Пластичность волатильности:Квазистационарность волатильности

Материал из Synset

Назад к нормальному распределению <<	Оглавление	>> Заключение

Нулевые автокорреляционные коэффициенты между последовательными значениями волатильности, вообще говоря, не исключают возможности её стохастического описания. В частности, мы можем записать следующую простейшую дискретную модель:

$r_t = \sigma_t \cdot \nu_t,\;\;\;\;\;\;\;\sigma_t = \sigma\cdot(1+\beta\cdot\mu_t),$

(26)

где $\textstyle \nu_i$ и $\textstyle \mu_i$ - независимые случайные числа, а $\textstyle \sigma$ , $\textstyle \beta$ - константы. Однако в таком виде интерпретация волатильности $\textstyle \sigma_t$ как случайной величины достаточно бессмысленна. Фактически, мы возвращаемся к обычной стационарной модели $\textstyle r_t=\sigma \varepsilon_t$ , где $\textstyle \varepsilon_t=\nu_t + \beta \cdot \mu_t\nu_t$ . В частности, если $\textstyle \nu_i$ и $\textstyle \mu_i$ имеют нормальное распределение, то распределение для $\textstyle \varepsilon_i$ будет уже не нормальным c эксцессом, равным $\textstyle 6\beta^2(2+\beta^2)/(1+\beta^2)^2$ . Тем не менее, вопрос о локальном постоянстве "истинной" волатильности остаётся открытым.

Проведём некоторые статистические оценки. Рассмотрим сперва модифицированную амплитуду вероятности. Разброс её значений при постоянной волатильности $\textstyle \sigma$ происходит по причине конечной ширины плотности распределения $\textstyle P(v)$ . Её аналитический вид можно получить из уравнения (31) приложения A в виде следующего ряда:

$P(v)=(32 v^4-9)\mathbf{N}(2v) +\sum^\infty_{k=2}\left\{ \frac{4(2k-1)^2}{k^2(k-1)^2}\mathbf{N}_1 -\frac{8k^2\bigl(1+k^2-4(k^4-k^2)v^2\bigr)}{(k^2-1)^2}\mathbf{N}_2\right\},$

(27)

где $\textstyle \mathbf{N}_1=\mathbf{N}(2(2k-1)v)$ , $\textstyle \mathbf{N}_2=\mathbf{N}(2kv)$ - нормированные гауссовы функции (см. приложение A). Ниже приведены интегральные вероятности попадания величины $\textstyle \sigma=v\sqrt{2\pi}/3$ в интервал $\textstyle [0..\sigma_0]$ (первая строка - $\textstyle \sigma_0$ , вторая - вероятность в процентах):

В интервал $\textstyle [0\;..\; 1.5]$ модифицированная амплитуда размаха $\textstyle v\sqrt{2\pi}/3$ должна попадать около 96.4\% дней. Ниже 0.5 она может опускаться крайне редко.

Если мы устраним (25) при помощи сглаживания ( $\textstyle \nu=4$ ) нестационарность в ежедневных модифицированных амплитудах размаха $\textstyle v$ для EURUSD за 2007-2008 год, получится следующая динамика:

Пунктирные линии в случае броуновского блуждания соответствуют вероятности 96\% попадания в интервал $\textstyle 0.5 < v\sqrt{2\pi}/3 < 1.5$ . Видно, что за исключением достаточно редких выбросов большинство ежедневных волатильностей, оцененных по модифицированной амплитуде вероятности, попадают в пунктирный коридор. Выбросов из него несколько больше, чем 4\% (в году около 250 торговых дней, 250*4\%=10). Незначительное превышение можно интерпретировать, как редкие шоковые воздействия на рынок, не связанные с "типичной" для него динамикой, особенно в кризисный 2008-й год.

Как мы уже обсуждали выше, "ежедневную" волатильность можно получить, не только при помощи модифицированных амплитуд размаха, но и вычисляя её значения на основе внутридневных лагов для, например, пятнадцати - минутных точек. Ниже приведена динамика волатильности, после устранения нестационарности, полученная таким способом за период 2007-2008 для курса EURUSD:

В данном случае разброс значений связан с конечностью выборки, по которой вычисляется волатильность ( $\textstyle n=96=4\cdot 24$ ). Чтобы провести уровни значимости, необходимо знание соответствующего распределения вероятности. Как известно, ошибка вычисления стационарной волатильности определяется моментами четвёртого порядка и, в случае большого эксцесса, она будет достаточно велика.

Внутридневные 15-минутные данные обладают заметным эксцессом. При формальном его вычислении для EURUSD 2004-2008 получается значение порядка 20. Такой высокий эксцесс обусловлен долгосрочной нестационарностью, существенными циклическими эффектами активности внутри дня, а также рядом других специфических причин, на которых мы сейчас останавливаться не будем.

Для получения оценки уровней значимости проведём следующий простой эксперимент с данными. Вычислим логарифмические доходности на основе 15 - минутных лагов курса EURUSD. Затем, для сохранения внутридневной периодичности, перемешаем доходности с одинаковыми значениями времени суток. Другим словами, случайным образом переставляем все лаги в 00:00, отдельно от них перемешиваем лаги в 00:15, и т.д. По этим синтетическим данным, потерявшим любую память, кроме внутридневных циклов, вычислим значения внутридневной волатильности. Отнормируем их таким образом, чтобы среднее было равно единице, и построим соответствующее распределение вероятности. Оказывается, что в коридор $\textstyle 1\pm 0.4$ попадет около 96\% данных. Именно эти уровни, характеризующие "типичный" разброс волатильности за счёт конечности данных, проведены на рисунке выше пунктирными линиями. Данные достаточно хорошо укладываются в этот коридор.

Подчеркнем, что проделанные выше вычисления являются скорее оценкой, чем строгим статистическим анализом, который, возможно, и неуместен без построения полной модели нестационарности данных на различных временных масштабах. Однако выглядит достаточно правдоподобным предположение о локальном постоянстве волатильности для доходности дневных лагов. Другими словами, дневная волатильность рынка, по всей видимости, является гладкой, достаточно медленно изменяющейся функцией времени. В данный момент её значение можно считать постоянным и определяющем стохастическую динамику доходности цен финансового инструмента.

Назад к нормальному распределению <<	Оглавление	>> Заключение

Пластичность волатильности:Квазистационарность волатильности

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты