Некоторые точные решения

Материал из Synset

Многомерие помогает одномерию <<	Оглавление	>> Как решать стохастические задачи?

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим нестационарное многомерное стохастическое уравнение:

$dx_i = f_i(t)\,dt + s_{i\alpha}(t) \,\delta W_\alpha.$

(6.34)

При его решении итерациями получатся ряды следующего вида:

$x_i(t)=x_i(t_0) + \Bigl[f_i(t_0)+f_i(t_1)+...\Bigr]\Delta t + \Bigl[s_{i\alpha}(t_0)\varepsilon_\alpha(t_0)+s_{i\alpha}(t_1)\varepsilon_\alpha(t_1)+...\Bigr]\sqrt{\Delta t}.$

Последний член является суммой независимых гауссовых случайных чисел. Поэтому решение (6.34) можно записать следующим образом:

$x_i(t) = \bar{x}_i(t) \;+\; S_{i\alpha}(t)\, \varepsilon_\alpha,$

(6.35)

где по $\textstyle \alpha$ по-прежнему производится суммирование, и

$\bar{x}_i(t) =x_i(t_0)+\int\limits^t_{t_0} f_i(\tau)\,d\tau,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; D_{ij}=S_{i\alpha}S_{j\alpha} = \int\limits^t_{t_0} s_{i\alpha}(\tau)s_{j\alpha}(\tau)\,d\tau.$

Явный вид матричной функции $\textstyle S_{i\alpha}(t)$ обычно не требуется. Нестационарное гауссово блуждание полностью определяется вектором средних значений $\textstyle \bar{x}_i(t)$ и симметричной матрицей дисперсий:

$\mathbf{D} = D_{ij} =\left\langle (x_i-\bar{x}_i)(x_j-\bar{x}_j)\right\rangle = \int\limits^t_{t_0} s_{i\alpha}(\tau)s_{j\alpha}(\tau)\,d\tau = \int\limits^t_{t_0} \mathbf{s}(\tau)\cdot \mathbf{s}^{T}(\tau)\,d\tau.$

Через них выражается производящая функция для средних (действительный аналог характеристической функции):

$\phi(\mathbf{p})=\left\langle e^{\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\right\rangle = e^{\mathbf{p}\cdot \bar\mathbf{x}}\,\left\langle e^{\mathbf{p}\cdot \mathbf{S}\cdot \mathbf{\epsilon}}\right\rangle = e^{\mathbf{p}\cdot \bar\mathbf{x} + \frac{1}{2} \,\mathbf{p} \cdot \mathbf{D} \cdot \mathbf{p}}.$

Усреднение проводится покомпонентно для каждого гауссового числа $\textstyle \mathbf{\epsilon}=\{\varepsilon_1,...,\varepsilon_n\}$ при помощи формулы (1.11).

Моменты произвольного порядка находятся взятием частных производных от $\textstyle \phi(\mathbf{p})$ . Например, для:

$e_{ijkl}=\left\langle (x_i-\bar{x}_i)(x_j-\bar{x}_j)(x_k-\bar{x}_k)(x_l-\bar{x}_l)\right\rangle =\left.\frac{\partial\phi(\mathbf{p})}{\partial p_i\partial p_j\partial p_k\partial p_l}\right|_{\mathbf{p}=0}$

получаем:

e i j k l = D i j D k l + D i k D j l + D i l D j k .

Заметим, что это выражение автоматически симметрично по всем четырем индексам.

$\textstyle \bullet$ Изменения цен различных финансовых инструментов (например, акций) обычно скоррелированы друг с другом. Простейшей моделью является многомерное логарифмическое блуждание. В этом случае относительное изменение цены — это $\textstyle n$ -мерный винеровский процесс:

$\frac{dx_i}{x_i} = \mu_i \, dt + \sum^n_{j=1}\sigma_{ij}\,\delta W_j.$

(!) Сейчас мы используем явное обозначение для суммы, а не соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.

Дисперсия относительных изменений двух акций выражается через матрицу $\textstyle \sigma_{ij}$ . Действительно, для небольшого интервала времени $\textstyle \Delta t$ , представив $\textstyle \delta W_j=\varepsilon_j\,\sqrt{\Delta t}$ , имеем:

$\left\langle \left(\frac{\Delta x_i}{x_i}-\mu_i \Delta t\right)\left(\frac{\Delta x_j}{x_j}-\mu_j \Delta t\right)\right\rangle = \sum^n_{k,l=1}\sigma_{ik}\,\sigma_{jl}\,\left\langle \varepsilon_k\varepsilon_l\right\rangle \Delta t = \sum^n_{k=1}\sigma_{ik}\,\sigma_{jk}\Delta t.$

Для получения решения перейдём, как и в одномерном случае, к натуральному логарифму от $\textstyle x_i$ . Тогда по лемме Ито имеем:

$d \ln x_i = \left(\mu_i -\frac{1}{2}\sum^n_{j=1} \sigma^2_{ij} \right)\, dt + \sum^n_{j=1} \sigma_{ij} \delta W_j.$

Решение этого уравнения с начальным условием $\textstyle x_{0i}=x_i(0)$ , выраженное через гауссовы переменные, имеет вид:

$x_i(t) = x_{0i}\,\exp \left\{ \left(\mu_i -\frac{1}{2}\sum^n_{j=1} \sigma^2_{ij} \right)\, t + \sum^n_{j=1} \sigma_{ij}\varepsilon_{j}\,\sqrt{t} \right\}.$

Среднее значение экспоненциально изменяется со скоростью, определяемой параметром $\textstyle \mu_i$ :

$\left\langle x_i(t)\right\rangle = x_{0i}\, e^{\mu_i t}.$

Аналогично, среднее значение квадрата имеет вид:

$\left\langle x^2_i(t)\right\rangle = x^2_{0i}\, \exp\left\{2\mu_i t + \sum^n_{j=1} \sigma^2_{ij} \, t\right\}.$

Более подробно к вопросу стохастического описания финансовых рынков мы вернёмся в восьмой главе.

$\textstyle \bullet$ Как и в одномерном случае, некоторую систему стохастических уравнений можно попытаться свести к простому нестационарному случаю. Для этого подберём такую векторную функцию $\textstyle \mathbf{F} = F_k(\mathbf{x},t)$ , которая "убирает" $\textstyle \mathbf{x}$ из уравнения (по повторяющимся индексам снова предполагается суммирование):

$d{F_k} = \underbrace{\left(\frac{\partial {F_k}}{\partial t} + \frac{\partial {F_k}}{\partial x_\gamma} \,{a_\gamma} +\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F_k}{\partial x_i\partial x_j}\, b_{i\alpha} b_{j\alpha}\right)}_{f_k(t)}\, dt + \underbrace{\frac{\partial F_k}{\partial x_i}\, b_{i\alpha}}_{s_{k\alpha}(t)} \,\delta W_\alpha.$

Пусть $\textstyle b^{-1}_{i\alpha}$ — обратная к $\textstyle b_{i\alpha}$ матрица. Тогда для функций волатильности $\textstyle s_{k\alpha}(t)$ можно записать:

$\frac{\partial F_k}{\partial x_i}\, b_{i\alpha} = s_{k\alpha}(t)\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\frac{\partial F_k}{\partial x_i} = s_{k\alpha}(t) \,b^{-1}_{\alpha i}.$

(6.36)

Для нестационарного сноса $\textstyle f_k(t)$ :

$f_k(t) \;=\; \frac{\partial F_k}{\partial t} + s_{k\alpha} \,b^{-1}_{\alpha \gamma}\, a_\gamma - \frac{1}{2} \,s_{k\alpha} \,b^{-1}_{\alpha \gamma} \,\frac{\partial b_{\gamma\beta}}{\partial x_j}\,b_{j\beta},$

(6.37)

где мы подставили (6.36) и воспользовались соотношением:

$\frac{\partial \mathbf{b}^{-1}}{\partial x_j} = - \mathbf{b}^{-1} \cdot \frac{\partial \mathbf{b}}{\partial x_j} \cdot \mathbf{b}^{-1}$

которое получается дифференцированием $\textstyle \mathbf{b}^{-1}\cdot \mathbf{b} =\mathbf{1}$ по $\textstyle x_j$ .

Возьмём производную выражения (6.36) по $\textstyle t$ и производную по $\textstyle x_i$ от (6.37). Вычитая их, получаем условие совместности в следующем виде:

$\frac{\partial}{\partial t}\left[s_{k\alpha}(t) \,b^{-1}_{\alpha i}\right] + s_{k\alpha}(t) \,\frac{\partial}{\partial x_i} \left[ b^{-1}_{\alpha \gamma} \left(a_\gamma - \frac{1}{2}\,\frac{\partial b_{\gamma\beta}}{\partial x_j} \,b_{j\beta}\right) \right] = 0.$

(6.38)

Как и в одномерном случае, если при данных $\textstyle a_i(\mathbf{x}, t)$ и $\textstyle b_{ij}(\mathbf{x}, t)$ удаётся подобрать такие функции времени $\textstyle s_{k\alpha}(t)$ , что (6.38) обращается в тождество, то решение стохастического уравнения записывается в неявном виде:

$F_k(\mathbf{x}(t), t) = F_k(\mathbf{x}_0, t_0) \;+\; \int\limits^t_{t_0} f_k(\tau)\,d\tau \;+\; S_{i\alpha}(t)\;\varepsilon_\alpha,$

(6.39)

где $\textstyle \varepsilon_\alpha$ — нормированные независимые гауссовы случайные числа, а

$S_{i\alpha}(t)\,S_{j\alpha}(t) \;=\; \int\limits^t_{t_0} s_{i\alpha}(\tau)s_{j\alpha}(\tau)\,d\tau.$

Приведём пример использования этого алгоритма.

$\textstyle \bullet$ Для системы линейных уравнений с постоянной матрицей $\textstyle \mathbf{A}$ и зависящими от времени вектором $\textstyle \mathbf{c}(t)$ и матрицей $\textstyle \mathbf{B}(t)$ :

$dx_i = \;\bigl[A_{ij} x_j+c_j(t)\bigr]\;dt + B_{ij}(t)\,\delta W_j,$

условие совместности (6.38) и его решение имеют вид:

$\frac{d}{dt}(\mathbf{s}\cdot \mathbf{B}^{-1}) = -(\mathbf{s}\cdot\mathbf{B}^{-1})\cdot \mathbf{A} \;\;\;\;=>\;\;\;\;\mathbf{s}(t)= \mathbf{s}(t_0)\cdot \mathbf{B}^{-1}(t_0) \cdot e^{- \mathbf{A}\,t} \cdot\mathbf{B}(t).$

При использовании алгоритма поиска точного решения нам достаточно найти частное решение условия совместности, так как фактически мы ищем наиболее простую замену $\textstyle \mathbf{F}(\mathbf{x}, t)$ , приводящую исходное уравнение к нестационарному винеровскому процессу (6.34). Поэтому выберем начальное условие для матрицы $\textstyle \mathbf{s}$ в следующем виде $\textstyle \mathbf{s}(t_0) = \mathbf{B}(t_0)$ и, следовательно:

$\mathbf{s}(t)= e^{- \mathbf{A}\,t} \cdot\mathbf{B}(t).$

В результате функции замены $\textstyle \mathbf{F}(\mathbf{x},t)$ (6.36) и сноса $\textstyle \mathbf{f}(t)$ (6.37) равны:

$\mathbf{F}(\mathbf{x},t) = e^{- \mathbf{A}\,t} \cdot \mathbf{x},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{f}(t) = e^{- \mathbf{A}\,t} \cdot \mathbf{c}(t).$

Окончательное решение является нестационарным гауссовым процессом:

$\mathbf{x}(t)= e^{\mathbf{A}\,(t-t_0)} \mathbf{x}_0 \;+\; \int\limits^t_{t_0} e^{\mathbf{A}\cdot (t-\tau)}\cdot \mathbf{c}(\tau)\, d\tau \;+\;\mathbf{G}\cdot \mathbf{\epsilon},$

где $\textstyle \mathbf{x}_0=\mathbf{x}(t_0)$ — начальное условие. Матрица $\textstyle \mathbf{G}=e^{\mathbf{A}\,t}\cdot \mathbf{S}(t)$ удовлетворяет соотношению, определяющему матрицу дисперсии процесса:

$\mathbf{D} = \mathbf{G}\cdot\mathbf{G}^{T} =e^{\mathbf{A} t}\cdot\int\limits^t_{t_0} \mathbf{s}\mathbf{s}^{T}\,d\tau \cdot e^{\mathbf{A}^{T} t}= \int\limits^{t}_{t_0} e^{\mathbf{A}(t-\tau)} \cdot \mathbf{B}(\tau)\mathbf{B}^{T}(\tau)\cdot e^{\mathbf{A}^{T}(t-\tau)} \,d\tau.$

Если $\textstyle \mathbf{c}=0$ , а $\textstyle \mathbf{B}$ является постоянной матрицей, то эти формулы совпадают с результатами, полученными в предыдущем разделе.

В случае, когда матрица $\textstyle \mathbf{A}$ зависит от времени, вместо $\textstyle e^{\mathbf{-A} t}$ необходимо использовать матрицу $\textstyle \mathbf{\Phi}(t)$ , удовлетворяющую уравнению $\textstyle \dot \mathbf{\Phi}(t) = -\mathbf{\Phi}(t)\cdot \mathbf{A}(t)$ . Явный вид $\textstyle \mathbf{\Phi}(t)$ можно выразить через $\textstyle \mathbf{A}(t)$ , однако для этого необходимы специальные обозначения, упорядочивающие матрицы, так как интеграл от матрицы $\textstyle \mathbf{A}(\tau)$ по интервалу $\textstyle [t_0,...,t]$ в общем случая не коммутирует с матрицей $\textstyle \mathbf{A}(t)$ в момент времени $\textstyle t$ .

Многомерие помогает одномерию <<	Оглавление	>> Как решать стохастические задачи?

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Некоторые точные решения

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты