Площадь под траекторией Винера

Материал из Synset

Уравнение для x <<	Оглавление	>> Интегралы Ито

$\textstyle \bullet$ Для данной реализации $\textstyle n$ независимых случайных величин $\textstyle \varepsilon_1,...,\varepsilon_n$ , имеющих нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией: $\textstyle \varepsilon_i\sim N(0,1)$ , мы получаем конкретную выборочную траекторию винеровского процесса со значениями, заданными по оси времени с шагом $\textstyle \Delta t= t/n$ :

$W_n=W(t_n)=(\varepsilon_1+...+\varepsilon_n)\,\sqrt{\Delta t} =\varepsilon\,\sqrt{n\Delta t} = \varepsilon\,\sqrt{t}.$

(5.1)

Предел $\textstyle n\to\infty$ соответствует непрерывному стохастическому процессу.

Если использовать $\textstyle \varepsilon_1,...,\varepsilon_n$ при итерационном решении некоторого стохастического уравнения:

$x_{k+1} = a(x_{k}, t_k)\Delta t + b(x_k, t_{k})\,\varepsilon_k\,\sqrt{\Delta t},$

получится выборочный процесс, однозначно связанный с траекторией $\textstyle W_t$ . В этом смысле выборочные решения всех уравнений с общим шумом $\textstyle \delta W=\varepsilon\sqrt{dt}$ являются деформацией единственной траектории $\textstyle W_t$ .

$\textstyle \bullet$ Несмотря на изломанный вид функции $\textstyle W_t=W(t)$ , можно вычислить площадь под ней, проинтегрировав от нуля до $\textstyle t$ :

Интеграл, как и в обычном анализе, определим при помощи интегральной суммы:

$S_t= \sum^n_{k=1} W_{k-1}\Delta t= \left[\varepsilon_1 + (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)+...+(\varepsilon_1 +...+ \varepsilon_{n-1})\right](\Delta t)^{3/2},$

(5.3)

где интервал $\textstyle [0..t]$ разбит на $\textstyle n$ отрезков длительностью $\textstyle \Delta t$ . Значение процесса Винера в конце $\textstyle k$ - того отрезка равно накопленной сумме $\textstyle k$ случайных независимых гауссовых изменений на каждом отрезке.

Для других реализаций $\textstyle \varepsilon_1,...,\varepsilon_n$ мы получим другое значение, поэтому $\textstyle S_t$ и аналогичные интегралы являются случайными процессами.

Процесс $\textstyle S_t$ в момент времени $\textstyle t$ не может быть выражен через $\textstyle W_t$ , так как зависит не только от значения $\textstyle W_t=W(t)$ , но и от формы траектории во все моменты времени. Тем не менее, для $\textstyle S_t$ можно получить простое представление через скалярные случайные величины.

$\textstyle \bullet$ Перегруппируем интегральную сумму (5.3) следующим образом:

$\bigl[ (n-1)\cdot\varepsilon_1 +...+ 1\cdot\varepsilon_{n-1}\bigr]\, (\Delta t)^{3/2} = \eta_1 \sqrt{1^2+2^2+...+(n-1)^2}\, (\Delta t)^{3/2}.$

Сумма гауссовых чисел статистически эквивалентна одному, которое мы обозначили через $\textstyle \eta_1\sim N(0,1)$ . В результате появляется соответствующий множитель. Сумма ряда $\textstyle 1^2+...+(n-1)^2$ равна $\textstyle (n-1)n(2n-1)/6$ . Устремляя $\textstyle n\to\infty$ , $\textstyle \Delta t\to 0$ , так что $\textstyle n\Delta t = t$ , получаем:

$S_t=\int\limits^t_0 W_\tau \, d\tau = \eta_1 \, \frac{t^{3/2}}{\sqrt{3}}.$

Таким образом, $\textstyle S_t$ — это гауссовый случайный процесс с волатильностью, увеличивающейся со временем как $\textstyle t^{3/2}$ , т.е. $\textstyle S_t\sim N(0, t^3/3)$ . Однако это ещё не всё. Величина $\textstyle \eta_1$ не является независимой от винеровского блуждания $\textstyle W_t$ . Действительно, $\textstyle W_t$ равен сумме гауссовых чисел $\textstyle \varepsilon_k$ , которые мы использовали для вычисления интеграла $\textstyle S_t$ :

$\begin{array}{ll} \displaystyle W_t \;=\; \bigl[\varepsilon_1+\varepsilon_2+...+\varepsilon_{n-1}+\varepsilon_n\bigr]\,(\Delta t)^{1/2} &=\; \eta_2 \,\sqrt{t}\\ \displaystyle S_t \;\;=\; \bigl[ (n-1)\,\varepsilon_1 + (n-2)\,\varepsilon_2 + ... + 1\, \varepsilon_{n-1}\bigr]\, (\Delta t)^{3/2} &=\; \displaystyle\eta_1 \, \frac{t^{3/2}}{\sqrt{3}}. \end{array}$

Первая строка — это запись винеровского процесса в момент времени $\textstyle t$ через накопленную сумму изменений $\textstyle \eta_2$ на каждом интервале. Вторая — это интегральная сумма, полученная выше. В обоих случаях $\textstyle \eta_1$ и $\textstyle \eta_2$ — это гауссовы числа $\textstyle N(0,1)$ . Однако, они скоррелированы друг с другом:

$\left\langle W_t\,S_t\right\rangle = \left\langle \eta_1\eta_2\right\rangle \,\frac{t^2}{\sqrt{3}} = (1+2+...+n-1) (\Delta t)^2 = \frac{(n-1)n}{2}\,(\Delta t)^2 \to \frac{t^2}{2}.$

Две скоррелированные гауссовы переменные $\textstyle \left\langle \eta_1\eta_2\right\rangle =\sqrt{3}/2$ можно представить в виде линейной комбинации (см. стр. \pageref{n_dim_gauss_n2}) независимых гауссовых чисел $\textstyle \varepsilon$ , $\textstyle \eta$ :

$\eta_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\varepsilon + \frac{1}{2}\,\eta,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\eta_2 = \varepsilon.$

Поэтому окончательно получаем:

$W_t = \varepsilon\, \sqrt{t},\;\;\;\;\;\;\;\;S_t = (\sqrt{3}\,\varepsilon + \eta)\,\frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}} = \frac{W_t}{2}\,t + \eta \, \frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}}.$

(5.4)

Подобное представление позволяет легко вычислять различные средние, относящиеся к одному моменту времени, например $\textstyle \left\langle W^2_t\,S^2_t\right\rangle =5\,t^4/6$ .

$\textstyle \bullet$ Полученное соотношение для $\textstyle S_t$ имеет простую геометрическую интерпретацию. Пусть площадь вычисляется от $\textstyle t_0$ до $\textstyle t$ , и в этих точках $\textstyle W_0=W(t_0)$ и $\textstyle W_t=W(t)$ . Тогда в формуле (5.4) необходимо заменить $\textstyle W_t$ на $\textstyle W_t-W_0$ и добавить нижний прямоугольник площадью $\textstyle W_0\cdot(t-t_0)$ :

Площадь трапеции между $\textstyle W_0$ и $\textstyle W_t$ равна $\textstyle (W_0+W_t)(t-t_0)/2$ . Второе слагаемое, пропорциональное гауссовой величине $\textstyle \eta$ , представляет собой площадь отклонения истинной траектории от прямой, проходящей через $\textstyle W_0$ и $\textstyle W_t$ .

Эту же формулу можно интерпретировать, как линейную модель предсказания площади по значению начальной и конечной точки траектории $\textstyle S=f(W_0, W_t)$ . Ошибка подобной модели пропорциональна $\textstyle \eta$ , и её дисперсия увеличивается со временем как $\textstyle (t-t_0)^3$ .

$\textstyle \bullet$ Если известно $\textstyle n+1$ значений процесса $\textstyle W_0,W_1,...,W_n$ , идущих с шагом $\textstyle \Delta t$ на интервале $\textstyle t-t_0=n\cdot \Delta t$ , то сумма площадей $\textstyle n$ трапеций и отклонений от них даст суммарную площадь:

$S_n = \left(\frac{W_0}{2}+W_1+...+W_{n-1}+\frac{W_n}{2}\right)\,\Delta t+\eta \sqrt{t-t_0}\, \frac{\Delta t}{2\sqrt{3}},$

где учтено, что $\textstyle (\eta_1+...+\eta_n)\sqrt{\Delta t}=\eta \sqrt{n\Delta t}=\eta\sqrt{t-t_0}$ . При $\textstyle \Delta t\to 0$ дисперсия поправки стремится к нулю.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь два отрезка времени $\textstyle [0...t]$ и $\textstyle [t...t+\tau]$ . Площадь в момент времени $\textstyle t+\tau$ равна площади в момент $\textstyle t$ плюс площадь на участке длительностью $\textstyle \tau$ :

$S_{t+\tau} = S_t + \frac{W_t+W_{t+\tau}}{2}\,\tau + \eta \, \frac{\tau^{3/2}}{2\sqrt{3}}.$

Винеровский процесс в момент времени $\textstyle t+\tau$ можно разбить на сумму двух независимых процессов $\textstyle W_{t+\tau}=W_t+\tilde{W}_\tau=\varepsilon\sqrt{t}+\tilde{\varepsilon}\sqrt{\tau}$ , где $\textstyle \varepsilon$ и $\textstyle \tilde{\varepsilon}$ пропорциональны независимым накопленным изменениям на каждом отрезке времени (см. стр. \pageref{sect_autocor_fun}). Поэтому:

$S_{t+\tau}=S_t + W_t\cdot\tau + \tilde{S}_\tau,$

(5.5)

где площадь $\textstyle \tilde{S}_\tau$ вычисляется под независимым от $\textstyle W_t$ процессом $\textstyle \tilde{W}_\tau$ от нуля до $\textstyle \tau$ и имеет нулевую корреляцию с $\textstyle S_t$ . В качестве упражнения ( $\textstyle \lessdot$ H) стоит вывести это же соотношение непосредственно из (5.3).

$\textstyle \bullet$ Площадь под винеровской траекторией является интегральной величиной, поэтому можно ожидать, что $\textstyle S_t$ — более гладкий процесс, чем $\textstyle W_t$ . Проверим это, вычислив автокорреляцию. Процессы $\textstyle W_t$ и $\textstyle S_t$ имеют нулевое среднее, поэтому их дисперсии равны средним квадратов:

$\left\langle W^2_t\right\rangle =\left\langle \varepsilon^2\right\rangle \, t = t,\;\;\;\;\;\;\;\left\langle S^2_t\right\rangle =\left\langle \eta^2\right\rangle \,\frac{t^{3}}{3}=\frac{t^{3}}{3}.$

Воспользуемся записью (5.5) площади $\textstyle S_t$ в два различных момента времени $\textstyle t$ и $\textstyle t+\tau$ . Так как $\textstyle \tilde{S}_\tau$ независима от $\textstyle S_t$ и $\textstyle W_t$ , автоковариация легко вычисляется:

$\left\langle S_{t}\,S_{t+\tau}\right\rangle =\left\langle S^2_{t}\right\rangle + \left\langle S_{t}\,W_t\right\rangle \,\tau = \frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}\,\tau,$

где учтено, что $\textstyle \left\langle W_t\,S_t\right\rangle =t^2/2$ . Разделив ковариацию на волатильности $\textstyle S_t$ и $\textstyle S_{t+\tau}$ , получим автокорреляционный коэффициент для $\textstyle S$ :

$\rho(S_t, S_{t+\tau})=\frac{\left\langle S_{t}\,S_{t+\tau}\right\rangle }{\sqrt{\left\langle S^2_{t}\right\rangle \left\langle S^2_{t+\tau}\right\rangle }}=\frac{1+ 3T/2}{(1+T)^{3/2}}\approx 1-\frac{3}{8}\,T^2 + ...,$

где $\textstyle T=\tau/t$ . Аналогично проводятся вычисления для $\textstyle W$ :

$\rho(W_t, W_{t+\tau})=\frac{\left\langle W_{t}\,W_{t+\tau}\right\rangle }{\sqrt{\left\langle W^2_{t}\right\rangle \left\langle W^2_{t+\tau}\right\rangle }}=\frac{1}{\sqrt{1+T}} \approx 1-T+...$

Корреляция для $\textstyle W_t$ быстрее уменьшается с ростом $\textstyle T$ по сравнению с корреляцией для $\textstyle S_t$ . Графически это представлено ниже на левом графике:

Справа приведены выборочные траектории для $\textstyle W_t$ и $\textstyle S_t$ . Видно, что $\textstyle S_t$ — существенно более гладкий процесс.

В первой главе мы уже обсуждали, что свойства процесса в данный момент времени характеризуют его не полностью. В частности, степень изломанности или гладкости определяется автокорреляционной функцией. Чем быстрее процесс забывает свою историю, тем сильнее он изломан и тем быстрее убывает автокорреляция.

$\textstyle \bullet$ В качестве упражнения предлагается проверить справедливость для произвольной детерминированной функции $\textstyle f(t)$ и гауссового числа $\textstyle \eta\sim N(0,1)$ следующих соотношений:

$\int\limits^t_0 f(s) W_s\,ds = \sigma(t)\,\eta,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma^2(t) = \int\limits^t_0 \Bigl[\int\limits^t_s f(\tau)\,d\tau\Bigr]^2 \, ds.$

(5.6)

Если процесс Винера $\textstyle W_t=\varepsilon \sqrt{t}$ , то коэффициент корреляции равен:

$\rho \;=\; \left\langle \varepsilon\,\eta\right\rangle \;=\; \frac{1}{\sigma(t)\,\sqrt{t}}\cdot\int\limits^t_0 \Bigl[\int\limits^t_s f(\tau)\,d\tau\Bigr] \, ds.$

Например, для степенной функции $\textstyle f(t)=t^n$ :

$\int\limits^t_0 s^n\, W_s\,ds = \frac{\sqrt{2}\,t^{n+3/2}}{\sqrt{6+7n+2n^2}}\cdot\eta,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\rho=\frac{\sqrt{6+7n + 2 n^2}}{\sqrt{2}(2+n)}.$

В общем случае корреляционные коэффициенты зависят от времени $\textstyle t$ . При вычислении средних от произведения произвольных моментов удобнее выразить $\textstyle \eta$ через $\textstyle \varepsilon$ и независимую от неё случайную величину $\textstyle \varepsilon_1$ :

$\eta=\rho\,\varepsilon+\sqrt{1-\rho^2}\,\varepsilon_1.$

Теперь вычисление средних типа $\textstyle \left\langle \varepsilon^2\eta^2\right\rangle$ не составит труда.

$\textstyle \bullet$ Естественно, интеграл по времени можно вычислять не только от винеровского процесса, но и от любой случайной функции:

$I_t = \int\limits^t_{t_0} f_\tau(W_\tau)\, d\tau$

Индекс у функции означает, что возможна не только зависимость от винеровского процесса $\textstyle W$ , но и явная зависимость от времени: $\textstyle f_t(W_t)=f(t,\,W_t)$ , как, например, в (5.6). Функция $\textstyle f$ в общем случае может быть произвольным случайным процессом.

Подобные интегралы являются случайными процессами, так как подынтегральная функция случайна, а верхний предел интеграла переменный. Обычно такие интегралы не выражаются явным образом через процесс Винера. Более того, только в линейном по $\textstyle W_t$ случае интеграл оказывается нормально распределённым. В более общем случае это не так.

$\textstyle \bullet$ Использование скалярных случайных чисел позволяет записывать достаточно общие формулы для средних значений стохастических интегралов. Рассмотрим, например, усреднение произведения функции $\textstyle g_t(W_t)$ и интеграла по времени от $\textstyle f_t(W_t)$ . Запишем в символическом виде интегральную сумму:

где мы для краткости опустили $\textstyle \sqrt{\Delta t}$ внутри функций. Возьмём $\textstyle k$ -тое слагаемое в квадратных скобках. Чтобы усреднить его с функцией $\textstyle g$ , необходимо сгруппировать в ней $\textstyle k$ первых гауссовых чисел в одно, а оставшиеся $\textstyle n-k$ — во второе:

$g_t(\varepsilon_1+...+\varepsilon_k+\varepsilon_{k+1}+...+\varepsilon_n)f_k(\varepsilon_1+...+\varepsilon_k) =g_t(\varepsilon_a\sqrt{k}+\varepsilon_a\sqrt{n-k})f_k(\varepsilon_a\sqrt{k}).$

Так так $\textstyle \varepsilon_a$ и $\textstyle \varepsilon_b$ — два независимых гауссовых числа, то среднее вычислить не представляет труда. Переходя к непрерывному пределу, получаем:

Например:

Аналогично выводится среднее для квадрата интеграла:

и его обобщение для момента $\textstyle k-$ того порядка ( $\textstyle t_{k+1}=t$ ):

Другие полезные соотношения можно найти в приложении "Стохастический справочник". Их имеет смысл доказать в качестве упражнения.

Уравнение для x <<	Оглавление	>> Интегралы Ито

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Площадь под траекторией Винера

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты