Модель аддитивного блуждания

Материал из Synset

Многомерное распределение Гаусса <<	Оглавление	>> Случайные процессы

$\textstyle \bullet$ Координата броуновской частицы в воде или цена на финансовом рынке $\textstyle x$ имеют траекторию с очень нерегулярными изломами. Простейшим её описанием будет модель аддитивного независимого дискретного случайного блуждания. Все четыре прилагательных в названии модели отражают базовые свойства процесса.

Предположим, что начальное значение $\textstyle x=x_0$ . Далее $\textstyle x$ испытывает $\textstyle t=1,2,...$ случайных независимых гауссовых изменений ("толчков"), каждое с волатильностью $\textstyle \sigma$ . В результате $\textstyle x$ окажется равным накопленной сумме таких изменений:

$x_t=x_0 + \sigma\cdot(\varepsilon_1+...+\varepsilon_t),$

(1.38)

где $\textstyle \varepsilon_i\sim N(0,1)$ — гауссовы числа с нулевым средним и единичной дисперсией. Индекс $\textstyle t$ пока является целым числом, однако в дальнейшем мы перейдём к пределу непрерывного времени.

Удобно ввести дискретную переменную Винера:

$W_t = \varepsilon_1+...+\varepsilon_t = \varepsilon\cdot\sqrt{t}.$

(1.39)

Второе равенство мы записали, так как сумма $\textstyle t$ гауссовых чисел снова равна гауссовому числу с волатильностью $\textstyle \sqrt{t}$ . Случайные числа, как с индексами $\textstyle \varepsilon_i$ , так и без них $\textstyle \varepsilon$ , предполагаются нормированными: $\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0$ , $\textstyle \left\langle \varepsilon^2\right\rangle =1$ , т.е. как $\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)$ . Модель (1.38) теперь выглядит следующим образом: $\textstyle x_t=x_0+\sigma\cdot W_t$ .

Смоделируем такое блуждание при помощи компьютера. Начиная с $\textstyle x_0=0$ , будем генерить случайные числа $\textstyle \varepsilon_1$ , $\textstyle \varepsilon_2$ , ... и строить их накопленную сумму (1-й рисунок):

Так как изменения $\textstyle \varepsilon_k$ будут каждый раз новыми, то по-разному будут протекать и блуждания траектории $\textstyle x_t=x(t)$ (см. 2-й рисунок). Различные реализации процесса блуждания пересекают вертикальную прямую $\textstyle t=const$ в тех или иных значениях $\textstyle x$ . Совокупность всех этих чисел является случайной величиной.

Поэтому, говоря о процессе $\textstyle x(t)$ , мы подразумеваем, что в данный момент времени $\textstyle x=x(t)$ имеет определённое распределение $\textstyle P(x)$ . В некоторый другой момент времени распределение может оказаться иным. Поэтому плотность вероятности $\textstyle P(x,t)$ , среднее $\textstyle \bar{x}(t)$ и волатильность $\textstyle \sigma(t)$ будут функциями времени.

Волатильность аддитивного блуждания увеличивается, как $\textstyle \sqrt{t}$ . Это наглядно видно на 2-м рисунке с несколькими реализациями $\textstyle x_t$ . Их "пучок" постепенно расширяется. В результате неопределённость будущего значения $\textstyle x_t$ увеличивается. Мы можем обнаружить $\textstyle x_t$ достаточно далеко от начального значения $\textstyle x_0=0$ . Это также проиллюстрировано на 3-м рисунке, где представлены плотности вероятности $\textstyle P(x,t)$ , которые с течением времени постепенно "расплываются".

Блуждающие траектории начинаются с определённого начального значения $\textstyle x_0=x(t_0)$ в момент времени $\textstyle t_0$ . Поэтому, говоря о вероятности, мы имеем дело с условной плотностью $\textstyle P(x_0, t_0 \Rightarrow x, t)$ . Пока моменты времени $\textstyle t_0$ и $\textstyle t$ являются целыми числами, соответствующими номеру скачка $\textstyle \varepsilon_k$ на очередном этапе.

Важно понимать, что $\textstyle x_t=x(t)$ не является конкретной траекторией. Это одновременная совокупность всех возможных траекторий случайного процесса. Аналогично, случайное число $\textstyle x$ не подразумевает конкретного значения, а обозначает все возможные реализации, подчиняющиеся некоторому распределению $\textstyle P(x)$ . Вероятность получить на $\textstyle t$ -ом шаге $\textstyle x_t$ определяется вероятностями всех изменений $\textstyle \varepsilon_i$ . Так, дискретный винеровский процесс $\textstyle W_t$ определяется плотностью вероятности:

$P(\varepsilon_1,...,\varepsilon_t) = P(\varepsilon_1)\cdot ...\cdot P(\varepsilon_t),$

где равенство отражает независимость всех $\textstyle \varepsilon_i$ . Таким образом, $\textstyle W_t$ — фактически, многомерная случайная величина.

Обратим ещё раз внимание на смысл записи: $\textstyle \varepsilon_1+...+\varepsilon_t = \varepsilon\cdot\sqrt{t}$ . Предположим, что в процессе моделирования мы генерим $\textstyle t$ независимых гауссовых чисел $\textstyle \varepsilon_1, \varepsilon_2,...$ и складываем их. Результат будет иметь такие же статистические свойства, как одно гауссово число $\textstyle \varepsilon$ с единичной волатильностью, умноженное на фактор $\textstyle \sqrt{t}$ . При вычислении свойств накопленной суммы вполне достаточно пользоваться величиной $\textstyle \varepsilon$ , а не совместной плотностью $\textstyle P(\varepsilon_1,...,\varepsilon_t)$ . В частности, если мы ищем среднее значение, в котором участвует сумма гауссовых чисел, его вычисление можно упростить, используя только одно случайное число. Однако, если нас интересует связь сумм, получаемых в различные моменты времени, то необходимы некоторые ухищрения. Рассмотрим их подробнее.

$\textstyle \bullet$ Для сравнения процесса блуждания с самим собой в различные моменты времени его необходимо разбивать на неперекрывающиеся участки времени. Пусть процесс длится $\textstyle s$ шагов, а затем еще в течение $\textstyle t-s$ . Сравним свойства траекторий в "моменты времени" $\textstyle s$ и $\textstyle t$ ( $\textstyle s<t$ ):

$\begin{array}{l} W_s= \varepsilon_1+...+\varepsilon_s,\ W_t= \varepsilon_1+...+\varepsilon_s+\varepsilon_{s+1}+...+\varepsilon_t.\ \end{array}$

Вычитая уравнения, получим сумму $\textstyle t-s$ случайных чисел:

$W_t-W_s \;=\; \varepsilon_{s+1}+...+\varepsilon_t = \varepsilon\sqrt{t-s} = W_{t-s}.$

Второе равенство является отражением того, что суммарная волатильность $\textstyle t-s$ независимых гауссовых слагаемых будет равна $\textstyle \sqrt{t-s}$ . Фактически, $\textstyle W_s$ и $\textstyle W_t$ можно представить в виде:

$\begin{array}{l} W_s= \varepsilon_a\, \sqrt{s}, \ W_t= \varepsilon_a\, \sqrt{s} + \varepsilon_b\, \sqrt{t-s}, \end{array}$

(1.40)

где $\textstyle \varepsilon_a$ , $\textstyle \varepsilon_b$ , как и везде в наших лекциях, — независимые гауссовые числа с нулевым средним и единичной дисперсией. Первое из них — $\textstyle \varepsilon_a$ — эквивалентно накопленной сумме начальных $\textstyle s$ приращений, а второе — $\textstyle \varepsilon_b$ — соответствует независимым от $\textstyle \varepsilon_a$ последующим $\textstyle t-s$ приращениям.

Теперь можно найти ковариацию между $\textstyle W_s$ и $\textstyle W_t$ . Так как $\textstyle \overline{W_t}=0$ , то:

$\mathrm{cov}(s,t) = \left\langle W_sW_t\right\rangle =\left\langle \varepsilon_a\, \sqrt{s} \cdot \bigl(\varepsilon_a\, \sqrt{s} + \varepsilon_b\, \sqrt{t-s}\bigr) \right\rangle = s,$

в силу того, что $\textstyle \left\langle \varepsilon_a^2\right\rangle =1$ и $\textstyle \left\langle \varepsilon_a\varepsilon_b\right\rangle =0$ . Таким образом, ковариация зависит только от наименьшего числа $\textstyle s=\min(s,t)$ , представляющего собой длительность общей для $\textstyle W_s$ и $\textstyle W_t$ истории. Для прояснения смысла этого результата запишем регрессионную прямую (1.25) между $\textstyle W_s$ и $\textstyle W_t$ . Их волатильности равны $\textstyle \sqrt{s}$ и $\textstyle \sqrt{t}$ , а средние — нулю, поэтому:

$\frac{W_t}{\sqrt{t}} = \frac{\mathrm{cov}(s,t)}{\sqrt{s}\sqrt{t}}\cdot \frac{W_s}{\sqrt{s}}+\frac{\xi}{\sqrt{t}}\;\;\;\;\;\;\; =>\;\;\;\;\;\;W_t=W_s+\xi.$

Таким образом, если известно, что в момент времени $\textstyle s$ сумма равна $\textstyle W_s$ , то наилучшим прогнозом будущего значения $\textstyle W_t$ будет уже известное $\textstyle W_s$ . Из (1.40) следует, что линейная регрессионная модель оказывается в данном случае точной. При этом её "шумом" выступают накопленные после момента времени $\textstyle s$ изменения: $\textstyle \xi=\varepsilon_{s+1}+...+\varepsilon_{t}=\varepsilon_b\sqrt{t-s}$ .

Мы будем часто усреднять гауссовы величины, поэтому в качестве упражнения стоит проверить следующие соотношения ( $\textstyle i<j<k$ ):

$\left\langle W_iW_jW_k\right\rangle =0,\;\;\;\;\;\;\;\left\langle W^2_iW_jW_k\right\rangle = 2i^2+ij\;\;\;\;\;\;\left\langle W_iW^2_jW_k\right\rangle = 3ij.$

[Процесс $\textstyle W_k$ необходимо разбить на три интервала.]

$\textstyle \bullet$ В заключение раздела ответим на следующий вопрос. Если $\textstyle x=x_1$ , то какова вероятность обнаружить его на следующем шаге в $\textstyle x_2$ ? Очевидно, что она равна вероятности изменения $\textstyle x$ :

$P(x_1 \Rightarrow x_2) = P(\varepsilon) = \frac{e^{-(x_2-x_1)^2/2}}{\sqrt{2\pi}}.$

Мы положили $\textstyle \sigma=1$ и записали в явном виде гауссову плотность вероятности для $\textstyle \varepsilon=x_2-x_1$ . В результате условная вероятность зависит от обоих аргументов, поэтому случайные числа $\textstyle x_1$ и $\textstyle x_2$ являются зависимыми.

Дискретная траектория блуждания описывается множеством случайных величин $\textstyle x_t=\{x_1,x_2,x_3,...\}$ , задающих возможные значения $\textstyle x$ на шаге $\textstyle t$ . Индекс можно записать в функциональной форме $\textstyle x(t)$ и говорить о случайной функции, которая пока определена только в дискретных точках. Таким образом, случайная функция — это многомерная величина. Для задания свойств случайного процесса в общем случае необходимо определить плотность вероятности $\textstyle P(x_1,x_2,x_3,...)$ с бесконечным числом аргументов.

Для винеровского процесса ситуация существенно упрощается, так как каждое следующее $\textstyle x_{t+1}$ определяется значением непосредственно предшествующего $\textstyle x_t$ и никак не зависит от более длинной предыстории. Этот факт мы будем записывать в следующем виде:

$P(x_1,...,x_{t} \Rightarrow x_{t+1}) \;=\; P(x_{t} \Rightarrow x_{t+1}).$

(1.41)

Если известно $\textstyle x_t$ , то $\textstyle x_{t+1}$ будет определяться значением $\textstyle x_t$ и случайным изменением $\textstyle \varepsilon$ , а не всей историей $\textstyle x_1,...,x_{t-1}$ . Процессы с такой "короткой памятью" называются марковскими процессами. Они представляют собой следующее приближение после независимости случайных величин, для которых $\textstyle P(x_1,...,x_{t} \Rightarrow x_{t+1})=P(x_{t+1}).$

Марковские процессы позволяют представить совместную вероятность любой размерности в виде цепочки условных вероятностей. Например:

$P(x_1,x_2,x_3) = P(x_1) \cdot P(x_1 \Rightarrow x_2) \cdot P(x_2 \Rightarrow x_3).$

(1.42)

Для этого сначала записываем $\textstyle P(x_1,x_2, x_3)=P(x_1,x_2) \cdot P(x_1,x_2 \Rightarrow x_3)$ по определению условной вероятности. Затем используем определение для $\textstyle P(x_1,x_2)=P(x_1)P(x_1\Rightarrow x_2)$ и марковское условие короткой памяти: $\textstyle P(x_1,x_2\Rightarrow x_3)=P(x_2\Rightarrow x_3)$ . Таким образом, чтобы произошло $\textstyle x_1,x_2,x_3$ , необходимо, чтобы свершилось $\textstyle x_1$ . При условии, что это произошло, далее реализовалось $\textstyle x_2$ , и т.д.

Многомерное распределение Гаусса <<	Оглавление	>> Случайные процессы

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Модель аддитивного блуждания

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты