Многомерие помогает одномерию

Материал из Synset

Линейные многомерные модели <<	Оглавление	>> Некоторые точные решения

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим построение решения одномерного уравнения при помощи стохастического интеграла. Пусть у нас есть система уравнений $\textstyle n\,$ x $\textstyle \,1$ с одинаковым шумом $\textstyle dx_\alpha=a_\alpha \,dt + b_\alpha \,\delta W$ . Для произвольной функции $\textstyle F=F(t, \mathbf{x})$ в этом случае справедлива следующая версия леммы Ито (6.12) (суммирование по повторяющимся индексам):

$dF = \left[\frac{\partial F}{\partial t} + a_\alpha\,\frac{\partial F}{\partial x_\alpha } + \frac{b_\alpha b_\beta}{2}\,\frac{\partial^2 F}{\partial x_\alpha\partial x_\beta }\right]\,dt + b_\alpha \,\frac{\partial F}{\partial x_\alpha }\, \delta W.$

Пусть $\textstyle \mathbf{x}=\{x, W\}$ , где $\textstyle x=x(t)$ — решение некоторого одномерного стохастического уравнения $\textstyle dx=a(x)\,dt+b(x)\,\delta W$ , а $\textstyle W$ — порождающий винеровский процесс с нулевым сносом и единичной волатильностью. В этом случае лемма Ито для функции $\textstyle F=F(t,x,W)$ имеет вид:

$dF = \left[\frac{\partial F}{\partial t}+a\,\frac{\partial F}{\partial x } + \frac{b^2}{2}\,\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} +b\,\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial W} +\frac{1}{2}\,\frac{\partial^2 F}{\partial W^2} \right]\,dt + \left[b \,\frac{\partial F}{\partial x } + \frac{\partial F}{\partial W } \right]\,\delta W.$

Всегда подходящим выбором $\textstyle F$ :

$F(t,x,W) = f(t, z) = f\left(t,\;\int\frac{dx}{b(x)}-W\right)$

можно ( $\textstyle \lessdot$ H) волатильность (множителя при $\textstyle \delta W$ ) сделать равной нулю. Подставляя $\textstyle F=f(t,z)$ в лемму Ито, получаем:

$df = \left(\frac{\partial f}{\partial t}+\left[\frac{a(x)}{b(x)}-\frac{b'(x)}{2}\right]\frac{\partial f}{\partial z}\right)\, dt.$

Если выбором функции $\textstyle f$ удаётся добиться, чтобы множитель при $\textstyle dt$ зависел только от $\textstyle t$ и $\textstyle W$ , то это уравнение можно проинтегрировать, выразив решение в явном виде через порождающий винеровский процесс $\textstyle W_t$ . Так как множитель при $\textstyle dt$ не должен зависеть от $\textstyle x$ , то частная производная по $\textstyle x$ равна нулю, и мы получаем следующее уравнение:

$\frac{\partial^2 f}{\partial t\partial z} +\left[\frac{a(x)}{b(x)}-\frac{b'(x)}{2}\right]\,\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} + b(x)\, \left[\frac{a(x)}{b(x)}-\frac{b'(x)}{2}\right]'\frac{\partial f}{\partial z} = 0.$

Это уравнение допускает разделение переменных $\textstyle f(t,z)=e^{\lambda t}\, f(z)$ :

$\lambda +\left[\frac{a(x)}{b(x)}-\frac{b'(x)}{2}\right]\,\mu + b(x)\, \left[\frac{a(x)}{b(x)}-\frac{b'(x)}{2}\right]' = 0,$

где $\textstyle \lambda$ , $\textstyle \mu$ — некоторые константы, которые необходимо подобрать так, чтобы это соотношение обращалось в тождество. Тогда $\textstyle f(t, z)=e^{\lambda\,t+\mu\, z}$ .

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим в качестве примера логистическое уравнение (стр. \pageref{logistic_equation}):

$dx = x\cdot(1 - x)\, dt + \sqrt{2\gamma}\,x \,\delta W.$

(6.31)

Несложно проверить, что $\textstyle \mu=-\sqrt{2\gamma}$ , $\textstyle \lambda=1-\gamma$ , $\textstyle F=e^{(1-\gamma)\,t+\sqrt{2\gamma}\,W_t}/x$ ,

$dF=e^{(1-\gamma)\,t+\sqrt{2\gamma}\,W_t}\,dt \;\;\;\;=>\;\;\;\;F=\frac{1}{x_0}+\int\limits^t_0 e^{(1-\gamma)\,\tau+\sqrt{2\gamma}\,W_\tau}\,d\tau,$

где при интегрировании учтено начальное условие $\textstyle F_0=F(0)=1/x_0$ , и $\textstyle x_0=x(0)$ . Поэтому решение (6.31) можно записать в следующем виде:

$x(t) = x_0\,e^{(1-\gamma)\,t+\sqrt{2\gamma}\,W_t}\cdot \left[1+x_0\,\int\limits^t_0 e^{(1-\gamma)\,\tau+\sqrt{2\gamma}\,W_\tau}\,d\tau\right]^{-1}.$

(6.32)

Замкнутая форма (6.32) может быть полезна при построении приближённых методов, однако, к сожалению, получить с её помощью конкретные результаты (например, среднее $\textstyle \bar{x}(t)$ ), вообще говоря, не просто.

$\textstyle \bullet$ Простое интегральное представление для решения имеет также линейное по $\textstyle x$ стохастическое уравнение:

$dx =(\alpha + \beta x)\,dt + \sigma\, x\,\delta W.$

В этом случае $\textstyle \mu=\sigma$ , $\textstyle \lambda=(\sigma^2/2)-\beta$ , и для процесса $\textstyle y=x\,e^{-(\beta-\sigma^2/2)\,t - \sigma W_t}$ получаем уравнение:

$dy = \alpha\,e^{-(\beta-\sigma^2/2)t - \sigma W_t}\,dt.$

Поэтому решение выражается через стохастический интеграл:

$x(t)= e^{(\beta-\sigma^2/2)t + \sigma W_t} \left[x_0 + \alpha \int\limits^t_0 e^{-(\beta-\sigma^2/2)s - \sigma W_s} ds\right],$

который позволяет вычислять средние:

Первое среднее вычисляется обычным образом, а для второго необходимо использовать формулу (5.7):

или $\textstyle \left\langle x(t)\right\rangle = x_0\,e^{\beta t} + \frac{\alpha}{\beta}\left(e^{\beta t}-1\right).$ Заметим, что $\textstyle \left\langle x(t)\right\rangle$ в данном случае проще найти при помощи динамических уравнений для средних.

$\textstyle \bullet$ Иногда многомерные системы позволяют находить точные решения одномерных стохастических уравнений. Рассмотрим блуждание в $\textstyle n$ -мерном пространстве, считая, что по каждой координате реализуется процесс Орнштейна-Уленбека с нулевым равновесным уровнем и одинаковым притяжением к нему:

$dx_i = - \frac{\beta}{2}\, x_i \,dt + \frac{\sigma}{2}\, \delta W_i.$

Блуждания предполагаются нескоррелированными, с одной волатильностью шума. Рассмотрим случайный процесс, равный квадрату радиус-вектора $\textstyle y(t)=x^2_1+...+x^2_n$ . Найдём стохастическое уравнение, которому он подчиняется. В данном случае $\textstyle a_i=-\beta x_i/2$ , $\textstyle b_{ij}=\sigma \delta_{ij}/2$ . Производные от $\textstyle y$ равны $\textstyle \partial y/\partial x_i = 2 x_i$ , $\textstyle \partial^2 y/\partial x_i\partial x_j = 2 \delta_{ij}$ , и по лемме Ито (6.12) имеем следующее уравнение:

$dy = -\beta\cdot\left(y-\frac{n\sigma^2}{4\beta} \right)\,dt + \sigma\, x_i\, \delta W_i.$

Сумму стохастических членов в этом уравнении можно выразить через единственную винеровскую переменную:

$\omega_i \,\delta W_i = \omega_i \, \varepsilon_i\sqrt{dt} = \varepsilon \sqrt{dt} = \delta W,$

где $\textstyle \omega_i=x_i/\sqrt{y}$ . Действительно, сумма гауссовых чисел снова даёт гауссово число, и, так как $\textstyle \omega^2_1+...+\omega^2_n=1$ , оно имеет единичную дисперсию. Вообще говоря, величины $\textstyle \omega_i(t)$ являются случайными функциями. Однако на каждом шаге итерационного решения они принимают определённое значение, но так, что сумма их квадратов всегда равна единице. Поэтому мы и переходим в уравнении к скалярной винеровской переменной $\textstyle \delta W$ .

В результате получается одномерное уравнение Феллера:

$dy = -\beta \cdot (y-\alpha)\,dt + \sigma\,\sqrt{y}\,\delta W,$

с равновесным уровнем, равным $\textstyle \alpha=n\sigma^2/4\beta$ . Его решение выражается через известные нам случайные процессы Орнштейна-Уленбека (стр. \pageref{sol_OU}):

$x_i(t) = x_{0i}\, e^{-\beta t/2} + \frac{\sigma}{2\sqrt{\beta}}\, \sqrt{1-e^{-\beta t}}\cdot \; \varepsilon_i$

и $\textstyle n$ независимых гауссовых величин $\textstyle \{\varepsilon_1,...,\varepsilon_n\}$ .

$\textstyle \bullet$ Решение одномерного уравнения должно зависеть от одной константы начального условия $\textstyle y_0=y(0)$ . В полученное решение входит $\textstyle n$ независимых констант $\textstyle x_{0i}$ , соответствующих начальным условиям по каждой координате. Покажем, что они, тем не менее, "сворачиваются" в единственную константу $\textstyle y_0=x^2_{01}+...+x^2_{0n}$ . Для этого запишем решение в следующем виде:

$y(t) = \sum^n_{i=1} \bigl(x_{0i}\mu(t) + \frac{1}{\sqrt{2}}\,s(t) \varepsilon_i\bigr)^2 = y_0\mu^2(t) + \sqrt{2y_0}\,s(t)\mu(t) \cdot \varepsilon + s^2(t) \cdot u,$

где $\textstyle \mu(t)=e^{-\beta t/2}$ , $\textstyle s(t)= \sqrt{\gamma(1-e^{-\beta t})}$ , $\textstyle \gamma=\sigma^2/2\beta$ и введены две новые случайные величины $\textstyle \varepsilon$ и $\textstyle u$ :

$\varepsilon = \sum^n_{i=1} \omega_i \varepsilon_i,\;\;\;\;\;\;\;u = \frac{1}{2}\sum^n_{i=1} \varepsilon^2_i,\;\;\;\;\;\;\;\;\sum^n_{i=1} \omega^2_i =1.$

Сумма квадратов "весов" $\textstyle \omega_i=x_{0i}/\sqrt{y_0}$ равна единице. Поэтому величина $\textstyle \varepsilon$ имеет гауссово распределение с нулевым средним и единичной дисперсией, а $\textstyle u$ подчиняется $\textstyle \chi^2$ -распределению с $\textstyle n$ степенями свободы ( $\textstyle \lessdot$ C). Так как обе эти величины зависят от одних и тех же гауссовых чисел $\textstyle \varepsilon_1,...,\varepsilon_n$ , они не являются независимыми. Однако их совместная плотность вероятностей не зависит от весов $\textstyle \omega_i$ , и, следовательно, от констант начального условия $\textstyle x_{0i}$ . Действительно, найдём производящую функцию:

$\phi(k,p)=\left\langle e^{k\,\varepsilon + \,p\,u}\right\rangle = \prod^n_{i=1}\int\limits^\infty_\infty e^{k\,\omega_i \varepsilon_i + p\frac{\varepsilon^2_i}{2} -\frac{\varepsilon^2_i}{2}}\,\frac{d\varepsilon_i}{\sqrt{2\pi}} \;=\;\frac{e^{\frac{k^2/2}{1-p}}}{(1-p)^{n/2}}.$

(6.33)

Введение мнимой единицы $\textstyle k\to \imath k$ , $\textstyle p\to \imath p$ превращает производящую функцию в характеристическую, фурье-интеграл от которой равен плотности вероятности $\textstyle P(\varepsilon, u)$ . Разложение в ряд по $\textstyle k$ и $\textstyle p$ производящей функции позволяет легко найти различные средние для случайных величин $\textstyle \varepsilon$ и $\textstyle u$ .

Подобное представление было получено в третьей главе при изучении процесса Феллера (стр. \pageref{feller_equation}). Несмотря на то, что мы начали с $\textstyle n$ процессов Орнштейна-Уленбека, целочисленный параметр $\textstyle n$ в решении можно аналитически продолжить в область непрерывных значений $\textstyle n=2\alpha/\gamma$ .

Таким образом, процесс $\textstyle y(t)$ зависит от единственной константы начального условия $\textstyle y_0=y(0)$ и двух случайных величин $\textstyle \varepsilon$ и $\textstyle u$ , имеющих совместное распределение (6.33).

Линейные многомерные модели <<	Оглавление	>> Некоторые точные решения

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Многомерие помогает одномерию

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты