (t-T)}}.$

(8.9)

где $\textstyle \nu=(\rho-z)/(1-\gamma)$ . Важным следствием (8.7) и (8.9) является то, что выбор портфеля не зависит от решения по стратегии изъятий.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим частный случай, когда инвестору доступны только два актива — депозит с фиксированной доходностью $\textstyle r_f$ и акция с волатильностью $\textstyle \sigma$ и доходностью $\textstyle r$ . Доля средств размещаемых в депозите, равна $\textstyle \omega_1=1-\omega$ , а в акциях $\textstyle \omega_2=\omega$ . Матрицы дисперсий $\textstyle D_{ij}$ , доходности $\textstyle \mu_i$ и весов $\textstyle \omega_i$ имеют вид:

$\mathbf{D} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \sigma^2 \\ \end{pmatrix},\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{\mu} = \begin{pmatrix} r_f \\ r \\ \end{pmatrix},\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{\omega} = \begin{pmatrix} 1-\omega \\ \omega \\ \end{pmatrix}.$

Решая систему (8.7), получаем:

$\omega = \frac{r-r_f}{(1-\gamma)\sigma^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;z=\gamma r_f + \frac{\gamma}{2}\frac{(r-r_f)^2}{(1-\gamma)\sigma^2}.$

Мы видели (8.3), что в данном случае эффективное множество является прямой, соединяющей точки $\textstyle (0, r_f)$ и $\textstyle (\sigma,r)$ . Выбор распределения средств между этими двумя активами выглядел абсолютно произвольным. Теория Мертона связывает значение веса $\textstyle \omega$ и выпуклости полезности $\textstyle \gamma$ . Более подробный анализ теории пожизненного инвестирования целесообразно проследить по классической работе Мертона.

Диверсификация <<	Оглавление	>> Опционы

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Портфель на всю жизнь

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты