Нормальное распределение

Материал из Synset

Случайные величины <<	Оглавление	>> Совместная вероятность

$\textstyle \bullet$ Очень часто встречается плотность вероятности Гаусса, или нормальное распределение.

Соответствующую случайную величину на протяжении этих лекций мы будем обозначать как $\textstyle \varepsilon$ . Мы не будем различать обозначения для случайной величины $\textstyle \varepsilon$ и переменной в её плотности вероятности, которая для нормального распределения имеет вид.

${ \;\;P(\varepsilon) = \frac{e^{-\frac{1}{2}\,\varepsilon^2}}{\sqrt{2\pi}} }$

Среднее значение $\textstyle \varepsilon$ равно нулю $\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0$ , а её квадрата — единице $\textstyle \left\langle \varepsilon^2\right\rangle =1$ . Следовательно, дисперсия также равна единице $\textstyle \sigma^2_\varepsilon=1$ . Далее это будет обозначаться следующим образом: $\textstyle \varepsilon \sim N(0,1)$ . Если перейти к случайной величине $\textstyle x=\mu+\sigma\cdot \varepsilon$ , то она будет иметь среднее $\textstyle \mu$ и волатильность $\textstyle \sigma$ , поэтому $\textstyle x\sim N(\mu,\sigma^2)$ .

Для гауссовых величин полезно знание производящей функции, равной среднему значению от экспоненты:

$\left\langle e^{\alpha\cdot\varepsilon}\right\rangle \;=\; \int\limits^{\infty}_{-\infty} e^{\alpha\cdot\varepsilon}\,P(\varepsilon)\,d\varepsilon \;=\; e^{\alpha^2/2}.$

Разложение в ряд по параметру $\textstyle \alpha$ левой и правой части позволяет легко находить средние произвольных степеней $\textstyle \left\langle \varepsilon^n\right\rangle$ .

В частности: $\textstyle \left\langle \varepsilon^4\right\rangle$ равно 3, и, следовательно, $\textstyle excess=0$ . Вычитание из безразмерного момента четвёртого порядка тройки в определении эксцесса связано с желанием рассматривать в качестве "эталона" нормальное распределение. Если эксцесс больше нуля, то, скорее всего, распределение имеет "толстые хвосты", т.е. лежит выше графика нормального распределения (при $\textstyle x\to\pm\infty$ ). Если эксцесс отрицательный — наоборот, ниже.

Интегральным распределением:

$\displaystyle F(x) = \int\limits^x_{-\infty} \frac{e^{-\varepsilon^2/2}}{\sqrt{2\pi}} \;d\varepsilon$

мы называем вероятность того, что случайная величина не превышает некоторого значения $\textstyle x$ .

$\textstyle \bullet$ Если известна плотность вероятности $\textstyle P(x)$ величины $\textstyle x$ , то мы можем найти плотность вероятности для другой случайной величины $\textstyle y$ , связанной с $\textstyle x$ некоторой функциональной зависимостью $\textstyle y=f(x)$ . Для этого вычисляется среднее от произвольной функции $\textstyle F(y)$ . Это можно сделать, проведя усреднение с известной плотностью вероятности $\textstyle P(x)$ :

$\left\langle F(y)\right\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} F\bigl(y\bigr)\cdot \tilde P(y) \,dy = \int\limits^\infty_{-\infty} F\bigl(f(x)\bigr)\cdot P(x) \,dx.$

Так как $\textstyle \tilde{P}(y)$ нам неизвестна, мы интегрируем с $\textstyle P(x)$ и подставляем $\textstyle y=f(x)$ в $\textstyle F(...)$ . При помощи обратной замены можно преобразовать второй интеграл в первый. Множитель при $\textstyle F(y)$ в подынтегральной функции окажется искомой плотностью вероятности $\textstyle \tilde{P}(y)$ для $\textstyle y$ .

Рассмотрим в качестве примера случайную величину $\textstyle r=\mu + \sigma\, \varepsilon$ , имеющую нормальное распределение со средним значением $\textstyle \mu$ и волатильностью $\textstyle \sigma$ . Найдём распределение для $\textstyle x=x_0\,e^r$ , где $\textstyle x_0$ — константа.

$\left\langle F(x)\right\rangle = \int\limits^{\infty}_{-\infty} F\bigl(x_0e^{\mu+\sigma\,\varepsilon}\bigr)\; e^{-\varepsilon^2/2}\frac{d\varepsilon}{\sqrt{2\pi}} = \int\limits^{\infty}_{0} F(x) \;e^{-[\ln(x/x_0)-\mu]^2/2\sigma^2}\frac{dx}{x\sigma\sqrt{2\pi}}.$

Первый интеграл — вычисление среднего при помощи нормального распределения. В нём проводится замена $\textstyle x=x_0\,e^{\mu+\sigma\varepsilon}$ , $\textstyle dx=\sigma x d\varepsilon$ . В результате при $\textstyle x\geqslant 0$ :

$P_L(x) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{(\ln(x/x_0) - \mu)^2}{2\sigma^2}\right].$

Вероятность $\textstyle P_L(x)$ называется логнормальным распределением. В качестве упражнения предлагается вычислить среднее $\textstyle \left\langle x\right\rangle$ при помощи $\textstyle P_L(x)$ или гауссовой плотности $\textstyle P(\varepsilon)$ .

$\textstyle \bullet$ Важно понимать, что используя случайные величины в соотношениях типа $\textstyle x=\mu+\sigma\varepsilon$ , мы не выполняем арифметических операций с конкретными числами, а сообщаем о потенциальном вычислении: "если $\textstyle \varepsilon$ окажется равным некоторому значению, то $\textstyle x$ ....". Иногда делают различие в обозначениях, записывая случайную величину при помощи большой буквы $\textstyle X$ , а при вычислении среднего — строчной буквой $\textstyle x$ , как переменную интегрирования. Мы не будем этого делать, тем не менее, необходимо помнить об этом довольно тонком различии. ---

Случайные величины <<	Оглавление	>> Совместная вероятность

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Нормальное распределение

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты