Пластичность волатильности:Когда автокорреляции не затухают

Материал из Synset

Эмпирические особенности автокорреляций <<	Оглавление	>> Нестационарная статистика

Когда автокорреляции не затухают

Медленное снижение значений автокорреляционного коэффициента с увеличением параметра сдвига, на самом деле, должно настораживать. Существуют очень простые модели, не связанные со стохастичностью волатильности, в которых возникает подобный эффект.

Рассмотрим, например, обычное логарифмическое блуждание:

$\frac{dx}{x} = \mu\;dt+\sigma\;\delta W.$

(6)

Смоделируем "двадцатилетнюю" (5000=20 $\textstyle \cdot$ 250 торговых дней) эволюцию цены, при которой в первые 10 лет волатильность была постоянной и равной $\textstyle \sigma_1=1\%$ , а во второе десятилетие она скачком повысилась до $\textstyle \sigma_2=2\%$ . При этом винеровская переменная представляется в виде $\textstyle \delta W=\varepsilon\sqrt{dt}$ , где $\textstyle \varepsilon$ - нормально распределённое случайное число с нулевым средним и единичной дисперсией. В качестве малого интервала времени $\textstyle dt$ выбрана одна секунда $\textstyle dt=1/(24\cdot 60\cdot 60)$ , см. приложение С.

Динамика ежедневных значений модифицированной амплитуды размаха $\textstyle v_t=a_t-|r_t|/2$ на "переломных" 10-м и 11-ом годах имела вид (время в "днях"):

Подобный ряд с нестационарностью в виде ступеньки обладает заметными автокорреляционными коэффициентами для модуля доходности (второй рисунок) и ещё большими - для амплитуды размаха (третий рисунок):

Характерно, что они очень медленно убывают с ростом параметра сдвига $\textstyle s$ . В противоположность $\textstyle |r_t|$ и $\textstyle v_t$ , корреляции доходностей цены $\textstyle r_t$ (первый рисунок ниже), в пределах двух стандартных ошибок, равны нулю.

Таким образом, несмотря на статистическую независимость двух соседних дней, возникают корреляционные закономерности. Обратим внимание, что независимыми являются не только доходности $\textstyle r$ , но и их модули $\textstyle |r|$ , или амплитуды размаха $\textstyle v$ . Если бы волатильность была постоянной двадцать лет, то все коррелограммы $\textstyle \rho_s(|r|)$ и $\textstyle \rho_s(v)$ были бы равны нулю. При появлении нестационарности ситуация изменяется.

Причину подобного эффекта несложно понять. Ниже на трёх точечных диаграммах представлены значения логарифмических доходностей, их модулей и модифицированных амплитуд двух соседних дней в течение первого десятилетия эволюции с постоянной волатильностью $\textstyle \sigma=1\%$ .

В первом случае точки образуют практически симметричное облако, и, естественно, корреляция равна нулю. Во втором и третьем - полной симметрии нет, так как этим свойством не обладают плотности вероятности $\textstyle P(|r|)$ и $\textstyle P(v)$ . Однако, в силу независимости последовательных дней, корреляционный коэффициент равен нулю. Если, например, $\textstyle x=v_t$ , а $\textstyle y=v_{t-1}$ , то независимость означает, что совместная плотность вероятности равна произведению плотностей вероятности каждой величины $\textstyle P(x,y)=P(x)\cdot P(y)$ . Поэтому при любом распределении ковариация будет равна нулю: $\textstyle \overline{(x-\bar{x})(y-\bar{y})}=0$ .

Важным является тот факт, что для доходностей $\textstyle r_t$ центр облака расположен в начале координат, тогда как для положительно определённых величин $\textstyle |r_t|$ и $\textstyle v_t$ он сдвинут вправо и вверх в область положительных значений.

Добавим теперь на диаграммы точки второго десятилетия:

Для логарифмических доходностей (первая диаграмма) происходит наложение двух облаков с одинаковым центром $\textstyle \bar{r}=0$ . Результирующее облако остаётся симметричным, поэтому автокорреляция по-прежнему равна нулю. В случае амплитуд размаха (третья диаграмма) возникают два несовпадающих облака, одно их которых соответствует $\textstyle \sigma_1=1\%$ , а второе $\textstyle \sigma_2=2\%$ (напомним, что $\textstyle \bar{v}=1.197\sigma$ ). Перемычка между облаками размывается, и в результате получается фигура с характерной формой веника (верхнее облако имеет больший размер). Через неё можно, методом наименьших квадратов, провести прямую, наклон которой и будет пропорционален корреляционному коэффициенту.

Диаграмма не изменится, если мы возьмём сдвиг в два дня $\textstyle \{v_{t}, v_{t-2}\}$ , так как, за исключением переходных точек в момент скачка волатильности, значения каждого десятилетия будут кластеризоваться в своём облаке.

Несколько сложнее ситуация обстоит со второй точечной диаграммой для модулей доходности $\textstyle \{|r_{t-1}|, |r_t|\}$ . Визуально она не отличается от аналогичной для первого десятилетия. Корреляция, тем не менее, возникает. Чтобы понять её происхождение, необходимо расширить стандартные статистические соотношения на случай нестационарных данных.

Примчания

Эмпирические особенности автокорреляций <<	Оглавление	>> Нестационарная статистика

Пластичность волатильности:Когда автокорреляции не затухают

Материал из Synset

Когда автокорреляции не затухают

Примчания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты