Порождающий процесс Винера

Материал из Synset

Автокорреляция и спектр <<	Оглавление	>> Динамическое уравнение для средних

Стохастическое дифференциальное уравнение содержит в качестве шума $\textstyle \delta W$ изменения винеровского процесса $\textstyle W_t$ . В результате:

каждая выборочная траектория винеровского блуждания $\textstyle W_t$ полностью определяет выборочную траекторию произвольного стохастического уравнения с шумом $\textstyle \delta W$ .

Даже в тех случаях, когда мы не можем в явном виде записать решение уравнения в виде простой функции $\textstyle x_t=f(t, W_t)$ , предполагается её существование. Если у нас есть несколько случайных процессов, уравнения которых содержат один и тот же стохастический шум $\textstyle \delta W$ , то они должны быть между собой скоррелированы. Рассмотрим пример:

$\left\{ \begin{array}{l} dx = f(t)\,\delta W \\ dy = g(t)\,\delta W. \end{array} \right.$

(2.42)

Решение каждого уравнения может быть записано при помощи гауссовой величины (2.18). Однако, несмотря на одинаковую винеровскую переменную $\textstyle \delta W$ , в решениях должна стоять различная $\textstyle \varepsilon$ :

$\begin{array}{lcl} x &=&x_0 + \sum f_{i-1} \,\varepsilon_{i} \, \sqrt{\Delta t} = x_0+ F(t) \cdot \varepsilon\\ y &=&y_0 + \sum g_{j-1} \,\varepsilon_{j} \, \sqrt{\Delta t} = y_0+ G(t)\cdot \eta, \end{array} где дисперсии равны:$

$F^2(t) = \int\limits^t_{t_0} f^2(\tau)\,d\tau,\;\;\;\;\;\;\;\;G^2(t) = \int\limits^t_{t_0} g^2(\tau)\,d\tau$

На каждой итерации, в обоих суммах стоят одинаковые случайные числа $\textstyle \varepsilon_k$ . Однако так как они умножаются на различные коэффициенты $\textstyle f_i$ и $\textstyle g_i$ , результирующие гауссовы числа будут скоррелированы:

$F(t)\, G(t)\cdot \left\langle \varepsilon \eta\right\rangle = \sum_{i,j=1} f_{i-1} g_{j-1} \left\langle \varepsilon_{i}\varepsilon_{j}\right\rangle \Delta t = \sum_{i=1} f_{i-1} g_{i-1}\Delta t = \int\limits^t_{t_0} f(\tau)g(\tau)\,d\tau,$

так как $\textstyle \left\langle \varepsilon_{i}\varepsilon_{j}\right\rangle$ отлично от нуля только при $\textstyle i=j$ . Таким образом:

$\left\langle \varepsilon \eta\right\rangle = \rho(t) = \frac{1}{F(t)\, G(t)} \int\limits^t_{t_0} f(\tau)g(\tau)\,d\tau \neq 1.$

(2.43)

Заметим, что в общем случае $\textstyle \left\langle \varepsilon \eta\right\rangle$ зависит от времени.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим конкретное применение этих формул на примере процесса Орнштейна-Уленбека:

$dx = -\beta\cdot(x-\alpha)\,dt + \sigma\,\delta W.$

Перейдём при помощи леммы Ито к процессу $\textstyle y(t)=F(t,x)=e^{\beta t}\, (x-\alpha)$ :

$dy = \sigma e^{\beta t}\,\delta W\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;y(t)=y_0+\frac{\sigma}{\sqrt{2\beta}}\sqrt{e^{2\beta t}-1} \cdot \eta,$

где $\textstyle \eta\sim N(0,1)$ , а $\textstyle y_0=x_0-\alpha$ . Поэтому решение для $\textstyle x$ имеет вид ( $\textstyle \beta>0$ ):

$x(t) = \alpha+(x_0-\alpha)e^{-\beta t} +\frac{\sigma}{\sqrt{2\beta}}\sqrt{1-e^{-2\beta t}}\cdot \eta,$

Если мы интересуемся свойствами этого процесса как такового, данного решения вполне достаточно. Однако, если мы хотим прояснить его связь с порождающим винеровским процессом $\textstyle W_t$ , необходимо записать:

$W_t=\varepsilon \sqrt{t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\langle \varepsilon\,\eta\right\rangle =\rho=\sqrt{\frac{2}{\beta t}\,\frac{1-e^{-\beta t}}{1+e^{-\beta t}}},$

где мы воспользовались (2.43) с $\textstyle f(t)=1$ и $\textstyle g(t)=\sigma\,e^{\beta t}$ . Так как $\textstyle \varepsilon$ и $\textstyle \eta$ — скоррелированные гауссовы числа, для вычисления моментов произвольных порядков удобно перейти к паре независимых гауссовых величин:

$\varepsilon = \varepsilon_1,\;\;\;\;\;\;\eta = \rho\,\varepsilon_1+\sqrt{1-\rho^2}\,\varepsilon_2.$

В результате:

$\left\langle \varepsilon^2\right\rangle =\left\langle \eta^2\right\rangle =1,\;\;\;\;\left\langle \varepsilon\eta\right\rangle =\rho,\;\;\;\;\;\;\left\langle \varepsilon^2\eta^2\right\rangle =1+2\rho^2,$

и т.д. Теперь мы можем вычислить любые статистики, в которых участвуют и процесс Орнштейна-Уленбека $\textstyle x$ , и порождающий его винеровский процесс $\textstyle x$ :

$\left\langle W_t \cdot x_t \right\rangle =\frac{\sigma\sqrt{t}}{\sqrt{2\beta}}\,\sqrt{1-e^{-2\beta t}}\cdot \left\langle \varepsilon\eta\right\rangle =\frac{\sigma}{\beta}\left(1-e^{-\beta \,t}\right).$

Если нас интересуют предсказательные возможности порождающего процесса, необходимо записать решение со сдвигом:

$x_{t+\tau} = \alpha+(x_t-\alpha)e^{-\beta \tau} +\frac{\sigma}{\sqrt{2\beta}}\sqrt{1-e^{-2\beta \tau}}\cdot \eta',$

и вычислить:

$\left\langle W_t \cdot x_{t+\tau}\right\rangle = \left\langle W_t \cdot x_{t}\right\rangle \,e^{-\beta \tau} = \frac{\sigma}{\beta}\,(1-e^{-\beta\tau}),$

так как $\textstyle \eta'$ на интервале $\textstyle [t...t+\tau]$ не зависит от винеровского процесса в момент $\textstyle t$ .

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим ещё одну задачу для двух процессов с одинаковым шумом $\textstyle \delta W$ :

$\left\{ \begin{array}{l} dx = \delta W\\ dy = f(x,t)\,\delta W. \\ \end{array} \right.$

Если $\textstyle x_0=x(0)=0$ , то $\textstyle x(t)=W_t$ — это винеровский процесс, предоставляющий уравнению для $\textstyle y$ не только изменения $\textstyle \delta W$ , но и накопленное значение $\textstyle W_t$ , от которого зависит амплитуда шума.

Будем, как обычно, использовать итерационный метод:

$\begin{array}{lcl} x_i &=&x_0 + \sum^{i}_{j=1} \varepsilon_j \, \sqrt{\Delta t}\\ y_n &=&y_0 + \sum^{n-1}_{i=0} f(x_i, t_i) \,\varepsilon_{i+1} \, \sqrt{\Delta t}. \end{array}$

В решении для $\textstyle y_n$ величины $\textstyle x_i$ содержат сумму гауссовых переменных по $\textstyle \varepsilon_i$ включительно. Они не зависят от $\textstyle \varepsilon_{i+1}$ , поэтому $\textstyle \left\langle y_n\right\rangle =y_0$ . Аналогично вычисляется дисперсия второго процесса:

$\left\langle (y_n-y_0)^2\right\rangle = \sum^{n-1}_{i,j=0} \left\langle f(x_i, t_i)f(x_j, t_j) \,\varepsilon_{i+1}\varepsilon_{j+1}\right\rangle \, \Delta t.$

Эту сумму необходимо разбить на три части, когда индекс $\textstyle i$ меньше $\textstyle j$ , больше, и равен:

∑	=	∑	+	∑	+	∑	.
i,j		i < j		i > j		i = j

Первая и вторая суммы равны нулю, так как они содержат члены типа $\textstyle \left\langle f(x_1,t_1)f(x_2,t_2)\varepsilon_2\varepsilon_3\right\rangle$ . Величина $\textstyle \varepsilon_3$ не зависит от всех остальных случайных чисел, среднее разбивается на произведение средних и оказывается равным нулю $\textstyle \left\langle \varepsilon_3\right\rangle =0$ . В результате ненулевое значение имеет последняя сумма со слагаемыми типа $\textstyle \left\langle f^2(x_1,t_1)\varepsilon^2_2\right\rangle =\left\langle f^2(x_1,t_1)\right\rangle \left\langle \varepsilon^2_2\right\rangle$ . Поэтому для дисперсии имеем следующее выражение:

$\sigma^2(t) = \left\langle (y(t)-y_0)^2\right\rangle = \int\limits^t_{t_0}\left\langle f^2(x_0+\varepsilon\sqrt{\tau}, \tau)\right\rangle d\tau,$

(2.44)

где в явном виде подставлено решение для $\textstyle x$ . Таким образом, усредняя с гауссовой плотностью вероятности подынтегральную функцию и вычисляя интеграл от обычной функции времени, мы получаем значение дисперсии случайного процесса. Подчеркнём, что сначала происходит усреднение, и только после этого проводится интегрирование.

$\textstyle \bullet$ Системы уравнений с одинаковым шумом позволят прояснить ещё одну важную особенность стохастической математики. Рассмотрим следующий пример с начальными условиями $\textstyle x_0=x(0)$ и $\textstyle y_0=y(0)$ :

$\left\{ \begin{array}{l} dx = \;\;\,\delta W \\ dy = x\,\delta W, \end{array} \right.$

(2.45)

Может появиться искушение разделить одно уравнение на второе и проинтегрировать обыкновенное дифференциальное уравнение:

$dy = x\,dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\nRightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; y - y_0 = \frac{x^2-x^2_0}{2}.$

(2.46)

Если так можно, то решение должно оставаться на детерминированной кривой $\textstyle y=y(x)$ . Однако на самом деле это неверно! Дело в том, что, хотя стохастический член $\textstyle \delta W$ сократился, дифференциалы $\textstyle dx$ , $\textstyle dy$ по-прежнему являются изменением случайных функций, для которых неприменимы обычные правила интегрирования. В частности, $\textstyle x\,dx\neq d(x^2)/2$ ( $\textstyle \lessdot$ C). Для подобных операций служит лемма Ито.

Решение системы (2.45) на самом деле имеет вид:

$\left\{ \begin{array}{ll} x &= x_0 + W\\ y &= y_0 + x_0 \,W + \frac{1}{2}\,(W^2-t).\\ \end{array} \right.$

Действительно, рассматривая $\textstyle y=F(t,W)$ , как функцию времени и $\textstyle W$ , мы можем воспользоваться леммой Ито. При этом $\textstyle dW=\delta W$ , поэтому снос равен нулю $\textstyle a=0$ , а волатильность — единице $\textstyle b=1$ :

$dy = \left( \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{1}{2}\, \frac{\partial^2 y}{\partial W^2}\right)\,dt + \frac{\partial y}{\partial W}\, \delta W = (x_0+W)\,\delta W = x\, \delta W,$

что совпадает со вторым уравнением системы (2.45). В качестве упражнения ( $\textstyle \lessdot$ H) предлагается решить (2.45) при помощи итераций и проверить ( $\textstyle \lessdot$ H) выполнимость (2.44).

Таким образом, необходимо помнить, что дифференциалы типа $\textstyle dx$ не являются обычными "малыми" приращения функции $\textstyle x(t)$ . Это случайные величины. Нельзя под дифференциал "как обычно" "затаскивать" функции: $\textstyle 2xdx\neq d(x^2)$ . Следует также помнить, что

дифференциальные стохастические уравнения — это лишь символическая запись непрерывного предела итерационной схемы.

Ни когда не будет лишним проверить полученный результат при помощи численного моделирования на компьютере. То, что при этом сложно сделать предельный переход $\textstyle \Delta t\to 0$ , не должно останавливать. В конечном счёте, большинство реальных случайных процессов в Природе на определённом временном масштабе являются дискретными!

Автокорреляция и спектр <<	Оглавление	>> Динамическое уравнение для средних

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Порождающий процесс Винера

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты