Марковские плотности вероятности

Материал из Synset

Квазидетерминированное приближение <<	Оглавление	>> Уравнение для плотности вероятности

$\textstyle \bullet$ Вернёмся к винеровскому процессу с нулевым сносом $\textstyle \mu=0$ и единичной волатильностью. Так как случайная функция $\textstyle x(t)$ зависит от гауссовой переменной $\textstyle \varepsilon$ :

$x=x_0+\varepsilon\cdot \sqrt{t-t_0}\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;\varepsilon=(x-x_0)/\sqrt{t-t_0},$

то, воспользовавшись распределением Гаусса (см. стр. \pageref{prob_P_from_f}), можно записать условную плотность вероятности в виде:

$P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot(t-t_0)}} \cdot \exp \left\{ -\frac{1}{2}\,\frac{(x-x_0)^2}{t-t_0}\right\}.$

(4.1)

Чем меньше разница $\textstyle t-t_0$ , тем более высоким и узким будет колокол гауссианы, стремясь в пределе $\textstyle t\to t_0$ к дельта-функции Дирака:

$P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t) = \delta (x-x_0)\;\;\;\;\;при\;\;\; t\to t_0.$

(4.2)

Она равна бесконечности при $\textstyle x=x_0$ и нулю в других точках, так, что интеграл по $\textstyle x$ в окрестности $\textstyle x_0$ равен единице (см. Приложение М, стр. \pageref{math_delta_dirac_int}). Функции Дирака равна любая условная плотность вероятности при $\textstyle t=t_0$ . Действительно, в бесконечно близкий к $\textstyle t_0$ момент времени отлична от нуля только вероятность в окрестности начального значения $\textstyle x\approx x_0$ .

К дельта-функции Дирака при $\textstyle t\to t_0$ стремится также условная плотность вероятности Коши:

$P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t) = \frac{(t-t_0)/\pi}{(x-x_0)^2+(t-t_0)^2}.$

(4.3)

Интеграл от этой функции по $\textstyle x$ равен единице, среднее значение — $\textstyle x_0$ . Однако моменты второго и более высоких порядков равны бесконечности. Соответственно равна бесконечности волатильность. В результате становятся вероятными очень большие выбросы случайных чисел. Подобные процессы называются процессами со скачками. У колокола распределения существует типичная ширина, пропорциональная $\textstyle t-t_0$ . По мере удаления от начального момента времени происходит "расплывание" распределения вероятностей и очень быстрый уход процесса от начального значения $\textstyle x_0$ . Поэтому в теории диффузных процессов мы не рассматриваем распределение Коши, хотя, как мы увидим чуть ниже, оно является марковским.

$\textstyle \bullet$ Плотность вероятности марковских процессов должна удовлетворять определённым уравнениям. Рассмотрим три последовательных момента времени $\textstyle t_1<t_2<t_3$ , в которых $\textstyle x(t)$ принимает значения $\textstyle x_1$ , $\textstyle x_2$ и $\textstyle x_3$ . Совместная плотность вероятности для $\textstyle x_1$ и $\textstyle x_3$ равна:

$P(x_1,x_3) = \int P(x_1,x_2,x_3) dx_2,$

(4.4)

где для краткости опущены времена $\textstyle t_i$ . В (4.4) мы суммируем все возможные реализации "промежуточного" значения $\textstyle x_2$ . В результате из трехточечной совместной плотности вероятности получается двуточечная. Подставим в левую часть $\textstyle P(x_1,x_3)=P(x_1)\cdot P(x_1\Rightarrow x_3)$ определение условной вероятности, а в правую, с учётом марковости процесса, трёхточечную плотность вероятности (см. (1.42):

$P(x_1,x_2,x_3)=P(x_1)\cdot P(x_1\Rightarrow x_2) P(x_2\Rightarrow x_3).$

Восстанавливая времена, получаем:

$P(x_1,t_1 \Rightarrow x_3, t_3) = \int P(x_1,t_1 \Rightarrow x_2, t_2)\cdot P(x_2,t_2 \Rightarrow x_3, t_3) \;dx_2.$

(4.5)

Это интегральное уравнение Чепмена-Колмогорова. В качестве упражнения ( $\textstyle \lessdot$ H) имеет смысл проверить, что этому уравнению удовлетворяет гауссова плотность вероятности (4.1). Второе упражнение ( $\textstyle \lessdot$ H) состоит в записи уравнения Чепмена-Колмогорова для характеристических функций, если $\textstyle P(x_0,t_0\Rightarrow x,t)=P(x-x_0, t-t_0)$ , и проверке марковости распределения Коши (4.3).

Уравнению Чепмена-Колмогорова должны удовлетворять любые вероятности марковских процессов. Правда в таком виде оно слишком общее, и нам нужны его более конкретные представления. В уравнении (4.5) времена $\textstyle t_1,$ $\textstyle t_2$ и $\textstyle t_3$ могут быть удалены друг от друга как угодно далеко. Однако особый интерес представляет ситуация бесконечно близких времён. В результате глобальные свойства $\textstyle P(x_0, t_0\Rightarrow x,t)$ определяются из решений локальных дифференциальных уравнений. Так как условная плотность вероятности имеет две пары аргументов, то возможны, по крайней мере, два уравнения относительно $\textstyle \{x_0,t_0\}$ и $\textstyle \{x,t\}$ . Из (4.5) в следующем разделе мы получим уравнение относительно $\textstyle \{x_0,t_0\}$ , которое называется первым уравнением Колмогорова. Аналогично выводится уравнение Фоккера-Планка, или второе уравнение Колмогорова относительно $\textstyle \{x,t\}$ . Мы найдём его при помощи стохастического дифференциального уравнения. Этот вывод покажет непосредственную связь двух математических аппаратов.

Квазидетерминированное приближение <<	Оглавление	>> Уравнение для плотности вероятности

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Марковские плотности вероятности

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты