Логистическое уравнение

Материал из Synset

Процесс Феллера <<	Оглавление	>> Степенные ряды для средних

$\textstyle \bullet$ Динамика роста в условиях ограниченности ресурсов описывается при помощи логистического уравнения (стр. \pageref{df_eq_logistic}). Рассмотрим его стохастический аналог с начальным условием $\textstyle x_0=x(0)$ :

$dx = (\alpha x - \beta x^2)\, dt + \sigma \,x\,\delta W.$

Прежде чем приступить к анализу задачи, стоит уменьшить число параметров, проведя скейлинговые замены: $\textstyle t\to t/\alpha$ , $\textstyle x\to x\alpha/\beta$ . В этих переменных уравнение принимает вид:

$dx = x\cdot (1-x)\, dt + \sqrt{2\gamma}\cdot x\,\delta W,$

где $\textstyle \gamma=\sigma^2/2\alpha$ . При масштабировании времени мы воспользовались тем, что $\textstyle \delta W=\varepsilon\sqrt{dt}$ . Таким образом, с точностью до размерных преобразований свойства решения определяются единственным параметром $\textstyle \gamma$ . Найдя решение уравнения, мы всегда можем сделать обратное преобразование:

$t\to \alpha t,\;\;\;\;\;\;x\to \frac{\beta}{\alpha}\, x,\;\;\;\;\;\;\;\;x_0\to \frac{\beta}{\alpha}\, x_0.$

В детерминированном случае ( $\textstyle \gamma=0$ ) задача имеет простое решение:

$\frac{dx}{dt} = a(x)=x\cdot(1-x)\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;x(t)=\frac{1}{1 - (1 - 1/x_0 ) \cdot e^{-t}},$

В пределе $\textstyle t\to\infty$ , при любом начальном условии $\textstyle x_0$ , решение стремится к равновесному значению $\textstyle x=1$ . Если в этой точке оно находится с самого начала $\textstyle x_0=1$ , то решение там и остаётся и не зависит от времени.

Качественно это поведение легко понять. Уравнение $\textstyle a(x_\infty)=0$ имеет две особые точки $\textstyle x_\infty=0$ и $\textstyle x_\infty=1$ . Если разложить $\textstyle a(x)$ в окрестности особой точки в ряд по отклонениям от неё, то уравнение примет вид:

$\frac{dx}{dt} = a(x) \approx a'(x_\infty)\, (x-x_\infty) + ..$

Если $\textstyle a'(x_\infty)>0$ , то это точка неустойчивого равновесия. Действительно, при $\textstyle x>x_\infty$ производная $\textstyle dx/dt$ будет положительна, и $\textstyle x$ начнёт увеличиваться, удаляясь от $\textstyle x_\infty$ . Устойчивое равновесие возможно только, если $\textstyle a'(x_\infty)<0$ . Поэтому для логистического уравнения единственной устойчивой точкой является $\textstyle x_\infty=1$ . Именно к ней, в пределе больших времён, и стремится решение.

$\textstyle \bullet$ В стохастическом случае решение найти не так просто. Для анализа асимптотических свойств при $\textstyle t\to\infty$ воспользуемся динамическим уравнением для средних (3.3), с $\textstyle F=\ln x$ и $\textstyle F=x$ :

$\begin{array}{l} \dot{\left\langle \ln x\right\rangle } = 1 - \left\langle x\right\rangle - \gamma \\ \dot{\left\langle x\right\rangle } = \left\langle x\right\rangle - \left\langle x^2\right\rangle .\\ \end{array}$

Положив производные по времени равными нулю, получаем:

$\left\langle x\right\rangle =1 - \gamma, \;\;\;\;\; \left\langle x^2\right\rangle = \left\langle x\right\rangle , \;\;\;\;\;\sigma^2_x = \gamma \,\left(1-\gamma\right).$

(3.13)

Как мы видим, стохастичный шум уменьшает численность популяции, которая в детерминированном случае стремится к $\textstyle 1$ . Обратим внимание на то, что положительная дисперсия возможна только при $\textstyle \gamma<1$ . Стационарное уравнение Фоккера-Планка приводит к гамма-распределению:

$P(x) = \frac{1}{\gamma\Gamma(\mu)}\,\left(\frac{x}{\gamma}\right)^{\mu-1}\, e^{-x/\gamma},$

где $\textstyle \mu=(1-\gamma)/\gamma$ . В окрестности максимума $\textstyle x_{max}=(\mu-1)/\gamma$ гамма - распределение можно приближённо описать гауссианой. Если $\textstyle \mu$ велико, то максимум сдвигается вправо, и его относительная ширина уменьшается. Асимметрия $\textstyle asym = 2/\sqrt{\mu}$ и эксцесс $\textstyle excess=6/\mu$ распределения стремятся к нулю при $\textstyle \mu\to\infty$ . Плотность $\textstyle P(x)$ несимметрична (см. стр. \pageref{gamma_density}), поэтому характеристикой значений случайной величины может служить как $\textstyle \left\langle x\right\rangle$ , так и $\textstyle x_{max}$ .

$\textstyle \bullet$ Выберем теперь в динамическом уравнении $\textstyle F=1/x$ :

$\dot{\left\langle x^{-1}\right\rangle } = (2\gamma-1)\left\langle x^{-1}\right\rangle + 1,$

(3.14)

откуда:

$\left\langle x^{-1}\right\rangle = \left[\frac{1}{x_0} + \frac{1}{2\gamma-1}\right]\cdot e^{(2\gamma-1)\,t} \;-\;\frac{1}{2\gamma-1}.$

(3.15)

Обратная функция нелинейна ( $\textstyle \overline{1/x}\neq 1/\overline{x}$ ), и это решение не даёт нам возможности найти $\textstyle \overline{x}(t)$ . Заметим, что $\textstyle y(t)=1/x(t)$ , в силу леммы Ито, удовлетворяет линейному уравнению:

$dy = \bigl[1 + (2\gamma-1) y\bigr] \, dt - \sqrt{2\gamma} \,y \,\delta W.$

Несмотря на особенность в знаменателе (3.15), при $\textstyle \gamma=1/2$ решение не обращается в бесконечность. В этом легко убедиться, разложив экспоненту в ряд при малых $\textstyle 2\gamma-1$ . В результате предел решения при $\textstyle \gamma\to 1/2$ имеет вид: $\textstyle \left\langle x^{-1}\right\rangle = x^{-1}_0 + t.$ Этот результат можно получить сразу из исходного уравнения (3.14), положив $\textstyle \gamma = 1/2$ .

$\textstyle \bullet$ Поведение решения можно исследовать численными методами. Для этого, при помощи итерационной процедуры (стр. \pageref{process_ito_iter}), генерится большое количество выборочных траекторий. По ним находят среднее $\textstyle \left\langle x\right\rangle$ , волатильности $\textstyle \sigma_x(t)$ или плотность вероятности $\textstyle P(x_0, t_0\Rightarrow x, t)$ . Детали реализации подобных вычислений на языке $\textstyle C$ ++ мы рассмотрим в девятой главе, а сейчас приведём графики поведения среднего и волатильности процесса.

В качестве начального условия выберем $\textstyle x_0=1$ . Слева на рисунках представлены средние значения при различных параметрах $\textstyle \gamma$ (числа возле линий), а справа — волатильности:

Если $\textstyle \gamma<1$ , то среднее значение стремится к не нулевому уровню $\textstyle \left\langle x\right\rangle = 1 - \gamma$ . При $\textstyle \gamma \geqslant 1$ и среднее, и волатильность стремятся к нулю. Это означает, что при большом стохастическом шуме решение вырождается в константу $\textstyle x=0$ . Этот результат качественно отличается от детерминированной задачи, где решение всегда стремилось к $\textstyle x=1$ . Причина подобного поведения состоит в следующем. Снос уравнения имеет точку устойчивого равновесия $\textstyle x=1$ . Она не даёт процессу при блуждании уходить далеко вверх. В результате происходят колебания вокруг равновесного уровня, в процессе которых, рано или поздно, процесс оказывается в значении $\textstyle x=0$ . В этот момент снос и волатильность в уравнении обращаются в ноль, и, несмотря на наличие стохастического члена, дальнейшее изменение $\textstyle x$ прекращается, так как $\textstyle dx=0$ .

Значение $\textstyle x=0$ является точкой неустойчивого равновесия, и малейшее внешнее возмущение может решение с неё столкнуть, в том числе и в область $\textstyle x<0$ . Поэтому, вообще говоря, логистическое уравнение необходимо дополнить граничным условием в $\textstyle x=0$ .

Если в качестве начального условия выбрать асимптотическое значение $\textstyle x_0=1-\gamma$ , то при небольших $\textstyle \gamma$ среднее сначала несколько увеличится, а затем начинает асимптотически приближаться к $\textstyle \left\langle x\right\rangle =1-\gamma$ .

$\textstyle \bullet$ Логистическое уравнение имеет устойчивую точку $\textstyle x_\infty=1$ , при которой решение детерминированного уравнения $\textstyle dx= x(1-x)\, dt$ перестаёт изменяться. Для любого стохастического уравнения с небольшой волатильностью также можно изучить поведение решения в окрестности подобной особой точки. Так, в уравнении

$dx = a(x)\,dt + b(x) \,\delta W$

разложим $\textstyle a(x)$ в ряд в окрестности $\textstyle x_\infty$ , где $\textstyle a(x_\infty)=0$ , а для $\textstyle b(x)$ возьмём "нулевое" приближение:

$dx = a'(x_\infty)\cdot (x-x_\infty)\, dt + b(x_\infty)\,\delta W,$

где штрих — производная по $\textstyle x$ .

Если $\textstyle a'(x_\infty)<0$ , то это ни что иное, как уравнение Орнштейна-Уленбека, имеющее при больших $\textstyle t$ следующее решение:

$x(t) \to x_\infty + \frac{b(x_\infty)}{\sqrt{-2a'(x_\infty)}}\cdot \varepsilon,$

(3.16)

являющееся стационарным гауссовым процессом с средним $\textstyle x_\infty$ и волатильностью $\textstyle b_\infty/\sqrt{-2 a'_\infty}$ .

Для логистического уравнения

$x_\infty=1,\;\;\;\;\;\;\;a'(x_\infty)=-1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b(x_\infty)=\sqrt{2\gamma},$

поэтому приближённое решение в пределе больших времён $\textstyle t\to\infty$ в соответствии с формулой (3.16) можно записать в следующем виде:

$x(t) \to 1 \;+\; \sqrt{\gamma} \cdot \varepsilon,$

(3.17)

где $\textstyle \varepsilon$ — гауссово случайное число. Асимптотическое значение среднего равно $\textstyle 1$ , а дисперсия — $\textstyle \gamma$ . Сравнивая эти значения с точными (3.13), мы видим, что (3.17) — лишь первое приближение по $\textstyle \gamma$ .

К тому же, на самом деле, стационарная плотность вероятности для логистического блуждания - это гамма-распределение. Оно стремится к гауссовому только, когда параметр стохастического шума $\textstyle \gamma$ мал.

Таким образом, использовать решение Орнштейна - Уленбека для нелинейных уравнений, имеющих детерминированное стационарное решение, можно только в предположении малости стохастического воздействия. Тем не менее, подобный способ изучения поведения решения очень полезен, особенно в многомерном случае.

Процесс Феллера <<	Оглавление	>> Степенные ряды для средних

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Логистическое уравнение

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты